MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS EM TRELIÇAS E PÓRTICOS

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1 ÍUO MÉOO OS ESOMENOS EM RÇS E ÓRIOS om o objectivo de presentr uns conceitos como o de ssembem e introdução de condições de poio, fz-se qui um sucint descrição do método dos desocmentos picdo à náise de treiçs e pórticos tridimensionis.. - Simbooi present-se em primeiro ur um resumo d simbooi doptd n formução do método dos desocmentos em treiçs e pórticos. be. - Simbooi retiv o método dos desocmentos em estruturs reticuds. i j α x x θ M Referenci er Referenci uxiir Referenci oc rimeiro nó de um brr Seundo nó de um brr Ânuo entre eixos dos referenciis uxiir e oc oordends de um ponto no referenci er oordends de um ponto no referenci oc Mtriz de trnsformção esocmento ou desocmento enerizdo Rotção orç ou forç enerizd Momento 9

2 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo R n p E G I I t esocmentos nodis, nos rus de iberdde d estrutur, no referenci er esocmentos nodis, nos rus de iberdde d brr, no referenci er esocmentos nodis, nos rus de iberdde d brr, no referenci oc Mtriz de riidez d estrutur no referenci er Mtriz de riidez d brr no referenci er Mtriz de riidez d brr no referenci oc orçs nodis equiventes à cção exterior, nos rus de iberdde d estrutur, no referenci er orçs nodis equiventes à cção exterior, nos rus de iberdde d brr, no referenci er orçs nodis equiventes à cção exterior, nos rus de iberdde d brr, no referenci oc Índice correspondente um ru de iberdde não prescrito (ivre) Índice correspondente um ru de iberdde prescrito Recção num poio d estrutur Número de rus de iberdde não prescritos (ivres) Número de rus de iberdde prescritos Móduo de Youn de um mteri Áre d secção trnsvers de um brr omprimento de um brr Móduo de distorção de um mteri Momento de inérci d secção trnsvers de um brr Momento de inérci de torção d secção trnsvers de um brr

3 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo. - Referenciis e cordo com o que foi descrito no pítuo, n formução d mtriz de riidez de um brr de eixo rectiíneo e de secção constnte são considerdos dois referenciis directos e ortonormdos: o er (,, ) e o oc (,, ). O referenci er é quee em que se encontrm expresss s coordends de todos os nós que depois são utiizdos pr definir posição ds brrs. O referenci oc é definido peos seuintes eixos: é o eixo d brr e e são os eixos principis centris de inérci d secção trnsvers d brr (ver iur.). i j i < j i.. - rr ij, referenci er e referenci oc. onsider-se hbitumente, sem perd de eneridde, que brr definid peos nós i e j tem o nó i coincidente com oriem dos dois referenciis e o nó j sobre o semi-eixo positivo. É tmbém hbitu considerr que o número do nó i é inferior o número do nó j (i < j). Os eixos e podem ser trocdos entre si, tendo em tenção que o referenci oc deve ser sempre directo. troc de com obri trocr entre si os vores dos momentos de inérci em reção e. Em ququer dos csos é necessário definir criteriosmente o ânuo α (ver o pítuo ).

4 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo trnsformção de coordends entre os referenciis e é efectud com seuinte expressão em que é mtriz de trnsformção (x) definid tmbém no pítuo. x x () Nest expressão, x são s coordends de um ponto no referenci e x são s coordends desse mesmo ponto no referenci. equção () tmbém pode ser utiizd pr trnsformr s componentes de um vector do referenci pr o referenci.. - Grus de iberdde Num ponto do espço pertencente um corpo sujeito desocmentos e deformções podem ser considerdos seis rus de iberdde (três de desocmento e três de rotção). θ θ 5 θ () esin-se por desocmentos enerizdos o rupmento dos três desocmentos e ds três rotções num só vector com seis componentes (ver iur.). θ θ 5 θ i.. - esocmentos enerizdos.

