Matriz. Matrizes especiais

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1 Mariz Mariz de ipo m sobre um corpo Uma mariz de ipo m sobre um corpo Ω é um quadro com m lihas e coluas cujos elemeos A ij são escalares de Ω. A11 A2 A1 A21 A22 A 2 A= A ij = Am 1 Am2 Am A mariz A ij elemeo ou erada da mariz i ídice de liha ; j ídice de colua ÁLGEBRA Marizes - 1 Marizes especiais Mariz-liha mariz de ipo 1 Mariz-colua mariz de ipo m 1 Mariz-quadrada mariz de ipo ou de ordem elemeos pricipais = A ii diagoal pricipal r(a) = raço de uma mariz quadrada = soma dos elemeos da diagoal pricipal ÁLGEBRA Marizes - 2

2 Marizes quadradas Mariz ula - O (de qualquer dimesão) Mariz riagular Mariz diagoal Mariz ideidade Marizes especiais I x x x x x x x x x x x x superior iferior x 0 0 D3 = 0 x x a 0 0 = E = 0 a a ÁLGEBRA Marizes - 3 Igualdade de marizes Operações Duas marizes são iguais se e só se os elemeos homólogos são iguais. A= B A = B ij ij Elemeos homólogos elemeos com ídices iguais ÁLGEBRA Marizes - 4

3 Adição de marizes Operações A adição ou soma de duas marizes é uma mariz cujos elemeos são iguais à soma dos elemeos homólogos C = A+ B Cij = Aij + Bij 1. AB, M A+ B M 4. A+ O= O+ A= A m m 2. ( A+ B) + C = A+ ( B+ C) 5. A+ ( A) = ( A) + A= O 3. A + B = B+ A 6. A= B e C = D A+ C = B+ D ÁLGEBRA Marizes - 5 Operações Muliplicação de uma mariz por um escalar O produo de uma mariz por um escalar é uma mariz que se obém muliplicado o escalar por cada um dos elemeos da mariz. λ.a = [λ.a ij ] 1. A Mm, λ Ω λa Mm 4. ( λ. µ ). A= λ.( µ. A) 2. λ.( A+ B) = λa+ λb A= A 3. ( λ + µ ). A = λ. A+ µ. A 6. A= B λ. A= λ. B ÁLGEBRA Marizes - 6

4 Operações Muliplicação de marizes Cosiderem-se duas marizes A e B ais que o úmero de coluas de A é igual ao úmero de lihas de B. O produo das marizes A e B é uma mariz P=A.B ode P = AB ij ik kj k = 1 B1 j A B i1 Aik A i kj. = P ij B j A.B = P (m ).( p) = m p ÁLGEBRA Marizes - 7 Muliplicação de marizes Marizes quadradas Operações ( M - cojuo das marizes quadradas de ordem ) 1. AB, M AB. M 4. ( A+ B). C= AC. + BC. 2. ( AB. ). C= A.( BC. ) 5. A.( B+ C) = AB. + AC. 3. I. A= AI. = A 6. A= B e C = D AC. = B. D Em geral, o produo de marizes ão é comuaivo A.B B.A ÁLGEBRA Marizes - 8

5 Trasposição de marizes 1. ( A ) = A 2. ( A + B) = A + B 3. ( AB. ) = B. A Operações (uárias) A mariz rasposa da mariz A, A, obém-se aravés da roca ordeada de lihas por coluas (coluas por lihas) da mariz A. A A (m ) ( m) Marizes quadradas A=A A é simérica A=-A A é hemi-simérica ÁLGEBRA Marizes - 9 Operações (uárias) Cojugação de marizes A mariz cojugada da mariz A, A, obém-se subsiuido cada elemeo de A pelo respecivo complexo cojugado. A = A ij 1. A= A 2. ( A + B) = A+ B 3. AB. = AB. ÁLGEBRA Marizes - 10

6 Operações (uárias) Trascojugação de marizes A mariz rascojugada ou mariz adjua da mariz A, A *, obém-se aravés da rasposição e cojugação da mariz A. * A = A = A ( ) ( ) 1. * ( A ) * = A 2. ( A + B) = A + B * * * 3. ( AB. ) = B. A * * * Marizes quadradas defiidas sobre o corpo C A=A * A é hermieaa A=-A * A é hemi-hermieaa ÁLGEBRA Marizes - 11 Operações (uárias) Iversão de marizes A mariz iversa da mariz A, A -1, é al que A A A A I. =. = ( A ) = A ( A ) = ( A ) 3. (. ). 5. ( ) ( k ) ( ) AB = B A I = I 4. AB. = O B= O 6. A = A Codição ecessária para a exisêcia de iversa A é uma mariz quadrada ÁLGEBRA Marizes - 12 k

