Exercícios de Análise de Sinal

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1 Exercícios de Aálise de Sial FEUP DEEC Seembro 008 recolha de problemas de diversos auores edição feia por: H. Mirada, J. Barbosa (000) M.I. Carvalho, A. Maos (003, 006, 008)

2 Coeúdo Complexos 3 Siais 5 3 Sisemas 0 4 Sisemas lieares e ivariaes em empo discreo 5 Sisemas lieares e ivariaes em empo coíuo 5 6 Série de Fourier em empo coíuo 8 7 Trasformada de Fourier em empo coíuo 0 8 Aálise de Fourier de SLITs coíuos 3 9 Série de Fourier em empo discreo 5 0 Trasformada de Fourier em empo discreo 7 Aálise de Fourier de SLITs discreos 30 Trasformada de Laplace 33 3 Trasformada Z 35 4 Amosragem 36 Aexo Decomposição em Fracções Simples 38

3 Folha Complexos Para o úmero complexo z = x + jy = re jθ, exprima: (a) r e θ em fução de x e y (b) x e y em fução de r e θ Usado a equação de Euler, prove as seguies relações: (a) cos θ = (ejθ + e jθ ) (b) siθ = j (ejθ e jθ ) (c) cos θ = ( + cos θ) 3 Seja z 0 um úmero complexo de coordeadas polares (r 0,θ 0 ) e coordeadas caresiaas (x 0,y 0 ). Deermie as expressões das coordeadas caresiaas dos úmeros complexos represeados a seguir. Represee aida z 0, z, z e z 3 o plao complexo quado r 0 = e θ 0 = π 4. (a) z = r 0 e jθ 0 (b) z = r 0 (c) z 3 = r 0 e j(θ 0+π) 4 Sedo o úmero complexo z = x + jy = re jθ, o úmero complexo cojugado, represeado por z, é defiido por: z = x jy = re jθ. Mosre que as seguies relações são válidas: (a) zz = r z (b) z = e jθ (c) z + z = Re{z} (d) z z = j Im{z} 5 Exprima cada um dos seguies úmeros complexos em coordeadas recagulares e polares e represee-o o plao complexo: (a) 3+4j j (b) j (+j) (3 j) 3

4 (c) je +j π (d) ( j) 9 (e) e jπ/4 +j 3 j (f) (+ 3j) 6 3+4j 6 Represee graficamee o módulo e a fase de cada uma das seguies fuções complexas de variável real: (a) f(x) = cos(x) (b) g(x) = cos(x)e jx (c) h() = si() e j (d) S(ω) = ( + cos(ω)) e j3ω 7 Prove a validade das seguies expressões: (a) (b) (c) (d) N =0 =0 { N, α = α = α N α, α α = α, α < α = =0 α = =k α ( α), α < αk α, α < 8 Deermie o valor de: (a) (b) (c) (d) ( j =0 ( + j =6 ) ) ( + j =0 0 =6 ( j) ) 4

5 Folha Siais Cosidere os siais x() e y() da figura x() y() Deermie e esboce os siais (a) x() (b) x() y() (c) x()y() (d) x( ) + y() (e) y() (f) y()u() (g) 3x()u( ) Cosidere o sial x() represeado a seguir. x() 3 (a) Represee x( ). (b) Represee x( ). 5

6 3 O sial h() esá represeado a seguie figura. h() (a) Represee h( ). (b) Calcule a eergia de h(). 4 Cosidere o sial z() represeado a figura seguie. z() (a) Represee o sial z ( ). (b) Calcule a eergia de z(). 5 x[] é um sial discreo ilusrado a seguir. x[] (a) Represee x[ ]. (b) Represee x[]. (c) Represee x[ ]. (d) Calcule a eergia de x[]. 6 Cosidere o sial x[] represeado a seguie figura. 6

7 x[] Represee x[ + ](u[ + 3] u[ ]) em que u[] é o degrau uiário discreo. 7 Faça a decomposição em pare par e pare ímpar dos seguies siais: (a) x() (b) x[] (c) z() 3 8 Cohecedo a pare par de x[], x P [], e sabedo que x[] = 0 para < 0, deermie x[]. 7