5 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo No estudo de um pórtico são considerdos os seis desocmentos enerizdos em cd ponto nod (d brr ou d estrutur). O cso d treiç, em que pens são considerdos três desocmentos em cd ponto nod (, e ), pode ser dptdo do pórtico, bstndo eiminr tudo o que diz respeito rotções e momentos. r se pssr d treiç pr treiç bst suprimir tudo o que diz respeito um dos três rus de iberdde. Os pórticos, rehs e vis contínus são tmbém simpificções do cso do pórtico. or ser o cso mis enérico, de qui em dinte pens se desenvove formução d brr de pórtico. Em correspondênci com os seis desocmentos enerizdos, são considerds seis forçs enerizds ( forçs e momentos), que se representm n iur.. Μ Μ 5 Μ i.. - orçs enerizds. N iur. encontr-se representd um brr de dois nós (i e j). Em cd nó são considerdos seis rus de iberdde em correspondênci com os seis desocmentos enerizdos (). ssim, o número de rus de iberdde d brr é doze.

6 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo i 5 9 j 7 8 i < j i.. - Grus de iberdde d brr ijno referenci oc. Em correspondênci com os doze rus iberdde representdos n iur., têm-se tmbém s forçs e os momentos que ctum ns extremiddes d brr.. - Mtriz de trnsformção mtriz de trnsformção referid em () é um mtriz x cujos componentes são () trnsformção dos doze desocmentos enerizdos representdos n iur. pode ser efectud com seuinte reção, desde que mtriz de trnsformção psseserummtrizx constituíd pe repetição de () qutro vezes. ( ) ( ) ( ) ()

7 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo (5).5 - Mtriz de riidez e vector soicitção Supondo o cso de um brr de eixo rectiíneo e secção constnte, respectiv mtriz de riidez no referenci oc ( ), bem como o vector de forçs nodis equiventes diversos tipos de cções ( ) podem ser directmente obtidos com bse num formuário de estruturs [.] (ver tmbém s Secções.9 e.). ssim, prte-se do princípio que se dispõe d mtriz e do vector, que se recionm com hbitu equção ( ) ( ) ( ) () sendo o vector dos desocmentos enerizdos d brr no referenci oc. s equções () e (5) são váids, quer pr os desocmentos enerizdos, quer pr s forçs enerizds, tendo-se tmbém ( ) ( ) ( ) (7) Um vez que mtriz de trnsformção é ortoon, i.e. (8)

8 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo mutipicm-se mbos os membros de (7) por e obtém-se ( ) ( ) ( ) (9) Substituindo em (9) equção () ( ) ( ) ( ) () resut ( ) ( ) ( ) ( ) () Substituindo () em () che-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Um vez que reção de riidez d brr no referenci er é ( ) ( ) ( ) () comprção de () com () concui-se que mtriz de riidez d brr de pórtico no referenci er é dd por () ( ) ( ) ( ) ( ) O vector soicitção pode ser ccudo com expressão (9). epois de serem conhecidos os desocmentos, é possíve ccur s cções ns extremiddes ds brrs no referenci oc, recorrendo à seuinte expressão, que resut d substituição de () em () ( ) ( ) ( ) ( ) (5)

9 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo. - ssembem d mtriz de riidez ob e do vector soicitção epois de ccuds tods s mtrizes de riidez ds brrs no referenci er com recurso à expressão (), é necessário proceder o cácuo d mtriz de riidez ob d estrutur. Um operção semehnte tem de ser efectud com os vectores soicitção dsdiverssbrrs. ssembem n mtriz de riidez ob ds mtrizes de riidez ds diverss brrs é em seuid presentd com bse no exempo d iur.5. i..5 - ssembem num exempo unidimension. estrutur representd n iur.5 é unidimension, tem qutro nós ( ) e qutro brrs ( ). d brr tem s sus crcterístics, nomedmente, o móduo de Youn (E), áre d secção trnsvers () e o comprimento (). Em cd nó existe um único ru de iberdde. Em correspondênci com os qutro rus de iberdde existem qutro desocmentos nodis () e qutro forçs nodis equiventes à cção exterior (). d brr tem dois rus de iberdde (um em cd extremidde). r cd brr é conhecid mtriz de riidez (x) no referenci er, cuj desinção se simpific de cordo com rr : () rr : (7) 7

10 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo 8 : rr (8) : rr (9) tendendo à numerção ob dos rus de iberdde ( ), s mtrizes de riidez ds brrs pssm ser ( ) : rr () ( ) : rr () ( ) : rr () ( ) : rr () O vector dos desocmentos em todos os rus de iberdde d estrutur é ()

