Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica PROBLEMAS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

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1 Escol Politécnic d Universidde de São Pulo Deprtmento de Engenhri de Estruturs e Geotécnic PROLEMAS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS H. ritto 008

2 PREFÁCIO Este texto tem finlidde de prover s disciplins PEF-0 Introdução à Mecânic dos Sólidos, e PEF-307 Resistênci dos Mteriis V, de exercícios de plicção (com resposts). Este trblho não teri sido possível sem o poio zeloso e competente do luno de pósgrdução, Diogo Crlos ernrdes de Souz, que tuou como ssistente de ensino neste Deprtmento. A ele, os grdecimentos do utor.

3 SUMÁRIO PARTE.... REAÇÕES DE APOIO..... ESFORÇOS INTERNOS GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM SISTEMAS PLANOS..... TRELIÇAS PLANAS ISOSTÁTICAS RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE.... PARTE DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM SISTEMAS PLANOS DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM GRELHAS DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM SISTEMAS ESPACIAIS..... PROLEMAS SUPLEMENTARES RESPOSTAS SELECIONADAS DA PARTE PARTE TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES EM SISTEMAS ISOSTÁTICOS TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES EM SISTEMAS HIPERESTÁTICOS RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE PARTE CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS TORÇÃO UNIFORME RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE PARTE FLEXÃO E TENSÕES NORMAIS FLEXÃO SIMPLES NORMAL (FSN) VIGAS COMPOSTAS FLEXÃO COMPOSTA NORMAL (FCN) FLEXÃO SIMPLES OLÍQUA (FSO) FLEXÃO COMPOSTA OLÍQUA (FCO) PROLEMAS SUPLEMENTARES RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE PARTE CISALHAMENTO NA FLEXÃO. CÁLCULO DE LIGAÇÕES SEÇÕES DELGADAS. CENTRO DE CISALHAMENTO RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE PARTE DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO. LINHA ELÁSTICA RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE

4 PARTE Problems de Resistênci dos Mteriis. REAÇÕES DE APOIO. Achr s reções de poio pr s estruturs representds ns figurs seguir: ) 0 kn/m 0 kn/m m A 60 knm 30 kn ) (Prof. onerges) 5 kn/m 5 kn/m A 60 knm 0 kn 6 m m 3) 0 kn 0 knm A 80 knm m

5 ) kgfm.000 kgf/m kgf/m, m,6 m,6 m A,5 m,5 m 5) tf/m 8 tf/m m A 35 tfm m m m 6) 90 kn 30 kn m C A m

6 3. ESFORÇOS INTERNOS. Achr os esforços solicitntes ns seções C, D, E, F e G ds estruturs seguir: 7) (Prof. onerges) A 5 m 7,5 kn/m m D E F 50 knm G m m C m m,5 m,5 m 8) 70 kn C D 5 m A senα = 0,6 cosα = 0,8 α E senβ = 0,96 cosβ = 0,8 β β 5 m G F

7 .3 GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM SISTEMAS PLANOS. Achr o gru de hiperestticidde dos seguintes sistems estruturis: 9) 0) ) )

8 5 3) ) 5) 6)

9 6 7) 8) 9) 0)

10 7 ) ) 3) )

11 8. TRELIÇAS PLANAS ISOSTÁTICAS. Achr s forçs normis ns brrs ds treliçs seguir: 5) kgf, m 0,7 m 0,9 m 6),7 m kgf 3,6 m 3,6 m 3,6 m 7 7) (Prof. Diogo) 6 tf tf tf 9

12 9 8) (Prof. Diogo) ,5 m 60 kn 5 8,5 m 6 m m m m 9) 0 tf m m m 6 m

13 0 30) 3, m kgf 7, m 9,8 m, m,8 m 3) kgf kgf m m

14 3) kgf m 3 m 5 m m m 5 m 33) kgf ,5 m,5 m m m m m m m m m

15 .5 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE. ) V A = 60 kn (pr cim) V = 90 kn (pr cim) H = 30 kn (pr esquerd) ) H A = 0 kn (pr direit) V A = 30 kn (pr bixo) M A = 750 knm (sentido nti-horário) 3) H A = 3 kn (pr direit) V A = 6 kn (pr bixo) H = 5 kn (pr esquerd) V = 6 kn (pr cim) ) H A =.00 kgf (pr esquerd) V A = kgf (pr cim) H = kgf (pr direit) V = 5.90 kgf (pr cim) 5) H A = tf (pr esquerd) V A = 6,5 tf (pr cim) H = tf (pr esquerd) V = 3,5 tf (pr cim) 6) V A = 80 kn (pr cim) H = 30 kn (pr direit) H C = 50 kn (pr esquerd) V C = 50 kn (pr bixo) 7) 8) Seção N (kn) V (kn) M (knm) C (trção embixo) D (trção à direit) E (trção embixo) F (trção em cim) G (trção embixo) Seção N (kn) V (kn) M (knm) C (trção embixo) D (trção à esquerd) E (trção à esquerd) F -7,8-50,.76 (trção à esquerd) G 50, -7,8 68 (trção embixo) 9) g = 3 7) g = 7 0) g = 8) g = 7 ) g = 9) g = 0 (isostático) ) g = 3 0) g = 3) g = 6 ) g = 0 (isostático) ) g = 3 ) g = 0 (isostático) 5) g = 3) g = 6) g = 5 ) g =

16 3 5) rr N (kgf) 8) rr N (kn) ) rr N (kfg) ) rr N (tf) 7) rr N (tf) 0-3, , , ,5 8-3

17 30) rr N (kgf) 3) rr N (kgf) ) rr N (kgf) 0 3) rr N (kgf)

18 PARTE Problems de Resistênci dos Mteriis 5. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM SISTEMAS PLANOS. Trçr os digrms de esforços solicitntes pr s estruturs que seguem: ) P ) M* L L 3) p ) p L L 5) P 6) M* L b L b 7) M* 9) prábol do º gru p(x) p 0 L 8) ret p(x) p 0 x L x p(x) = p0 L x L x p( x ) =p0 L

