Cálculo Diferencial e Integral II - Tagus Park 1o. Semestre 2015/2016 1o. Teste 07/Novembro/2015 JUSTIFIQUE AS SUAS RESPOSTAS. x y 2 x 2 +y 2 (b) lim

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1 Cálculo Diferencial e Inegral II - Tagus Park o. Semesre 5/6 o. Tese 7/Novembro/5 JUSTIFIQUE AS SUAS RESPOSTAS RESOLUÇÃO vals.) Calcule ou mosre que não eise: a) a) + b) Como, não eise. + b) ) + quando ) Porano, vals.) Seja f + +,, caso conrário a) Mosre que as derivadas parciais de f eisem em qualquer pono de R 3. b) Averigue em que ponos de R 3 é que f é diferenciável. a) Para, f é o quociene de f no numerador e f + + no denominador. f é diferenciável porque é um polinómio. f é a composa de um polinómio com a rai quadrada - porano diferenciável. Para além disso, como f nunca

2 se anula, o quociene f sobre f é uma função diferenciável. Porano, f é uma função diferenciável para. Em paricular, eisem as derivadas parciais de f em ordem a cada uma das variáveis para cada. Agora para. f f + f Com calculos analogos: f e f f Porano, f em derivadas parciais em qualquer pono de R. + + b) Jusificámos na alínea anerior que f é diferenciável em qualquer pono. Se f for diferenciável em enão f f quando,,),,) f, ou seja, ),,),,) + + f f f f ) + o + + ) + +,,),,)

3 Como, quando enão ) f f quando vals.) Seja F R. f f f, ou seja f é ambem) diferenciável na origem. ) a) Enconre um coeficiene de Lipschi global para DF. + o + + ) ), definida em R 5 e com valores em DF ) donde ) ) ) DF DF ) ) )) )) ) ) + ) ) e porano M, o coeficiene de Lipschi para DF, é. b) Faça um passo do méodo de Newon para resolver F ) com a. ), começando a a [ DFa ) ) ] Fa ) ) ) [ )] ) ) ) ) 5 ) ) ) ) 4 / ) 4/7 c) Deermine uma bola em R que conenha uma solução de F ). 3

4 Fa ) [ DFa ) ) ) ) ] M ) ) 6++6) < 4 6 < ) Enão pelo Teorema de Kanorovich, o fecho da bola de cenro em a + ) /7 e raio a 4/7 a /7) + 4/7) 7/7 saisfa o pedido vals.)a) Verdadeiro ou Falso? Pelo eorema da função implícia, a equaçãosin) permie eprimir como uma função diferenciável de e de juno a π/ b) Verdadeiro ou Falso? Pelo eorema da função implícia, a equaçãosin) permie eprimir como uma função diferenciável de e de juno a π/ Reescrevendo a equação aravés da função F sin) igualada a, e verificando que π/ é solução da mesma, calculamos a jacobiana da função: J F cos) cos) cos) ) donde J F π/ ) Verificamos que emos pivo eclusivamene na coluna que corresponde à variável donde, pelo Teorema da Função Implícia, há uma função diferenciável que eprime variável dependene) à cusa de e de variáveis independenes) numa viinhança de π/ e esa é a única possibilidade de escrever uma das variáveis à cusa das ouras duas, pois a jacobiana no pono indicado só em enrada não nula na coluna correspondene à variável. Porano, a) é Falso e b) é Verdadeiro. 4

5 vals.) a) Mosre que o conjuno X R 3 + e + + } é uma variedade e deermine a sua dimensão. A condição que caraceria os ponos de X pode ser reescria à cusa da função F ) cuja jacobiana é: J F ) ) / / se para a einação de Gauss) Obemos enão dois pivos se ; se em-se: + ) +) ) Enão o sisema de equações: + Porano o pono de X que em a coordenada é e a jacobiana de F nese pono é ) ) e porano emos dois pivos donde a jacobiana desa função é sobrejeciva em qualquer dos ponos que perencem a X. Pelo Teorema da Função Implícia, X é variedade de dimensão já que 3. b) Deermine as equações do espaço e do hiperplano angenes a X no pono. J F ) N DF ) ) ) } 5

6 As equações do espaço angene a X em são e e as da curva angene a X em são e vals.) Classifique cada um dos ponos de esacionariedade iso é, ponos críicos) de f a) ou ) ) 3 ou ou Os ponos críicos são enão: ), ), ) b) Para a sua classificação, precisamos das as. derivadas de f: ) f 4 43 ) ) f 4 43 ) 4 ) f 4 43 ) Porano: ) f ) f 4 ) f f f f ) ) 4 ) f f f ) ) 4 ) Esudemos, enão, as assinauras das formas quadráicas associadas a cada um dos ponos críicos: 6

7 i. Para o pono críico : ) ) h Q [ ] h h +h h 4+h 4h h h +h ) h h ) A assinaura é,) e em ocorre um pono de sela. ) ii. Para o pono críico : ) ) h Q ] [h h )+h h 4+h ) [ ) ) ] [ 6 h h h 3 + h h +h ) 6h ) h 3 h A assinaura é,) e em ocorre um máimo. ) ) iii. Para o pono críico : ) h Q ] [h h )+h h 4+h ) [ ) ) ] [ 6 h h h 3 + h h +h ) 6h ) h 3 h A assinaura é,) e em ) ocorre um máimo. [ h h h 4 h h 3 ) + [ h h h 4 h h 3 ) + ] +h ) ] 3 h ] +h ) ] 3 h 7. val.) Dê um eemplo de uma função f : R R, conínua em qualquer pono de R mas que não é diferenciável nos ponos de uma variedade de dimensão em R. Considere-se a função: f ) qualquer que seja R. cujas funções coordenadas são as funções conínuas em R : ) ) f e f 7

8 ) Em paricular, f é ambem) diferenciável em R. Quano a f, emos: ) f Porano f é diferenciável em R \, se, se < } R Vejamos enão o que se passa no conjuno } X R que é uma variedade de dimensão ). Seja enão X. Tem-se: ) f f +,, + f )), +, f, +, Porano, f não é diferenciável em qualquer pono de X que é uma variedade de dimensão um), o que implica que f não é diferenciável em X. f é, porano, um eemplo da função pedida. 8