Spatial lowpass filter (neighborhood averaging) Highpass spatial filter. Enfatiza arestas. Máscaras usadas para calcular Gradiente: Roberts.

Transcrição

1 9 Spaial lowpass filer (neighborhood averaging) 8 9 Highpass spaial filer 8 Enfaiza aresas Máscaras usadas para calcular Gradiene: Robers Prewi Sobel Máscara usada para calcular Laplaciano 4

2 // lowpass.cpp #include <imgall> in main() { IMGGRY a; le(a,"lennag.ga"); IMGFLT b=a; IMGFLT f(,,./9.); IMGFLT c=convolucao(b,f); imp(c,"lowpass.ga"); } // highpass.cpp #include <imgall> in main() { IMGFLT a; le(a,"lennag.ga"); a.backg()=.; IMGFLT hp(,,.,.,.,.,-8.,.,.,.,.); hp=(./9.)*hp; hp.backg()=.; } a=4.*convolucao(a,hp); imp(a,"highpass.ga"); //laplace.cpp #include <imgall> in main() { IMGGRY a; le(a,"lennag.ga"); IMGFLT b=a; IMGFLT f(,,.,-.,., -., 4.,-.,.,-.,.); f=.*f; IMGFLT c=convolucao(b,f); c=.+c; imp(c,"laplace.ga"); } //prewi.cpp #include <imgall> in main() { IMGGRY a; le(a,"lennag.ga"); IMGFLT b=a; IMGFLT f(,, -.,.,., -.,.,., -.,.,.); f=.*f; IMGFLT c=convolucao(b,f); c=.+c; imp(c,"prewi.ga"); }

3 lennag.ga lowpass.ga highpass.ga laplace.ga prewi.ga enfborda.ga

4 Espaço de escala linear (gaussiana) Normal desvio= media=(,) Normal Normal do gradiene Módulo da gradiene do gradiene do gradiene do gradiene Laplaciano 4

5 Módulo da convolução com gradiene do gaussiano (σ=,) Thresholding σ=, σ=,

6 casa.ga σ= p=+ br=- (laplaciano) zero-crossing σ=. σ=. 6

7 σ=.7 σ= 7

8 Scale-space: Trabalhar em diferenes escalas (muli-escala ou muli-resolução).. Esruura piramidal. Wavele. Scale-space Scale-space:. Gaussiano (linear). Não-linear ou anisorópico. Morfológico Teoria original: para sinais D, mas pensando em aplicá-la em imagem. Convolução: Dadas duas funções f, g : a convolução é: f ( ) g( ) = ( f g)( ) = f ( u) g( u) du No fundo, é calcular média ariméica ponderada. Caso unidimensional: Definição: A disribuição normal N ( µ, σ), onde µ é média e σ é desvio-padrão, é definida aravés da função gaussiana: ( µ ) g (, µ, σ) = ep σ π σ Cosuma-se adoar σ = e µ = para ober a noação: Observação: limg ( ) G ( ) = ep 4π 4 resula em impulso de Dirac. Definição: Dado um sinal f :, definimos o espaço de escala de Gaussiano de f como a função F : + (denoada por F (, ) ou F () ) dada por: F ( ) = G ( ) f ( ) Veja a figura do [Wikin-98]. O espaço de escala Gaussiano em as seguines propriedades básicas: Linearidade: a ransformação L que leva o sinal original f () ao espaço de escala () é linear, iso é, L { f + λg}( ) = L { f ( )} + λl { g( )}. Invariância por ranslação: se T é uma ranslação qualquer, o espaço de escala de (F), iso é, G ( ) Tf ( ) = T G ( ) f ( ). T ( ) F T ( f ) Causalidade: o sinal f é simplificado com a escala, iso é, os cruzamenos de zero não aumenam com o aumeno de. é 8

