PME-2350 MECÂNICA DOS SÓLIDOS II AULA #1: FUNÇÕES DE MACAULAY 1

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1 ME-50 MECÂNICA DOS SÓLIDOS II AULA #1: FUNÇÕES DE MACAULAY 1 11 Motição e objetios N náise estátic de estruturs formds por igs desej-se conhecer, ém ds tensões e deformções nos pontos mis soicitdos, os desocmentos trnsersis o ongo do eio centr decorrentes do crregmento picdo à ig Em ger, isto pode ser feito trés d integrção d EDO de ª ordem (que recion distribuição de momentos fetores ns seções, M(, com distribuição de curturs medids o ongo do eio centr, ( ( ou d EDO de 4ª ordem (que recion distribuição de crregmento distribuído o ongo do eio centr, q(, com derid de 4ª ordem d função (, que fornece os desocmentos trnsersis em cd ponto do eio As dus forms em, nturmente, o mesmo resutdo fin, ficndo escoh crgo do projetist Os pontos positios e negtios recionds cd um dests escohs são: Opção 1: Integrção d EDO de ª ordem ( onto positio: sendo um EDO de menor ordem, são necessáris menos integrções pr obter e menos condições de contorno pr obter s dus únics constntes de integrção onto negtio: determinção d epressão corret d distribuição de momentos fetores pode ser de difíci obtenção (dependendo d form como o crregmento está picdo Opção : Integrção d EDO de 4ª ordem ( ( onto negtio: sendo um EDO de mior ordem, são necessáris mis integrções pr obter e mis condições de contorno pr obter s qutro constntes de integrção onto positio: determinção d epressão corret d distribuição do crregmento distribuído é, em ger, mis simpes do que determinção d distribuição de momentos fetores (isto tmbém depende d form como o crregmento está picdo 1 Nots de Au preprds peo rof Dr Roberto Rmos Jr, emi: rrmosjr@uspbr Esco oitécnic d Uniersidde de São uo Deprtmento de Engenhri Mecânic 1 A rof Meo Mores, 1, São uo, S, Te: (

2 r epicr mehor necessidde do uso ds funções de Mcu (ou ds funções de singuridde, serem estudds em outr oportunidde, consideremos ig bipoid de comprimento tot L e rigidez feion EI constnte submetid os crregmentos indicdos n Fig 1 A V A b M o B C D E q V E c L Fig 1 Vig submetid diersos tipos de crregmento É eidente que cd inserção de um noo crregmento (ou retird do mesmo, no cso de crregmentos distribuídos há um correspondente terção n epressão do momento fetor no trecho que segue ogo pós introdução (ou retird deste crregmento Dest form, pr ig submetid o crregmento indicdo n Fig1, terímos um tot de qutro trechos serem nisdos: AB, BC, CD e DE, com s respectis epressões de momento fetor dds por: Trecho 1 (AB:, 0 Trecho (BC:, Trecho (CD:, Trecho 4 (DE:, Nturmente, cd no epressão do momento fetor (em cd um dos qutro trechos considerdos está ssocid um epressão correspondente pr inh eástic d ig (nquee trecho, qu poderi ser obtid pe integrção de:, 1 4 Esco oitécnic d Uniersidde de São uo Deprtmento de Engenhri Mecânic A rof Meo Mores, 1, São uo, S, Te: (

3 o que eri à necessidde de determinção de oito constntes de integrção (dus pr cd trecho, s quis deem ser obtids pe soução do sistem iner de oito equções gébrics indicdo seguir: Eq(1: (0 0 (desocmento trnsers nuo em A; Eq(: ( ( (comptibiidde de desocmentos em B; Eq(: ( ( (comptibiidde de rotções em B; Eq(4: ( ( (comptibiidde de desocmentos em C; Eq(5: ( ( (comptibiidde de rotções em C; Eq(: ( ( (comptibiidde de desocmentos em D; Eq(7: ( ( (comptibiidde de rotções em D; Eq(8: ( 0 (desocmento trnsers nuo em E; Mesmo trtndo-se d soução de um sistem iner, é notório que o esforço depreendido pr resoer um probem simpes como o presentdo é demsido Contudo, com o uso ds funções de Mcu ou de outrs funções de singuridde (det de Dirc, Heiside, dipoo unitário, é possíe epressr sej distribuição de crregmento sej de momento fetor num únic epressão, fciitndo náise estrutur de form significti A seguir serão presentds s funções de Mcu 1 As funções de Mcu Sej 0 < < L, e n um número ntur ququer (n 0, 1,, Consideremos função definid no intero berto (0, L por: 0, 0 < <, < < ercebe-se, crmente, que o uso dos símboos, empregdos por Mcu pr representr s singuriddes decorrentes de descontinuiddes no crregmento picdo em igs, nd mis fz do que tornr nu função ntes do ponto de singuridde (, mntendo função interd pós este mesmo ponto, conforme iustr Fig Esco oitécnic d Uniersidde de São uo Deprtmento de Engenhri Mecânic A rof Meo Mores, 1, São uo, S, Te: (