19 6 0) ret kn/m 6 m 5 kn/m x ) p(x) p 0 πx p( x ) =p0sen L x L ) p 3 3) 6.00 kgf 3.00 kgf/m.800 kgfm m 8 m m ) kn/m knm m m 5) 50 kn 60 kn 50 kn/m m m m 0 knm

20 6) 0 kgf/m Problems de Resistênci dos Mteriis 7 90 kgf m 0 kgf/m 7) 0 kn 80 kn 80 knm 0 kn/m m m 6 m 8) p p 9) 7 knm 5 kn 36 kn/m m m 0) m 0 kn 6 knm 8 knm kn/m m

21 ) kn/m m m Problems de Resistênci dos Mteriis 8 m 8 kn 8 kn m m ) 900 kgf m m 3) kn/m 6 m kn m 8 m 8 m ) 3,6 m kn,8 m,8 m 7.80 knm.67 kn 3,6 m,8 m 3,6 m

22 9 5) kn 6 m kn/m 6 m m 8 m 8 m 6) 360 kgf 08 kgf/m θ 50 kgfm m m m m

23 7) 8 kn/m Problems de Resistênci dos Mteriis 0 8 kn m m m 8) P P 3 5 9) 700 kn/m 350 kn 55 knm,5 m m,5 m 0,5 m

24 30) 5 m θ 0 knm kn/m 5 m m 3) 3 tf/m 3m 3 tf 6 tf 6,5 tfm m 3) p p Engste Móvel

25 33) (Prof. Diogo) 3) (Prof. Diogo) P tfm 3 m P 3 m m 35) 8 kn Hexágono Regulr Ldo = 6 m 8 kn 8 kn

26 3. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM GRELHAS. Trçr os digrms de esforços solicitntes pr s estruturs que seguem: 36) kn m kn m 3 kn m m x m z y 37) P R 38) A x z y q R C Crg q uniformemente distribuíd (verticl) em A.

27 .3 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM SISTEMAS ESPACIAIS. Trçr os digrms de esforços solicitntes pr s estruturs que seguem: 39) z P x y P 0,5P 0) ) m tf tf m tf z tf x y kn m,5 m 3 kn kn m z m x y ) y 6 kn m m m 6 kn 0 kn 3 knm m m z x

28 5 3) y P P P x z ) (Prof. onerges) m 3 tf m 3 tf 5) 0 kn 0 kn y m m 30 kn m m z x

29 6. PROLEMAS SUPLEMENTARES. Trçr os digrms de esforços solicitntes pr s estruturs que seguem: 6) 600 kgf 300 kgf/m m,5 m,5 m 7) N N Nm, m m m 8) tf/m 6 m m m 5 m m

30 7 9) 900 kgf/m 900 kgf/m m m 5 m 50) p R θ

31 8.5 RESPOSTAS SELECIONADAS DA PARTE. 0) 3 x x V ( x) = 9 x, M ( x) = 9x x ) L π x L π x 0 cos, 0 sen V ( x) = p M ( x) = p π L π L 5) 50 kn 60 kn 50 kn/m 0 knm m m m 00 kn 0 kn m V (kn) M (knm)

32 9 6) p( x ) = 0-80x x m ,0635 m Ponto de Inflexão 50 83,65 V (kgf),379 m M (kgfm) 03,65 Ponto de Inflexão: p=0 ou V=V máx ( ) V x = 0x 0x+ 0 0 ( ) = M x x x x

33 30 ) 3,6 m kn,8 m,8 m 7.80 knm.67 kn.67 kn 3.3 kn kn 3,6 m,8 m 3,6 m N (kn) V (kn) M (knm)

34 3 5) kn 6 m kn/m 6 m 7 kn m 0,5 kn 3 kn 8 m 8 m,5 kn,9 6,5, 3 N (kn) V (kn) 7 0,5 7 6,5 m,5 3 M (knm),5 30 6,5 m

35 3 6) 360 kgf 08 kgf/m θ 50 kgfm m 0 kgf 70 kgf m 0 kgf m m 730 kgf N (kgf) 88 V (kgf) 86,376 m 380 M (kgfm) 57,068,376 m Pr o trecho curvo: ( ) ( ) ( ) ( + : trção em bixo) N θ = -0cosθ -70senθ V θ = 70cosθ - 0senθ M θ = senθ + 880cosθ

36 33 30) 5 m 35 kn θ 35 kn 0 knm kn/m 37 kn 5 m m 6 kn 35 N (kgf) 35 V (kgf) M (kgfm) 9,0 m 75 55,0 m ,0 Pr o trecho curvo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N θ =-35 cosθ +senθ V θ =35 senθ -cosθ M θ = 75 -senθ -cosθ

37 3 35) 3 kn 8 kn 8 kn 6 m 6 m 6 m 6 m 3 3 kn 3 kn kn kn 3 kn 3 3 kn 3 kn ) N (kn) V (kn) z 3 z x y x y 3 3 5,5 M (knm) z T (knm) z 7 8 x y,5 x y

38 35 ) y 6 kn m m m 6 kn kn 0 kn 3 knm m 0 kn m 6 kn z kn x 0 kn N (kn) V (kn) M (knm) T (knm)

39 PARTE 3 Problems de Resistênci dos Mteriis TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES EM SISTEMAS ISOSTÁTICOS. ) Dimensionr s brrs e d treliç d figur. São dds s tensões dmissíveis: σ T =.000 kgf/ (trção) e σ C = 500 kgf/ (compressão). m kgf m ) Achr o coeficiente de segurnç pr cd brr d treliç d figur. Qul é o coeficiente de segurnç d estrutur? A=0 Ddos: σ e = 3.00 kgf/ kgf, m 0,7 m 0,9 m

