Tensão é uma das repostas do MC ao carregamento

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1 Cap. 3. Tensão. Eisência das forças inernas. rincípio das ensões de Euler e Cauch 3. Vecor das ensões no pono 3. Componenes caresianas 3. Componenes inrínsecas 4. Tensor das ensões no pono 4. Valores necessários para deerminar o esado das ensões 4. Componenes de ensão 4.3 rova da simeria de componenes em D 5. Equações de equilíbrio 5. rova em D 6. Cálculo das componenes do vecor das ensões 7. Carácer ensorial das ensões 7. rova da lei de ransformação em D 8. Noas sobre 3D 9. Tensões principais. Esados de ensão. Ouras designações. Ouras represenações. Elipse de Lamé. Quadricas de Cauch

2 Tensão é uma das reposas do MC ao carregameno. Eisência das forças inernas Forças eernas = carregameno sisema A F forças inernas = sisema 3 sisema sisema A B core F B sisema Conjuno (sisema & sisema ) esá em equilíbrio forças inernas Conjuno (sisema & sisema 3) esá em equilíbrio = - sisema 3 sisema e sisema 3 são equivalenes sisema 3 eprime o efeio da pare reirada B, carregada com o sisema Conjuno (sisema & (- sisema 3)) esá em equilíbrio sisema e sisema 3 são equivalenes - sisema 3 eprime o efeio da pare reirada A carregada com o sisema

3 . rincípio das ensões de Euler e Cauch Leonhard Euler (77-783) em vez de forças inernas usa-se a densidade das forças inernas Densidade das forças inernas no pono, efeio de V n n n = normal eerior uniária n V n V Densidade das forças inernas no pono, efeio de V V Augusin Cauch ( )

4 O vecor da densidade das forças inernas no pono chama-se A B 3. Vecor das ensões no pono core Escolha-se um pono, que perence à superfície de core Define-se à vola do um elemeno infiniesimal de área A que perence à superfície de core e que corresponde a duas faceas A facea ligada a pare A com a normal eerior uniária Força inerna elemenar A facea é sempre ligada ao reso do MC Densidade das forças inernas, ou seja o vecor das ensões n A F A n F n B B lim A F A A facea ligada a pare B com a normal eerior uniária Força inerna elemenar Unidade N/m =a 6 a=ma

5 n é indiferene do modo que ΔA ende para zero é indiferene da superfície de core, desde que a normal no é igual O vecor das ensões no pono é unicamene definido para uma dada normal, o senido é sempre relacionado com a facea onde acua O senido do vecor das ensões relacionado às duas faceas no mesmo pono com a normal da mesma direcção é sempre oposo 3. Componenes caresianas n n, A, A n, A n, A n A,, z : componenes caresianas do vecor das ensões componenes em D, 3 em 3D Verifica-se que o sinal das componenes caresianas é oposo n B n, B n, B n, B n, B

6 3. Componenes inrínsecas n, n A n n, A n A n, : componenes inrínsecas do vecor das ensões componenes em D e em 3D n : componene normal : componene angencial ou de core n B n n, B n, B n n : com senido da normal n : conra senido da normal racção, posiiva compressão, negaiva Verifica-se que o sinal da componene inrínseca normal é igual nas duas faceas. Verifica-se que as inensidades de ambas componenes não dependem do referencial ode-se aribuir o sinal à componene angencial, mas apenas em D. Ese sinal depende do referencial e segue as regras das faceas posiivas e negaivas (eplicação mais arde). Se o referencial for igual nas duas faceas, o sinal seria ambém igual. Noa: onos da circunferência Mohr = componenes inrínsecas das faceas

7 4. Tensor das ensões no pono 4. Valores necessários para deerminar o esado das ensões Maném-se o pono mas escolha-se uma facea com normal diferene as componenes do vecor das ensões serão diferenes Diz-se que se conhece o esado das ensões no pono, quando se conhecem as componenes do vecor das ensões em qualquer facea que nele passa É preciso deerminar o número dos valores necessários para poder unicamene eprimir componenes do vecor das ensões a qualquer facea ode-se provar, que para isso em que se saber vecor das ensões relacionado: - em 3D a 3 faceas diferenes, que ambém passam pelo pono - em D a faceas diferenes, que ambém passam pelo pono Devido a simeria do ensor das ensões (provada mais arde) as componenes deses vecores das ensões devem finalizar 3 dados não conradiórios em D e 6 dados não conradiórios em 3D