8 x p[] Cohecedo a pare par de x(), x P (), e sabedo a forma de x( + )u( ), deermie x(). x p() x( + )u( ) 0 Cohecedo a pare ímpar de x[], x i [], e sabedo a forma de x[ +]u[ ], deermie x[]. x i [] x[ + ]u[ ] Calcule, para o sial periódico v() represeado a seguir: v() A (a) o valor médio: v() ; (b) a poêcia: v () ; (c) o valor eficaz: v RMS ; (d) a compoee alerada: v AC (). 8

9 Deermie o valor médio, a poêcia, o valor eficaz e a compoee alerada dos seguies siais periódicos: (a) v () = si() (b) v () A A T (c) v 3 () 3 4 9

10 Folha 3 Sisemas Cosidere um sisema S com erada x[] e saída y[], que é cosiuído pela ligação em série de um subsisema S seguido por um subsisema S. Eses dois subsisemas caracerizam-se pelas seguies relações erada-saída: S : y [] = x [] + x [ + ] S : y [] = x [ 3] 4x [ ] (a) Deermie a relação erada-saída para o sisema composo S. (b) Esa relação será alerada se a ordem dos dois subsisemas em série for modificada? Cosidere um sisema S composo por rês subsisema como idica a figura. x() S S y() S 3 As relações erada-saída dos rês subsisemas são, respecivamee: S : y () = x () S : y () = x ( ) S 3 : y 3 () = x 3 ( ). (a) Deermie a relação erada-saída do sisema composo. (b) Deermie e esboce a saída y() quado x() = u() u( ). 3 Cosidere o sisema S de erada x() e saída y() caracerizado por y() = x(s)ds. Deermie e esboce y() quado a erada do sisema é (a) x() = δ( + ) δ( ) (b) x() = u( + ) u( ) 0

11 (c) x() = u()u( ) 4 Classifique os sisemas seguies relaivamee às qualidades de er ou ão memória, ivariâcia o empo, liearidade, causalidade e esabilidade. (a) y() = e x() (b) y[] = x[]x[ ] (c) y() = x( ) x( ) (d) y[] = x[] 5 Classifique cada um dos seguies sisemas com erada x e saída y quao à liearidade e ivariâcia o empo (a) y() = x( ) (b) y[] = x [ ] (c) y[] = x[ + ] x[ ] (d) y() = x i (), ode x i () é a pare ímpar de x(). 6 Cosidere um sisema em empo coíuo de erada x() e saída y() = x p () (pare par de x()). Verifique quais as propriedades que ese sisema possui. 7 Em cada caso ideifique um sisema com as propriedades idicadas. Caso ão seja possível, idique a razão. (a) liear, em empo discreo, esável, com memória e causal; (b) ão causal e sem memória; (c) liear, isável e sem memória; (d) ão liear, ão causal e ivariae.

12 Folha 4 Sisemas lieares e ivariaes em empo discreo Cosidere um sisema liear e ivariae o empo para o qual a resposa ao sial x[] é o sial y[]. x[] y[] Deermie a resposa dese sisema às eradas x [] e x []. x [] x [] (a) Exprima o sial da figura à cusa de δ[] e suas cópias deslocadas. w[] 3

13 (b) Sabedo que a resposa de um sisema LTI à erada δ[] é um sial h[], deermie a resposa z[] dese sisema à erada w[]. (c) Sedo h[] o sial da figura, esboce z[]. h[] 3 3 Sabedo que a resposa de um SLIT à erada δ[] é ( ) u[], deermie a resposa do sisema à erada u[]. 4 Sabedo que a resposa de um SLIT à erada u[] é s[] = ( 3) u[], deermie a resposa impulsioal do sisema. 5 Calcule a covolução y[] ere os siais x[] e h[] represeados a seguir: (a) x[] h[] (b) x[] h[] (c) 3