40 37 3) Sendo brr A rígid, dimensionr, com segurnç 3, o fio, com condição va 5. São ddos pr o fio: σ R = 600 MP e E=8GP. 3,6 m 3 kn A m ) (Prof. onerges) Dimensionr o fio A de modo respeitr tensão dmissível de.000 kgf/, não podendo ocorrer deslocmento verticl em mior que,. É ddo: ( ) 5 E= 0 kgf/. A m,8 tfm,6 tf m m

41 38 5) As brrs A e CD são rígids. Dimensionr os fios e sbendo-se que: σ =.000 kgf/ s =, 6 σ =.500 kgf/ ) e ( ) b) ( θ A ) = 0,00 rd máx c) ( v ) =3,5 D máx O módulo de elsticidde do mteril dos fios é ( ) 5 E = 0 kgf/. O dimensionmento deve ser feito de modo que os dois fios tenhm o mesmo coeficiente de segurnç. tf m A G tf C H D m m 6) A brr CD é rígid. Achr áre A do fio de modo que v ddos: σ =0MP e 3 E=0 MP. D. Pr o fio são 36 kn m m C

42 39 3. TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES EM SISTEMAS HIPERESTÁTICOS. 7) No sistem d figur, brr A é rígid. Achr forç norml nos fio e. É dd rigidez xil dos fios: EA = 0 kgf. A,5 m m.890 kgf 8) N treliç d figur, s brrs e são constituíds do mesmo mteril A = 5. Sbendo-se que ( E = kgf/ ), e têm mesm seção trnsversl ( ) seus comprimentos vlem L =3m e L = 5 m, clculr: ) s forçs normis N e N b) o deslocmento v do ponto de plicção d crg c) tensão norml dmissível (de trção) necessári pr o mteril d estrutur sen α =0,6 cos α =0,8 α α.00 kgf

43 0 9) A brr em form de U invertido é rígid. Achr s forçs normis N, N e N 3 nos A=8 0 m, e são compostos do mesmo tirntes, que têm todos mesm áre ( ) mteril ( E=9,6GP ). Achr o deslocmento horizontl h do nó. m m m 3 m 50 kn 0) N treliç d figur, chr s forçs ns brrs ( N,N en 3). É ddo: EA = 0 kn (constnte). Sugestão: A brr está trciond e s demis comprimids. Escrever o equilíbrio dos nós A e n direção verticl. Em seguid... A 7 m N 3 9 m m m

44 ) A brr horizontl d figur é rígid. Os 3 fios verticis têm mesm áre (A) d seção trnsversl. Achr o vlor de A sbendo-se que: ) tensão dmissível do mteril dos fios vle σ =.800 kgf/ b) rotção máxim dmissível d brr horizontl é de 0,00 rd Observção: é ddo o módulo de elsticidde dos fios: E = kgf/ 3 m m m.00 kgf ) A brr horizontl é rígid. Achr áre A dos fios e de modo que v Pr os fios são ddos: σ =5 MP e ( ) 3 E=5 0 MP. 3,75. 7 m 8 kn 9 m 6 m m

45 3) A brr poligonl d figur é infinitmente rígid. Os fios e são iguis entre si. Pr eles são ddos: σ e =.000 kgf/ ( tensão norml de escomento) E = kgf/ ( módulo de elsticidde longitudinl) Adotndo coeficiente de segurnç o escomento igul, chr áre A dos fios, sbendo-se ind que o deslocmento verticl do ponto não pode ultrpssr um v 8. vlor fixdo ( ) 8.00 kgf 5 m m ) A chp retngulr d figur é rígid. As 3 brrs birticulds são extmente iguis entre si. Achr o vlor d áre A d seção trnsversl desss brrs, sbendo-se que tensão norml dmissível do mteril que s constitui vle σ = 80 kgf/, e que rotção ϕ d chp deve stisfzer: ϕ 0,005 rd. São ddos, ind pr s brrs: = 50 ( comprimento) 5 E = 0 kgf/ ( módulo de elsticidde ) kgf

46 3 5) A vig d figur é infinitmente rígid. Achr s forçs Ν e Ν nos fios e sbendo-se que eles têm o mesmo produto EA de rigidez xil..660 kgf m m m α sen α =0,6 cos α =0,8 6) A brr horizontl é rígid. Pr os fios e são ddos: σ =.75 kgf/ e E = kgf/ e Α =Α =Α. Achr áre A dos fios, sbendo-se que o deslocmento verticl v do ponto não deve ser mior do que 5. m m kgf, m, m

47 7) A brr E é rígid. Os fios e têm mesm áre d seção trnsversl A. Achr o menor vlor possível pr A, sbendo-se que: ) A tensão dmissível à trção do mteril que compõe os fios vle σ = 300( 0) 6 b) O deslocmento verticl do ponto não pode ultrpssr 3 ( v 0,03m) É ddo o módulo de elsticidde longitudinl do mteril dos fios: E = 6,5( 0) 9 P P m 86 kn α β m C D E m 8) Achr s forçs normis ns brrs d treliç d figur. A brr é infinitmente 6 rígid. Pr s brrs e 3 tem-se: EA = 0 kgf. 7 m kgf 9 m 3 m

48 5 9) A chp tringulr é rígid. As brrs e são constituíds do mesmo mteril, pr o 3 qul são conhecidos: E = 0 MP (módulo de elsticidde) e σ =0MP(tensão norml dmissível). Tis brrs têm mesm seção trnsversl, de áre A. Pede-se o vlor de A, sbendo-se ind que o deslocmento verticl do ponto de plicção d 0,0 m v 0,0 m. crg não deve ultrpssr o vlor ( ) m.000 N m 0) A brr C é rígid. Pr os fios tem-se: 5 EA = 0 kgf. Achr o vlor de x pr que C sofr pens trnslção. Nesss condições, quis são os vlores ds forçs nos fios e qunto vle trnslção? ( P =.080 kgf ) 3, m x P 0,9 m,6 m,0 m C

