CAPÍTULO VIII VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS E ENCURVADURA

Transcrição

1 PÍTULO VIII VIGS ESTTIETE IDETERIDS E EURVDUR 8.. RESUO D TEORI 8... Introdução os pítuos V e VI form borddos os probems d determinção ds tensões e ds deformções em vigs pr vários tipos de crregmento e suporte. Em todos os csos considerdos nteriormente, foi sempre possíve determinr s recções nos poios usndo pens s equções de equiíbrio d estátic. Tis vigs são hbitumente cssificds como vigs isostátics ou vigs estticmente determinds. o presente cpítuo serão nisdos outros tipos de vigs, em que o número de recções desconhecids ecede o número de equções de equiíbrio independentes disponíveis, sendo necessário utiizr equções dicionis bseds n deformção d vig. estes csos s vigs são cssificds como vigs hiperstátics ou vigs estticmente indeterminds. Embor somente vigs estticmente indeterminds sejm nisds neste cpítuo, os princípios e os conceitos fundmentis qui utiizdos têm picções muito mis mps n generidde dos outros tipos de estruturs hiperstátics Tipos de Vigs Estticmente Indeterminds Fig.8. estão representdos os csos mis comuns de vigs estticmente indeterminds e que iustrm bem nturez dum sistem hiperstático. o cso d Fig 8.(), por eempo, trt-se de um vig encstrd num ds etremidde e poid n outr, muits vezes tmbém designd por vig em conso poid. s recções, neste J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

2 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções cso, são s forçs vertic e horizont no poio, um momento nesse mesmo poio e um forç vertic no suporte. omo se dispõe pens de três equções de equiíbrio estático, há um recção mis e vig diz-se que é estticmente indetermind do primeiro gru. H P q P H P q P k R () R R (b) R H P q P H P P q R (c) R R (d) R R Fig. 8. Vigs estticmente indeterminds s recções em ecesso são chmds recções redundntes e têm de ser seeccionds cso cso. Por eempo, n situção representd n Fig.8.(), pode optr-se por escoher R como únic recção redundnte ou, em terntiv, o momento de encstrmento. primeir opção, o poio em deverá ser removido e substituído pe recção correspondente como mis um forç etern, Fig. 8.(), que trtd como um incógnit do probem. so se escoh segund opção, o encstrmento em deverá substituído por um poio simpes e incuir mis um soicitção etern como incógnit, correspondente o momento de encstrmento, conforme indicdo n Fig.8.(b). H P q P R R P q P P q P () R (b) Fig. 8. Vig em conso poid e respectivs primáris J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

3 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur estrutur que resut d remoção ds igções redundntes diz-se estrutur ivre ou estrutur primári. Est deve constituir sempre um estrutur estticmente determind ou isostátic, permitindo obtenção dos esforços internos, tensões e desocmentos em função ds recções redundntes que form ibertds. situção representd n Fig.8.(b) corresponde um vig conso com poio eástico ou feíve n etremidde e é semehnte o cso nterior, com únic diferenç de que recção em é proporcion o desocmento nesse ponto. s recções indeterminds são novmente R, H, e R, dispondo-se tmbém e pens ds mesms três equções d estátic. Fig.8.(c) está representd um vig encstrd ns dus etremiddes (vig bi-encstrd), tendo como recções desconhecids qutro forçs (R, H, R e H ) e dois momentos ( e ). s hbituis três equções d estátic têm de ser compementds, neste cso, por outrs três equções bseds n deformção d vig. Diz-se que vig é estticmente indetermind do terceiro gru. Possíveis vigs primáris pr este cso podem ser considerds, por eempo, ququer um ds situções representds n Fig.8.. H P q P H R R P q P H P q P H () R (b) Fig. 8. Vig bi-encstrd e respectivs primáris Se forem seeccionds como redundntes s três recções n etremidde, por eempo, e removids s restrições correspondentes, obter-se-á um vig primári em conso, Fig.8.(). o cso de se optr por escoher como redundntes os dois momentos de encstrmento e recção horizont em, vig primári correspondente é um vig simpesmente poid, Fig. 8.(b). J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

4 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções Finmente, vig representd n Fig.8.(d) é um eempo de um vig contínu, crcterizd por ter mis de um vão e ser contínu nos suportes intermédios. O gru de hiperstticidde de um vig contínu é igu o número dos seus suportes intermédios. o cso prticur iustrdo n Fig.8.(d), trt-se dum vig estticmente indetermind do primeiro gru. omo vig primári dest vig contínu, poderá ser doptd ququer um ds situções representds n Fig. 8.. H P q P P q R P R ' θ R q P R () (b) Fig. 8. Vig contínu e respectivs primáris R Em ququer dos csos cim considerdos, e sempre que o crregmento é vertic, não hverá recções horizontis. s, em contrprtid, s equções d estátic reduzem-se, nesse cso, pens dus equções de equiíbrio. Um vez conhecids s recções redundntes, tods s restntes recções, esforços internos, defeões, etc., podem ser ccudos utiizndo os métodos descritos e eempificdos nos cpítuos nteriores pr náise de vigs isostátics. os três prágrfos seguir, serão presentdos três dos métodos mis correntemente utiizdos pr determinr s recções redundntes em vigs estticmente indeterminds étodo d Sobreposição omo em ququer outro método de náise de vigs hiperstátics, no método d sobreposição começ-se por identificr o gru de indeterminção do sistem e seeccionr s recções redundntes. omo o próprio nome sugere, este método bsei-se no princípio ger de J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

5 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 5 sobreposição d teori d esticidde, conforme referido no pítuo III. sicmente, su picção consiste ds seguintes etps: )- Identificr o gru de hipersttividde d estrutur, seeccionr s recções redundntes e definir configurção d vig primári. )- onsiderr o crregmento d vig primári com s forçs/momentos redundntes em simutâneo com s forçs/momentos que constituem o crregmento re d vig origin. )- cur s defeões d vig primári (que é sempre isostátic ) pr cd um dos crregmentos redundntes e pr o crregmento re, em seprdo. )- Peo principio ger d sobreposição, s soms ds defeões ccuds isodmente n fse nterior devem ser iguis às defeões n vig origin, s quis são nus ou têm vores conhecids em todos os pontos em que form removids s restrições. Obtém-se, ssim, um conjunto de equções ineres em que s forçs/momentos redundntes são s quntidde desconhecids. 5)-om s recções redundntes já conhecids, determinr tods s restntes recções, esforços trnsversos e momentos fectores prtir ds equções de equiíbrio. Pr eempificr o método d sobreposição, consider-se su picção o cso simpes dum vig em conso poid, sujeit um crregmento uniforme q()q o, conforme representdo n Fig.8.5(). q q o q qo H R (R ) () () (b) q q o ( ) (H ) (H ) R H ( ) (δ ) (c) (R ) (d) Fig. 8.5 Vig em conso poid com um recção redundnte em R R R (δ ) (i)-náise com recção redundnte R Trt-se dum vig hiperstátic do primeiro gru. Seeccione-se, por eempo, recção no poio (R ) como únic recção redundnte J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

6 6 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções do sistem. Resovendo s equções de equiíbrio estático sobre vig primári com o crregmento re mis forç redundnte (R ), Fig.8.5(b), obtêm-se s restntes recções nos poios epresss em termos d forç redundnte R : R q R o qo R onsiderndo gor o crregmento d vig primári com soicitção re uniforme q o, Fig.8.5(c), sej (δ ) defeão correspondente no ponto. E sej (δ ) defeão d mesm vig primári no ponto, qundo crregd com forç redundnte R, Fig.8.5(d). Utiizndo s fórmus disponíveis n Tbe G- do pêndice G, por eempo, obtém-se: ( δ ) ( δ ) qo 8EI R EI dicionndo estes dois desocmentos e igundo zero, por ser nu defeão re em : δ donde recção redundnte em : q 8EI o ( δ ) ( δ ) R o q 8 R EI s restntes recções (R e ) podem gor ser ccuds, por substituição ns equções de equiíbrio (): R 5qo 8 qo 8 () J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

7 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 7 Um vez são já conhecids tods s recções, podem gor obter-se os esforços trnsversos e os momentos fectores o ongo de todo o comprimento d vig. De fcto, tem-se: V ( ) q o R qo ( ) 5qo qo 8 R qo 5qo qo 8 8 Os correspondentes digrms estão representdos n Fig.8.6 V V 5 8 5q o 8 q o V 8 q o q o m 8 Fig. 8.6 Digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores Podem tmbém determinr-se s defeões e incinções d vig origin recorrendo o princípio d sobreposição. Pr isso, bst somr os desocmentos e s incinções d vig primári pr cd um dos dois tipos de crregmento em seprdo, isto é o crregmento re e o crregmento com forç redundnte R. Ds fórmus dds n n Tbe G- do pêndice G, por eempo, obtém-se: qo ( ) EI R ( ) ( 6 ) q ( ) o ( ) dicionndo gor s dus epressões nteriores pr () e (): ( 5 ) qo ( ) ( ) ( ) 8EI Est é equção d curv de defeão d vig origin estticmente indetermind. J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

8 8 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções (i)-náise com recção redundnte mesm vig em conso poid pode tmbém ser resovid tomndo como recção redundnte o momento n secção de encstrmento. Resovendo s equções de equiíbrio estático sobre vig primári com o crregmento re mis o momento redundnte ( ), Fig.8.7(b), obtêm-se s restntes recções nos poios epresss em termos desse momento redundnte : q q o q q o H ( R () R R () (b) ) q q o ( ) (H ) (H ) H R (R ) (θ) (c) (R ) (θ ) (d) Fig. 8.5 Vig em conso poid com um momento redundnte em R R R qo qo onsiderndo gor o crregmento d vig primári simpesmente poid com soicitção re uniforme q o, Fig.8.6(c), sej (θ ) incinção correspondente no ponto. E sej (θ ) incinção no mesmo ponto, qundo crregd com o momento redundnte, Fig.8.6(d). Utiizndo s fórmus d Tbe G- do pêndice G, por eempo, obtém-se: ( θ ) ( θ ) qo EI EI dicionndo ests dus rotções e igundo zero, por ser nu rotção re em : J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

9 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 9 θ donde o momento redundnte em : q EI EI o ( θ ) ( θ ) qo 8 Este resutdo está de cordo com soução obtid nteriormente, qundo foi seecciond como redundnte recção em picção do Teorem de stigino s recções nos poios dum estrutur eástic estticmente indetermind podem tmbém ser determinds por picção do Teorem de stigino. T como no método nterior d sobreposição, começ-se por seeccionr s recções redundntes,,,..., e eiminr ou modificr os correspondentes poios em conformidde. s recções redundntes são depois trtds como crgs desconhecids que, juntmente com soicitção etern picd, produzem deformções que deverão ser comptíveis com os poios originis. cu-se energi eástic de deformção U do sistem devido à cção combind ds crgs picds e ds recções redundntes. Finmente, deriv-se epressão d energi U sucessivmente em reção cd um ds recções redundntes e igu-se zero: U... U U Obtém-se, ssim, um sistem de equções em número igu o ds recções redundntes, cuj soução produz ectmente s forçs/momentos redundntes d estrutur. Tmbém como no método nterior d sobreposição, s restntes recções poderão então ser obtids prtir ds equções de equiíbrio estático. J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