9 Vamos eplicar melhor a causalidade: Definição: Um cruzameno de zero (CZ) de uma função conínua fechado [ a, b] (possivelmene com a=b) al que: f ([ a, b]) = lim sinal( f ( )) = a lim sinal( f ( )) b+ f () é um inervalo Proposição (causalidade CZ): Dada f () conínua qualquer, considere o seu espaço de escala Gaussiano F () ; o número de cruzamenos de zero de F () não aumena à medida em que cresce. Corolário: Se f () é diferenciável, enão o número de máimos e mínimos de F () não aumena à medida em que cresce. Proposição: () é uma função suave (infiniamene diferenciável) para qualquer > fio. F Demonsração: Noe que n F = n que eise pois a função gaussiana n n G ( G ( ) f ( ) ) = f ( ) n G ( ) () é suave para qualquer >. Observação: Em qualquer escala, um eremo da n-ésima derivada (em relação à ) é dada pelo cruzameno de zero de (n+)-ésima derivada. Assim, para achar as aresas da imagem, devemos procurar cruzamenos de zero da segunda derivada. O espaço de escala da segunda (ou da n-ésima) derivada pode ser calculado pela proposição acima. Proposição: A parir de um sinal f () monamos o espaço de escala Gaussiano (). Enão o espaço de escala de h( ) = F ( ) é dado por H ( ) = F ( ). Caso bidimensional n + Definição: A disribuição normal bidimensional N (,, σ), onde (, ) é média e σ é desvio-padrão, é definida aravés da função gaussiana: ( ) ( ) g (,, σ) = ep πσ σ Cosuma-se adoar σ = e, ) (,) para ober a noação: ( = Definição: Dada uma imagem conínua G + (, ) = ep 4π 4 + :, definimos o espaço de escala de Gaussiano de f como a função F : (denoada por (, ) ) dada por: f F (, ) = G (, ) f (,F ) Proposição (separabilidade): A convolução acima pode ser calculada aravés de duas convoluções com Gaussianas unidimensionais: F (, ) = G ( ) G ( ) f (, ) ( ) ( ) Esa propriedade acelera a compuação dos espaços de escala Gaussianos para imagens. Além da linearidade e da invariância por ranslações, o espaço de escala Gaussiano bidimensional possui a invariância por roações do domínio: F 9

10 Proposição: Seja f uma imagem qualquer e g = R f corresponde à roação de f de ângulo θ. Enão o espaço de escala G é a roação de ângulo θ de F, iso é: θ f G = RθF g = R. [Teieira-]: Tenemos agora enender o que será o princípio da causalidade em D. Noe que não faz senido falar em número de cruzamenos de zero de uma imagem, já que em geral os cruzamenos de zero de uma imagem formam um conjuno de curvas, não um conjuno discreo de ponos. Por ouro lado, pode-se falar do número de máimos e mínimos locais de uma imagem genérica (ou de u msinal n-dimensional). No enano, não é verdade que o número de ponos críicos diminua com a escala no espaço de escala de uma imagem qualquer. θ Bibliografia: [Wikin-98] A. P. Wikin, Scale-Space Filering, Proc. 7h Join Conf. Arificial Inelligence, pp. 9-, Karlsruhe, W. German, 98. [Teieira-] L. Velho, R. Teieira, J. Gomes, Inrodução aos Espaços de Escala, Escola de Compuação, IME-USP.

