Sinais e Sistemas. Env. CS1 Ground Revolute. Sine Wave Joint Actuator. Double Pendulum Two coupled planar pendulums with

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1 Frequecy (khz Hammig kaiser Chebyshev Siais e Sisemas Power Specral Desiy Ev B F CS CS B F CS Groud Revolue Body Revolue Body Power/frequecy (db/hz Sie Wave Joi Acuaor Joi Sesor Revolue Double Pedulum Two coupled plaar pedulums wih Revolue Agle graviy ad sie wave forcig i he Joi Sesor upper Revolue joi. SS MIEIC 8/9 Siais e Sisemas aula de hoje Siais em empo coíuo e em empo discreo Operações elemeares com siais Trasformação de variável idepedee Decomposição de siais Caracerísicas de siais Siais fudameais Sisemas e sua ierligação Propriedades de sisemas SiSis

2 Sial siusoidal em empo coíuo x( cos( ω + φ é um sial periódico, de período fudameal T π ω T ω frequêcia agular cosφ SiSis 3 Siais expoeciais em empo coíuo Expoecial real: a, x( e a R a > crescee a < decrescee SiSis 4

3 Expoeciais em empo coíuo Expoecial imagiária: j ( e ω x, ω R e jω cos( ω + j si( ω Relação de Euler: e jθ cos( θ + j si( θ, θ R jω T T e ( + jω e e j ω jω e jω x e ( é um sial periódico, de período fudameal T π ω se e jωt ω T m π Noas: jω - e e e j ω êm o mesmo período T T { x( } P e jω T d d T SiSis 5 Expoeciais em empo coíuo Caso geral: a x( Ce, C, a evolvee expoecial C C e a r + j jθ ω x( C e r e j( ω+θ sial periódico Re { x( } SiSis 6 3

4 Expoeciais em empo discreo Expoecial real: x[ e β α, e β α R < α < decrescee α > crescee < α < α < decrescee em módulo crescee em módulo SiSis 7 Expoeciais em empo discreo Expoecial imagiária : j [ e ω, x ω R x[ α, com α e jω e jω cos( ω + j si( ω ieiro jω P{ x[ } lim e D D + D D e j( ω + π e jω jπ jω e e os siais j( ω + π jω e e e são idêicos! Re j8 /3 { e π } j Re{ e / 6 } SiSis 8 4

5 Periodicidade da expoecial em empo discreo Expoecial imagiária j [ e ω, x ω R é periódico se exisir N> al que x [ x[ + N] jω jω ( + N e jω N e e exise m ieiro al que ω N πm, ou seja, π ω N m é um úmero racioal o período fudameal é o meor ieiro múliplo de π ω π N m ω Noa: cos( ω e si( ω ambém são periódicos se e só se π ω N m é racioal SiSis 9 Expoeciais em empo discreo Caso geral: x[ C α, C, α x[ C α e j( ω+θ C C e α α e jθ jω sial oscilae evolvee expoecial { e j /3 } Re.5 SiSis 5

6 Expoeciais em empo coíuo e em empo discreo jω e jω e siais disios para valores disios de ω siais idêicos para valores de separados de múliplos de π ω sial periódico para qualquer ω sial periódico apeas se é um úmero racioal ω / π π período fudameal: ω período fudameal: meor ieiro múliplo de π ω SiSis Degrau uiário em empo discreo Degrau uiário:, u[, < u[ 3 Degrau uiário deslocado: u[ m], u[ m], m < m m-3 m- m- m m+ m+ m+3 Degrau uiário deslocado e rebaido: u[ m, u[ m, m > m m-3 m- m- m m+ m+ m+3 SiSis 6

7 Impulso uiário em empo discreo Impulso uiário:, δ[, δ[ O impulso uiário pode ser obido subraido dois degraus: δ[ u[ u[ ] Impulso uiário deslocado:, δ[ m], m m m-3 m- m- δ[ m] m m+ m+ m+3 SiSis 3 Degrau uiário em empo coíuo Degrau uiário:, u(, > < u( Noa: é um poo de descoiuidade, ão impora o valor do sial esse isae. Degrau uiário deslocado:, > u(, < u( Degrau uiário deslocado e rebaido: u(, <, > u( SiSis 4 7

8 Impulso de Dirac Aproximação coíua do degrau uiário u ( Derivada emporal de u ( du ( δ ( d / δ ( Área Impulso de Dirac: δ( " lim δ ( " SiSis 5 Impulso de Dirac Propriedades: δ(, + δ( d + Represeação gráfica δ( d δ( sigifica área + δ + ( f ( d δ( f ( d f ( δ( d f ( + du( Noa: O impulso de Dirac pode ser cosiderado como a derivada do degrau uiário: δ( d SiSis 6 8