10 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções Pr eempificr o método, considere-se su picção o mesmo cso simpes dum vig em conso poid, sujeit um crregmento uniforme q()q o, em que se seeccion como redundnte recção R em, conforme representdo n Fig.8.7(). q q o q q o () (b) R De cordo com o Teorem de stigino pode escrever-se: U d R () EI R Or, o momento fector à distânci d etremidde é: ( ) R ( ) qo( ) e su derivd em reção à forç redundnte R é: Substituindo em (), obtém-se: Fig. 8.7 Vig em conso poid com um recção redundnte em ( ) ( ) R ( ) ( ) qo R qo d EI EI 8 Finmente, fzendo e resovendo em ordem R, obtém-se: q o R 8 Um vez obtid recção redundnte R, pode proceder-se o cácuo ds restntes recções, dos esforços internos e ds deformções seguindo metodoogi hbitu. J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

11 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur étodo dos Três omentos pr Vigs ontínus o cso dum vig contínu de comprimento tot e com poios intermédios, Fig.8.8(), normmente o primeiro poio é fio, enqunto que todos os restntes poios permitem o movimento ivre d vig n direcção i. ests condições, cd um dos poios intermédios represent um restrição redundnte, de t modo que o sistem present um gru de indeterminção, igu o número de poios intermédios. Sejm,,..., os comprimentos dos diversos segmentos de vig entre poios consecutivos, numerdos de, conforme indicdo n Fig.8.8().... () (b)... Fig.8.8 Vig contínu e respectiv vig primári Um vez seeccionds como redundntes s recções verticis,,,...,, nos poios intermédios, Fig.8.8(b), segue-se metodoogi hbitu de ccur s defeões correspondentes δ, δ, δ,..., δ e impor que são tods iguis zero. Recorrendo à picção do teorem de stigino, por eempo, pode escrever-se: U J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9... U U d EI d EI EI d

12 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções Ests equções, juntmente com s três equções de equiíbrio estático gob do sistem serão suficientes pr determinr s recções em todos os poios d vig contínu. Embor formmente simpes, este processo nem sempre é fáci de evr cbo, sobretudo qundo o número de poios intermédios é eevdo, impicndo que resoução do sistem de equções supr poss ser demordo e muito compicdo. Um método terntivo mis simpes pr resover vigs contínus consiste em seccionr vig em cd um dos poios intermédios e introduzir í os momentos,,,...,, como esforços redundntes. Dest form, estrutur primári reduz-se um conjunto de vigs simpesmente poids de comprimentos,,,...,. Fig. 8.9() estão representds dus vigs consecutivs desse conjunto, correspondentes os poios (n-), (n) e (n). n ' θ n n '' θ n n n n n n n n n () n G G n n n n n n bn n b n (b) Fig.8.9 étodo dos três momentos pr vigs contínus Os crregmentos representdos n Fig. 8.9() produzem os digrms de momentos fectores representdos n Fig.8.9(b), onde s áres tringures correspondem os momentos ns etremiddes (momentos redundntes) e s áres sombreds correspondem os crregmento eternos em cd um dos segmentos. Pr ests útims, os pontos G ssindos são os respectivos centros de grvidde. Tis crregmentos produzem deformções em cd um dos segmentos, designdmente ' " rotções θn e θ n ns dus etremiddes sobre o mesmo poio (n), conforme iustrdo n Fig.8.9(). Pr que sej ssegurd J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

13 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur continuidde d deformção d vig re, é necessário que esss dus rotções sejm iguis, isto é: ' " n θ n θ (8.) Tis rotções podem eprimir-se em termos do crregmento eterno e dos momentos redundntes sobre cd um dos dois segmentos de vig em questão, podendo, pr isso, usr-se o método d vig conjugd descrito no cpítuo VI. ssim, tendo por bse os digrms dos momentos fectores representdos n Fig.8.9(b), pode escrever-se: ' nn n n n n θ n (8.) EI EI n " nn n n n bn θ n (8.) EI EI n onde e são s áres sombreds n Fig. 8.9(b). Substituindo (8.) e (8.) em (8.), obtém-se: 6n n 6n bn n n n( n n ) n n (8.) Est é chmd equção dos três momentos, podendo escrever-se um equção deste tipo pr cd um dos poios intermédios d vig contínu. Resovendo o sistem de equções que ssim resutm, obtêm-se os momentos redundntes em correspondênci com os poios intermédios d vig. os csos de um ou mbos os poios ds etremiddes serem encstrdos, o número de redundâncis será, nturmente, superior o número de poios intermédios. Em tis csos, pr cd um dos poios encstrdos pode escrever-se um equção dicion. Por eempo, se o poio () for um encstrmento, equção dicion escrever será: o θ o EI n b EI onde θ o é o ânguo de rotção d tngente no poio esquerdo. Impondo condição de ser igu zero, obtém-se: n J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

14 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções o b (8.) o cso de ser encstrdo o poio d direit (), já equção dicion escrever será: θ EI n onde θ n é o ânguo de rotção d tngente no poio etremo direito. Impondo condição dess rotção ser igu zero, obtém-se: n EI (8.5) Um vez obtidos os momentos fectores pr todos os poios d vig contínu, poderão então ser ccuds s recções nesses mesmos poios. om efeito, considerndo de novo dois quisquer segmentos ' " djcentes, Fig.8.9(), sejm Rn e R n s recções no poio (n), pr cd um dos segmentos n e n, respectivmente, qundo crregdos ecusivmente com s forçs eterns picds. esss dus recções "' deverá ser diciond recção R n produzid pe picção dos momentos n-, n e n, isto é: R "' n n n n recção tot R n no poio (n) é, portnto: n n n n n n ' " n R n Rn Rn (8.6) n n onhecidos os momentos e s recções em todos os poios, poderão então ser construídos sem ququer dificudde os digrms dos esforços trnsversos e dos momentos fectores o ongo de todo o comprimento d vig contínu. J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

15 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur Encurvdur de Peçs Lineres. Teori de Euer o cácuo de peçs ineres simutnemente soicitds à compressão e à feão é hbitu dicionr-se gebricmente s tensões de compressão com s tensões devids à feão, como iás foi já iustrdo no prágrfo 5..5, propósito d compressão i d vig por um crg ecêntric. Est metodoogi simpes tem o seu fundmento no princípio d sobreposição dos esforços, prtindo do pressuposto de que geometri d peç deformd é ectmente mesm que do corpo origin. o entnto, um náise tão simpist nem sempre é ceitáve, conforme se pode fcimente pôr em evidênci trvés do rciocínio seguinte, com bse n vig representd n Fig.7., crregd simutnemente com forçs trnsversis q() e com forçs iis. q() Fig. 7.-Feão e compressão dum brr onsiderndo pens o crregmento trnsvers, este provoc um deformção d vig que se trduz por um desocmento vertic, que é descrito pe respectiv equção d eástic: f ( picndo de seguid soicitção i de compressão, est dá origem um momento fector: ) que, por su vez, induz n brr um deformção trnsvers dicion: f ( de que resut outro momento fector : ) J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

16 6 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções e ssim sucessivmente... Se o processo de deformção for imitdo, série... é convergente e peç ssume um configurção estáve bem definid. Se, peo contrário, que série for divergente, geometri d peç torn-se instáve sob cção ds forçs picds e o corpo entr em copso. Est situção de instbiidde pode mesmo ocorrer em peçs ineres estritmente sujeits um soicitção de compressão simpes, como no cso dos pires, por eempo. soução deste probem, hbitumente referido pe designção de fenómeno de encurvdur ou empenmento, foi pe primeir vez propost por Euer em 77. Fig. 7.5 Encurvdur onsidere-se então um peç prismátic simpesmente poid ns etremiddes e sujeit um compressão, conforme iustrdo n Fig um secção à distânci d etremidde o momento fector é ddo por:. Substituindo n equção d eástic (6.88), d, obtém-se: d E I d k d (7.) onde k /EI. soução ger d equção diferenci (7.) é: sen( k) b cos( k) (7.5) epressão (7.5), e b são dus constntes de integrção, cujos vores se podem ccur prtir ds condições fronteir ns etremiddes e. Isto é, deverá ser pr e pr. D primeir dests condições resut b, ficndo soução (7.5) reduzid à form: sen(k) J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

17 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 7 Impondo gor segund condição (, pr ), obtém-se: sen( k) Descrtndo soução trivi, que corresponde à situção em que peç permnece rectiíne, terá então que ser, necessrimente: Donde: ou sej: Substituindo k por /EI, resut: sen ( k) J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9 k n π (com n inteiro!) n π k n π EI (7.6) Pr n, forç de compressão é nu e peç permnece, evidentemente, rectiíne. Pr que mesm poss permnecer fectid é preciso, portnto, que n sej, peo menos, igu. O menor vor de pr o qu peç fectid está em equiíbrio é, então: cr π EI (7.7) Est é crg crític de encurvdur de Euer. tingido este vor crítico, coun entr em regime de instbiidde, ssumindo form de um mei sinusóide: π sen( k) sen( ) em que mpitude do desocmento trnsvers é indetermindo. pós encontrr crg crític pr um coun, tensão crític correspondente obtém-se d mneir hbitu, dividindo forç pe áre d secção rect d peç: cr π EI σ cr

18 8 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções onde I é, nturmente, o momento de inérci d secção retivmente o eio princip sobre o qu ocorre encurvdur. equção nterior pode escrever-se sob um form terntiv mis conveniente: π E σ (7.8) cr ( / r) onde r é o rio de girção d secção retivmente o eio princip de encurvdur (correspondente o momento de inérci menor): r reção λ /r é um grndez dimension, crcterístic d secção, que se dá o nome de coeficiente de esbetez, ou simpesmente esbetez, d brr em considerção: I λ r s crgs crítics pr outrs condições ns etremiddes d vig podem obter-se prtir d soução pr o cso fundment que se cbou de nisr. ssim, pr o cso dum coun encstrd n secção e ivre n etremidde, Fig. 7.6, situção corresponde o probem fundment de Euer, em que o comprimento d vig de Euer equivente é igu o dobro do comprimento d vig encstrd, isto é, igu. / / / ' / Fig.7.6-Um etremo encstrdo Fig.7.7-Dupo encstrmento J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

19 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 9 est situção obtém-se: ' cr J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9 π EI π EI (7.9) () Finmente, no cso dum coun encstrd ns dus etremiddes, Fig.7.7, situção corresponde o probem fundment de Euer, em condições tis que o comprimento de Euer é igu metde do comprimento d vig re, que corresponde um crg crític dd pe seguinte epressão: " π EI cr π EI (7.) ( / ) Tendo em cont s diverss possibiiddes de condições ns etremiddes, é hbitu introduzir-se noção de comprimento efectivo d coun: e K Onde é o comprimento re e K é o fctor de comprimento efectivo. O comprimento efectivo e corresponde o comprimento de um coun equivente simpesmente poid em mbs s etremiddes, de t form que pode picr-se sempre fórmu únic seguinte: cr π EI (7.) ( K) O fctor K cim definido é igu no cso do probem fundment de Euer (brr com um pino em cd etremidde), é igu pr um brr encstrd num ds etremiddes e ivre n outr, e é igu / qundo se trt dum brr dupmente encstrd. OT IPORTTE: Ds náise d equção (7.) pode consttrse que o crregmento crítico à encurvdur é directmente proporcion à rigidez à feão EI e inversmente proporcion o qudrdo do comprimento. De prticur interesse é o fcto de que resistênci do mteri, representd pe tensão imite de cedênci, por eempo, não intervém nques equções. Por isso, umentr resistênci do mteri não ument crg crític dum brr esbet à compressão.