49 6 3.3 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 3. ) A =6 A =0 ) s =,3 s =,67 s 3 =,60 s =,60 estr A = 0,75 0 m 3) ( ) ) A =,5 A =,8 0 5) ( ) A =, 0 A = 5 0 m ( ) m m 6) ( ) 7) N = 800 kgf N =.50 kgf 8) N =.500 kgf N = kgf v =,5 σ =.500 kgf/ 9) N = N N = N N 3 =0 h = 0,0375 m (pr esquerd) 0) N = N (compressão) N = N (trção) N = N (compressão) ) 3 A = 0,65

50 7 ) 3) ) A = 0,006 m A = 6,5 A=,5 5) N =.500 kgf N =.800 kgf 6) 7) A=6 A = 0,005 m 8) N = kgf N =.80 kgf N =.000 kgf 3 (trção) (trção) (compressão) A = 0 0 m 9) ( ) 0) 505 x = =,338 m 6 N = 00 kgf N = 5 kgf N 3 = 65 kgf δ = 0,0075 m

51 8 PARTE. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS. ) Achr os momentos estáticos S α e S β. Achr tmbém posição do centróide. β α 0 0 ) Achr os momentos de inérci I α ds figurs: ) β α b) β 30 0 α

52 9 3) (Prof. onerges) Achr o momento centrífugo I αβ : β qudrnte de círculo R α R ( R=0) ) Achr I yz. Sugestão: chr ntes I αβ. β z h G y α b 5) (Prof. onerges) Achr I αβ ds figurs: ) b) β β qudrnte de círculo 30 R 30 G α R α 8 8

53 50 As figurs de 6) à 6) têm em comum o eixo verticl, Gz, de simetri. Determinr, pr cd um desss figurs plns, os momentos centris principis de inérci, I y e I z. 6) z d G y ) )

54 5 9) 6 0) ) ) ) )

55 5 5) 6) ) Pr s figurs bixo, chr os eixos centris principis de inérci, bem como os momentos centris principis de inérci: ) b) (Prof. Diogo) ) Achr os eixos e momentos centris principis pr seção trnsversl bixo (notr que figur é um losngo): 8 50

56 53 Não há nenhum eixo de simetri ns figurs representds de 9) à ). Determinr os seus respectivos eixos e momentos centris principis de inérci. 9) 0) ) )

57 5. TORÇÃO UNIFORME. 3) Achr os diâmetros d e d. São ddos: τ = G = 800 kgf/ (tensão dmissível o cislhmento) 0 GP (módulo de elsticidde trnsversl) Seção Trnsversl 60 kgfm 0 kgfm d m m d ) No problem nterior, pr os vlores de d e d clculdos, chr rotção θ d extremidde livre. 5) Achr o vlor de d. τ São ddos: G θ Observção: θc θ (condição) Seção Trnsversl T 0,7d A C d

58 55 6) Clculr o vlor máximo do momento T que pode ser plicdo à brr d figur, sbendo que tensão dmissível o cislhmento do mteril d estrutur vle τ = 60 MP, e que o ângulo de giro máximo permitido é θ =,5( 0 ) 3 rd. São ddos: = m, = 0,6 m, δ = 0,0 e G = 75 GP. Os poios (do tipo engstmento) não impedem, por hipótese, o livre empenmento d seção trnsversl. δ Seção Trnsversl T 3 7) N brr d figur, clculr τ máx n prte bert d seção e n prte fechd. Em seguid chr, pr o conjunto, I t e W t. Finlmente, clculr o ângulo de giro reltivo entre s dus extremiddes. O rio médio do tubo é de 9, e o rio médio do perfil berto vle 7. As espessurs são, respectivmente, e 3. Admite-se que o M = π kgf e empenmento é livre pr ocorrer. São ddos: ( ) 6 G = 0 kgf/. t Seção Trnsversl M t M t 00 8) Um eixo de seção circulr mciç, de comprimento,8 m, e diâmetro 5, trnsmite um potênci de 70 HP. Qul é, proximdmente, menor rotção (em r.p.m.) n qul esse eixo pode operr com segurnç? É dd tensão dmissível o cislhmento do mteril que o compõe: τ =.700 kgf/. ( ) 63 ( ) 363 ( ) 63 ( ) 563 ( ) 663 ( ) 763

59 56 9) Um eixo circulr vzdo trnsmite um potênci de 50 HP 800 r.p.m.. Achr o vlor de φ, ddo τ = 750 kgf/. Sbe-se que rotção entre s extremiddes não 6 pode ultrpssr 0,0 rd. ( G = 0 kgf/ ) T φ T Seção Trnsversl 0,7φ,0 m φ 30) Achr I t e W t pr s seções ), fechd, e b), bert: ) b) 0, 0, 0, 0 0, ) Determinr τ máx, W t e I t ( T =.000 tfm ) e 0 50 e = (predes horizontis) e = (predes verticis) e = (prede inclind)

60 57.3 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE. ) S α αg 3 3 =.875, Sβ = =.030 = 7,838, β 5 G = = 3, ) ) I α = b) I α = ) I αβ = ) I yz bh bh = = 7, I αβ 5) ) R I αβ = b) 8 I αβ = ) d = 3 I y = I z =.896 8) d = 5 I y = I = z 0) d = I y = I = z ) d = 5 I y = I z = 3.70 ) d = 6 I y = 0.86 I =.9.99 z 7) d = 9 I y = 9.30 I z = ) d = 7 I y = I z = ) d = I y = I z = ) d = 0 I y = I z = ) d = 3,5 I y = I = z 6) d = 5 I y = I z =

61 58 7) ) z y 50 G o 5 I y = I z = b) 50 y z G o 5 5 I y = 5 I z = 8) z y G I y = I z = ) 0 3 G α α I = Iy =.390, I = Iz = 387,35 o α = 6,85 α = 73,55 o 0 3

62 59 0) G α α I = Iy = I = Iz = 89.7 o α = 8,55 α = 6,85 o ) 7 G α α I = Iy = 7.78 I = Iz = o α = 0,9 α = 79, o 7 ) G α α I = Iy = , I = Iz = 03.30,8 o α = 3, 775 α = 58, 85 o 3) d =,95 ; d =,00 ) ( ) θ = 6,35 0 rd

63 60 5) Reções: T T A = 0, 753 T (pr esquerd) = 0,77 T (pr esquerd) Condição de 3 (região ) Segurnç d 3, 6909 T τ Condição de Deformbilidde ( θc θ) d 7,387 T Gθ 6) Condição { ( ) de T, 78 0 Nm Segurnç Condição { 6 ( ) de T,60 0 Nm Deformbilidde ( ) 6 =,60 0 Nm T máx 6 7) τ máx = τ = máx.800 kgf/ (prte fechd) 600 kgf/ (prte bert) Pr o conjunto: It =.9 π 3 Wt = 6 π θ = 0,08 rd 8) 63 r.p.m.

