Universidade Federal de Pelotas Vetores e Álgebra Linear Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Matrizes

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1 Uiversidde Federl de Pelos Veores e Álgebr Lier Prof : Msc. Merhy Heli Rodrigues Mrizes. Mrizes. Defiição: Mriz m x é um bel de m. úmeros reis disposos em m lihs (fils horizois) e colus (fils vericis).. A é um mriz x ;. B é um mriz x;. C é um mriz x. 5 6 Como podemos or os exemplos, e respecivmee, um mriz pode ser represed por colchees, prêeses ou dus brrs vericis... Represeção de um mriz: As mrizes cosumm ser represeds por lers miúsculs e seus elemeos por lers miúsculs, comphds de dois ídices que idicm, respecivmee, lih e colu ocupd pelo elemeo. Um mriz A do ipo m x é represed por: ou, brevidmee, A= m x A m m m m, ode i e j represem, respecivmee, lih e colu que o elemeo ocup, i m. j Por exemplo, mriz erior, é o elemeo d segud lih com o d erceir colu. Sej mriz A= x, ode i j.

2 Geericmee, emos: mriz, emos: i j () () 5 () () 6 A x. Uilizdo regr de formção dos elemeos dess Assim, A= Mrizes especiis.. Mriz lih: É od mriz do ipo x, iso é, com um úic lih. A 7. x.. Mriz colu: É od mriz do ipo x, iso é, com um úic colu. B. x.. Mriz qudrd: É od mriz do ipo x, iso é, com o mesmo úmero de lihs e colus. Nese cso, dizemos que mriz é de ordem. C 7 x D 7 Mriz de ordem Mriz de ordem Sej A um mriz qudrd de ordem. Digol pricipl é o cojuo de elemeos dess mriz, is que. Digol secudári é o cojuo de elemeos dess mriz, is que. A Descrição d mriz: A digol pricipl é digol formd pelos elemeos, e 6; - A digol secudári é digol formd pelos elemeos 5, e 5; - = - é elemeo d digol pricipl, pois i = j = ; - = 5 é elemeo d digol secudári, pois i + j = + = +... Mriz ul: É od mriz em que odos os elemeos são ulos. x

3 Noção: O m x O x..5 Mriz digol: É od mriz qudrd ode só os elemeos d digol pricipl são diferees de zero. A B Mriz ideidde: É od mriz qudrd ode odos os elemeos que ão esão digol pricipl são ulos e os d digol pricipl são iguis. Noção: I ode idic ordem d mriz ideidde. I ou : I,, sei j, sei j I..7 Mriz rspos: Chmmos de mriz rspos de um mriz A, mriz que é obid prir de A, rocdo-se ordedmee sus lihs por colus ou sus colus por lihs. Noção: A. Se A eão A =..8 Mriz siméric: Um mriz qudrd de ordem é siméric qudo A= A. OBS: Se - A = Se A, dizemos que mriz A é i-siméric. A 5 x A..9 Mriz opos: Chmmos de mriz opos de um mriz A mriz que é obid prir de A, rocdo-se o sil de ods os seus elemeos. Noção: - A Se A eão A = -.. Iguldde de mrizes: Dus mrizes, A e B, do mesmo ipo m x, são iguis se, odos os elemeos que ocupm mesm posição são idêicos. Noção: A = B. 5 x

4 c Se A B b e A = B, eão c = e b = Simbolicmee: A B b pr odo i m e odo i.. Operções com mrizes.. Adição de Mrizes: m x Dds s mrizes A= e B = m x m x c, l que c b, pr odo i m e odo i. Noção: A + B = C b, chmmos de som ds mrizes A e B mriz C =... Proprieddes: A, B e C são mrizes do mesmo ipo (m x ), vlem s seguies proprieddes: ) Associiv: (A + B) + C = A + (B + C) ) Comuiv: A + B = B + A ) Elemeo Neuro: A + O = O + A = A, ode O é mriz ul m x. ) Elemeo Oposo: A + (-A) = (-A) + A = O ) ) 7.. Subrção de Mrizes Dds s mrizes A= e B= b m x m x de A com mriz opos de B Noção: A - B = A + (-B), chmmos de difereç ere s mrizes A e B som - ) Muliplicção de um úmero rel por um mriz: Ddos um úmero rel k e um mriz A do ipo m x, o produo de k por A é um mriz do ipo m x, obid pel muliplicção de cd elemeo de A por k. Noção: B = k.a OBS.: Cd elemeo b de B é l que b = k... Proprieddes: Sedo A e B mrizes do mesmo ipo (m x ) e x e y úmeros reis quisquer, vlem s seguies proprieddes: ) Associiv: x.(y.a) = (x.y).a

5 ) Disribuiv de um úmero rel em relção dição de mrizes: x.(a+b) = x.a + x.b ) Disribuiv de um mriz em relção som de dois úmeros reis: (x + y).a = x.a + y.a ) Elemeo Neuro: x.a = A, pr x =, ou sej:.a = A Muliplicção de mrizes:. O produo ds mrizes A= e B= b m x p é mriz C= p x m x c, ode cd elemeo c é obido rvés d som dos produos dos elemeos correspodees d i-ésim lih de A pelos elemeos d j-ésim colu de B. Decorrêci d defiição: A mriz produo A.B exise pes se o úmero de colus d primeir mriz A e B A. B (A) é igul o úmero de lihs d segud mriz (B). Assim: m x p p x m x A e B A. B ) Se x x 5 x 5 ) Se e B que ão exise produo A x x...proprieddes: Verificds s codições de exisêci, pr muliplicção de mrizes são válids s seguies proprieddes: ) Associiv: (A.B).C = A.(B.C) ) Disribuiv em relção à dição: A.(B+C) = A.B + A.C ) Elemeo Neuro: A. I = I.A = A, ode I é mriz ideidde de ordem. ) Comuiv: pois, em gerl, A.B B.A ) Sedo A= e B= ) Sej A= ) A.B b) B.A.5 Mriz Ivers: x e B, vmos deermir A.B e B.A e comprr os resuldos x, deermie: Dd um mriz A, qudrd, de ordem, se exisir um mriz B, de mesm ordem, l que I, eão B é mriz ivers de A. Noção: B = A Sedo A = x, vmos deermir mriz ivers de A, se exisir.

6 .6 Operções elemeres com s lihs de um mriz.6. Trocr dus lihs.6. Muliplicr ou dividir um lih por um esclr ão ulo.6. Somr um lih our muliplicd por um esclr.7 Mriz Equivlee Um mriz B é di equivlee um mriz A, se for obid rvés de um úmero fiio de operções elemeres com s lihs d mriz A. Idic-se por ou A~B. e e.8 Mriz Esclod Um mriz A = [ ] mx diz-se esclod (ou escd) ou que esá form esclod, se: ) lihs uls esão bixo ds ão uls; b) o primeiro elemeo ão ulo d lih i + esá à direi do primeiro elemeo d lih i. ) b).9 Mriz Esclod Reduzid por lihs Um mriz esá form reduzid por lihs, se: ) lihs uls, se exisirem, ecorm-se bixo ds ão uls; b) o primeiro elemeo ão ulo de cd lih ão ul é, chmdo de coeficiee líder ou pivô; c) colu com coeficiee líder possui os ouros elemeos ulos; d) coeficiee líder d lih i + ecor-se direi do coeficiee líder d lih i. ) b). Poso e Nulidde de um mriz Sej um mriz de ordem, defie-se: Poso de um mriz (p A ): é o úmero de lihs ão uls de su mriz esclod. Nulidde de um mriz (N A ): é o úmero de colus de A meos o poso de A.