20 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções Fórmu d Secnte pr rrs à ompressão onsidere-se um brr bi-rticud, inicimente rectiíne, sujeit um forç de compressão ecêntric, conforme iustrdo esquemáticmente n Fig Fig.7.8-rr sujeit compressão ecêntric equção diferenci d brr, n su configurção deformd é: Integrndo equção, obtém-se: EI sen cos EI EI s constnte de integrção e ccum-se prtir ds condições fronteir ns secções etrems ( ±/), onde é e: donde: e cos e EI e cos EI cos EI defeão máim ocorre n secção centr, isto é, pr : m e sec EI J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

21 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur Ou sej, introduzindo o vor d crg crític ddo pe equção (7.7): m π e sec cr defeão máim torn-se muito grnde à medid que crg picd tende pr o vor d crg crític. ssim, s defeões teris umentm grdumente e não subitmente, como contece no cso d encurvdur. tensão de compressão máim ocorre no do côncvo d brr, n secção médi, e é dd pe epressão: σ m I m ev π sec I cr onde v represent distânci do eio neutro às fibrs eteriores do do em compressão. Introduzindo o rio de girção r d secção trnsvers, tem-se: ev σ m sec (7.) r r E Est é chmd fórmu d secnte pr um brr crregd imente com um crg ecêntric. equção (7.), / represent tensão médi de compressão produzid pe crg i. Tomndo pr tensão máim tensão de cedênci do mteri (σ p ), por eempo, correspondente tensão médi de compressão que produz cedênci é então dd pe equção: p σ p ev sec r r p E Pr cd vor de ev/r, equção nterior pode ser resovid itertivmente. Pode, ssim, estbeecer-se um reção entre / e /r, fim de obter o vor de / pr o qu cedênci ocorre ns fibrs eteriores em compressão. J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

22 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções 8.. PROLES RESOLVIDOS PROLE 8... onsidere um vig, encstrd n etremidde, simpesmente poid n secção intermédi e sujeit um forç vertic de intensidde P picd n etremidde ivre, conforme iustrdo n figur. vig tem um rigidez à feão uniforme (EI) e su geometri i está tmbém indicd n figur. Determine: )- recção no poio. b)- defeão vertic d etremidde ivre. RESOLUÇÃO: )- recção no poio Trt-se dum vig estticmente indetermind de gru. Tomndo recção em como redundnte, vig primári correspondente está esquemticmente representd n figur seguir. R R b P Resovendo s equções de equiíbrio estático sobre vig primári com o crregmento re mis forç redundnte (R ), obtém-se recção vertic (R ) no poio e o momento de encstrmento n mesm secção, mbos epressos em termos d forç redundnte R : R P R P( b) R picndo o método d sobreposição, por eempo, considere-se seprdmente o crregmento d vig primári com soicitção re P em e com forç redundnte R em. Sej (δ ) e (δ ) s defeões d vig primári no ponto devido cd um desses crregmentos, respectivmente. De cordo com equção d eástic pr um vig em conso (Tbe G- do pêndice G Timoshenko ) obtém-se: ( δ ) ( δ ) P ( b) R EI b P () J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

23 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur dicionndo estes dois desocmentos e igundo zero, por ser nu defeão re em : δ donde recção redundnte em : P R EI ( ) ( ) δ δ ( b) R b P s restntes recções (R e ) podem gor ser ccuds, por substituição ns equções de equiíbrio (): b)- Defeão vertic em Pb R Pb s defeões e incinções d vig origin podem tmbém ccur-se por recurso o princípio d sobreposição. Pr isso, bst somr os desocmentos e s incinções d vig primári pr cd um dos dois tipos de crregmento em seprdo, isto é o crregmento re e o crregmento com forç redundnte R. Ds fórmus dds n Tbe G- do pêndice G, por eempo, obtém-se: P ( ) ( ) pr (b) R P( b) ( ) ( ) ( ) pr (c) EI R P( b) ( ) ( ) ( ) pr (d) EI dicionndo gor s epressões (b) e (d), pr, obtém-se: δ [ ( b) ] P ( EI ) ( ) J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

24 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções PROLE 8... onsidere um vig bi-encstrd, sujeit um forç vertic de intensidde P picd num secção intermédi, conforme iustrdo n figur. vig tem um rigidez à feão uniforme (EI) e su geometri i está definid n figur. Determine: )- Os momentos em e. b)- defeão vertic n secção. RESOLUÇÃO: )- omentos de encstrmento Trt-se dum vig estticmente indetermind de gru. Tomndo os momentos de encstrmento em e como redundntes, vig primári correspondente é simpesmente poid como esquemátic-mente representd n Fig.() seguir. R () EI () ( R c ) s recções ( ) c P Pb / () R e ( c ) ( R ) ( R ) Os crregmentos representdos n Fig.() produzem os digrms de momentos fectores representdos n Fig.(b), onde s áres tringures rects () e () correspondem os momentos redundntes ns etremiddes e áre sombred () corresponde o crregmento eterno P. s rotções θ e θ ns etremiddes d vig representd n Fig() podem ser ccuds, por eempo, recorrendo à utiizção combind dos métodos d sobreposição e d vig conjugd. Pr isso, consider-se ess vig conjugd soicitd por um distribuição de crgs proporcion o momento fector, conforme iustrdo n Fig.(c). R ccum-se sem ququer tipo de dificuddes: c c b () Pb / EI () () b R EI ( R c ) () (b) (c) Pb( b) EI Pb( ) EI P b () J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

25 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 5 Os esforços trnsversos n vig conjugd em e são, respectivmente: ( V ) ( R ) c ( V ) ( R ) c c c Pb( b) EI Pb( ) EI Onde, cd um dos termos dos segundos membros corresponde cd um ds soicitções, e P, respectivmente De cordo com teori d vig conjugd, s incinções do eio d vig re deformd são numericmente iguis os simétricos dos vores dos esforços trnsversos n vig conjugd. omo ques incinções são nus, porque vig re é bi-encstrd, pode então escrever-se: θ θ ( V ) c Pb( b) EI Pb( ) EI ( V ) c Donde, resovendo em ordem e, se obtêm os momentos ns dus secções de encstrmento: Pb P b Um método terntivo, e porventur mis fáci pr este cso, seri recorrer resutdos que estejm já disponíveis pr soicitções típics de vigs isostátics, como, por eempo, s fórmus d tbe G- do pêndice G. ssim, referindo novmente Fig.() trás, os momentos redundntes e ' ' produzem rotções θ e θ em cd um dos poios, respectivmente, ' θ " θ ' θ " θ (d) (e) ' θ θ EI ' (b) Fig.(d), e forç picd P produz s " " rotções θ e θ nesses mesmos poios, Fig.(e), respectivmente. D tbe G- do pêndice G pode tirr-se, directmente: EI J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

26 6 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções e " Pb( b) " Pb( ) θ θ Impondo, gor que s rotções gobis em e são nus: ' " Pb( b) θ θ θ EI ' " Pb( ) θ θ θ EI e resovendo em ordem e : b)- Defeão vertic em Pb P b T como no probem nterior, tmbém qui s defeões e s incinções d vig origin podem ccur-se por recurso o princípio d sobreposição. Pr isso, bst somr os desocmentos e s incinções d vig primári pr cd um dos dois tipos de crregmento em seprdo, isto é o crregmento re e os crregmentos com os momentos redundntes e. (i)- Uso de fórmus pr csos típicos: O método mis simpes e directo será recorrer, um vez mis, às fórmus disponíveis n Tbe G- do pêndice G, pr csos os csos mis típicos de soicitção de vigs em feão. ssim, pr cd um dos crregmentos P, e obtém-se, respectivmente: P ( ) Pb ( ) b pr Pb P ( ) ( ) ( b ) pr b ( ) ( ) ( ) ( ) dicionndo s epressões nteriores pr,, obtém-se: (b) J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

27 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 7 δ ( ) P ( ) P b ( ) EI b( b) b( b ) ou sej, substituindo e peos respectivos vores, conforme ccudos n íne nterior: P b δ (ii)- étodo d vig conjugd: b( b) ( b) P b 6 EI Se, porventur, não se dispusesse dos ddos d tbe G-, poderi sempre nçr-se mão dos procedimentos básicos pr ccur defeão n secção. Por eempo, recorrendo à teori d vig conjugd, defeão d vig re em, Fig.(), é numericmente igu o vor momento fector d vig conjugd crregd conforme indicdo n Fig.(c). ssim, pode escrever-se: ( ) ( R ) EI EI b b b EI c c Pb EI Substituindo n epressão nterior o vor de ( Rc ) ddo pe equção () supr, obtém-se: ( ) c ddos pes equções (b) supr obtém- e substituindo os vores de se, finmente: ( ) P b( b) EI EI b P b b b P b EI Pb b e P b P b EI P b 6 EI c Donde, de cordo com teori d vig conjugd: δ ( ) P b 6 EI c J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

28 8 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções (iii)- étodo d energi: Um outr terntiv seri recorrer os métodos energéticos. Pr isso há que, primeiro, determins epressão pr energi eástic de feão. este cso prticur, s equções pr o momento fector obtêm-se fcimente, por eempo, dicionndo s três áres tringures representds n Fig.(b) supr: ( ) ( ) Pb, pr ( ) ( ) P( ), pr ou sej, substituindo nests epressões os vores de equções (b) supr: ( b) ( ) b P, pr e (b ) b ( ) P, pr energi de deformção eástic obtém-se usndo equção hbitu: U EI P ( ) d b EI ( b) d donde, depois de ccudos os integris, se obtém: P b U EI (b ) b ddos pes d Finmente, por picção do Teorem de peron (um vez que P á únic forç picd sobre vig ): U P b δ P 6 EI qui o sin é positivo porque o desocmento ccudo trvés do Teorem de peron é medido positivmente no sentido d forç (sentido descendente, no cso do probem em náise ). J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