14 x[] h[] 3 6 Calcule (α u[]) (β u[]). 7 Cosidere um sisema liear e ivariae em empo discreo com resposa impulsioal h[] = ( ) u[]. (a) O sisema é esável? E em memória? (b) Calcule a saída do sisema quado a sua erada é o sial x[] = u[ + ] u[ 3]. 8 Cosidere o sial x[] = 0.8 u[] aplicado à erada de um SLIT com resposa impulsioal h[] = u[ + ] u[ ]. (a) Idique se ese sisema é ou ão causal e esável. (b) Calcule o sial de saída do sisema. 4

15 Folha 5 Sisemas lieares e ivariaes em empo coíuo Cosidere um sisema liear e ivariae o empo para o qual a resposa ao sial x() é o sial y(). y() x() 3 4 Calcule as resposas do sisema aos siais x () e x (). x () x () 3 4 Em cada um dos casos, deermie a covolução ere os siais idicados. (a) x() h() (b) 5

16 v () 3 v () 3 (c) x() h() (d) v () v () 3 3 Em cada caso deermie y() = x() h(): (a) x() = e u(), h() = 3u(). (b) x() = e u(), h() = e 3 u(). (c) x() = e u()u(4 ), h() = u()u(3 ). (d) x() = cos(π)u()u( ), h() = u( + )u( ). (e) x() = h() = si()u(). 4 Cosidere um sisema coíuo LTI, de erada x(), saída y() e com resposa impulsioal h() = u() u( 4). (a) Ese sisema é causal? E em memória? Jusifique as resposas. (b) Sabedo que x() = e u() deermie y(). 5 Dois sisemas coíuos LTI, S e S, com resposas impulsioais, respecivamee, h () e h () represeadas a figura, são ligados em série para formar um sisema composo. h () h () (a) Deermie e represee graficamee a resposa impulsioal h() do sisema composo. 6

17 (b) Idique se o sisema composo é: i. causal; ii. esável. 7

18 Folha 6 Série de Fourier em empo coíuo Calcule os coeficiees da série de Fourier dos seguies siais. (a) x() (b) x() 3 4 Cosidere o sial x() de período 3, al que x() = e, [0, 3]. (a) Esboce x(). (b) Deermie a expressão geral dos coeficiees da série de Fourier de x(). 3 Deermie os coeficiees da série de Fourier dos siais (a) x() = si(π/t); (b) y() = cos(π/t). 4 Calcule os coeficiees da série de Fourier do sial v() = si ( π T ). 5 Os coeficiees da série de Fourier de um sial periódico x() com período 4 são { j k, k < 3 a k = 0, ouros casos 8

19 Deermie x(). 6 Calcule a série de Fourier do sial v(), represeado a seguir. v() T T T T 7 (a) Mosre que o sial v() v() T 0 T 0 T T T 0 T 0 em como série de Fourier v() = T + + T 0 k= si(kω 0 T ) kπ cos(kω 0 ), ω 0 = π T 0. (b) Aededo à série de Fourier de v(), deermie a série de Fourier de: i. v () T 0 T 0 T 0 T T T 0 ii. v () T 0 T 0 T T T T 0 T 0 T 8 Deermie os siais x() que saisfazem simulaeamee as seguies codições: (a) x() é um sial real; (b) x() em período 4, e coeficiees da série de Fourier a k ; (c) a k = 0, k > ; (d) o sial y() com coeficiees de Fourier b k = e jkπ/ a k é real e ímpar; (e) x() d =. 9

20 Folha 7 Trasformada de Fourier em empo coíuo Calcule a rasformada de Fourier dos seguies siais: (a) x() = δ( 4). (b) x() (c) f() T (d) f() = A (e) f() = e jω 0 (f) f() = u() (g) f() = u( ) u( 3) (h) f() = cos ( π T ) [u( + T) u( T)] (i) f() é periódico (período T 0 ) f() T 0 T T T 0 (j) f() 0

