C A P Í T U L O 5 Vigas sobre base elástica

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1 C Í T U L O 5 Vigs sobre bse elástic Este cpítulo vi presentr s bses pr o estudo estático e elástico d flexão simples de vigs suportds diretmente pelo terreno (que constitui, então, num poio elástico contínuo pr ests vigs), de trilhos de estrds de ferro (suportdos por dormentes que, devido à pequen distânci entre estes em relção o comprimento totl, podem ser considerdos como um poio elástico contínuo), de estcs verticis submetids crgs horizontis em seu topo (o terreno em contto com o fuste ds estcs será o poio elástico contínuo) e de quisquer outros tipos de peçs cujos poios elásticos possm, com precisão stisftóri, ser considerdos contínuos. 5.. Vigs de comprimento infinito O poio elástico (solo) exerce sobre vig, em cd seção, um reção de poio proporcionl o deslocmento verticl sofrido por est seção, igul K, sendo K constnte de mol do meio elástico que serve de poio. hipótese simples de que reção contínu d bse sej proporcionl o fundmento, é um proximção stisftóri em muitos csos d prátic (exemplo ds estrds de ferro comprovção experimentl). el curv elástic d vig, tem-se equção diferencil, UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

2 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic onde q represent intensidde d crg que tu n vig. EI z d q r um trecho sem crg, únic forç que tu é reção distribuíd continumente do ldo d bse e que tem intensidde k. sendo q k., )( EI Z d k. () Fzendo K EI Z solução gerl d equção cim pode ser escrit d seguinte form, e x x.cos x B.sen x e C.cos x D.sen x () Nos csos prticulres, s constntes rbitráris, B, C e D d solução devem ser determinds por meio de condições em certos pontos tução de um crg concentrd upondo, como exemplo, um únic crg concentrd tundo num vig infinitmente long. O origem ds coordends / imetri consider-se pens metde d vig UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

3 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic Usndo solução gerl () pr este cso, determinm-se s constntes rbitráris. dmitindo-se que o deslocmento verticl e s curvturs, em pontos infinitmente distntes d forç, são iguis zero, tem-se = B =. Logo, x e C.cos x D.sen x () s constntes C e D devem ser determinds pels condições n origem, ou sej, x =. Neste ponto, linh elástic deve ter tngente horizontl, Em () tem-se, d X (5) d x.e C.cos x D.sen x C.sen x D.cosx d X C D C D equção () torn-se: C.e x cosx sen x (6) s derivds consecutivs dess equção são: d Ce x senx (7) d d Ce Ce x x senx cosx cosx (8) (9) UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

4 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic igul constnte C pode ser obtid pel condição de que o cortnte em x =, é pr prte direit d vig. r isso, torn-se necessário sber que: d, EI d V e EI d q. EI Q x d X d EI z X EI. Z C C 8 EI Z Logo ns equções (6) e (8) respectivmente, tem-se: x K.e cosx senx com 8 EI EI Z Z e K x cosx senx (equção dos deslocmentos) () EI Z d e x senx cosx (equção do momento) () r simplificr, tem-se s equções de funções uxilires seguir: e x cosx sen x e x sen x cosx e x cosx e x sen x () () () (5) x x UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

5 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic 5 q x x EI k Z comprimento de ond ddo pelo período ds funções cosβx e senβx Que fornecem então: x (6) k d x (7) k d EIZ x (8) d EIZ x (9) Q Convenção de sinis: e ositivos p/ bixo e Q Convenção clássic de sinis UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

6 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic 6 tbel presentd seguir uxili no cálculo do deslocmento, d curvtur, do momento e do cortnte fornecendo os vlores serem substituídos ns equções nteriores (6) e (9): x UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

7 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

8 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic Exemplo 5. Obter os deslocmentos verticis e os momentos fletores tuntes sob os pontos de plicção ds crgs de 5kN indicds bixo pr vig infinit cuj rigidez à flexão EI é igul kn.m e que se pói sobre um meio elástico cuj constnte de mol é k = x kn/m. = = = = 5kN olução:. KN m K EI. KN.m m m Escolhendo pr origem do sistem de coordends primeir ds crgs concentrds, tem-se prtir d tbel bixo, empregndo-se o princípio d superposição dos efeitos, que: βx φ,58,667 -, ψ -,8 -,79 -,56 5kN. m x,8,79,56 8,7kN. m UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

9 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic 9 k 5kN. x m,58,667,,957 m.. kn/ m 5kN. m x,8,79 7,9kN. m k 5 x,58,667, m.. Devido simetri existente (pois vig é infinit), os vlores encontrdos pr s seções O e são tmbém válidos pr s seções O' e ', respectivmente tução de um crg uniformemente distribuíd distribuíd ej um vig d figur bixo submetid um crg uniformemente O deslocmento em C, produzido por um elemento q d crg é obtido substituindo-se por q n equção (), qd x 8 EI Z e x cosx senx O deslocmento em provocdo pel crg distribuíd o longo do comprimento l será: x x e cosx senx e cosx senx q 8 EI Z b q 8 EI Z q b e cos e cosb () k UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