29 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 9 PROLE 8... Um vig encstrd num ds etremiddes e com um poio eástico n outr etremidde (ver figur seguir) está sujeit um crg uniformemente distribuíd q()q o (q o é um quntidde positiv ). constnte d mo no poio é k5 k/m e, ntes d picção d crg, mo encontr-se n su posição de indeformd. ests condições, determine: )- defeão no ponto, em função d rigidez à feão (EI) d vig, e s recções em. q q o k b)- O vor numérico d defeão em, pr um comprimento de vig m, crg q o 5k/m, tendo rigidez (EI) d vig sido previmente determind num teste em que um forç vertic concentrd Pton em produz í um defeão de 5mm. RESOLUÇÃO: )- ácuo d defeão em Trt-se dum vig estticmente indetermind de gru. Tomndo recção em como redundnte, vig primári correspondente está esquemticmente representd n figur seguir. q q o Resovendo s equções de equiíbrio estático sobre vig primári com o crregmento re mis forç redundnte (R ), obtém-se recção vertic (R ) no poio e o momento de encstrmento n mesm secção, mbos epressos em termos d forç redundnte R : R R R q R o qo R picndo o método d sobreposição, por eempo, considere-se seprdmente o crregmento d vig primári com soicitção re distribuíd q o e com forç redundnte R em. Sej (δ ) e (δ ) s defeões d vig primári no ponto devido cd um desses crregmentos, respectivmente. De cordo com equção d eástic pr um vig em conso (Tbe G- do pêndice G Timoshenko ) obtém-se: () J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

30 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções ( δ ) ( δ ) qo 8EI R EI dicionndo estes dois desocmentos e igundo R /k, por ser est respost iner do poio em : donde recção redundnte em : qo R R ( ) ( ) δ δ δ (b) 8EI EI k e, substituindo em (b): R qok 8k EI R qo δ (c) k 8k EI s restntes recções (R e ) podem gor ser ccuds, por substituição de (b) ns equções de equiíbrio (): R qok qo 8k EI qo 5 qok 8k EI (d) b)- Vor numérico d defeão vertic em ' ' R () (b) P ton k P ton ' R ' δ ' δ montgem utiizd pr cibrção do sistem está representd n figur o do. Resovendo s equções de equiíbrio estático sobre vig primári com o crregmento re P mis forç ' redundnte ( R ), obtém-se recção ' vertic ( R ) no poio e o momento de encstrmento ( ) n mesm secção, mbos epressos em termos d ' forç redundnte R : ' J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

31 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur R ' ' P R ' P R ' (e) ' onsiderndo o crregmento d vig primári com soicitção ( R P ) em, defeão correspondente tir-se d Tbe G- do pêndice G: ' ' ( R P) δ (e) EI donde: ' ( R P) EI ' δ ou, tendo em cont que ' ' R kδ : EI ' ( kδ P) Substituindo s diverss grndezs peos respectivos vores numéricos: 5 δ (,5 ( 5 ) ) 6 EI,5 m ( 5 ) Regressndo gor o probem inici, bst substituir n epressão (c) o vor cbdo de ccur pr rigidez à feão d vig, bem ssim como os restntes ddos do probem: 6 qo 5 δ 5 8k EI 8,5,5 ',mm PROLE 8... onsidere vig bi-encstrd, de comprimento e rigidez à feão EI, sujeit um crg uniforme q q o picd sobre um etensão b prtir d etremidde, conforme iustrdo n figur seguir. Determine: )- Os momentos e s recções ns secções de encstrmento e. b)- defeão vertic máim e secção onde ocorre, pr o cso prticur de ser mb//. q q o b J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

32 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções RESOLUÇÃO: )- omentos e recções em e T como no Probem 8.., trt-se dum vig estticmente indetermind de gru. Tomndo o momento de encstrmento em e recção vertic n mesm secção como redundntes, vig primári correspondente é um vig em conso, encstrd n secção, como no esquem d Fig.() seguir. R () ( c ) ( R c ) EI () () (b) (c) b q q o () () () () R R q o b R EI qob EI Os crregmentos representdos n Fig.() produzem os digrms de momentos fectores representdos n Fig.(b), onde áres tringur () e rectngur () correspondem os esforços redundntes em e áre sombred () corresponde o crregmento eterno q. s rotções θ e θ ns etremiddes d vig representd n Fig() podem ser ccuds, por eempo, recorrendo à utiizção combind dos métodos d sobreposição e d vig conjugd. Pr isso, consider-se ess vig conjugd soicitd por um distribuição de crgs proporcion o momento fector, conforme iustrdo n Fig.(c). recção ( R c ) e o momento ( c ) ccum-se sem ququer tipo de dificuddes: ( R ) c ( ) c EI R EI EI R EI (*) ob q m qob (**) () onde mb/. s equções nteriores, os termos ssindos com (*) e (**) correspondem à áre e o momento em d áre prbóic d Fig.(c), respectivmente: b o q d EI qob J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

33 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur b m qob qo ( ) d EI Os vores do esforço trnsverso e do momento fector d vig conjugd n secção são, respectivmente: ( V ) ( R ) c ( ) c c EI R qob EI EI m qob R EI onde, cd um dos termos nos segundos membros corresponde cd um ds soicitções, R e q o, respectivmente De cordo com teori d vig conjugd, incinção do eio d vig re deformd e defeão em são numericmente iguis o simétrico do esforço trnsverso e o momento fector d vig conjugd, respectivmente. Isto é: θ δ ( V ) c ( ) c R qob EI EI m qob R EI EI Igundo zero e resovendo em ordem R e, obtêm recção e o momento n secção de encstrmento : m R qo m m m qo (b) Um vez ccuds s incógnits redundntes, recção e o momento de encstrmento n secção podem ser determindos recorrendo às equções geris d estátic pr vig re: F (c) J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

34 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções Desenvovento primeir dests equções, obtém-se: R R qob donde, substituindo R pe respectiv epressão em (b): R q om m m Desenvovendo segund equção (c), obtém-se: qob R donde, substituindo R e pes respectivs epressões em (b): q m o m m )- Defeão vertic máim Pr vig conjugd representd n Fig.(d) d íne nterior, o digrm dos momentos fectores obtém-se fcimente. ssim, pr, o momento fector d vig conjugd é: R c ( ) ( c ) ( Rc ) EI EI Tendo em cont que ( R ) ( ) seguinte: c c R c ( ) EI, equção nterior reduz-se à form ou sej, substituindo os vores de R e ddos pes equções (b) deduzids n íne nterior: onde: k c kqo kqo (d) ( ) EI m m m e k m De cordo com teori d vig conjugd, defeão d vig re em cd ponto é igu o momento fector d respectiv vig conjugd no mesmo ponto. J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

35 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 5 Então, pode escrever-se de imedito equção d deformd d vig re pr o segmento, isto é, pr,: kqo kqo (e) ( ) EI ocizção d secção onde defeão é máim (ou mínim) obtém-se derivndo epressão nterior e igundo zero, isto é: d d k qo kqo EI EI soução corresponde, obvimente, à secção, onde defeão é nu, por se trtr dum secção de encstrmento. outr soução d equção (f) é: k k m m onde defeão será um máimo se, porventur, t ponto cir dentro do m : segmento, isto é, se se verificr condição ( ) (f) ou sej: m m ( m) b m e o vor d defeão máim obtém-se por substituição direct n equção (e): m qo k k k k k k Este é o cso em questão, em que m b/ / < /, k,975 e k,6. Substituindo estes vor n equção nterior, obtém-se: qo,5, EI m pr: k m, 556 k m J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

36 6 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções ot Importnte: o cso de ser m b / /, o vor máimo d defeão ocorrerá no segmento, onde equção (e) não é picáve. Em t situção, terá de ser utiizd epressão do momento fector pr vig conjugd no segmento : c R q ( ) o EI EI ( ) ou sej, substituindo os vores de R e ddos pes equções (b) deduzids n íne nterior: c qo k q k q (g) o o ( ) ( ) EI EI Pode escrever-se gor equção d deformd d vig re pr o segmento, isto é, pr : qo k q k q (h) o o ( ) ( ) EI EI ocizção d secção onde defeão é máim (ou mínim) obtém-se derivndo epressão nterior e igundo zero, isto é: d d o q kqo kqo ( ) EI EI soução corresponde, obvimente, à secção, onde defeão é nu, por se trtr dum secção de encstrmento. s outrs dus soução d equção (i) são: onde: ( α) ± ( α) ( α) β (j) α ( m k ) e β [( m) k ] turmente que, ds dus souções em (j) se deve reter que que está no intervo : ( α) ( α) ( α) β onde defeão (h) é máim. Por eempo, no cso imite dum vig biencstrd sujeit um crregmento uniforme q o, Fig.(d), tem-se: (i) J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

37 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 7 / q q o (d) m m b / k / ; k / α k / ; β 6k / De cordo com equção (j), defeão máim ocorre n secção: isto é, ocorre n secção médi d vig, e respectivo vor obtém-se por substituição de / n equção (h): qo ( ) EI kqo kqo EI qo 8EI PROLE Um vig, de comprimento e rigidez à feão EI, está encstrd n etremidde e simpesmente poid em. vig está sujeit um crregmento tringur q ( ) qo /, conforme representdo n figur seguir. Determine: )- s recções nos poios e. b)- O vor do momento fector máimo e secção onde ocorre. c)- rotção d secção em. RESOLUÇÃO: )- Recções nos poios Trt-se dum vig estticmente indetermind de gru. Tomndo recção vertic em como redundnte, vig primári correspondente é um vig em conso, encstrd n secção, como no esquem d Fig.() seguir. Os crregmentos representdos n Fig.() produzem os digrms de momentos fectores representdos n Fig.(b), onde áre tringur () e corresponde o esforço redundnte em e áre () corresponde o crregmento eterno q. qo q J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

38 8 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções ( c ) R ( R c ) ( ) qo q () ( R ) qo 6 (b) (c) () R defeão δ n etremidde d vig representd n Fig() pode ser ccuds, por eempo, recorrendo à utiizção combind dos métodos d sobreposição e d vig conjugd. Pr isso, consider-se ess vig conjugd soicitd por um distribuição de crgs proporcion o momento fector, conforme iustrdo n Fig.(c). recção ( R c ) e o momento ( c ) ccum-se sem ququer tipo de dificuddes: ( R ) c ( ) c R EI R EI qo EI qo EI s equções nteriores, os termos ssindos com (*) e (**) correspondem à áre e o momento em d áre prbóic d Fig.(c), respectivmente: o q d qo EI qo qo d EI Os vores do esforço trnsverso e do momento fector d vig conjugd n secção são, respectivmente: ( V ) ( R ) c ( ) c R () qo () R EI () qo c R qo EI EI R qo EI EI onde, cd um dos termos nos segundos membros corresponde cd um ds soicitções R e q o, respectivmente De cordo com teori d vig conjugd, incinção do eio d vig re deformd e defeão em são numericmente iguis o simétrico do esforço trnsverso e o momento fector d vig conjugd, respectivmente. Isto é: (*) (**) () J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