9 Sisemas Um sisema rasforma um sial de erada um sial de saída é caracerizado pela operação que rasforma o sial de erada o sial de saída Represeação: Sisema: sial de erada sial de saída Diagrama de blocos: sial de erada Sisema sial de saída sial de erada é o sial que o exerior impõe ao sisema sial de saída é o sial que o sisema impõe ao exerior SiSis 7 Sisemas em empo coíuo e em empo discreo Sisemas em empo coíuo erada e saída são siais em empo coíuo x( S co y( S co : x( Sisemas em empo discreo erada e saída são siais em empo discreo x[ S dis y[ S dis : x[ SiSis 8 9

10 Sisemas exemplo Movimeo logiudial de um veículo (modelo simplificado v( erada: força produzida pelo moor: f ( saída: velocidade: v( dv relação erada-saída: ( m f ( cv ( d resisêcia do ar e ario dv( m + cv ( f ( equação diferecial d SiSis 9 Sisemas exemplo Evolução do saldo de uma coa bacária erada: moae líquido (depósios levaameos deposiado durae o mês : x[ saída: saldo da coa o fim do mês : y[ axa de juro mesal relação erada-saída: y [ y[ ] + a y[ ] + x[ y [ ( + a y[ ] x[ equação às difereças SiSis

11 Sisemas e rasformação de siais As operações sobre siais podem ser sisemas. Por exemplo: Araso S : x( x( x( S y( Gaho S : x[ a x[ ] x[ S y[ SiSis Algus sisemas imporaes (empo coíuo Iegrador x( y( x x ( ( τ dτ Derivador x( d d y( dx( x( d SiSis

12 Algus sisemas imporaes (empo discreo Acumulador x[ y[ x [ x[ k] k Araso uiário x[ y[ x[ x[ ] SiSis 3 Exercício Cosidere o sisema iegrador S : x( e deermie e esboce y( quado: a x( δ( + δ( b x( u( + u( c x( é o sial x( SiSis 4

13 Ierligação de sisemas Dois sisemas dizem-se ligados em série (ou cascaa quado a saída de um é a erada do ouro. x( S y( S z( S : x( S : y( z( x( S z( S : x( z( SiSis 5 Ierligação de sisemas Dois sisemas dizem-se ligados em paralelo quado êm a mesma erada e as suas saídas são somadas. x( S y ( x( S : x( y ( z( x( S z( x( S S : x( y ( y ( S x( z( y ( + y ( : SiSis 6 3

14 Ierligação de sisemas De forma aáloga se defiem ligações em série e em paralelo de sisemas em empo discreo As ligações em série e em pararelo podem combiar-se criado associações mais complexas, o eao a aálise de uma associação mais complexa reduz-se à cosideração sucessiva de associações elemeares O agrupameo/desagrupameo de sisemas associados permie criar diferees graus de absracção sobre um sisema complexo SiSis 7 Propriedades de sisemas memória Um sisema diz-se sem memória se para cada isae, o valor da saída esse isae apeas depeder do valor da erada o mesmo isae. + Exemplos: S : x[ x [ 3x[ ( x ( S : x( 3log + Se a codição acima ão se verificar, o sisema diz-se com memória. Nese caso haverá, pelo meos, um isae para o qual o valor da saída esse isae depederá de valores da erada em isaes passados ou fuuros. Exemplos: S : x[ x[ ] 3 + x S : x( ( τ dτ 4 SiSis 8 4

15 Propriedades de sisemas iveribilidade Um sisema diz-se iverível se diferees siais de erada coduzem a diferees siais de saída. Noa: dois siais são diferees, se exisir pelo meos um isae de empo em que omam valores diferees, ou seja, são iguais se e apeas se omarem valores iguais em odos os isaes de empo. Exemplos: S : x( x( S : x[ x[ k] k Um sisema diz-se ão iverível se exisirem pelo meos dois siais de erada diferees que coduzam ao mesmo sial de saída. Exemplos: 3 : x( x ( S S : x[ x[ x[ ] 4 SiSis 9 Propriedades de sisemas iveribilidade Se o sisema S for iverível eão exise um ouro sisema, desigado sisema iverso, que ligado à saída so sisema S produz como sua saída a erada de S x S y S x Exemplos: S : x( x( S : x[ x[ k] k S : y( z( y( S : y[ z[ y[ y[ ] SiSis 3 5