21 Sedo X(ω) a rasformada de Fourier de x(), exprima em fução de X(ω) as rasformadas dos seguies siais: (a) x 0 () = x() (b) x () = x(3 6) (c) x () = x( 3 6) (d) x 3 () = d d x( ) (e) x 4 () = d x() + 3 dx() d d (f) x 5 () = e j x() (g) x 6 () = cos(3)x() (h) x 7 () = e j3 x( + ) 5x() 3 O sial f() em a rasformada de Fourier da figura. F(ω) F(ω) ω 0 ω 0 ω ω Obeha f() recorredo às propriedades da rasformada de Fourier. 4 Diga, com base a respeciva rasformada de Fourier, se os siais seguies são reais e pares: (a) X (ω) = u(ω) u(ω ) (b) X (ω) = A(ω)e jb(ω), em que A(ω) = si(ω) ω e B(ω) = ω + π 5 Sabedo que X(ω) = +ω é a rasformada de Fourier do sial x() = e, calcule a rasformada de Fourier do sial e. 6 Deermie a fase da rasformada de Fourier do sial represeado a figura. x() 3 7 Deermie a pare imagiária da rasformada de Fourier do sial da figura. (Sugesão: uilize as propriedades da rasformada de Fourier.)

22 x() Deermie a rasformada de Fourier de (a) x() = e ; (b) y() = +.

23 Folha 8 Aálise de Fourier de SLITs coíuos Cosidere os SLITs caracerizados pelas seguies resposas em frequêcia. Deermie, em cada caso, a saída do sisema quado a erada é o sial x() = cos() + cos( 3). (a) H(ω) = jω+ ; (b) H(ω) = jω ; (c) H(ω) = jω; (d) sisema passa baixo ideal com frequêcia de core ω c =.5; (e) sisema passa alo ideal com frequêcia de core ω c =. Cosidere o sial periódico represeado a figura. x() (a) Deermie a expressão geral dos coeficiees a k do desevolvimeo em série de Fourier de x(). (b) Cosidere agora que x() é a erada de um filro passa-baixo ideal com frequêcia de core ω c =. Deermie o sial de saída y() dese filro. 3 Um dado sisema é caracerizado pela equação diferecial d y() d + 4 dy() d + 3y() = dx() d ode x() é a erada do sisema e y() a saída. Deermie (a) a resposa em frequêcia do sisema; (b) a resposa impulsioal do sisema; (c) a saída do sisema quado x() = e u(). + x() 3

24 4 Dois sisemas coíuos LTI, com resposas impulsioais h () = e u() e h () = e 3 u(), são ligados em série para cosiuírem um sisema composo, de resposa impulsioal h(). (a) Deermie a resposa impulsioal h(). (b) O sisema composo pode ser descrio por uma equação diferecial liear de coeficiees cosaes. Deermie-a. (c) Deermie o sial de saída do sisema composo quado o sial de erada é x() = e u(). 5 Cosidere um sisema coíuo LTI com resposa em frequêcia H(ω) = (jω) + (jω) + + ( + jω). (a) Deermie a resposa impulsioal do sisema. (b) Deermie um equação diferecial liear de coeficiees cosaes que relacioa a erada x() e a saída y() dese sisema. 6 Cosidere a associação em série de dois sisemas lieares e ivariaes em empo coíuo S e S, com erada x() e saída z(). A resposa em frequêcia de S é H (ω) = 3+jω +jω e a resposa impulsioal de S é h () = e 3 u(). Deermie: (a) a resposa em frequêcia da série dos dois sisemas; (b) a equação diferecial que relacioa a erada x() e a saída z(); (c) a saída z() quado x() = e 3 u(). 7 Cosidere o SLIT cosiuído pela seguie associação dos sub-sisemas S, S e S 3, caracerizados, respecivamee por h () = e 3 u(), h () = h (), H 3 (ω) = jω+. x() S S y() S 3 (a) Deermie a resposa em frequêcia, H(ω), do sisema global. (b) Obeha uma equação diferecial que relacioa os siais de erada, x(), e de saída, y(), do sisema global. (c) Deermie a resposa impulsioal, h(), do sisema global. 4