11 funcion deriv N=; d=.6; for i=:n-; (ind(i))=i/n-.; end; for i=:*n-; (ind(i))=i/n-; end; for i=:n-; =(ind(i)); =*pi*; if (.<= & <.4); (ind(i))=.4; elseif (-.<= & <-.); (ind(i))=; elseif (-.<= & <-.) (ind(i))=-.4; else; (ind(i))=sin()+sin(*); end; end; for i=:n-; =*pi*(ind(i)); lg(ind(i)) =... ( ( (^) / ((*pi)^.*d^) ) -... ( /( (*pi)^.*d^ ) )... ) *... ep( (-^) / (*d^)... ); end; sd=(d/(4*n)^.).* conv(lg,); figure; plo(,,'b',,sd,'r',,*d^.7.* lg,'g'); grid; ile('derivada d=.6 sinal-azul SegDef-verm LapGau-verd'); ais([ ]); label(''); label(''); funcion deriv N=; d=.8; for i=:n-; (ind(i))=i/n-.; end; for i=:*n-; (ind(i))=i/n-; end; for i=:n-; =(ind(i)); =*pi*; if (.<= & <.4); (ind(i))=.4; elseif (-.<= & <-.); (ind(i))=; elseif (-.<= & <-.) (ind(i))=-.4; else; (ind(i))=sin()+sin(*); end; end; for i=:n-; =*pi*(ind(i)); gg(ind(i))= (-/((*pi)^.*d^)) * ep(-(^)/(*d^)); end; pd=(d/(4*n)^.).* conv(gg,); figure; plo(,,'b',,pd,'r',, *d^.7.* gg,'g'); grid; ile('derivada d=.8 sinal-azul PrimDer-verm GradGau-verd'); ais([ ]); label(''); label('');

12 Derivada d=. sinal-azul SegDef-verm LapGau-verd Derivada d=. sinal-azul SegDef-verm LapGau-verd Derivada d=. sinal-azul SegDef-verm LapGau-verd Derivada d=.4 sinal-azul SegDef-verm LapGau-verd Derivada d=.8 sinal-azul SegDef-verm LapGau-verd Derivada d=.6 sinal-azul SegDef-verm LapGau-verd

13 Derivada d=. sinal-azul PrimDer-verm GradGau-verd Derivada d=. sinal-azul PrimDer-verm GradGau-verd Derivada d=. sinal-azul PrimDer-verm GradGau-verd Derivada d=.4 sinal-azul PrimDer-verm GradGau-verd Derivada d=.8 sinal-azul PrimDer-verm GradGau-verd Derivada d=.6 sinal-azul PrimDer-verm GradGau-verd

14 Espaço de escala linear (coninuação) Discreizações. Desvio= normal:ponilhado bessel modificado o ipo:solido Desvio=. normal:ponilhado bessel modificado o ipo:solido

15 Função modificada de Bessel (de primeiro ipo) em MaLab : besseli(n,) Obs: a implemenação de MaLab4 coném erro. Função modificada de Bessel (de primeiro ipo) em C++: #include <cmah> double faorial(in ) { double =; for (in c=; c>; --c) =*c; reurn ; } double besseli(in n, double ) { double eps=e-/; if (abs()<eps) { if (n==) reurn ; else reurn ; } else { double =/; if (n<) n=-n; double ermo=pow(,n)/faorial(n); double soma=ermo; double ermoan; in cona=; for (in k=; cona<; ++k) { ermoan=ermo; ermo=(ermo**)/(k*(k+n)); soma=soma+ermo; if (abs(ermo-ermoan)<eps) cona++; else cona=; } reurn soma; } } K=. blue=ep(-abs(t)/k) red=/(+(t/k) ) T

16 Imagem original k=., λ=., 6 ierações k=., λ=., 6 ierações k=., λ=., 6 ierações 6

17 PEE-796 Algorimos para Proc., Anál. e Sínese de Imagens, o período de Aula 8 Espaço de escala anisorópica Perona Perona Tuke ma =, σ =., λ =. ma =, σ =., λ =. ma =, σ =., λ =. ma =, σ =.4, λ =. ma =, σ =.4, λ =. ma =, σ =.4, λ =. 7

18 Perona Perona Tuke ma =, σ =.8, λ =. ma =, σ =.8, λ =. ma =, σ =.8, λ =. ma =, σ =.6, λ =. ma =, σ =.6, λ =. ma =, σ =.6, λ =. 8

19 original gaussiana mediana difusão anisorópica 9