64 6 9) Condição de Segurnç { φ 5,88 Condição de Deformbilidde { φ 7,76 φ mín = 7,76 30) ) b) It = Wt = 80 It = 8, 83 Wt = 0,35 3 3) τ máx = 7,6 kgf/ It = Wt = q = = 7, 6 kgf/ 07 Fluxos: 5 q 700, 8 kgf/ = 07 =

65 PARTE 5 Problems de Resistênci dos Mteriis 6 5. FLEXÃO E TENSÕES NORMAIS. Nos problems que se seguem, desprezr o peso próprio (p.p.) d estrutur, menos qundo dito explicitmente o contrário. FÓRMULA GERAL DA FLEXÃO y,z: eixos centris principis y M y G N M z σ N M z M y y z = + A I y Iz z 5. FLEXÃO SIMPLES NORMAL (FSN). ) Dd um tor de mdeir, de diâmetro D, chr s dimensões e H d vig de seção retngulr que tenh mior resistênci possível o momento fletor M : D H M

66 63 ) Achr dimensão : m 600 kgf 3 σ T = σ C = σ = 0 kgf/ 3) N vig d figur, definir seção trnsversl nos 5 csos indicdos. Em seguid, fzer um comprção do consumo de mteril pr os 5 csos. É dd: σ = 80 kgf/. 5 m 00 kgf/m ) b) c) b d 3b d) e) δ c 0,8c b b δ = b 5 Observção: no cso e) ltur b se refere à distânci entre os eixos ds mess superior e inferior. ) Achr resultnte ds tensões de trção n áre hchurd (equipe de PEF-5): 0 M 0 M =0 knm 0

67 6 5) Achr ltur rcionl d seção (Miroliubov): h =? σ T Ddo: σ = C 3 8 6) Achr o vlor mínimo que deve ser tribuído, com segurnç, à dimensão. São dds s tensões normis dmissíveis do mteril: σ T = 0 kgf/ e σ C = 00 kgf/. 0,95 kgf/ 8 m ) Achr o vlor d dimensão : 9.97 kgf 5.88 kgf m m σ T = 5 kgf/ σ C = 00 kgf/

68 65 8) Achr P máx. Ddos: σ T = 0 kgf/ e σ C = 80 kgf/ (Prof. onerges). P m P m 6 m y 0 0 G Seção Trnsversl: A =.500 I y = I z = z 9) Achr o vlor de F que permite plicr o mior vlor de P. Em seguid chr o mior vlor de P (Prof. onerges). P F m m 30 σ T = 00 kgf/ σ C = 00 kgf/ ) Achr máx. Em seguid, pr este vlor de máx, chr P máx (Prof. onerges): P 3, kn 5,6 m, m 30 σ T = 6 MP σ C = 9 MP 8 8

69 VIGAS COMPOSTAS. Os problems seguir dizem respeito à vigs constituíds de dois ou mis mteriis diferentes, sujeits FSN. ) A seção trnsversl d figur, compost de dois mteriis diferentes, está sujeit o momento fletor indicdo. Achr s tensões extrems em mbos os mteriis. M 60 M = kgf (trção em cim) E = kgf/ E = kgf/ 6 ) N vig compost d figur, sbendo-se que E = kgf/ e E = kgf/, chr o vlor máximo dmissível pr crg P. São dds s tensões dmissíveis à trção e compressão dos dois mteriis: σ = 00 kgf/ (mteril ) e σ = 700 kgf/ (mteril ). P 36 m m 5 m

70 67 3) Pr vig d figur, compost de três mteriis diferentes, chr s tensões normis extrems n seção trnsversl, pr cd um dos três mteriis. São ddos: ( ) 5 E = 0 kgf/, ( ) kgf/ E = e ( ) 5 E 3 = 6 0 kgf/ ,8( 0 ) 3 kgf 8 m (.800 ) FLEXÃO COMPOSTA NORMAL (FCN). ) Achr s tensões normis extrems ( σ máx e σ mín ) n seção trnsversl: kgf kgf

71 68 5) Qul é o vlor mínimo de H pr que não hj trção n seção trnsversl mis solicitd? kgf H 90 8 m m ) Obter F pr minimizr x. Qunto vle x mín? (Prof. onerges).00 kgf/m F 3x Ddos: σ T = 90 kgf/ σ C = 30 kgf/ x Pr F = 0, qunto vle x? 7) Achr forç F que permite plicr mior forç P possível. Clculr este mior vlor de P (Prof. onerges): P F 30 Ddos: σ T = 800 kgf/ σ C =.00 kgf/ 9 9 Pr F = 0, qunto vle P máx?