10 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic r vlores de e b grndes, os vlores de e -β e e -βb serão pequenos e o deslocmento será igul proximdmente q/k, ou sej, em pontos muito fstdos ds extremiddes d prte crregd d vig, flexão d brr pode ser desprezd e pode-se dmitir que crg uniformemente distribuíd q é trnsmitid diretmente à bse elástic. Comprndo-se equção () com equção () e observndo-se s equções () (5), tem-se, q b () k d q b () k q b () q Q b () upondo gor um seção situd for do trecho compreendido sob o crregmento. eguindo-se o mesmo procedimento dotndo nteriormente, tem-se, q e k b x q b cos x senx e cos e cosb k Logo, utilizndo-se s equções () (5), tem-se, UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

11 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic q b (5) k d q b (6) k q b (7) q Q b (8) 5... tução de um crg momento ej vig infinit bixo submetid à tução de um crg momento plicd n origem, ode-se fzer o problem recir no cso de crg concentrd substituindo-se crg momento por um binário com tendendo pr zero. x lim x x k x x x lim k Entretnto, sbe-se que, d x x k k k f lim h x x x x h fx h é definição de derivd. UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

12 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic (9) k x x d x () k () x x () Q x x Exemplo 5. Obter o deslocmento e o momento fletor no ponto d vig infinit bixo sbendo-se que EI = x 9 N.mm e β = 6, x - mm -. UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

13 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic q = 5 N/mm = kn.m kn x olução: ) Crg concentrd =kn b x k x K EI k EI 6xx k mm k,7n / mm xxx 9 N.mm onto x x x6,x,5mm,7 x x,97kn. m x6,x ) Crg distribuíd q q q k b 5,777,9 x,7 q,6mm q q x b 5 q q 6,8kN.m,89,9 6,x 6,x, x76,9 b 6,x x58,7 b,,777 b,9,89 b, 9 UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

14 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic 5.. Vigs semi-infinits 5... Vigs semi-infinits com bordo livre ej vig semi-infinit cim, submetid o crregmento indicdo, que se desej resolver. rocur-se então mneir pel qul pode-se fzer com que su resolução reci n solução de um vig infinit (problem resolvido nteriormente). r resolver vig infinit cim (sem e ) consider-se su diferenç estátic d vig semi-infinit como sendo existênci em, de um momento fletor e de um esforço cortnte Q que mntém continuidde entre os trechos semi-infinitos d vig à esquerd e à direit de. e =Q=, equivle dizer que não existe ção estátic d prte (crregd) d vig à direit de sobre prte (descrregd) d vig esquerd de, que não estri, então, trblhndo. Deste modo, fzendo desprecer e Q pr vig infinit, su resolução será idêntic d vig semi-infinit inicil. Isto pode fcilmente ser conseguido plicndo-se à vig infinit, em esq, um crg verticl e um momento tis que promovm o precimento, em UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

15 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic 5, de um momento fletor (-) e de um esforço cortnte (-Q) que tornem intiv prte d vig infinit à esquerd de. Dest form, (com x = ) x x x x Q Obtendo-se então,. Q Q ssim, resolução d vig semi-infinit será resolução d vig infinit submetid o crregmento d semi-infinit, crescido ds crgs e definids cim, tuntes em esq. Exemplo 5. Resolver vig semi-infinit bixo: olução: Q x x x fim de evitr problems com condições de contorno, supõese plicdo em DIR, pr determinção de e. UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

16 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic 6 + ubstituindo-se ns equções () e () Q / + Logo k k d Q k x x k x x x d x k k x x x x x k k x x x UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

17 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim 7 Exemplo 5. r vig semi-infinit bixo, submetid o crregmento indicdo, obter o momento fletor sob o ponto de plicção d crg. olução: O momento fletor pedido pode ser obtido prtir d vig infinit bixo onde e podem ser obtidos trvés ds equções () e () e Q Logo, o momento tunte sob crg, plicndo-se o princípio d superposição dos efeitos será, B B

18 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic 8 UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

19 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic Vigs Finits 5... Cso de bordos livres s crgs,, B e B são plicds em esq e B dir respectivmente. s prtes à esquerd de e à direit de B ds vigs infinits ficm inertes. endo então Q,, QB e B os esforços cortntes e momentos fletores tuntes, n vig infinit, ns seções e B, devidos o mesmo crregmento que o plicdo n vig finit, s crgs O, O, OB e OB devem stisfzer às condições: B B B o B B B l B B Q B Q B Heténi propôs um rtifício de combinção de crgs trnsformndo o sistem de equções com incógnits em sistems independentes de equções e incógnits. UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim

20 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim ) Cso simétrico (=Q= em e B e e Q ) Q olução: Q Es Q Es Onde sen senr e E E

21 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim b) Cso nti-simétrico Q E Q E Onde sen senh e E E Exemplo 5. Clculr o deslocmento verticl e o momento fletor sob crg pr vig finit de bordos livres com βl =. olução: Como o crregmento é simétrico, deve-se utilizr pens s equções d prte simétric obtids nteriormente.

22 CÍTULO 5 Vigs sobre bse elástic Q e ddos por: Es Es como,,9,5 Empregndo-se o princípio d superposição dos efeitos, tem-se: c c K k k como c,, c,5 EJ k EJ c, UERJ FEN ETR - Resistênci dos teriis IV Lucino Lim