7 Operação elemear Operações elemeares Operações elemeares sobre as lihas (coluas) da mariz A: (a) - roca de duas lihas (coluas); (b) - muliplicação de uma liha (colua) por uma cosae ão ula; (c) - adição a uma liha (colua) de oura liha (colua) muliplicada por uma cosae ão ula. As operações elemeares são do ipo 1, ipo 2 ou ipo 3 cosoae são obidas por (a), (b) ou (c) ÁLGEBRA Marizes - 13 Mariz elemear Operações elemeares Uma mariz elemear de ordem é obida pela execução de uma operação elemear sobre a mariz ideidade de ordem (I ). Uma mariz elemear é do ipo 1, ipo 2 ou ipo 3 cosoae o ipo da operação elemear que lhe deu origem. As marizes elemeares são iveríveis e a iversa de uma mariz elemear é ambém uma mariz elemear. ÁLGEBRA Marizes - 14

8 Operações elemeares Operação elemear Mariz elemear Se a mariz B é obida da mariz A por execução de uma operação elemear: - sobre as lihas, eão B=E.A - sobre as coluas, eão B=A.E A mariz E é coseguida pela execução da mesma operação elemear que deu origem a B. As operações elemeares vão ser usadas o cálculo da caracerísica e a iversão de marizes ÁLGEBRA Marizes - 15 Combiação liear Combiação liear das lihas de uma mariz Se A é uma mariz m, a combiação liear das lihas de A é a mariz-liha ode λ i Ω. X = λ A + λ A + + λ A () 1 ( 2) m ( m) 1 2 Combiação liear das coluas de uma mariz Se A é uma mariz m, a combiação liear das coluas de A é a mariz-colua ode λ i Ω. () 1 ( 2) ( ) Y = λ A + λ A + + λ A 1 2 ÁLGEBRA Marizes - 16

9 Depedêcia liear Depedêcia liear das lihas de uma mariz As m lihas da mariz A são liearmee depedees se e só se exisem em Ω m escalares λ 1, λ 2,, λ m,ão odos ulos ais que λ A + λ A + + λ A = O () 1 ( 2) m ( m) 1 2 Idepedêcia liear das lihas de uma mariz As m lihas da mariz A são liearmee idepedees se se verifica que λ A + λ A + + λ A = O () 1 ( 2) m ( m) 1 2 só com odos os escalares λ 1, λ 2,, λ m ulos. ÁLGEBRA Marizes - 17 Caracerísica Caracerísica de uma mariz A caracerísica de uma mariz é o úmero máximo de lihas (coluas) da mariz que são liearmee idepedees. A caracerísica de uma mariz pode ser deermiada: - usado a oção de depedêcia/idepedêcia liear - usado operações elemeares (codesação da mariz) ÁLGEBRA Marizes - 18

10 Caracerísica Cálculo de caracerísica usado operações elemeares Pricípio do méodo: - a aplicação de uma operação elemear ão alera a caracerísica da mariz; - em marizes riagulares (ou diagoais), a caracerísica da mariz é igual ao úmero de elemeos ão ulos da diagoal pricipal (em marizes recagulares, a oção de diagoal pricipal é esedida aos elemeos de ídices iguais). Em coclusão, devemos rasformar a mariz iicial uma mariz riagular (ou diagoal) por aplicação de operações elemeares; esa ova mariz, o cálculo da caracerísica é imediao. ÁLGEBRA Marizes - 19 Iversão Iversão de marizes usado operações elemeares Pricípio do méodo: Realizar uma sucessão de operações elemeares sobre as lihas de uma mariz aumeada (C) coedo a mariz origial e a mariz ideidade aé que a mariz origial se rasforme a mariz ideidade. [ ] [ ] [ A ] C = A I A C = A A I = A A A I = I A Ek... EEC 2 1 = Ek... EE 2 1 Ek... EEI 2 1 I A ÁLGEBRA Marizes - 20