39 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 9 θ δ ( V ) c ( ) c R qo EI EI R qo EI EI Igundo zero defeão em e resovendo em ordem R, obtém-se recção n secção : (b) qo R (c) Um vez determind incógnit redundnte n secção simpesmente poid em, recção e o momento de encstrmento n secção podem ser determindos recorrendo às equções geris d estátic pr vig re, isto é: F Desenvovendo primeir dests equções, obtém-se: R qo R donde, substituindo R pe respectiv epressão em (b): Desenvovendo segund equção (c), obtém-se: (d) q o R (e) 5 R qo 6 donde, substituindo R pe respectivs epressão em (b): qo (f) 5 b)- omento fector máimo epressão do momento fector () num secção genéric à distânci do poio obtém-se por sobreposição prtir ds crgs R e q o, conforme indicdo n Fig.(c) trás. contribuição d crg distribuíd q() corresponde o momento () e ccu-se recorrendo o esquem representdo n Fig.(d): J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

40 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções u q q( ) du (d) o () q o ou sej: qou ( ) R ( u) du q q ( ) 6 o o (g) ocizção d secção onde ocorre o vor máimo do momento fector obtém-se derivndo epressão (g) e igundo zero: donde: e o momento ness secção é igu : c)- Rotção d secção em d ) q qo d ( o m 5 q o 5 incinção do eio d vig re deformd em pode obter-se directmente d primeir ds equções (b), que form deduzids n íne ): R qo θ ( V c ) EI EI Substituindo forç de recção no poio peo respectivo vor, conforme ddo pe equção (c), obtém-se: R qo θ EI EI qo EI qo EI PROLE Um vig está simpesmente poid em e, e etremidde está mrrd um terceiro poio D trvés dum tirnte de comprimento e rigidez i E, conforme representdo n figur seguir. J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

41 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur vig é soicitd por um distribuição uniforme de crg q() q o, tem um comprimento tot e rigidez à feão E b I b, estndo o poio posiciondo meio vão. ests condições, determine: )- forç de trcção no tirnte. b)- O momento de feão máimo n vig e posição onde ocorre. RESOLUÇÃO: )- Forç de trcção no tirnte Este é um probem hiperstático do primeiro gru. om efeito, são três s forçs desconhecids, sber: s dus recções R e R e forç de intercção entre vig e o tirnte (ver figur seguir), dispondo-se pens ds dus equções hbituis de equiíbrio estático. terceir equção necessári será equção de comptibiidde dos desocmentos d vig e do tirnte no ponto de igção. q q o R / R / () (b) Tomndo forç de intercção entre vig e o tirnte como incógnit redundnte, vig primári correspondente está representd n Fig.(). defeão em pode ccurse, recorrendo à picção do princípio ger d sobreposição de esforços. ssim, considerndo seprdmente o crregmento uniforme q o e forç, s correspondentes defeões em são, respectivmente (ver, por eempo tbe G do pêndice G): qo δ q e o 6E I b b donde, defeão vertic d vig em : ( δ ) b δ δ qo D qo 6E I δ E I b b b b E I onsiderndo, gor, soicitção do tirnte D pe forç redundnte, o desocmento d etremidde é igu o ongmento tot do tirnte: ( δ ) E / b q q o b / D J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

42 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções condição de comptibiidde dos desocmentos em pr mbos os eementos estruturis impic que sej verificd seguinte condição: ou sej: ( δ ) b ( δ ) qo 6E I b b E I b b E donde: qo E () 6 E 9EbIb b)- omento de feão máimo Um vez conhecid forç redundnte, s recções em e podem ser ccuds recorrendo às equções d estátic: F Desenvovendo segund dests equções, obtém-se: R donde, substituindo pe respectiv epressão em (): Desenvovendo primeir equção (b), obtém-se: R (b) qo E (c) 6 E 9EbIb donde: R R R qo 5qo E 96EbIb qo (d) 8 E 96EbIb O digrm dos esforços trnsversos é conforme o esboço representdo n Fig.(c): J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

43 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur V o qo / E F q o O digrm é ntissimétrico retivmente à secção /. D figur o do tir-se: o ( / o ) ( qo / ) donde: O momento fector máimo ocorre ou n secção ou ns dus secções E e F, onde present vores iguis: (c) R qo 8 qo 8 o q o qo q o oo q E F R o q q q o o 8 o PROLE O pórtico D representdo n figur seguir é rticudo em e D e suport um crregmento uniforme de intensidde q q o o ongo do eemento horizont. Os três eementos do pórtico têm todos o mesmo comprimento () e mesm rigidez à feão (EI). Determine: )- O vor d recção horizont em cd um dos poios e D. b)- defeão vertic meio do segmento. RESOLUÇÃO: )- Recções nos poios Trt-se dum probem hiperstático do primeiro gru, um vez que há qutro recções nos poios e D (R, H, R D, H D ) pr pens três equções de equiíbrio estático: F F q( ) q o D () J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

44 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções H R q q( ) q o RD D H D H H o () ( ) H (b) D Escohendo como forç redundnte recção horizont em, Fig.(), ds equções () pode tirr-se: qo R RD H D H E o digrm dos momentos fectores é conforme esboçdo no esquem d Fig.(b). onhecido o digrm dos momentos fectores, picção do Teorem de stigino pr o desocmento horizont em é ddo pe epressão seguinte: ou sej: D qo δ du H d EI H EI H δ EI q 5 o Impondo condição δ resut, finmente: qo H b)- Defeão vertic meio do segmento ( ) H d defeão vertic no ponto E, meio vão do eemento, pode ser determind recorrendo à picção do Teorem de stigino. O método consiste em coocr em E um forç vertic concentrd de intensidde P, ccur energi eástic de deformção do sistem crregdo com o crregmento re mis forç P, derivr epressão resutnte em ordem P e ccur o seu vor pr P, isto é: U" U" d" δ E (b) " P dp P P J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

45 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 5 omo o sistem é simétrico retivmente à vertic em E, bstrá considerr somente metde esquerd do pórtico. ' H ' ' R Procedendo pr este crregmento P ectmente como foi feito n íne nterior pr o crregmento q o, obtém-se: ' δ EI D H EI ou sej: ' ' du H ' 5H δ EI 6 d ' / P 6) P H Impondo condição δ resut: ' P H d Qundo se consider o crregmento simutâneo de P e q o, bst picr o princípio de sobreposição. Obtém-se, ssim: " " E E ' qo P ( ) ( ) ( ) ( ) E D ( ) Substituindo em (b), resut: ' R D D ' H D ' ' H H P (c) P ' ' H (d) ' E qo ( ) δ E 55qo EI ( ) qo P P PROLE onsidere vig contínu representd n figur seguir, com três vãos do mesmo comprimento () e rigidez à feão EI, soicitd por um forç concentrd (P) picd meio do terceiro vão. J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

46 6 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções P / Determine os digrms dos esforços trnsversos e dos momentos fectores: )- Recorrendo à picção do Teorem de stigino. b)- Recorrendo à picção do Teorem dos três momentos. RESOLUÇÃO: )- Teorem de stigino Trt-se dum probem hiperstático de gru (igu o número de poios intermédios ). Tomndo como redundntes s recções e nos poios intermédios e, vig primári é conforme representdo n Fig.(). P s recções nos poios etremos ccum-se trvés ds hbituis equções de equiíbrio estático: F D segund equção em () resut, directmente: e substituindo n primeir equção, obtém-se: R R R () P (b) 6 5 R P (c) 6 De cordo com o método de stigino, s forçs redundntes e obtêm-se resovendo s dus equções seguintes: J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

47 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 7 J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9 ) ( ) ( ) ( ) ( d EI U d EI U (d) É necessário, primeiro, epicitr os momentos fectores () em cd um dos segmentos d vig contínu: ; ; 6 P P P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; 6 P P P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P P ; ; 6 (,5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P P ; ; 5 (,5 ) Substituindo em (d), obtém-se:

48 8 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções donde: e, substituindo em (b) e (c): P 9P P R 9P R P R 6 P R Os digrms dos esforços trnsversos e dos momentos fectores podem gor ser esboçdos sem ququer dificudde: (e) V,5P,P,5P,6P,P,5P,P omo se pode consttr, embor formmente simpes, picção do Teorem de stigino às vigs contínus é bstnte trbhos e demord, sobretudo n dedução ds equções (e) trás. Pr este tipo de probems, picção do método dos três momentos é muito mis simpes, conforme se pode ver n íne seguinte. b)- étodo dos três momentos O método consiste em escrever equção dos três momentos (8.). 6 6 n n n n n n n( n n ) n n, n n b J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

49 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 9 pr cd um dos dois poios intermédios () e (). o cso vertente, pens o trmo - tem soicitção etern picd, que consiste n forç P picd meio vão. este cso tem-se, de cordo com o esquem representdo n figur seguir: P G P 8 () P () 8 Resovendo o sistem nterior em ordem e, obtém-se: b P e P Usndo gor equção (8.) pr o cácuo ds recções nos poios intermédios: obtém-se: R n ' n R " n R n n n n n n P P P P R P P P P 9P R s restntes dus recções R e R ccum-se recorrendo às equções d estátic, conforme equções (b) e (c) d íne nterior. PROLE Um vig prismátic contínu sobre três poios, de comprimento 5 e rigidez à feão EI está crregd conforme o esquem representdo n figur seguir. Determinr, recorrendo à picção do teorem dos três momentos: )- s recções nos poios. b)- Os digrms dos esforços trnsversos e dos momentos fectores. P q ( ) qo P / P / J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

50 5 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções RESOLUÇÃO: )- Recções nos poios equção dos três momentos (8.): 6 6 n n n n n n n( n n ) n n, n n deverá, qui, ser picd pens o poio intermédio (). o cso vertente, os dois trmos djcentes - e - têm s soicitções eterns e respectivos e momentos fectores conforme representdos n figur: b P q ( ) qo P / G P G qo P b b Escrevendo, então, equção dos três momentos cim, referid o poio (), obtém-se: ou sej: donde: ( ) 6 P 6P () P 6b P recção no poio intermédio () obtém-se utiizndo equção hbitu (8.6): R n ' n R " n R Substituindo pr n, obtém-se: n n n n n n P P P / R P P, 75P J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

51 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 5 s restntes dus recções R e R ccum-se recorrendo às equções d estátic. ssim, tomndo os momentos em (), por eempo, ( ): donde: P P R 6P R 5 R, 5P F : e, somndo s forçs segundo vertic ( ) P P R P R R Donde: R, 5P b)- Digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores Um vez ccuds s recções nos poios, os digrms dos esforços trnsversos e dos momentos fectores podem ser esboçdos sem quisquer dificuddes: V,75P,5P,5P,5P,5P,5P m, 76P,5P P J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