16 Propriedades de sisemas causalidade Um sisema diz-se causal, ou ão aecipaivo, se para cada isae, o valor da saída esse isae apeas depeder do valor da erada o mesmo isae ou em isaes passados. Exemplos: S : x[ x[ k] k S : x( x( 3 Se a codição acima ão se verificar, o sisema diz-se ão causal, ou aecipaivo. Nese caso haverá, pelo meos, um isae para o qual o valor da saída esse isae depederá de valores da erada em isaes fuuros. Exemplos: S : x[ x[ ] 3 S4 : x[ [ ], > + x k M M M k M SiSis 3 Propriedades de sisemas esabilidade Um sisema diz-se esável se eradas limiadas derem origem a saídas limiadas. Quado esa codição ão se verifica o sisema diz-se isável. Noas: O sial x( diz-se limiado se L > x( < L O sial x[ diz-se limiado se L > x[ < L Verificar que um sisema é esável exige mosrar que odas as eradas limiadas produzem saídas limiadas. Verificar que um sisema é isável exige ecorar uma erada limiada que produza uma saída ilimiada. SiSis 3 6

17 Propriedades de sisemas esabilidade Exemplos: S : x[ x[ x[ ] Esável x [ < L y[ x[ x[ ] x[ + x[ ] L + L 3L limiado S : x( x( Isável x( é um sial limiado y ( é um sial ilimiado SiSis 33 Propriedades de sisemas ivariâcia Um sisema diz-se ivariae (o empo se uma raslação o sial de erada produz a mesma raslação o sial de saída. sisemas em empo coíuo x( x( sisemas em empo discreo x[ x[ ] ] Quado esa codição ão se verifica o sisema diz-se variae (o empo. Noas: Verificar que um sisema é ivariae exige mosrar que para odo o sial de erada x( (x[ com saída y( (y[ e odo o deslocameo (, o sial de erada x(- (x[- ] produz a saída y(- (y[- ]. Verificar que um sisema é variae exige ecorar um sial de erada x ( (x [ com saída y ( (y [ e um deslocameo ( al que o sial de erada x (- (x [- ] ão produza a saída y (- (y [- ]. SiSis 34 7

18 Propriedades de sisemas ivariâcia Exemplos: S : x( si x( Ivariae x ( sial de erada qualquer, com saída y ( si x ( deslocameo qualquer x ( x( ova erada, com saída y ( si x ( si x ( y ( S : x[ x[ ] Variae x [ δ[ ] y [ δ[ ] x x [ ] δ[ ] y [ δ[ ] δ[ ] y [ ] [ SiSis 35 Propriedades de sisemas liearidade Um sisema diz-se liear se a saída correspodee a uma qualquer combiação liear de eradas é a mesma combiação liear das saídas correspodees a cada uma das eradas. Esa codição é equivalee às propriedades: Adiividade: x y ( e x y ( x x ( y ( + y ( ( ( ( + x, x quaisquer Homogeeidade: x y ( a x a y ( a, x ( ( quaisquer (para o caso discreo as defiições são aálogas SiSis 36 8

19 Propriedades de sisemas liearidade Noas: Basa que uma das propriedades de adiividade ou homogeeidade ão se verifique para algum caso, para o sisema ser ão liear. A liearidade é ambém cohecida por sobreposição. Verificar a liearidade de um sisema é aida equivalee a verificar que x y ( e x y ( a x b x ( a y ( + b y ( ( ( ( + a, b, x x, quaisquer Num sisema liear, a uma erada ula correspode sempre um saída ula! SiSis 37 Propriedades de sisemas liearidade Exemplos: S : x( x( S : x[ x [ ] Liear x y ( x ( ( x y ( x ( ( Não liear ( ax ( bx ( ax ( + bx ( + a x + b x ( ( a y + b y ( ( x [ [ y[ x 4 mas x [ + x[ 3 y3[ 3 9 y [ + y[ 5 { x( } S 3 : x( Re Não liear { } x ( y ( Re mas j x j y ( Re{ j} ( j y( j SiSis 38 9

20 Exercício a Deermie e esboce o módulo e a fase do sial x( e + e j j3 b Verifique se cada um dos siais é periódico e em caso afirmaivo deermie o seu período fudameal: i x[ e jπ/ ii y[ cos(8π / 3 iii z [ cos(6 iv w [ ( SiSis 39 Exercício 3 Cosidere os sisemas de erada x e saída y caracerizados por S : x( x( S : x( x( / S : x( x( 3 S Deermie a saída do sisema S 3 S quado a erada é o sial da figura - SiSis 4

21 Exercício 4 Deermie a saída y[ do sisema da figura em fução da sua erada x[. x[ y[ SiSis 4 Exercício 5 a Cosidere o sisema em empo coíuo caracerizado por x( x ( Verifique quais as propriedades que ese sisema possui. p b Ideifique um sisema em empo discreo liear, esável, com memória e causal. c Ideifique um sisema ão causal e sem memória. Caso ão seja possível, idique a razão. SiSis 4