25 Folha 9 Série de Fourier em empo discreo Deermie os coeficiee da série de Fourier dos seguies siais: (a) x[] = si ( ) π 5 ; (b) x[] = δ N [] = + m= δ[ mn]; (c) x[] = 4δ 4 [] + 8δ 4 [ ] = + m= (4δ[ 4m] + 8δ[ 4m]). Cosidere o sial periódico represeado a figura. x[] (a) Calcule os coeficiees da série de Fourier do sial. (b) A parir deses coeficiees, deermie a expressão emporal do sial. 3 Cosidere um sial x[] real e ímpar de período N = 7. Sabedo que os coeficiees de Fourier a 5, a 6, a 7 em os seguies valores: a 5 = j; a 6 = j; a 7 = 3j Deermie os coeficiees a 0, a, a e a 3. 4 Seja x[] um sial real e par, de período N = 6 e com valor médio. Dese sial são cohecidos os seguies coeficiees da sua expasão em série de Fourier: a 7 =, a 4 = 0 e a 9 =. (a) Deermie a 0, a, a, a 3 e a 5. (b) Deermie e represee o sial x[]. 5 Cosidere o sial x[], que é real e par e em período 4. Ese sial em x[0] = A, x[] = B e x[] = C. 5

26 (a) Supodo que A = 4, B = e C = 0, deermie i. os coeficiees a k da sua série de Fourier; ii. a expressão do sial. (b) Admiido agora que a = e a 0 = e que x[] = 0, deermie A, B e C e esboce o sial. 6 Deermie o sial x[] que verifica simulaeamee as seguies codições: (a) x[] é real e par e em período 6; (b) 5 =0 x[] = ; (c) 7 = ( ) x[] = ; (d) x[0] = 5/; (e) a = 0. 6

27 Folha 0 Trasformada de Fourier em empo discreo Cosidere o sial discreo da figura. x[] 3 (a) X(Ω). (b) Represee graficamee X(Ω) e X(Ω). (c) Obeha x[] a parir de X(Ω). Calcule a rasformada de Fourier dos seguies siais: (a) x [] = δ[ ] + δ[ + ] (b) x [] = ( ) u[ ] (c) x 3 [] = a, a < {, M (d) x 4 [] = 0, > M (e) x 5 [] = cos(π/5) (f) x 6 [] = δ N [] = + l= δ[ ln] 3 Calcule a rasformada de Fourier do sial da seguie figura: x[]

28 4 Calcule a rasformada de Fourier do sial da figura e represee-a em módulo e fase. x[] Cosidere o sial s[] da figura. s[] 3 4 (a) Deermie S(Ω). (b) Represee o módulo e a fase de S(Ω). (c) Cosidere o sial z[] que é cosiuído pela repeição de s[] com período N =. Deermie o valor do coeficiee a 5 da sua expasão em série de Fourier. 6 Cosidere o sial da figura. x[] (a) Deermie X(Ω). (b) Cosidere o sial y[], com coeficiees de Fourier a k, o qual é obido por repeição de x[] com período N = 8. i. deermie a relação ere a e a 7, sem calcular eses valores; ii. obeha a k ; iii. deermie e esboce Y (Ω). 7 Calcule a rasformada iversa de X(Ω): X(Ω) = { j, 0 < Ω π j, π < Ω 0 8

29 8 Sabedo que x[] em como rasformada de Fourier X(Ω), calcule as rasformadas dos seguies siais em fução de X(Ω): (a) x [] = x[ ] + x[ ] (b) x [] = ( ) x[] 9