52 5 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções PROLE Um vig prismátic de comprimento () e rigidez à feão EI está encstrd num ds etremiddes, simpesmente poid em mis dus secções e sujeit um crregmento uniforme q() q o, conforme o esquem representdo n figur seguir. Determinr: )- s recções nos poios e o momento de encstrmento. b)- O desocmento vertic d etremidde ivre d vig, no cso prticur em que. RESOLUÇÃO: )- Recções nos poios Trtndo-se dum vig contínu, deve picr-se equção dos três momentos (8.) em cd um dos poios intermédios: ( n n n n n ) n n 6n n n 6 b n n o cso vertente, há pens um único poio intermédio (). O crregmento eterno nos dois troços djcentes - e - é do mesmo tipo, conforme representdo n figur seguir. Escrevendo então equção dos três momentos pr o poio (), obtém-se: donde: / q( ) q,, G o q o b / ou sej: qo ( n ) 6 6 b ( ) qo 6 ( ) q( ) q qo 6 8 qo () Por outro do, sendo o útimo poio encstrdo, pode escrever-se equção dicion (8.5): o J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

53 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 5 J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9 (8.5) dptndo o cso vertente, obtém-se: ou sej: o q donde: 8 o q (b) Resovendo o sistem de equções () e (b), obtém-se: ) ( 8 o q e ) ( o q recção no poio intermédio () obtém-se utiizndo equção hbitu (8.6): " ' n n n n n n n n n R R R Substituindo pr n, obtém-se: R R R " ' Ou sej, substituindo os vores pr s diverss forçs e momentos: ( ) q q q q q q q R 6 ) ( ) ( 8 ) ( 8 o o o o o o o s restntes dus recções R e R ccum-se recorrendo às equções d estátic. ssim, tomndo os momentos em (), por eempo, ( ) : ) ( o R R q

54 5 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções donde: ( 9 ) R qo( ) qo R 8 8 e, somndo s forçs segundo vertic ( ) Donde: R F : ( ) R R qo ( ) q R 8 o 7 b)- Desocmento vertic d etremidde ivre o cso prticur de ser, tem-se: 9q o R ; q o R ; q o R ; qo Os momentos fectores o ongo do eio d vig são ddos pes seguintes epressões (origem dos n etremidde esquerd): q ( ) o (pr ) qo ( ) qo ( ) R ( ) qo R ( ) R qo ( ) 5 7 7,, (pr ) (pr ) vig conjugd é conforme representdo n figur seguir: J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

55 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 55 O desocmento vertic d secção () d vig re é igu o momento fector d vig conjugd n mesm secção, isto é: δ ( ) c q o EI EI d ( ) d 9 7 ( ) d 9 7 cundo os integris obtém-se, finmente: δ 9qo 68EI d ( ) d d PROLE 7... onsidere um coun de secção circur chei, de rio R, e outr de secção circur oc, com mesm quntidde de mteri, conforme iustrdo no esquem d figur () seguir. R R R () (b) )- Determine rzão entre s crgs crítics de cd um ds couns. b)- Idem pr um secção qudrd chei, de do, e outr oc, de do igu, figur (b). RESOLUÇÃO: )- Secções circures omeç-se por ccur os rios de girção pr s dus secções: (i)-secção mciç: πr I R r πr J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

56 56 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções (i)-secção oc: O rio interior d secção oc deve ser t que respectiv áre sej igu à d secção oco, isto é: donde: ( R ) π R π R R R O rio de girção d secção oc é, então: ( R 9R ) π r ' I ' ' πr 7 R omo s áres são iguis, rzão entre s crgs crítics é mesm ds tensões crítics: R π E cr ' cr 7 π E R donde: b)- Secções qudrds ' cr 7 cr o cso ds secções qudrdos, tem-se, igumente: (i)-secção mciç: (i)-secção oc: I r T como no cso nterior, o do interior d secção oc deve ser t que respectiv áre sej igu à d secção oco, isto é: donde: O rio de girção d secção oc é, então: J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

57 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur I ' r ' ' 7 rzão entre s crgs crítics será, então: donde: ' cr cr π E π E ' cr 7 cr PROLE 7... Um brr de ço de secção rect 6mm mm é rticud em mbs s etremiddes e está sujeit um compressão i, conforme indicdo n figur seguir. dmitindo que o imite de cedênci do mteri é σ p 5P e o respectivo móduo de esticidde EGP, determine: 6 )- O comprimento mínimo d brr pr o qu fórmu de Euer pode ser utiizd. b)- O vor d crg crític pr um comprimento d brr igu m. RESOLUÇÃO: )- omprimento mínimo d brr O momento de inérci mínimo d secção em questão é: bh 6 5 I, mm donde, o rio de girção mínimo d secção: J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

58 58 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções r I,, mm 6 5 tensão crític é dd pe equção (7.8), isto é: cr 5 π E σ ( / r) O comprimento mínimo pr o qu fórmu de Euer é picáve obtém-se fzendo tensão crític n equção nterior igu à tensão imite de cedênci: donde: 6 5 π ( /,5 ) 7 mm, 7m 9 )- Vor d crg crític O vor d crg crític pr um comprimento de m é ddo pe equção fundment de Euer (7.7), isto é: cr π EI Substituindo peos vores numéricos, obtém-se: 9 π, cr 66k e tensão i correspondente est crg é: σ 66 cr 6 cr , P PROLE 7... Determine crg crític (segundo teori de Euer) pr um coun birticud, cuj secção é constituíd por um perfi IP6. brr tem,5m de comprimento e o móduo de esticidde do ço é EGP. J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

59 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 59 RESOLUÇÃO: onsutndo tbe de perfis IO (P-9) dd no pêndice D, verific-se que o momento de inérci mínimo do perfi em questão é igu,88 6 mm. Usndo fórmu de Euer (7.7), obtém-se: 6 π EI π,88 cr 9, 77k,5 9 PROLE 7... Um brr de comprimento e rigidez EI está encstrd n etremidde, enqunto que n etremidde é permitid rotção e o desocmento i, sendo restringido ququer desocmento trnsvers, conforme representdo no esquem d figur seguir. V V Deduz equção d crg i crític cr, bem como o comprimento efectivo d coun. RESOLUÇÃO: Qundo brr entr em encurvdur, desenvove-se um momento de feão n etremidde encstrd e forçs de recção trnsversis V em cd um ds etremiddes (ver figur em cim), de t modo que, pe condição de equiíbrio dos momentos: V O momento fector n secção à distânci d etremidde é ddo pe epressão seguinte: ( ) V V ( ) donde, equção diferenci de encurvdur d brr: d EI d V ( ) J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

60 6 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções Est equção pode escrever-se ind sob form: onde: soução ger d equção () é: d V k ( ) () d EI k EI V sen( k) cos( k) ( ) s constntes de integrção e, bem ssim como recção trnsvers V, ccum-se prtir ds condições de fronteir pr e, onde se tem,. Há um terceir condição pr, onde é, tmbém d/d. ssim, obtém-se: V tg( k) V k Ests três equções são stisfeits se V, que soução trivi, correspondente um defeão nu. Pr hver outrs souções pr ém d soução nu, o determinnte crcterístico deve ser nuo: tg( k) k ou sej: k tg(k) (b) Est é equção de encurvdur, cuj soução é crg crític d brr em questão. O menor vor não nuo que stisfz equção (b) é: k,9 O crregmento crítico correspondente é, então: J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

61 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 6 cr O comprimento efectivo d brr é t que: Finmente, comprndo (c) e (d), obtém-se: e,699, 7,9EI,6π EI (c) cr π EI (d) e PROLE 7... Um brr de comprimento e rigidez EI está rticud n etremidde, enqunto que n etremidde rotção é prcimente restringid por um momento de restituição de mgnitude λ por unidde de rotção (rdino) ness etremidde, conforme sugerido no esquem d figur que se present seguir. V V Deduz equção d crg i crític cr. onsidere que tnto como estão impedidos de se desocr termente, ms o poio pode proimr-se do poio. RESOLUÇÃO: Este probem é muito semehnte o nterior. configurção deformd d brr está esboçd n figur em cim. Qundo brr entr em encurvdur, desenvove-se o momento de restituição n etremidde e forçs de recção trnsversis V em cd um ds etremiddes, de t modo que, pe condição de equiíbrio dos momentos: V O momento fector n secção à distânci d etremidde é ddo pe epressão seguinte: ( ) V J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

62 6 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções donde, equção diferenci de encurvdur d brr: d EI V d Est equção pode escrever-se ind sob form: onde: d d soução ger d equção () é: k k EI V EI sen( k) cos( k) s constntes de integrção e e forç ter V ccum-se prtir ds condições fronteir pr e, onde se tem,. D primeir condição resut imeditmente que. Há ind considerr um terceir condição fronteir, retiv o decive em : d d O sin () no segundo membro d equção nterior deve-se o fcto do momento fector e o decive [d/d] serem de sinis opostos. Est condição em, tendo já em tenção que constnte, e que V, pode então escrever-se sob form seguinte: Ds dus condições em, resut: λ V k cos( k) V λ sen( k) V k cos( k) V λ Ests dus equções são stisfeits se V. Ess é soução trivi, correspondente um defeão nu. Pr hver soução do sistem nterior, pr ém d soução nu, o determinnte crcterístico deve ser nuo, isto é: () J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

63 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 6 sen( k) k cos( k) λ donde: k cotg( k) λ Est equção permite obter crg de encurvdur cr. T equção terá de ser resovid numericmente pr vores específicos de EI, e λ. PROLE Um coun cuj secção é constituíd por um perfi IPE (P-6 e DI- 5) está montd sobre pinos ns dus etremiddes e tem um comprimento de 8m. coun suport um crregmento vertic P 87,5ton picdo no centróide d secção superior e um crregmento tmbém vertic P,5ton picdo com um ecentricidde de cm em reção o eio princip com o mior momento de inérci, conforme representdo n figur seguir. )- Usndo fórmu d secnte, ccue tensão de compressão máim n coun. Tome o móduo de esticidde do ço é EGP b)-dmitindo que tensão de cedênci do ço é σ p 8P, qu é o fctor de segurnç em reção à pstificção do mteri? RESOLUÇÃO: )- Tensão de compressão máim e 5cm ton P P 5ton 87, 5ton, cm Os dois crregmentos P e P são estticmente equiventes à crg i únic ton picd com um ecentricidde e5cm (ver figur o do).este cso pode usr-se directmente fórmu d secnte pr determinr tensão máim de compressão n peç: ev σ m sec () r r E J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

