GABARITO / 6 TRU 003: Mecânica das Estruturas II T1000 e T2000 3a. Prova 17/11/2006

Transcrição

1 GRITO / TRU : ecânic ds struturs II T e T. Prov 7// ( ) ( Pontos). uestão: Sej treiç d figur, compost de brrs de mesm rigidez xi, e sujeit à crg vertic posiciond no nó centr inferior. Use o teorem de peyron e energi de deformção pr obter o desocmento vertic do ponto de picção d crg. 4 α h/4 dos: 4 mm / mm 7 mm α rctn, 7, 87º / / Soução: - Forçs normis ns brrs: picndo Ritter, e sendo forç cortnte n primeir metde do vão igu V / e o momento no centro do vão igu /, obtém-se: V sinα, 4 e h, 7 4 Por outro do, o equiíbrio do nó centr inferior obrig ter-se, pois s dus brrs horizontis não conseguem equiibrr crg vertic. Ver figur seguinte. om isto, pode-se ccur energi de deformção cumud n treiç (ver Tbe): U j j 7 8 UL TU eprtmento de struturs TRU ecânic ds struturs II Prof. Roberto uchim

2 Tbe j º. de repetições: j j r, 4 4 4, 4 r j j r j j 7 8 O trbho reizdo pe crg é estocdo n treiç em form de energi de deformção, sem perd por cor ou por energi cinétic (vibrção). Logo, picndo peyron determin-se o desocmento vertic d crg tunte: , ou sej, v 8 mm v ( ) ( Pontos). uestão: onsidere o pir uto-equiibrdo d figur, sujeito dus forçs verticis F, de mesm inh de ção e mbs com excentriciddes iguis. o que segue, use o Teorem de stigino e considere unicmente energi de deformção por fexão d brr mior (s dus brrs menores, e, têm ). / F ssim sendo, pede-se ccur: - u diminuição d distânci vertic origin dos pontos e? b- u o desocmento horizont do ponto do pir? / x dos: mm, ( ) pir, 4 mm, F 9, / / F Soução: UL TU eprtmento de struturs TRU ecânic ds struturs II Prof. Roberto uchim

3 - otndo que foi picdo n estrutur um pr de forçs, o teorem de stigino dá o desocmento retivo entre mbs (se fosse pedido pens, p. ex., o desocmento vertic d forç em, teri quer ser picd nesse ponto pens um forç fictíci, e não dus). / F x / F / / F / Sendo U dx e peo teorem de stigino U, tem-se: F [ dx dx dx dx omo F F F ( x) cte, e, resut dx dx. 9, ( ) 4 mm, 4 st é medid d proximção entre si ds dus forçs. d qu se desoc verticmente mm. ote-se que é em ger preferíve derivr primeiro e integrr depois, e não o contrário! UL TU eprtmento de struturs TRU ecânic ds struturs II Prof. Roberto uchim

4 4 b- determinção do desocmento horizont em é feit trvés de um forç horizont F fictíci picd nesse ponto. ss forç terá de ser retird d estrutur, pois não fz prte do sistem de forçs picds. O digrm de momento fetor está ddo n figur seguinte. ote-se que pr integr ser feit, interess neste digrm pens função (x), não ser que se use Tbe de Kurt-eyer, qundo interessrão os pontos de máximos. / F F / (x)f /+F x/ F /+F /4 x / F / F / F / U O teorem de stigino gor se escreve: h. F omo se mostrou no item nterior, derivd d energi de deformção em reção à forç F resut n integr do produto. Observndo que em se deve nur forç F, e F x que n derivd considerndo simetri do digrm de momento fetor: não prece F (e por isso ne não há forç nur), tem-se, h U F F / / dx F x F dx [ ( ) F ] 8 omprndo com o resutdo nterior, vê-se que este desocmento é / 8, vezes mior. Logo, h mm. UL TU eprtmento de struturs TRU ecânic ds struturs II Prof. Roberto uchim

5 ( ) (, Pontos). uestão: Sej vig contínu d figur, um vez hiperestátic, sujeit momentos picdos nos poios extremos. - Use o teorem de enbre pr obter reção do poio interno. onsidere pens energi de deformção por fexão. b- esenhr o digrm de momento fetor. dos: km, m. / x (x) +x/ pr x / Soução: onforme o teorem de enbre (picáve estruturs hiperestátics), energi de deformção U U(, ), função do crregmento, pss por um mínimo pr vriáve, pois o desocmento vertic do poio é zero, ou sej: U v d função (x), cf. se ê no desenho cim, obtém-se como n questão nterior, e já observndo simetri: dx, ou x x ( + ) dx, ou sej, xdx + x dx k O sin negtivo indic que reção em é dirigid pr cim, o contrário do pressuposto. ote que rigidez não prece n equção de. b- O digrm de momento fetor é poigon, pois em cd vão forç cortnte é constnte. m tem-se reção k. Logo, em o momento fetor ve: ( ) + km, trção n fibr superior. UL TU eprtmento de struturs TRU ecânic ds struturs II Prof. Roberto uchim

6 - / (x) +x/ x pr x / ( ) (, Pontos) 4. uestão: vig isostátic e contínu d figur seguinte, pic-se n rótu um pr de momentos. Sendo constnte rigidez à fexão d vig, pede-se: - eterminr o desocmento vertic v no ponto cusdo peo pr de momentos. Use o PTV e tbe de Kurt-eyer. est tbe α, é posição retiv do vértice do tringuo. b- Retir-se gor o pr de momentos e pic-se em um forç vertic. est condição, obter rotção retiv ϕ n rótu, usndo o teorem de etti-xwe. 7 4 dos: mm, / mm, I 44 mm mm, 4 v / / / / ϕ Soução: - Pr obter o desocmento vertic em, v, produzido peo pr de momentos, picdo em, consider-se mesm vig sujeit um forç virtu unitári em. Tem-se, ssim, dois sistems, o re e o virtu, cujos respectivos momentos fetores estão ddos n figur seguinte. UL TU eprtmento de struturs TRU ecânic ds struturs II Prof. Roberto uchim

7 7 omentos reis / / / / /4 omentos virtuis picndo o PTV, tem-se o trbho virtu reizdo pe forç virtu unitári (do segundo sistem) o ongo do desocmento re v (do primeiro sistem) ddo por: v dx + dx dx Tbe K: ( +, ) ( ) 4 v 8, ou ( ) v mm b- os dois sistems de forçs ds figurs iniciis dest questão, um dees pode ser considerdo virtu, e o outro re. forç do segundo sistem reiz um trbho virtu o ongo do desocmento v do primeiro, enqunto o pr de momentos do primeiro sistem reiz um trbho virtu o ongo d rotção retiv ϕ do segundo, e estes trbhos são iguis entre si (teorem de etti-xwe). Logo: 4 v ϕ, donde ϕ v rd mrd É mis fáci compreender o teorem de etti-xwe trvés do PTV, como segue ( é o momento fetor do primeiro sistem, produzido peo pr, é o momento fetor do segundo sistem, produzido por ): () O sistem é re, enqunto o sistem é virtu: τ e ϕ dx τ i. (b) O sistem é re, enqunto o sistem é virtu: τ e v dx τ i. omo estrutur é eástic iner, s dus integris τ i que representm os trbhos internos são iguis. Portnto, v ϕ. ote-se que o PTV foi picdo vezes. UL TU eprtmento de struturs TRU ecânic ds struturs II Prof. Roberto uchim