11 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo 9 i.. - Vectores ds forçs nodis equiventes cções exteriores. tendendo à numerção ob dos rus de iberdde, os vectores ds forçs nodis equiventes às cções ns diverss brrs são (ver iur.) ( ) : rr (5) ( ) : rr () ( ) rr : (7) ( ) rr : (8) Os vectores e mtrizes indicdos em ()-(8) recionm-se entre si de cordo com s seuintes equções

12 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo (9) () () () som dos primeiros membros ds equções (9)-() é iu à som dos seus seundos membros, resutndo () ( ) () Um vez que reção de riidez envovendo todos os rus de iberdde d estrutur é (5) concui-se que + + () + e + + (7) + dicionndo s mtrizes ()-() de cordo com () che-se (8) dicionndo os vectores soicitção (5)-(8) de cordo com (7) che-se

13 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo (9) O procedimento de ssembem qui exposto é enerizáve o cso em que existem seis rus de iberdde em cd nó. r esse fim, é suficiente considerr que, por exempo, em vez de ser um escr é um mtriz x contendo os eementos d mtriz que recionm os rus de iberdde do nó com os rus de iberdde do nó..7 - Introdução ds condições de poio O sistem de equções (5) ind não pode ser resovido, porque ft entrr em inh de cont com s condições de poio d estrutur. Ests condições fronteir correspondem poios fixos ou ssentmentos de poio. Os poios fixos podem sempre ser trtdos como ssentmentos de poio de vor nuo. or este motivo, no desenvovimento que se seue pens são referidos os ssentmentos de poio. O sistem de equções (5) recion forçs e desocmentos que se encontrm no referenci er, enobndo todos os rus de iberdde d estrutur. endo em vist considerção ds condições de poio, os rus de iberdde d estrutur são divididos em dois rupos: - rus de iberdde não prescritos (ivres) - rus de iberdde prescritos ssim, o sistem de equções (5) pss ter seuinte ornizção por bocos + R () Em (), é o vector que enob os desocmentos seundo os rus de iberdde não prescritos e enob os prescritos. O mesmo tipo de subdivisão é efectudo com o vector ds forçs nodis equiventes à cção exterior ( ). O vector dicion em que

14 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo fiur R contém s recções de poio, que consistem ns forçs (ind desconhecids) que fzem com que os desocmentos em poios ssumm os vores prescritos. esinndo por n o número de rus de iberdde não prescritos e por p onúmerode rus de iberdde prescritos, são especificds n be. s dimensões ds sub-mtrizes que fiurm em (). be. - imensões ds sub-mtrizes presentes em (). ( n x n ) ( n x p ) ( p x n ) ( p x p ), ( n x ),, R ( p x ) Est divisão em sub-mtrizes obri fzer um reornizção ds inhs e ds couns d mtriz que fiur em (5), bem como ds componentes dos vectores e. N be. é presentdo o sinificdo dos eementos ds qutro sub-mtrizes de indicds em (). be. - Sinificdo dos eementos ds sub-mtrizes de indicds em (). esocmento unitário imposto seundo um ru de iberdde: orçs de fixção num ru de iberdde: ivre ivre ivre rescrito rescrito ivre rescrito rescrito No novo sistem de equções indicdo em (), s incónits são eementos de,, e têm vores conhecidos. e R. Os

15 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo O sistem de equções () pode ser escrito do seuinte modo + () + + R () equção () pode ser rescrit do seuinte modo () Em (), é um mtriz qudrd, que em er é não sinur, é o vector ds incónits e os vores dos vectores e mtrizes que estão no seundo membro são conhecidos. or este motivo, () constitui um sistem de equções ineres, que depois de resovido fornece os vores dos desocmentos equção () pode ser rescrit do seuinte modo. R + () Um vez que os desocmentos ds recções em rus de iberdde prescritos ( R ). já são conhecidos, est expressão fornece os vores O modo de introdução ds condições de poio qui descrito tem s seuintes vntens: n fse do processo que requer um mior voume de cácuos e um rnde quntidde de memóri de rmzenmento, i.e., n fse de resoução do sistem de equções (), o número de equções e incónits é n em vez de ser n+p; em comprção com o método em que é diciondo à dion princip de um número eevdo, o método qui proposto present menos probems numéricos, principmente qundo se utiizm métodos itertivos pr resover o sistem de equções. princip desvntem do método qui proposto é necessidde de rupr os eementos de em diverss sub-mtrizes. Est nov rrumção cus ums dificuddes, principmente qundo se utiizm técnics de rmzenmento esprso, em bnd ou em perfi.

