Sistemas Lineares e Invariantes

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1 Frequency (khz) Hamming kair Chebyshev Simas Lineares e Invarianes Power Specral Densiy Env B F CS1 CS B F CS1 Ground Revolue Body Revolue1 Body1 Power/frequency (db/hz) Sine Wave Join Acuaor Join Sensor1 Revolue1 Double Pendulum Two coupled planar pendulums wih Revolue Angle graviy and sine wave forcing in he Join Sensor upper Revolue join. SS MIEIC 7/8 Simas lineares e invarianes no empo aula de hoje Simas lineares e invarianes SLITs discreos resposa impulsional Convolução discrea Convolução discrea e resposa de SLITs SLITs conínuos resposa impulsional Convolução conínua Convolução conínua e resposa de SLITs SLITs 1

2 SLITs conínuos São simas que verificam simulaneamene as propriedades de linearidade e invariância. Num SLIT conínuo al que x ) y ( ), y ( ), y ( ),... 1( verifica- a x ) + a x ( ) + a x ( ) +... a y ( ) + a y ( ) + a y ( ) ( SLITs 3 Decomposição de sinais em impulsos de Dirac x() x () x() sinal em empo conínuo x () sinal consane por inervalos 3 3 [ k,( + 1 ] x ( ) x( k ), k ) x () x() 1/ δ ( k ) k (k + 1) k x( k ) δ ( k ) k x ( δ( Qualquer sinal em empo conínuo pode r escrio como uma combinação linear conínua de impulsos de Dirac deslocados SLITs

3 Resposa impulsional de um SLIT conínuo A resposa impulsional de um SLIT conínuo define- como ndo a saída des sima quando a enrada é um impulso de Dirac e reprena- por h(). δ() SLIT conínuo h() δ ( ) h( ) δ( h( invariância x () ) ( δ( y ( ) x( h( SLIT conínuo x linearidade A resposa de um SLIT conínuo a uma enrada x() qualquer pode r obida apenas à cusa da sua resposa impulsional. x () ) h() SLITs 5 Resposa impulsional de um SLIT conínuo exemplo x() h() 1 3 )? δ( + 1) + δ( ) δ( 1) ) h( + 1) + h( ) h( 1) h( +1) h( ) h( 1) ) SLITs 6 3

4 Convolução conínua A operação que define a saída de um SLIT conínuo à cusa da resposa impulsional e do sinal de enrada designa- convolução conínua e reprena- por y ( ) x( )* h( ) x( h( Generalizando, a convolução conínua é uma operação que, a parir de dois sinais em empo conínuo, produz um novo sinal em empo conínuo. ( ) )* x( ) x y ( Assim, pode dizer- que a resposa de um SLIT conínuo a uma dada enrada é a convolução desa enrada com a resposa impulsional do sima. SLITs 7 Cálculo da convolução conínua ( )* x( ) x1 ( x x 1 ( Para cada, ) é igual ao inegral do produo de x 1 ( por x (, em que a variável independene é agora Passos de aplicação do méodo 1. Alerar a variável independene de x 1 e x para. Rebaer o sinal x ( (passa de x ( a x ( ) 3. Deslocar o sinal rebaido de forma a que a amosra em pas a esar em. Para cada (de a ) a. muliplicar pono a pono os sinais x 1 e x rebaido e ransladado b. inegrar o sinal produo, obendo ) SLITs 8

5 Cálculo da convolução conínua exemplo Deerminar y ) * x ( ) ( 1 ) x ( ) x ( x ( ) x ( ) SLITs 9 Cálculo da convolução conínua exemplo 1 3 / x 1 ( < ou > ( ) x y ( x ( ) < ) x ( ) < < 1 ) / 1 < < x ( ) ) 1 / 1 1 SLITs 1 5

6 Cálculo da convolução conínua exemplo 1 3 / x 1 ( < ou > ( ) x y ( < < 3 x ( ) ) 1 / 1 ( 1) 1 x ( ) > 3 ) SLITs 11 Cálculo da convolução conínua exemplo ) x ( ) y ) * x ( ) ( ) 1 1 ( 1) SLITs 1 6

7 Cálculo da convolução conínua exercícios Calcule as guines convoluções: ((1 ) ( u( ) u( 1) ))* ( u( + ) u( )) y1( ) ( u( ) u( 3) )*( δ( + 1) δ( 1) ) ) y ( ) u( )* u( ) 3 ( e u( ) )* u( ) ) SLITs 13 7