8 rova em D Marque-se uma vizinhança infiniesimal em orno do pono Lados da vizinhança são infiniesimais, por isso a disribuição das componenes do vecor das ensões pode ser considerada uniforme Sabendo componenes caresianas nas faceas () e () é possível deerminar as componenes caresianas na facea inclinada n s s sin n s cos n s n cos n n cos s As forças de volume não foram consideradas, porque conribuem com o ermo de ordem maior (área versus aresa) sin sin Noa: as condições de equilíbrio escrevem-se para forças e momenos, nunca para componenes de ensão

9 4. Componenes de ensão Represenação geomérica das componenes de ensão em D no recângulo elemenar Comprovando, que o conhecimeno de vecor das ensões nas duas faceas é suficiene para deerminar o vecor das ensões a qualquer facea, ou seja é suficiene para definir o esado das ensões no pono, cosumam-se escolher faceas do referencial original e em vez de componenes caresianas marcam-se nelas componenes inrínsecas. Mais ainda, cada facea represena-se nas suas duas formas e assim de faco recora-se um recângulo elemenar do MC. Convenciona-se Quando o senido da normal coincide com o senido do eio coordenado Facea posiiva : o senido da componene posiiva coincide com o senido do eio coordenado Quando o senido da normal é oposo ao senido do eio coordenado Facea negaiva : o senido da componene posiiva é oposo ao senido do eio coordenado

10 Nese caso as componenes inrínsecas do vecor das ensões chamam-se componenes do ensor das ensões Componene normal Faceas posiivas Faceas negaivas Componene angencial ou componene de core o índice da componene angencial corresponde à normal, o à direcção Nese caso as direcções das componenes caresianas e inrínsecas do vecor das ensões em cada facea coincidem, conudo o senido posiivo saisfaz as regras definidas no slide anerior Represenação das componenes na forma maricial

11 4.3 rova da simeria de componenes em D Escolha-se vizinhança elemenar recangular em orno do pono, mergulhada no MC e escreve-se o equilíbrio dos binários As forças de volume e as variações de ensão não foram consideradas, porque conribuem com o ermo de ordem maior Represenação das componenes na forma maricial força momeno força Equilíbrio dos binários momeno

12 5. Equações de equilíbrio 5. rova em D Vizinhança elemenar recangular em orno do pono, mergulhada no MC Noa: o equilíbrio dos momenos dava a relação de simeria, agora com a prova mais rigorosa do que no slide anerior Inerior f Augusin Cauch ( ) f f f f equações de equilíbrio não são suficienes para resolver 3 incógnias

13 Froneira p, s p, n cos,sin T s sin p Carga caresiana disribuída na superfície, valores dados s cos, p p, cos s sin, n n Vizinhança elemenar riangular do pono de superfície p, n n n p 6. Cálculo das componenes do vecor das ensões Condições de froneira Componenes caresianas de analogia: : pono inerior, a normal {n} em que ser eerior e uniária n D n cos,sin T 3D n cos,cos,cos T

14 Componenes inrínsecas n n n n n Componene normal e angencial calculam-se como escalares n n n n n n T n n n cos A componene normal é posiiva quando o senido dela coincide com o senido da normal: racção n Tensão normal na direcção {n} Tensão angencial na facea {n} O senido da componene angencial não esá definido pela esa epressão cos,sin Alernaivamene, em D apenas!!! T n n s n n n n s sin,cos T nt s

15 7. Carácer ensorial das ensões 7. A prova da lei de ransformação em D s s sin s cos cos sin sin cos s cos sin sincos sincos cos sin Equações de equilíbrio em D sin cos cos sin s Analogamene: sin cos sincos Tensão é ensor da ª ordem