30 Folha Aálise de Fourier de SLITs discreos Um SLIT de erada x[] e saída y[] é descrio pela equação y[] 0.5y[ ] = x[]. Deermie os coeficiees da série de Fourier do sial de saída e a sua expressão quado a erada é: (a) x[] = si ( ) 3π 4 ; (b) x[] = cos ( ) ( π 4 + cos π ) ; Cosidere os SLITs caracerizados pelas seguies resposas em frequêcia. Deermie em cada caso a saída do sisema quado a erada é o sial x[] = cos ( ) ( ) π 5 + cos π 5. (a) sisema passa baixo ideal com frequêcia de core π/3; (b) sisema passa alo ideal com frequêcia de core π/. 3 Repia a alíea (a) do exercício aerior, cosiderado agora o sial de erada da figura. Esboce o sial de saída. x[] Um sisema discreo LTI é caracerizado pela equação 8y[] 6y[ ] + y[ ] = 3x[] x[ ] ode x[] é a erada do sisema e y[] a saída. Deermie (a) a resposa em frequêcia do sisema; (b) a resposa impulsioal do sisema; (c) a saída do sisema quado a erada é x[] = ( 3) u[]. 30

31 5 Cosidere os siais s[] x[] (a) Sabedo que s[] é a resposa idicial de um sisema discreo LTI, deermie a sua resposa impulsioal. (b) Admiido que x[] é a erada do referido sisema, deermie a sua saída. 6 A resposa em frequêcia de um sisema discreo LTI é Deermie H(Ω) = 6 ( 5 e jω) e jω 5e jω + 6. (a) uma equação às difereças que relacioe a erada e a saída do sisema; (b) a resposa impulsioal do sisema; (c) a resposa idicial do sisema; (d) a saída y[] quado a erada é x[] = ( 4) u[]. 7 Cosidere um sisema discreo descrio pela seguie equação às difereças: y[] = x[] x[ 8] Represee graficamee a sua resposa em frequêcia. 8 Cosidere um sisema S obido como a associação em paralelo dos sub-sisemas S e S. O sisema S é caracerizado pela resposa em frequêcia H(Ω) = 9 e jω 7 6 e jω + ( 9 e jω 3 e jω + )( e jω), e a resposa impulsioal de S é h [] = ( ) u[]. (a) Deermie a reposa em frequêcia de S. (b) Obeha a resposa impulsioal de S. (c) Sabedo que a erada do sisema S é o sial x[] = ( ) u[], deermie as saídas dos subsisemas S e S, bem como a saída do sisema S. 9 Cosidere a associação em série de dois sisemas lieares e ivariaes em empo discreo S e S, como se mosra a figura. x[] y[] z[] S S 3

32 A erada e a saída do sisema S esão relacioadas por y[] + 0.5y[ ] = x[], e a resposa em frequêcia do sisema S é H (Ω) = + 0.5e jω 0.5e jω. (a) Deermie as resposas impulsioais dos sisemas S e S. (b) Obeha uma equação às difereças que relacioe x[] com z[]. (c) Deermie z[] quado x[] = ( 3) u[]. 3

33 Folha Trasformada de Laplace Diga qual é a região de covergêcia da rasformada de Laplace dos seguies siais: (a) x () = e 5 u() (b) x () = e 5 u( ) (c) x 3 () = e 5 [u( + 5) u( 5)] (d) x 4 () = e 5 (e) x 5 () = e 5 (f) x 6 () = e 5 u( ) Cosidere o sial x() = e 5 u() + e β u() que em a rasformada de Laplace X(s). Quais deverão ser as resrições imposas à pare real e à pare imagiária de β para que a região de covergêcia de X(s) seja Re{s} > 3? 3 Quaos siais êm uma rasformada de Laplace que pode ser expressa por: X(s) = s (s + )(s + 3)(s + s + )? 4 Cosidere a seguie rasformada de Laplace do sial h(): H(s) = s + 5 s + 5s + 6 Re{s} >. (a) Deermie h(). (b) Sedo h() a resposa impulsioal de um SLIT, deermie a equação diferecial que o caraceriza. (c) A que é igual a rasformada de Laplace do sial s() = h(τ)dτ? 5 Um SLIT coíuo em uma fução de sisema (rasformada de Laplace da resposa impulsioal) com expressão fucioal dada por X(s) = s + 5s + 4 (s + 4s + 5)(s ). (a) Represee o diagrama de pólos e zeros da fução de sisema. 33