64 6 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções s proprieddes requerids do perfi IPE são obtids d Tbe E. no pêndice E:, 85mm ; r 65, mm ; v mm 85 Substituindo os vores numéricos em (), obtém-se: σ m ou sej: 6 8,5,5, 8 sec,65, σ m 69, 86P 6 8,5 Est tensão de compressão ocorre n secção à mei tur d coun, no do côncvo d mesm. b)- Fctor de segurnç Pr determinr o fctor de segurnç retivmente à pstificção do mteri, é preciso ccur o vor do crregmento p, picdo com ecentricidde e, que irá produzir um tensão máim igu à tensão de cedênci σ p 8P. Substituindo σ m σ p 8P n fórmu d secnte (): p ev σ p sec r r Usndo os respectivos vores numéricos: 8 ou sej, 6 8,5 p E,5, 8 sec,65,65 p p 9,66 6 [,655 sec( 5,7 )] p p Resovendo est equção numericmente, obtém-se: p,59 59, ton 6 8,5 Este crregmento produzirá escomento do mteri (em compressão) n secção trnsvers do momento fector máimo.um vez que o crregmento re é ton, o fctor de segurnç contr escomento é: p 59, F. S.,59 J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

65 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 65 J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

66 66 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções 8.. PROLES PROPOSTOS 8... Um vig encstrd n etremidde e simpesmente poid n etremidde, de comprimento e rigidez à feão (EI), suport um crg uniforme de intensidde q q o, como representdo n figur seguir. q o q q ( o / ) q q o Determine: )-s recções nos poios e. b)-s forçs de corte o ongo do comprimento d brr. c)-os momentos fectores o ongo do comprimento d brr. d)- equção d eástic o ongo do comprimento d brr. e)- defeão máim e posição onde ocorre. f)-s rotções ds secções trnsversis o ongo do comprimento d brr. g)- rotção no poio. Soução: ) R 5q o /8; q o /8; R q o /8. b) V() q o 5q o /8. c) () q o /5q o /8 q o /8. d) q o ( 5 )/(8EI). e) m.5q o )/(8EI), pr.579. f) θ q o (8 56 )/ (8EI). g) θ Β q o /(8EI) Um vig encstrd n etremidde e simpesmente poid n etremidde, de comprimento e rigidez à feão (EI), suport um crg prboicmente distribuíd de cordo com equção q q o ( / ) como representdo n figur seguir. Determine: )-s recções nos poios e. b)- equção d eástic. Soução: ) R 6q o /; q o /; R 9q o /. b) q o ()( 8 )/ (7 EI) Um vig encstrd n etremidde e simpesmente poid n etremidde, de comprimento e rigidez à feão (EI), é soicitd por um momento o picdo em, conforme representdo n figur seguir. Determine: )-s recções nos poios e. b)-s forçs de corte o ongo do comprimento d brr. c)-os momentos fectores o ongo do comprimento d brr. d)- equção d eástic. e)- defeão máim e posição onde ocorre. f)-s rotções ds secções trnsversis o ongo do comprimento d brr. g)- rotção no poio. Soução: ) R R o /(); o /. R q o /8. b) V() o /(). c) () o ()/(). d) o ()/(EI). e) m o )/(7EI), pr /. f) θ o ()/(EI). o J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

67 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 67 g) θ Β o /(EI) Um vig biencstrd, de comprimento e rigidez à feão (EI), suport um forç concentrd meio vão de intensidde P P o, conforme representdo n figur seguir. Determine: )-s recções nos poios e. b)-s forçs de corte o ongo do comprimento d brr. P P o c)-os momentos fectores o ongo do comprimento d brr. d)- equção d eástic o ongo do comprimento d brr. e)- defeão máim e posição onde ocorre. f)-s rotções ds secções trnsversis o ongo do comprimento d brr. Soução: ) R R P o /; P o /8. b) V() P o /, pr <</ e V() P o /, pr /<<. c) () P o /5P o /8, pr / e () P o /P o /8, pr /. d) P o ()/(8EI), pr / e P o () ()/(8EI), pr /. e) m P o )/(9EI), pr /. f) θ P o ( )/(8EI), pr / e θ P o ()()/(8EI), pr / Um vig bi-encstrd, de comprimento e rigidez à feão (EI), suport um distribuição de crg sinusoid q q o sen(π/), conforme representdo n figur seguir. Determine: )-s recções nos poios e. b)- equção d eástic o ongo do comprimento d brr. Soução: ) R R q o /π; q o /π. b) q o [ sen(π/) ππ ]/ (π EI) Um vig contínu de dois vãos, de comprimento, está sujeit um crregmento uniforme q q o, conforme representdo n figur seguir. )-Determine, recorrendo o método d sobreposição, s recções em, e. b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: R R q o /8; R 5q o / Um vig contínu com dois vãos diferentes, de comprimentos e, está sujeit um crregmento uniforme de intensidde q q o, conforme representdo n figur seguir. q q sen( π / ) o q q o q q o J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

68 68 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções )-Determine, recorrendo o método d sobreposição, s recções em, e. b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: R q o /8; R q o /6; R q o / Um vig encstrd n etremidde e simpesmente poid n etremidde, de comprimento, suport um crregmento uniforme de intensidde q q o n metde esquerd do seu comprimento, conforme representdo n figur seguir. q q o )-Determine s recções nos poios d vig. b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: R 57q o /8; R 7q o /8; 9q o / Um vig biencstrd, de comprimento, suport um crg uniforme de intensidde q q o sobre um prte do vão, conforme representdo n figur seguir. q q o )-Determine, recorrendo o método d sobreposição, s recções em e. b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: q o (6 8 )/( ); q o ()/( ); R q o ( ª )/( ); R q o ()/( ) Retivmente à vig que se refere o probem nterior, considere situção em que crg q o ctu sobre todo o comprimento, conforme representdo n figur seguir. Determine: )-s recções nos poios. b)- equção d eástic. c)- fech meio vão. d)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: ) R R q o /; q o /. b) q o () /(EI) c) δ q o /(8EI) ind retivmente à vig que se referem os dois probems nteriores, considere situção em que crg q o ctu sobre um troço centr de comprimento b, conforme representdo n figur seguir. q q o q q o b )-Determine s recções nos poios. b)-pr o cso prticur de b/, desenhe o digrm dos momentos fectores e identifique secção mis soicitd. Soução: ) R R q o b/; q o b( b )/(). b) m 9q o / Um vig encstrd n etremidde e simpesmente poid n etremidde, de comprimento e J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

69 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 69 rigidez à feão (EI), sofre um ssentmento δ o, conforme representdo n figur seguir. Determine: )-s recções nos poios e. b)-s forçs de corte o ongo do comprimento d brr. c)-os momentos fectores o ongo do comprimento d brr. d)- equção d eástic o ongo do comprimento d brr. e)-s rotções ds secções trnsversis o ongo do comprimento d brr. f)- rotção no poio. Soução: ) R R EIδ o / ; EIδ o /. b) V() EIδ o /. c) () EIδ o ()/. d) δ o ()/( ). e) θ δ o ()/( ). f) θ Β δ o /() onsidere vig representd n figur seguir, com um comprimento tot de 5m e um rigidez à feão EI,m, crregd com um distribuição contínu q o 6k/m nos primeiros m prtir d secção de encstrmento. q o 6k / m m )-Determine recção em, supondo que este poio sofre um fundmento 6mm. m m δ o b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: R 7,k Um vig encstrd n etremidde e simpesmente poid n etremidde, de comprimento e rigidez à feão (EI), suport um distribuição de crg tringur de intensidde máim q o, conforme representdo n figur seguir. q o Determine: )-s recções nos poios e. b)- equção d eástic o ongo do comprimento d brr. c)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: ) R q o /5; q o /5; R q o /. b) q o ( 8 8 )/(EI) Um vig bi-encstrd de comprimento e rigidez à feão (EI), suport um distribuição de crg tringur de intensidde máim q o, conforme representdo n figur seguir. q o Determine: )-s recções nos poios e. b)- equção d eástic o ongo do comprimento d brr. c)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

70 7 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções Soução: ) R 7q o /; q o /; R q o /; q o /. b) q o () ()/(EI) Um vig biencstrd ns etremiddes e, de comprimento e rigidez à feão (EI), suport um distribuição de crg tringur simétric de intensidde máim q o, conforme representdo n figur seguir. q o Soução: R P o ()( )/( ); R P o ( )/( ); P o ()( )/( ) Um vig encstrd n etremidde e simpesmente poid n etremidde, de comprimento e rigidez à feão (EI), suport um crg concentrd meio vão de intensidde P P o, conforme representdo n figur seguir. P P o Determine: )-s recções nos poios e. b)- equção d eástic o ongo do comprimento d brr. c)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: ) R R q o /; 5q o /96. b) q o (5 6 )/(9), pr / (simétric retivmente à vertic /) Um vig encstrd n etremidde e simpesmente poid n etremidde, de comprimento, suport um crg concentrd P P o em, à distânci d secção de encstrmento, conforme representdo n figur seguir. / / P P o )-Determine s recções nos poios e d vig. b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Determine: )-s recções nos poios e. b)- equção d eástic o ongo do comprimento d brr. c)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: ) R P o /6; P o /6; R 5P o /6. b) P o (9)/(9), pr / e P o ()( 5 )/ (9), pr / Um vig de comprimento, encstrd n etremidde e simpesmente poid n etremidde, suport dus crgs concentrd de intensidde P P o, conforme representdo n figur seguir. Po Po Determine: )-s recções nos poios e. c)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

71 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 7 Soução: ) R P o /; P o /; R P o / Um vig de 5m de comprimento, encstrd n etremidde e simpesmente poid em D, à distânci de m d etremidde, suport um crg concentrd de intensidde P 5k picd meio vão entre poios e outr crg de intensidde P 5k picd n etremidde, conforme representdo n figur seguir. Determine: )-s recções nos poios. c)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: ) R 5k; 5km; R 5k Um vig biencstrd ns etremiddes e, de comprimento e rigidez à feão (EI), suport dus crg concentrds, mbs de intensidde P P o, picds à distânci de cd um dos poios, conforme representdo n figur seguir. P P o P 5k m m D P P o Determine: )-s recções nos poios e. b)- defeão máim d vig. Soução: ) R R P o /; P o ()/. b) δ m P o ()/(EI). P 5k m 8... Um vig com dois troços prismáticos de comprimentos iguis ms de rigidez à feão diferentes (EI e EI, respectivmente), está encstrd n etremidde e simpesmente poid n etremidde, e suport um crregmento uniforme de intensidde q q o o ongo de todo o comprimento, conforme representdo n figur seguir. )-Determine s recções nos poios d vig. b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: R q o /8; R 7q o /8; 7q o / Um vig D com três troços prismáticos de rigidez à feão (EI, EI e EI, respectivmente), está encstrd em mbs s etremiddes e suport um crg concentrd meio vão de intensidde P P o, conforme representdo n figur seguir. EI q q o EI EI EI P P o EI )-Determine s recções nos poios e D. b)- defeão máim d vig. Soução: ) R R D P o /; D 5P o /8. ) δ m P o /(7EI) ind retivmente à brr que se refere o probem nterior, ms gor pr dus crgs concentrds d D J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