72 8) Achr q máx Problems de Resistênci dos Mteriis 69. Achr tmbém os vlores de P e de e que permitem obter q máx. q excentricidde eixo,5 m P e 30 Ddos: σ T = 0 σ C = 00 kgf/ 9) O mteril d vig d figur tem s seguintes tensões normis dmissíveis: σ T = 0 e σ C = 80 kgf/. Pedem-se: ) vlor máximo possível d excentricidde e ; b) o menor vlor de P (pr e do item nterior) que permite plicr máxim crg F. Qunto vle F máx? P m F m eixo d vig P e Pr P = 0, qunto vle F máx? Observção: os três problems seguir envolvem csos de trção ou compressão excêntric norml, ou sej, são csos prticulres de FCN, qundo V = 0. 0) N seção trnsversl d figur, sujeit um compressão excêntric, chr os vlores ds tensões normis extrems (máxim trção e máxim compressão): 30 P = kgf P 60 53

73 70 ) N seção d figur, chr o vlor de x pr que linh neutr (LN) fique n posição indicd: LN 8 x P ) Achr o vlor d distânci d de modo que mior tensão de trção e mior de compressão sejm iguis, em vlor bsoluto: P d Sob que condições geométrics d seção trnsversl distânci d tende infinito? 5.5 FLEXÃO SIMPLES OLÍQUA (FSO). 3) Determinr LN (linh neutr) e s tensões normis extrems n seção do engstmento: 9.768,96 kgf ,6 kgf 6 6

74 7 ) Achr o vlor de (Prof. Diogo): 0 kgf/ 5 m σ T = 5 kgf/ σ C = 50 kgf/ 5) Achr o vlor de : kgf m σ T = σ C = σ = 900 kgf/ 6) Achr o vlor máximo dmissível pr crg P: P P m σ =50 kgf/

75 7 5.6 FLEXÃO COMPOSTA OLÍQUA (FCO). Os dois problems seguir correspondem o cso de trção ou compressão excêntric oblíqu, cso prticulr de FCO em que V = 0. 7) Achr L. N. e s tensões normis extrems: P = N P ) Achr s tensões normis extrems n seção: P = N P

76 PROLEMAS SUPLEMENTARES. 9) Achr o vlor máximo que pode ser tribuído, com segurnç, à crg P, estndo seção ns posições deitd e em pé. Qul desss posições result mis eficiente? Justifique. É dd tensão norml dmissível do mteril (à trção e à compressão): 33 MP σ =. P 30 5 m 5 m ) O mteril que constitui vig d figur tem como tensões de ruptur: σ C = 60 MP (compressão) e σ T = 30 MP (trção). Achr o vlor de x pr o qul o colpso contece, simultnemente, ns fibrs mis trciond e mis comprimid. Pr o * vlor de x clculdo, determinr qul é o momento plicdo M que provoc tl condição limite nesss fibrs. * Finlmente, pr os vlores de x e M ssim determindos, chr forç resultnte ds tensões de trção n seção trnsversl. 30 * M 5 m * M 30 0 x 0

77 7 3) Pr vig indicd n figur, formd por dois mteriis diferentes, determinr o digrm de tensões normis n seção trnsversl crític, ou sej, vrição de σ o longo d ltur d seção pr seção mis solicitd pelo momento fletor. Ddos: E = kgf/ e E = kgf/ kgf m m ) Achr s tensões normis extrems n seção mis solicitd N/ 8 m

78 75 33) Achr o vlor de b : ( σ T = σ C = σ = 35 kgf/ ) 3 kgf/ b m m b 3) Provr que linh neutr coincide com digonl A: A P P h b 35) Achr L. N. e s tensões normis extrems: m 5.00 kgf δ.008 kgf kgf δ = δ

79 76 36) N figur seguir represent-se seção trnsversl de um brr prismátic. No ponto médio do ldo A está plicd um forç P = kgf. Achr posição d linh neutr e s tensões normis extrems n seção: A P 8 C D 50 Observção: notr que figur é um losngo. 5.8 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 5. ) D 3 =, 3 D 6 H = 3 ) = 0 3) ) d = 5,85 (00%) b) = 3,8 (89%) c) b = 6,386 (6%) d) c = 5,83 (6%) e) b = 7, (30%) ) F = 80 kn 5) h = ou h = 6 (trção em bixo) 6) = 3 7) = 8) P máx =.500 kgf 9) F = 3.5 kgf ; P =.878 kgf

80 77 0) m ; P = 83,5 kn máx = máx ) Mteril Mteril σ máx = 90 kgf/ σ mín = 0 kgf/ σ máx = 50 kgf/ σ mín = 650 kgf/ ) P máx =.896 kgf 3) Mteril Mteril Mteril 3 σ máx = 0 kgf/ σ mín = 7 kgf/ σ máx = 8 kgf/ σ mín = 30 kgf/ σ máx = 60 kgf/ σ mín = 8 kgf/ ) σ máx = σ mín = 5 kgf/ (no engstmento) 70 kgf/ (seção do poio simples) 5) H = kgf 6) kgf x = 5 Pr F = 0 : x = 0 F = ( ) 7) kgf P = kgf Pr F = 0 : P = kgf F = ( ) 8) P = kgf e = 5 q = 5,76 kgf/ e = 7 9) P = kgf F = 0. kgf Pr P = 0 : F = 0 máx

81 78 0) σ máx = σ mín = 30 kgf/ (em cim) 70 kgf/ (em bixo) ) x =,75 ) d = 8 d qundo o eixo principl horizontl d seção trnsversl fic à mei ltur. 3) σ máx = 00 kgf/ (ponto A) σ mín = 35 kgf/ (ponto ) 3 Cmpo de tensões: σ = 8z y 3 L. N. ( σ = 0) 7 z = y A LN y 7 G 7 z ) = 0 5) = 0 6) P máx = kgf A Os pontos críticos são e C, e L. N. pss pelos pontos A e D C D

82 7) σ A = N/ σ =.390 N/ 3 L. N. ( σ = 0) z = 3+ y A Problems de Resistênci dos Mteriis 79 LN y G 30 3 z 8) σ = 303 N/ σ C = 89 N/ C 9) Seção deitd: P = N Seção em pé: P = N ( seção em pé present módulo de resistênci à flexão mior) 30) x = 80 3) Digrm de tensões normis n seção mis solicitd: compressão 35 σ kgf/ trção 5 80

83 80 3) σ A = 3 N/ σ = 300 N/ A 33) b = 0 35) σ A = kgf/ σ = kgf/ I y =.880 Momentos de inérci: I z =.5 Cmpo de tensões: σ = z+ 75y σ = 0 z = 0,5y+ 7 L. N. ( ) A 6 y G z 36) σmáx = σ A = σ = 8 kgf/ σmín = σc = σd = 6 kgf/ I y = Momentos de inérci: I z = σ = 0 z = 0,75y+ 0 L. N. ( ) A P 0 3 G 0 LN (horizontl) y C D z