16 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo.8 - semento d náise de um pórtico endo em vist náise de um estrutur do tipo pórtico peo método dos desocmentos, suere-se o seuinte oritmo - r cd brr: cur mtriz de trnsformção () e em seuid ccur (5) cur mtriz de riidez d brr, no referenci oc ( ) cur mtriz de riidez d brr, no referenci er ( ) com () ssembr ( )em()(ver Secção.) cur o vector ds forçs nodis equiventes à cção exterior n brr, no referenci oc ( ) cur ( )com(9) ssembr ( )em( ) (ver Secção.) - Introduzir s condições de poio (ver Secção.7) - Resover o sistem de equções ineres (), determinndo ssim os desocmentos - cur s recções nos poios com () - r cd brr: ssr os desocmentos retivos à brr corrente do vector pr o vector cur ( ) com (5) -im Embor sej possíve utiizr o procedimento suerido sem recursos informáticos, é hoje em di preferíve impementá-o por intermédio de um prorm de computdor. Neste domínio surem muits terntivs, tis como seecção d inuem de

17 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo prormção, o modo de crir os ddos do probem, o modo de rmzenmento d informção, s técnics numérics utiizds, o recurso ou não bibiotecs de operções mtriciis, etc..9 - Mtriz de riidez de um brr de treiç no referenci oc N iur.7 encontr-se representd um brr de treiç espci, de eixo rectiíneo e secção constnte. su mtriz de riidez (5), express no referenci oc, depende ds seuintes rndezs: E - móduo de Youn, constnte em todos os pontos d brr; - áre d secção trnsvers d brr, considerd constnte; - comprimento d brr. i j 5 i < j i..7 - reiç : rus de iberdde d brr ijno referenci oc. E E E E (5) 5

18 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo. - Mtriz de riidez de um brr de pórtico no referenci oc N iur.8 encontr-se representd um brr de pórtico espci, de eixo rectiíneo e secção constnte. su mtriz de riidez ()-(5), express no referenci oc, depende ds seuintes rndezs: E - móduo de Youn, constnte em todos os pontos d brr; - áre d secção trnsvers d brr, considerd constnte; - comprimento d brr; G - móduo de distorção [.]; I - momento de inérci d secção trnsvers d brr em reção o eixo ; I - momento de inérci d secção trnsvers d brr em reção o eixo ; I t - momento de inérci de torção d secção trnsvers d brr [.] [.]. Not: e são eixos principis centris de inérci d secção trnsvers d brr. i 5 9 j 7 8 i < j i..8 - órtico : rus de iberdde d brr ijno referenci oc. ii i j ji j j ()

19 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo 7 GI E t ii (7) GI E t j i (8) ( ) j i ji (9) GI E t j j (5). - onsiderções finis Neste cpítuo não foi considerd possibiidde d brr presentr eixo não rectiíneo, nem o fcto de secção trnsvers ser vriáve o ono do eixo d brr. Não foi tmbém considerd contribuição ds tensões tnenciis pr deformção, hbitumente desind deformção por esforço trnsverso. incusão dests crcterístics fz com que formução presentd neste cpítuo perc simpicidde trás evidencid. Mis dinte serão presentds formuções d mtriz de riidez de um brr recorrendo técnics específics do Método dos Eementos initos, em prticur formução de vi de imoshenko. om este tipo de eementos de brr é possíve ter em considerção deformção por esforço trnsverso, o eixo curviíneo e secção vriáve.

20 Método dos esocmentos em reiçs e órticos - Ávro. M. zevedo IIOGRI [.] - rzão rinh, J. S.; orrei dos Reis,. - bes écnics, Edições écnics E..., 998. [.] - zevedo,.. M. - Mecânic dos Sóidos, cudde de Enenhri d Universidde do orto, 99. [.] - Sedães vres,. - náise Mtrici de Estruturs, bortório Ncion de Enenhri ivi, urso 9, isbo, 97. [.] - Mssonnet,. - Résistnce des Mtériux, unod, ris, 98. 8