16 8. Noas sobre 3D Represenação geomérica das componenes no paralelepípedo elemenar (faceas posiivas) z z z z z z z Equações de equilíbrio (de Cauch) no inerior z z z z z z z f f f z Represenação das componenes na forma maricial 3 equações de equilíbrio não são suficienes para resolver 6 incógnias sim z z z Tensão é ensor simérico 6 componenes em 3D Condições de froneira n p

17 , 9. Tensões principais ara o ângulo de roação θ p, que saisfaz a ensão de core anula-se e as ensões normais aingem os seus máimos e mínimos; esas componenes normais chamam-se ensões principais m ma m R R m min R p onde R qualquer componene normal m m g ma p R Tensão de core máima: R m acompanhada de ma m ma m

18 Noas sobre a circunferência de Mohr Os ponos da circunferência correspondem às componenes inrínsecas do vecor das ensões nas faceas correspondenes As faceas posiivas e negaivas diferem de 8º, o que represena a roação de 36º na circunferência, por isso as componenes são iguais, como era de esperar Orienação das componenes de core deermina a posição do pono na circunferência de Mohr indiferenemene do referencial acima abaio

19 . Esados de ensão Homogéneo ou uniforme: as componenes do ensor das ensões não variam com a posição p p p Tracção pura Compressão pura p ressão hidrosáica Esado angencial puro m ma ma m C

20 Isosáicas Tangenes às direcções principais Tracção pura Esado angencial puro analogamene p p p Compressão pura p ressão hidrosáica Qualquer direcção é principal, isosáicas não fazem senido

21 Tensor esférico e ensor desviador de ensão. Ouras designações imporane para a energia de deformação I ' m onde σ m é a ensão média consequenemene I m z I 3 Tensão ocaédrica são as componenes inrínsecas do vecor ensão no plano cuja normal é n / 3,/ 3,/ 3 T 3 oc I / 3 m oc I 3I Tensão de von Mises vm 3I Imporane para eoria de plasicidade imporane para eoria de plasicidade vm m 3R D vm 3 3 3D Richard von Mises ( )

22 . Ouras represenações. Elipse de Lamé Gabriel Lamé (795-87) ~ ~ min ma em D Elipsóide de Lamé em 3D z~ ~ ~ 3 correspondem às componenes do vecor das ensões numa facea com a normal {n} de componenes n, n, n z no referencial principal z~ ~, ~, z 3 n z~, n ~, n ~ z 3 n z~, n ~, n ~ Assume-se, que n n n z~ ~ ~ z 3

23 Em D min min n n ma ma ma min

24 em D. Quádricas de Cauch Quádrica = superfície que se pode represenar por uma equação algébrica do segundo grau Quádrica de Cauch = coeficienes desa equação coincidem com as componenes do ensor das ensões, A curva não depende do referencial, porque o deerminane de [σ] é invariane Quando de d ou seja quando os valores próprios êm o mesmo sinal, a curva corresponde a elipse ma ~ min ~ ~ / ma ~ / min ~ min / min / ma ~ ma d osiivo para v.p. posiivos Negaivo para v.p. negaivos

25 ma min ma min ma min b ma min Real para + Imag. para - a a a Real para + Imag. para - a b b b Real para - Imag. para + ma b min a Real para - Imag. para + a ma Hipérboles Real para + Imag. para - b min Assimpoas com declives m ma min b a Real para - Imag. para + No referencial principal

26 em 3D T T Vamos analisar superfícies reais como em D d Todos v.p. posiivos e + no lado direio Todos v.p. negaivos e - no lado direio Elipsóide valores posiivos negaivo Hiperbolóides assimpóicos à mesma superfície cónica De uma folha, real para + De duas folhas, real para -

27 valor posiivo negaivos Hiperbolóides assimpóicos à mesma superfície cónica De uma folha, real para - De duas folhas, real para + As roações são apenas consequências da ordenação dos valores próprios, no slide anerior o eio foi formado pelo (3), nese slide o eio coincide com ()