84 PARTE 6 Problems de Resistênci dos Mteriis 8 6. CISALHAMENTO NA FLEXÃO. CÁLCULO DE LIGAÇÕES. ) Pr seção retngulr, sujeit um forç cortnte V, chr distribuição τ = τ ( z) ds tensões de cislhmento. Comprovr que resultnte ds tensões τ é igul à forç cortnte V. P y G h L V h V= P z b b ) Pr um seção circulr de rio R, sujeit um cortnte V, chr tensão máxim de cislhmento. 3) A vig de mdeir d figur é compost por dus prtes colds entre si. Achr qul deve ser resistênci mínim d col o cislhmento (dotr coeficiente de segurnç igul ). Achr tmbém qul é tensão máxim de cislhmento n seção. 6.0 kgf m 36

85 8 ) 5 brrs prismátics de mdeir, com seção de 8, são colds ums n outrs, como mostr figur, pr formr vig A. Achr qul deve ser resistênci d col o cislhmento, dotndo C.S. =, kgf 8 A, m,8 m 5) A vig de mdeir d figur é compost por 7 tábus de seção 0, colds entre si. Adotndo coeficiente de segurnç igul 3, chr qul deve ser resistênci d col o cislhmento. Achr tmbém o vlor d tensão máxim de cislhmento n seção. São ddos os momentos de inérci centris principis: I = 8.75 e I = kgf 0 Seção Trnsversl

86 83 6) Determinr o espçmento necessário pr os pregos utilizdos n montgem d vig prismátic seguir esquemtizd (cd prego pode trnsmitir, com segurnç, um forç de 0 kgf ): kgf 8 60 chr tmbém tensão tngencil máxim n seção trnsversl ( medids em ) 7) Achr o vlor mínimo necessário ( t =?) pr o cordão de sold contínu 0 5 : kgf 30 t t 30 t t ( medids em ) É ddo: τ = 600 kgf/ (tensão dmissível o cislhmento d sold)

87 8 8) Chps de ço de de espessur são cortds pr compor seção trnsversl d 0 figur. Dimensionr os cordões de sold contínuos 5 ( ) e ( ) e chr os espçmentos dos prfusos ( 3 ) e ( ). São ddos: V = kgf Cordão de sold: τ =.000 kgf/ Prfusos: τ = kgf/ e A = 3 68 cordão de sold ( ) ( 3) ( ) 0 t 5 t V d s y G 6 80 z ( ) () () ( ) d i ( medids em ) 6. SEÇÕES DELGADAS. CENTRO DE CISALHAMENTO. 9) A seção delgd d figur tem espessur δ <<. Achr distribuição ds tensões de * cislhmento pr um forç cortnte V, plicd em : V * δ * d

88 85 0) Achr distânci d *, que crcteriz posição do centro de cislhmento referente o problem nterior. *, ) Resolver o problem 9) considerndo seção deitd: V ) Sendo V = kgf, chr distribuição ds tensões tngenciis τ : V δ = ( constnte) δ ) Resolver o problem nterior, pr seção deitd, supondo V plicd em *. * Achr distânci d : V * * d ) Achr d * : * * d espessur: δ = constnte

89 86 5) Achr d * : * δ = cte δ * d 6) Achr d * : δ * ( δ << ) δ * d 7) Achr d * : * d * espessur: δ = cte δ <<

90 87 8) Achr * d ( cte) δ = : 0 60 * * d Demonstrr fórmul proximd do momento de inérci d figur seguir: L L G α Momento de inérci: 3 δ L I = sen α δ << L 9) Achr * d (, 0 ) δ = : δ 5 * 5 * d 0 0

91 88 0) Achr * d ( cte) δ = : 3 * * d δ 3 ) Achr * d ( cte) δ = : R * δ R: rio médio * d Fórmul: x senx cos xdx= + + constnte ) No problem 9) chr distribuição de tensões de cislhmento pr um forç * cortnte verticl V = N plicd em : V *

92 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 6. ) τ ( z) h h τ 3 V z = bh h ( b dz) = V ( demonstrr) V 3 π R ) τ = ( o nível do centróide) máx 3) τ R = ( 5) = 30 kgf/ τ = 5,65 kgf/ ( no centróide) máx ) τ =,5 ( 8) = 7 kgf/ R 5) τ R = 3( 3) = 396 kgf/ τ = 37 kgf/ ( no centróide) máx 6) espçmento: e = 6 ( são necessários 50 pregos ) τ máx = ( ),7... kgf/ no centróide 7) t =,6 ds =, di = 9,89 I =.7 d s d i 8) () t = ( ) t = ( ) ( ) Sold : Sold : 0,965,85 Prfusos 3 : e =,9 Prfusos : e =, ds = 33,78 di = 6, I = I y = cálculo simplificdo ( )

93 90 9) 3 V 8 δ F 9 V 6 δ 3 V 8 δ F τ 6 ( resultntes ds tensões) F 3 F = V F = V 0) d = 8 * 3 ) 7 V 0 δ 3 V 5 δ F 3 F = V 0 ( resultntes ds tensões) F = V Ns lms tensão é prbólic e é máxim n ltur do centróide. Ns mess τ é liner. F 3 τ ) 70 F F.0.76 F = V 9 τ ( kgf/ ) F = 7.00 kgf I = ( momento de inérci )

94 9 3) * d = prábol do º gru F F τ ( kgf/ ) F = kgf I = ( momento de inérci) ) 5) 6) 7) d = 3 * 9 * 7 d = * 0 d = 9 d = 9 * 8 8) d = * 3 3 * 9) d = 0 ( I = ) 7 0) d * = ( I = 0 3 δ ) ) d * = R ( I = π R 3 δ ) ) τ τ =.5 N/ τ =.50 N/ V V: vértice d prábol V τ F F F F V V τ Resultntes ds tensões: F =.50 N F = N τ Equivlênci estátic: ( F ) F 0, 6 = 5.000

95 PARTE 7 Problems de Resistênci dos Mteriis 9 7. DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO. LINHA ELÁSTICA. x p(x) ϕ x w ϕ Linh Elástic: w(x) z ϕ dw dx (Rotção) EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA (E.D.L.E.): dw dϕ M dx dx EI = = = = κ ρ (Curvtur) M > 0 : trção em bixo V > 0 : horário Convenção de sinis p > 0 : pr bixo w > 0 : pr bixo ϕ > 0 : horário Observção: o eixo y pont pr for do plno do ppel.