4 Fig Eempo com função de Mcu: 1 (à esq ; 1, (à dir Verific-se de imedito que integr indefinid d função fic dd por: 1 Onde C é um constnte de integrção ser determind 1 Eempos de picção d função de Mcu n náise de igs Momento concentrdo picdo em : M o Fig Momento concentrdo em r o crregmento decorrente de um momento concentrdo picdo em, prce do momento fetor tot deid unicmente este momento de mgnitude é dd por: 0, 0, Esco oitécnic d Uniersidde de São uo Deprtmento de Engenhri Mecânic 4 A rof Meo Mores, 1, São uo, S, Te: (

5 b Forç concentrd picd em : Fig 4 Forç concentrd em r o crregmento decorrente de um forç concentrd picd em, prce do momento fetor tot deid unicmente est forç de mgnitude é dd por: 0, 0, c Crregmento uniformemente distribuído no intero (té o fin d ig: q Fig 5 Crregmento uniforme no trecho r um crregmento uniformemente distribuído de intensidde q (em N/m, no SI, picdo no intero (ou sej, té o fin d ig, prce do momento fetor tot deid unicmente este crregmento é dd por: 0, 0, Esco oitécnic d Uniersidde de São uo Deprtmento de Engenhri Mecânic 5 A rof Meo Mores, 1, São uo, S, Te: (

6 d Crregmento inermente distribuído no intero (té o fin d ig: L q o Fig Crregmento inermente distribuído no trecho r um crregmento inermente distribuído de intensidde máim q o (em N/m, no SI, picdo no intero (ou sej, té o fin d ig, prce do momento fetor tot deid unicmente este crregmento é dd por: 0, 0, Onde é deciidde ngur do crregmento inermente distribuído (epress em N/m 14 Eempo de picção competo A ig ABCD indicd n Fig 7 encontr-se simpesmente poid em B e D, estndo rigidmente conectd um suporte CEF, em cuj etremidde tu um forç ertic ede-se: obter inh eástic d ig ABCD utiizndo s funções de Mcu, prtindo d equção diferenci de ordem que estbeece reção entre curtur e o momento fetor n ig Utiize os eios indicdos e epresse respost pens em função dos prâmetros ddos; b obter o desocmento ertic n seção A e estbeecer s condições em que t desocmento é pr cim Ddos:,,, EI Esco oitécnic d Uniersidde de São uo Deprtmento de Engenhri Mecânic A rof Meo Mores, 1, São uo, S, Te: (

7 Esco oitécnic d Uniersidde de São uo Deprtmento de Engenhri Mecânic 7 A rof Meo Mores, 1, São uo, S, Te: ( Fig 7 Vig ABCD com crregmento trnsers Soução: es equções d estátic determinm-se s reções nos poios B e D: V B + V D (mbs, B V e D V, orientds pr cim D reção (momento fetor (curtur temos: M V M EI C B ( "( 0 onde: M C (momento em C, deido o trnsporte d forç Integrndo dus ezes, irá: 1 ( C C M V EI C B + + onde s constntes de integrção são obtids trés ds condições de contorno que são: i 0 ( ii 0 4 ( resutndo, finmente: ( EI b r 0, teremos; 9 5 (0, EI A V δ Assim: 10 0, A V < > δ

8 15 Apêndice 1: Conenção de sinis Fig 8 Conenção de orientção pr os eios coordendos Fig 9 Conenção de sinis pr os esforços soicitntes e crregmentos 1 Apêndice : Equções úteis pr náise de um ig Reção entre momento fetor e curtur: Considerndo o seguinte conjunto de hipóteses: i Mteri eástico-iner; ii iii Seções trnsersis pns permnecem pns; Lineridde geométric Cheg-se à seguinte equção constituti: Em que é curtur do eio centr d ig ( 1, sendo o rio de curtur oc ode-se erificr que epressão et d curtur é dd por: Esco oitécnic d Uniersidde de São uo Deprtmento de Engenhri Mecânic 8 A rof Meo Mores, 1, São uo, S, Te: (

9 " 1 / orém, considerndo nomente hipótese de ineridde geométric, temos de form proimd: " Obtendo-se equção diferenci ordinári iner de segund ordem bio: " b Equções diferenciis de equiíbrio: Fig 10 Vig sob crregmento trnsers genérico D picção do equiíbrio de forçs n direção ertic (direção : D picção do equiíbrio de momentos: Combinndo s equções cim, cheg-se : Esco oitécnic d Uniersidde de São uo Deprtmento de Engenhri Mecânic 9 A rof Meo Mores, 1, São uo, S, Te: (