72 7 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções mesm intensidde P P o picds ns secções de trnsição e, conforme representdo n figur seguir. P P o P P o q o )-Determine s recções nos poios. b)- defeão máim d vig. Soução: ) R R D P o ; D P o /6. ) δ m P o /(5) Um vig, de comprimento e rigidez à feão EI, está simpesmente poid em e e ssent meio vão sobre um mo de rigidez k. vig está sujeit um crregmento uniforme q q o o ongo de todo o seu comprimento, conforme representdo n figur seguir. EI q q o k EI Determine qu deverá ser rigidez k d mo de modo que o momento fector máimo n vig tenh o menor vor possíve. Soução: k 77,EI/ onsidere um estrutur em form de L, constituíd por dois eementos de igu comprimento () e mesm rigidez à feão (EI), encstrd n etremidde e simpesmente poid em, conforme representdo n figur seguir. EI D estrutur está sujeit um pressão uniforme q o picd sobre todo o comprimento do eemento. Tendo em cont pens os esforços de feão, determine s recções nos poios. Soução: V V q o /8; H q o ; q o / Pr mesm estrutur em L que se refere o probem nterior, considere gor situção em que soicitção é um forç horizont H o picd mei tur do eemento. H o / / Tendo em cont pens os esforços de feão, determine: )- s recções nos poios. b)- O vor do momento fector máimo n estrutur. Soução: ) V V H o /; H H o ; H o /. b) m H o / ind pr mesm estrutur em L que se referem os dois probems nteriores, considere gor situção em que há um poio rticudo em cd um ds etremiddes e, conforme representdo n figur seguir. J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

73 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 7 H o Tendo em cont pens os esforços de feão, determine: )- s recções nos poios. b)- O vor do momento fector máimo n estrutur. Soução: ) H H o /; V H o /; H 9H o /; V H o /. b) m H o / onsidere estrutur D com form representd n figur seguir, construíd em brr com rigidez à feão (EI ), encstrd n etremidde e simpesmente poid em. / / P P o D Determine os desocmentos horizont e vertic do ponto D. Soução: δ h P o ()/(EI); δ v P o (6)/(EI) Um vig contínu com poios simpes em, e, está sujeit um crregmento uniforme de intensidde q 6P o / no segmento e dus crgs concentrds de intensiddes P o e P o / picds em D e E, respectivmente, conforme representdo n figur seguir. )-Determine, recorrendo o método d equção dos três momentos, s recções nos poios, e. b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: R,5P o ; R,75P o ; R,5P o Um vig contínu D com três vãos iguis de comprimentos, está sujeit um forç concentrd de intensidde P P o picd n secção médi, conforme representdo n figur seguir. )-Determine, recorrendo o método d equção dos três momentos, os momentos fectores ns secções e. b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: P o / Um vig contínu D com três vãos iguis de comprimentos, está sujeit um crregmento uniforme de intensidde q q o o ongo de todo o seu comprimento, conforme representdo n figur seguir. D P o q q o q 6 P o P P o P o E D D J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

74 7 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções )-Determine, recorrendo o método d equção dos três momentos, s recções em,, e D. b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: R R D q o /5; R R q o / Um vig contínu D com três vãos iguis de comprimentos, está sujeit um crregmento uniforme de intensidde q q o no vão, e um crg concentrd P o q o à distânci / do poio D, conforme representdo n figur seguir. )-Determine, recorrendo o método d equção dos três momentos, s recções em,, e D. b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: R q o /96; R 89q o /6; R 9q o /; R D 69q o / Um vig contínu com dois vãos de m cd, encstrd n etremidd e simpesmente poid em e, está sujeit um crregmento uniforme de intensidde q 5k/m no vão, conforme representdo n figur seguir. q q o q 5k / m )-Determine s recções em,, e. b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. P q o D o Soução: R 6,k; R,7k; R 5,7k; 8,5km Um vig contínu D com dois vãos de comprimentos, encstrd n etremidd, simpesmente poid em e, e com o segmento D em conso, está sujeit um crregmento uniforme de intensidde q q o o ongo de todo o seu comprimento, conforme representdo n figur seguir. )-Determine os momentos fectores ns secções, e. b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: q o ( )/; q o ( )/8; q o / Um vig contínu D com três vãos iguis de comprimentos, está sujeit um fundmento δ o do poio, conforme representdo n figur seguir. δ o q q o )-Determine os momentos fectores ns secções e. b)-desenhe os digrms dos esforços trnsversos e momentos fectores. Soução: 8EIδ o /(5 );. EIδ o /(5 ) Um vig contínu de 5 poios DE com vãos de comprimentos 8m, m, 9m e 7m, respectiv-mente, D D J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

75 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 75 está sujeit um crregmento uniforme de intensidde q 6k/m nos vãos e D, e um crg concentrd P o k à distânci de m do poio, conforme representdo n figur seguir. m Determine: )-Os momentos fectores em, e D. )-s recções em,,, D e E. b)-os digrms dos esforços trnsversos e dos momentos fectores. Soução: ),m; 5,9m; D 9,57m. b) R,k; R 6,5k; R 6,k; R D 6,k; R E 8,k Um coun bi-rticud em mdeir (EGP, σ dm P), tem um comprimento de m e secção qudrd com cm de do, conforme representdo n figur seguir. P k q 6k / m 8m m ) Determine crg máim que coun á cpz de suportr, de cordo com teori de Euer pr encurvdur e utiizndo um coeficiente de segurnç de,. b) Verifique se o vor ccudo n íne ) é comptíve com resistênci do mteri à compressão. cm D m 9m 8m E cm Soução: ),k. b) ão ( m 7,8k) Um coun de secção trnsvers qudrd (do ) em mdeir (EGP), com,5m de comprimento, encstrd n bse e ivre n outr etremidde, conforme representdo n figur seguir. 5k,5m Determine o do d secção, de form que coun suporte um crg i de 5k com um coeficiente de segurnç retiv-mente à encurvdur n8. Soução:,9cm Um coun tubur de comprimento,5m é construíd em tubo de ço (EGP) de secção circur com diâmetro interior d 6mm e diâmetro eterior d mm, conforme representdo n figur seguir. coun está poid pens ns etremiddes e pode encurvr em ququer direcção. d d Determine crg crític cr pr cd um ds seguintes condições de poio: )- rticud ns dus etremiddes. b)- Encstrd num etremidde e ivre n outr. c)- Encstrd num etremidde e rticud n outr. z J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

76 76 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções )- Encstrd ns dus etremiddes. Soução: ) cr 7,9k. b) cr 9,8k. c) cr 77,57k. d) cr 5,65k Um coun de comprimento,5m, rticud ns dus etremiddes, é construíd em tubo de ço (EGP, σ p 9P) de secção circur com diâmetro interior d 5mm e diâmetro eterior d 56mm. coun está sujeit um forç de compressão de intensidde 9k picd meio d espessur d prede do tubo, conforme indicdo n figur seguir. Determine : )- O vor d tensão máim no tubo. b)- O vor vor máino dmissíve d crg P o, pr um coeficiente de segurnç n, retivmente à fuênci do mteri. Soução: ) σ m 58,9P. b) dm 8,5k Um coun de comprimento () e rigidez à feão (EI) está rigidmente encstrd n bse e tmbém encstrd n etremidde, EI d d o 9k ms com possibiidde de movimento trnsvers ivre, conforme representdo n figur nterior. Determine crg crític retivmente à encurvdur. Soução: cr π EI/ Um coun de comprimento e secção trnsvers rectngur (b), construíd em brr de umínio (E 7GP), está encstrd pe bse em e guid trnsversmente sem trito n outr etremidde, segundo direcção z, sem ququer restrição n direcção, conforme representdo n figur seguir. ) Determine reção /b dos dois dos d secção trnsvers que corresponde o dimensionmento mis eficiente contr encurvdur. b) Determine secção trnsvers mis eficiente, pr o vor 5mm, k e um coeficiente de segurnç igu,5. Soução: ) /b,5. b),mm; b,7mm. b 8... Um coun bi-rticud ns etremiddes é construíd em tubo de umínio (E7GP) de secção circur, com o comprimento m e diâmetro eterior d 5mm. Determine espessur t que deverá ter o tubo, de form que coun poss suportr um crg 5k, com um z J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

77 pítuo VIII - Vigs Estticmente Indeterminds e Encurvdur 77 fctor de segurnç retivmente à encurvdur n. Soução: t,5mm Resov o probem nterior, considerndo gor um coun em tubo de ço (EGP), com comprimento 6,5m, diâmetro eterior d mm e 5k. Soução: t 6,mm. 55k 55k m Determine crg crític cr pr o sistem representdo n figur seguir. Soução: cr k / Determine crg crític cr pr o sistem representdo n figur seguir. Soução: cr k/(). k k Um brr de ço (EGP) de comprimento m e secção trnsvers qudrd 5mm5mm é comprimid por dus forçs oposts 55k cd, picds ecentricmente meio de um dos dos, conforme representdo n figur seguir. Determine: 5mm 5mm ) defeão ter máim d brr. b) O momento fector máimo n brr. Soução; ) δ m 8,mm. b) m,8km Retivmente à brr que se refere o probem nterior, suponh gor que crg é picd coimente, no centro de cd um ds secções e. Determine o vor d tensão crític (σ cr ) qundo crg tinge o vor crítico à encurvdur ( cr ). Soução: σ cr,9p ind retivmente à brr que se refere o probem 8..8, ms pr um crg 6k picd com mesm ecentricidde de 5mm, determine: ) O vor d tensão máim n brr. b) O vor d crg que produz um tensão máim (σ m ) igu 8P. Soução: ) σ m 66,P. b),7k. J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9

78 78 ecânic dos teriis e Estruturs Lineres. Teori e picções 8.. ILIOGRFI [8.]-Timoshenko, S.P. nd Young D.H., "Eements of Strength of teris", Ed. Vn ostrnd, ew York, (96). [8.]-rnco,..., "ecânic ouste Gubenkin, Lisbo, (985). dos teriis", Ed. Fundção [8.]-ssonnet,., "Résistnce des tériu", Ed. Dunod, Pris, (968). [8.]-enhm, P.P. nd Wrnock, F.V., "echnics of Soids nd Structures", Ed. Pitmn Pubishing, London, (976). [8.5]-Hern, E.J., "echnics of teris", Ed. Pergmon Press, Oford, (98). [8.6]-Ugur,.. nd Fenster, S.K., "dvnced Strength nd ppied Esticit", Ed. Esevier orth-hond Pubishing ompn, Inc., ew York (98). [8.7]-Gere, J.., nd Timoshenko, S.P., echnics of teris, Ed. hpmn & H, London (99). [8.8]-eer, F.P., nd Johnston, E.E., echnics of teris, cgrw-hi ook o., London (99). [8.9]-Porte,., e Siv,., "ecânic dos teriis", Pátno Edições Técnics, Lisbo (996). J. F. Siv Gomes, FEUP - Porto, 9