96 93 ) Achr w C, ϕ C, f w = máx, máx ϕ e ϕ mín : 0 kgf/m m C ( EI =0 kgfm ) m ) Achr w C, ϕ C, f w = máx, máx ϕ e ϕ mín : 80 kgf/m m C m ( EI =0 kgfm ) 3) Achr f, ϕ máx e ϕ mín : m 70 kgfm ( EI =0 kgfm ) ) Achr w C, ϕ C, f w = máx, máx 7.00 kgf ϕ e ϕ mín : m m C 6 ( EI = 0 kgfm ) 5) Usndo função de McCuley, chr linh elástic w( x ) : P P ( EI = constnte)

97 9 6) Achr linh elástic w( x ): * M b ( EI = constnte) L = + b 7) Achr w w( x) = d vig de inérci vriável (Prof. Lindenberg): ret p 0 L I I0 = x + L 8) Achr w w( x) =. Usr equção diferencil de ª ordem: p(x) prábol p 0 x L ( ) p x = 0 x p L EI = constnte 9) Achr o vlor d reção de poio R. Achr tmbém ϕ máx e ϕ mín :.00 kgf/m m 5 ( EI =0 kgfm ) R

98 95 0) Achr w w( x) = : m.90 kgf/m m 6 ( EI = 0 kgfm ) ) Achr linh elástic, f = wmáx, ϕ máx e ϕ mín :.800 kgfm R 6 m 5 ( EI =0 kgfm ) ) Achr R e w w( x) = : R m kgf 5 ( EI =0 kgfm ) 3) Achr o vlor de P pr o qul w C = 0. Qul é o problem hiperestático que está sendo resolvido? P kgfm 6 m 6 m C 5 ( EI =0 kgfm ) ) Achr * M pr que C 0 ϕ =. Qul é o problem hiperestático equivlente? 6 kn/m * M EI = constnte C 6 m

99 5) Achr M A e Problems de Resistênci dos Mteriis 96 M. Achr tmbém flech f, e s rotções ϕ máx e ϕ mín. P M A M EI = constnte * 6) Achr M e P pr que ϕ A = 0 e 0 hiperestático ssocido? w =, ( EI = constnte). Qul é o problem * M N P A * 7) Achr M pr que C 0 está sendo resolvido? ϕ =, ( EI = constnte) P. Qul é o problem hiperestático que C * M engste móvel 8) Achr o vlor d dimensão de modo que o deslocmento verticl do ponto A sej igul 7. É ddo: ( ) 5 E = 0 kgf/..800 kgfm.800 kgf A 0 m m seção trnsversl

100 97 9) Achr o vlor d reção R, sbendo-se que, neste mesmo poio há um reclque δ = 0,96 m. Considerr pens s deformções cusds pelo momento fletor. 6 Achr tmbém rotção ϕ no poio d esquerd. É ddo: EI = 0 kgfm (constnte)..00 kgf/m δ 6 m R 0) Utilizndo equção diferencil d linh elástic, chr reção no poio centrl, sbendo-se que, neste mesmo poio, há um reclque de vlor δ = 0,008 m. É ddo: EI = 0 kgfm (constnte). Desprezr o peso próprio. 70 kgf m m m A C ) Achr linh elástic w w( x) = : P ( EI = constnte)

101 98 7. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 7. ) w C = 0,057 m (pr bixo) ϕ C = 0,0 rd (horário) f = w = w = 0,08 m (flech) ϕmáx ϕmín máx ( ) ( ) ( ) = ϕ 0 = 0,06 rd (horário) = ϕ = 0,06 rd (nti-horário) ) f w( ) ϕmáx = ϕ( ) = = ϕ( ) = ϕmín =,0773 = 0,080 m 0 0, rd 0, rd 3) f w( ) ϕmáx = ϕ( ) = = ϕ( ) = ϕmín =,309 = 0,07390 m 0 0,08 rd 0,096 rd ) w C = 0,056 m ϕ C = 0,006 rd f = w(,73) = 0,0787 m ϕ máx = 0,06 rd ϕ = 0,08 rd mín 5) 5P 3 P 3 P 3 EI w= x + x + x + P x * M 6EIL * M w = ( L x) x( L x) 3 6EIL 6) w = x( L 3b x ) 7) 8) M pl 0 p0 3 L+ x w'' = = x x EI 6 6L E I0L 3 p0 6 pl 0 pl 0 w= x x+ 360EIL 60EI 7EI (bst integrr dus vezes!)

102 99 9) R =.800 kgf ϕ máx = 0,06 rd ϕ = 0,0 rd mín 0) 3 EI w = 80 x 30x x ) R =.00 kgf 3 EI w = 00x +.00x 7.00x f = w( ) = 0,06 m ϕmáx = ϕ( ) = 0,0 rd ϕmín = ϕ( 0) = 0,07 rd ) R =.96 kgf EI w= x + x + x 3) P = 50 kgf (vig com três poios) ) * M = 8 knm 5) M A = P ; M = P P ϕmáx = ϕ = 7 EI P ϕmín = ϕ = 5 5 EI 3 6 P f = w = 7 7 EI 6) * M = Nm P = N N

103 00 7) * M = P P 8) = 6 9) R = kgf ϕ = 0,06 rd 0) R = 50 kgf ) 3 Px P 7 EI w = x + P x P x + P