ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS

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1 ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS AULA 3: OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS: OPERARAÇÕES NAS VARIÁVEIS DEPENDENTES; OPERARAÇÕES NA VARIÁVEL INDEPENDENTE. FUNÇÕES ELEMENTARES: O DEGRAU UNITÁRIO; A RAMPA UNITÁRIA; A FUNÇÃO PORTA; A FUNÇÃO SIGNUM. O IMPULSO UNITÁRIO; O PULSO UNITÁRIO; O PULSO TRIANGULAR;

2 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas as Variáveis Depedees Os sisemas processam siais uilizado uma combiação de algumas operações básicas. x() Erada do Sisema SISTEMA y() Saída do Sisema y()= f(x()) 2

3 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas as Variáveis Depedees Mudaça de Escala de Ampliude o sial y() é defiido por: y() = c x() para o caso coíuo; y[]= c x[] para o caso discreo. Em que c é um faor de escala. x() SISTEMA y()= c x() y() Adição o sial y() é defiido por: y() = x () + x 2 () para o caso coíuo; y[]= x [] + x 2 [] para o caso discreo. x () x 2 () SISTEMA y() y() = x () + x 2 () 3

4 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas as Variáveis Depedees Muliplicação o sial y() é defiido por: y() = x (). x 2 () para o caso coíuo; y[]= x []. x 2 [] para o caso discreo. x () x 2 () SISTEMA y() y() = x (). x 2 () Difereciação o sial y() é obido a parir da derivada de x(). d y() = x() para o caso coíuo; d y[] = x[] - x[ - ] para o caso discreo. x() SISTEMA y() = x () y() 4

5 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas as Variáveis Depedees Iegração o sial y() é obido pela iegração de x(). y()= x( )d - para o caso coíuo; x() SISTEMA y() = x() y() y[] = x[ ] para o caso discreo. 5

6 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas a Variável Idepedee Escaloameo Temporal o sial y() é obido pela mudaça de escala da variável idepedee, o empo, por um faor a. y()= x(a), com a >. Se a >, o sial y() é uma versão comprimida de x(). Se < a <, o sial y() é uma versão expadida de x(). x() x(2) x(/2) a=2 a=/2 - -/2 /

7 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas a Variável Idepedee Escaloameo Temporal para o caso discreo em-se que: y[] = x[k], com k >. x[] x[2] k = 2 x[/2] k = /2 / /

8 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas a Variável Idepedee Reversão Temporal ou Reflexão o sial y() apresea uma versão refleida de x() em relação ao eixo de ampliude. y()= x(-), x() x(-) -a b -b a 8

9 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas a Variável Idepedee Reversão Temporal ou Reflexão para o caso discreo em-se que. y[] = x[-], x[] y[]=x[-] ,5,5 2-2,5 - -,

10 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas a Variável Idepedee Deslocameo Temporal o sial y() é uma versão de x() deslocada o empo. Sedo o o deslocameo o empo, em-se que: y()= x( - o ), Se o >, eão x() é deslocada para a direia; Se o <, eão x() é deslocada para a esquerda; x(+2) x() x(-2)

11 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas a Variável Idepedee Deslocameo Temporal para o caso discreo em-se que: y[] = x[ - m], sedo que o deslocameo m deve ser um úmero ieiro posiivo ou egaivo. Exemplo: Sedo, se = ou = 2; x[] = -, se = - ou = -2; Deermie y[]=x[+3], se = ou > 2. x[] x[+3]

12 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas a Variável Idepedee Regra de Precedêcia para Deslocameo e Escaloameo Seja x() um deermiado sial e y() =x(a-b). A obeção de y() a parir de x() evolve as operações de escaloameo e deslocameo. Em qual sequêcia devem ser execuadas as operações? 2

13 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas a Variável Idepedee Regra de Precedêcia para Deslocameo e Escaloameo Façamos primeiro o escaloameo e depois o deslocameo: O escaloameo emporal de x() pelo faor a resula em x(a). Para se efeuar o deslocameo emporal de x(a) deve-se subsiuir por -b, resulado em x(a( - b))=x(a - ab)) y(). Porao, esa sequêcia de operações ão é a correa! 3

14 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas a Variável Idepedee Regra de Precedêcia para Deslocameo e Escaloameo Façamos, agora, o deslocameo e depois o escaloameo: Para se efeuar o deslocameo emporal de x() deve-se subsiuir por -b, resulado em x(-b). O escaloameo emporal de x(-b) pelo faor a resula em x(a-b)=y(). Porao, esa é a sequêcia correa para se efeuar as operações! 4

15 OPERAÇÕES BÁSICAS EM SINAIS Operações Execuadas a Variável Idepedee Regra de Precedêcia para Deslocameo e Escaloameo Exemplo Deermie x[2+3] sedo x[] coforme mosrado o gráfico abaixo; x[] x[+3] x[2+3]

16 O Degrau Uiário (coíuo) Para o caso coíuo é defiido por:, para > u()=, para < u() Em geral em-se que:, para > u( - )=, para < u(- ) 6