34 (b) Qual deve ser a região de covergêcia de X(s) para que o sisema eha resposa em frequêcia defiida (iso é, exisa a rasformada de Fourier da resposa impulsioal)? (c) Deermie o valor do módulo da resposa em frequêcia, para ω =, a parir do diagrama de pólos e zeros de X(s). 6 O sial f() = {, 0, > em rasformada de Laplace dada por (a) Qual é a região de covergêcia? F(s) = s + s 3 ( e s e s) s ( e s + e s). (b) Qual é a rasformada de Laplace do sial y() = f(τ)dτ? 34

35 Folha 3 Trasformada Z Calcule a rasformada Z do seguie sial: x[] = ( ) u[ 3]. 5 Cosidere a seguie rasformada Z: 4 X(z) = ( z + 4 z )( z z ). Represee os pólos e os zeros o plao z e diga quaas regiões de covergêcia se podem defiir. 3 Cosidere o sial x[] com a seguie rasformada Z (a) Deermie x[]. X(z) = z 4z, z >. 5z + (b) Deermie a rasformada Z do sial y[] = k= x[k ]. 4 Um SLIT discreo é caracerizado pela seguie equação às difereças: y[] +.5y[ ] + y[ ] = x[] x[ ]. (a) Deermie a fução de rasferêcia do sisema, H(z). (b) Represee o diagrama de pólos e zeros de H(z). (c) Que região de covergêcia se deve associar a H(z), sabedo que h[] em rasformada de Fourier? 35

36 Folha 4 Amosragem Cosidere o sial x() com especro X(ω) = u(ω + ω 0 ) u(ω ω 0 ), o qual é amosrado à frequêcia ω s. Esboce o especro do sial amosrado quado (a) ω s = 3ω 0 ; (b) ω s =.5ω 0. Cosidere um sial x() com frequêcia de Nyquis ω N. Idique a frequêcia de Nyquis dos seguies siais: (a) 3x() (b) x( 3) (c) x(3) (d) x( + ) (e) x() x() x() (f) x 3 () (g) x()si(ω N ) 3 Deermie a frequêcia de Nyquis para os seguies siais (a) cos(0π) (b) + si(30π) + 3 cos(50π) (c) cos (00π) (d) sic(50) (e) sic(0) si(50π) (f) sic (0) (g) sic(/4) δ 0 () (h) sic()δ 0. () 4 Cosidere o sial x() = 0 cos(0π). (a) Supoha que ese sial é amosrado à frequêcia agular ω s = 50π. i. Deermie o especro do sial amosrado. 36

37 ii. Obeha a expressão emporal e o período do sial em empo discreo formado pelas amosras de x(). iii. Deermie o sial que se obém passado o sial amosrado por um filro passa baixo ideal com gaho uiário e frequêcia de core igual a meade da frequêcia de amosragem. (b) Repia a alíea aerior cosiderado agora uma frequêcia (agular) de amosragem de 30π. 37

38 Aexo Decomposição em Fracções Simples Dada uma fução G(x), fracção própria de dois poliómios, e supodo que o deomiador em raízes ρ, ρ,..., ρ r, disias, e de muliplicidade σ, σ,..., σ r, respecivamee, ou seja, G(x) = P(x) (x ρ ) σ (x ρ ) σ (x ρr ) σr, é possível escrevê-la como uma soma de fracções, a forma iso é, G(x) = r σ i i= k= A i,k (x ρ i ) k, G(x) = A, x ρ + A, (x ρ ) + + A,σ (x ρ ) σ + + A, x ρ + A, (x ρ ) + + A,σ (x ρ ) σ A r, x ρ r + A r, (x ρ r ) + + A r,σ r (x ρ r ) σr, sedo os coeficiees A i,k deermiados pela expressão A i,k = (σ i k)! [ d σ i ] k dx σ i k [(x ρ i) σ i G(x)]. x=ρ i Decompoha as seguies fuções em fracções simples. (a) H(x) = x (x )(x 3) (b) F(x) = x+ x 5x+4 (c) F(x) = (x 3) (x ) (d) G(x) = (e) H(x) = (f) H(x) = (x ) 3 (x+) x ( 3x)( x) x 5 ( 3x) ( x) 38