17 O Degrau Uiário (coíuo) Um pulso pode ser escrio como uma combiação de degraus. u(- ) x() 2 u(- 2 ) x()= u( - )- u( - 2) 2 7

18 O Degrau Uiário (discreo) Para o caso discreo é defiido por:, para u[] =, para < u[] Em geral em-se que:, para u[ - ] =, para < u[- ] =

19 O Degrau Uiário (discreo) Algus siais discreos podem ser escrios como uma combiação de degraus. Exemplo Um sial discreo Escrever x[] como superposição de duas fuções degraus., para 6 x[] =, caso corário x[] Resposa: x[] =u[] -u[ -7]

20 O Impulso Uiário (coíuo) - A Fução Dela de Dirac Para o empo coíuo é defiido como: A iegral pode ser escria como: - ()d = ()=, para ()d = - e O impulso em valor ifiio em =, porém, iesidade uiária, pois a área sob o mesmo é. δ() O impulso deslocado é expresso por: ( - )=, para e ( - )d = δ(- ) - 2

21 O Impulso Uiário (coíuo) Um pulso reagular, coforme mosrado a figura abaixo, pode ser usado para se eeder melhor a fução impulso. g() /T Observe que, quado T ede a zero, a ampliude do pulso ede a ifiio, equao sua largura ede a zero. -T/2 T/2 A área é sempre igual a. Dessa forma, o impulso pode ser escrio como: ()=lim g() T 2

22 O Impulso Uiário (coíuo) Exemplo em que aparece um impulso. V u() + - C V C -/RC V c()=v (- e ) Observe que a cosae de empo (=RC) é ula (R=). Iso sigifica que uma carga, Q =CV, deve ser armazeada o capacior um iervalo de empo ifiiesimal. Um impulso de corree deve ocorrer em =. 22

23 Propriedade Seleiva do Impulso Qual o valor da iegral? f() ( - - )d =? Como ( - )=, para a iegral é diferee de zero. somee em =. Assim, em-se que: f() ( - )d = f( ) ( - )d = f( ) ( - )d = f( ) f() ( - )d = f( ) E ambém f() ( - )= f( ) ( - ) 23

24 Relação ere a fução degrau e a fução impulso Observe os gráficos abaixo: f() O segudo gráfico correspode à derivada do primeiro. -T/2 T/2 df()/d Quado T ede a zero f() ede a u() e df()/d ede a δ(). Dessa forma, o impulso pode ser viso como a derivada do degrau. -T/2 /T T/2 ()= du() d - e u()= ( )d 24

25 O Impulso Uiário (caso discreo) A Fução Dela de Kroecker Em empo discreo, o impulso uiário é defiido como:, para = [] =, para δ[] O impulso deslocado é expresso por., para = δ[- ] [ - ] =, para 25

26 Propriedade Seleiva do Impulso (caso discreo) Qual o valor do somaório? x[] [ - ]? - Como [ - ] =, para em-se que - x[] [ - ] x[ ] Observe que, para o caso discreo pode-se escrever: x[] [ - ] x[ ] 26

27 Relação ere o degrau e o Impulso discreo) Pode-se observar facilmee que: u[] [] = u[] - u[ - ]... δ[] u[-]

28 Relação ere o degrau e o Impulso discreo Pode-se observar ambém que: u[] u[] = [ - ] = = =2 δ[] δ[-] δ[-2]

29 A Rampa Uiária (caso coíuo) Para o empo coíuo é defiida como: r( ), para e, para < Ou simplesmee r() u() r() Observe que u () d r() d 45 E ambém que r() u( )d u() 29

30 A Rampa Uiária (caso discreo) Para o empo discreo é defiida como: Ou simplesmee r[] u[] r[] r [], para e, para < r[+] Observe que u[] r [+] - r[] E ambém que r[] = u[ ] 3

31 Exercício - Deermie uma expressão aalíica para a fução x() mosrada o gráfico abaixo. x() Resposa: x() u()- 3u( - 2)+ 2u( - 3)+ 6[u( - 2)- u( - 3)]. 3

32 O pulso Uiário É defiido por: p () /, para < < e, para < ou > p() /τ Observe que a área do pulso é uiária. τ - p()d = 32

33 A Fução Pora ou Pulso de Pora Possui ampliude., para < e É defiido por: 2 re( ), para 2 re(/τ) - τ /2 τ /2 Quado τ =. emos a chamada Fução Pora Uiária re(), cuja área é. - re()d = 33

34 O Pulso Triagular Possui alura. É defiido por: - 2 para 2 ( ), para 2 Δ(/τ) Quado τ =. emos a chamada Fução Triâgulo Uiário Δ(), cuja base é. - τ /2 τ /2 34

35 A Fução Sigum ou Fução Sial É defiido por: sg(), para > -, para < sg() Relações úeis: u() sg() u()- u(-) - sg() 2u()- u() sg()

36 Exercícios: - Deermie uma expressão aalíica para a fução pulso uiário. 2- Deermie uma expressão aalíica para a fução pora. 3- Deermie uma expressão aalíica para o pulso riagular uiário. 36