APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES EM DIFERENÇAS NA SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS EM CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS

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1 3 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES EM DIFERENÇAS NA SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS EM CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS Gusavo Baisa de Oliveira (Uni-FACEF) Anônio Carlos da Silva Filho (Uni-FACEF) INTRODUÇÃO A Renda Nacional, seguindo o modelo proposo por Samuelson 3, em qualquer período é composa por rês componenes: () gasos dos consumidores (na compra de bens de consumo), () invesimenos privados (para compra de equipamenos e máquinas para aumeno de produção) e (3) gasos do governo. Usamos os seguines símbolos para indicar esas quanidades: Y Renda Nacional C Gasos dos consumidores I Invesimenos privados G Gasos do governo O índice represena o período no qual a variável é analisada. Chegamos enão à equação: Y C + I + G Aluno regularmene mariculado no 3º semesre do curso de Maemáica do Uni-Facef. Prof. Dr. do Deparameno de Maemáica do Uni-Facef. 3 P.A. Samuelson, Ineracions Beween he Muliplier Analsis and he Principle of Acceleraion, Review of Economic Saisics, (939), 75-78; reprined in Readings in Business Ccle Theor, Blaison Co., Philadélphia, 944.

2 3 equação. De acordo com Samuelson fizemos 3 suposições sobre as variáveis da (i) (ii) (iii) Os gasos dos consumidores, em qualquer período são proporcionais a Renda Nacional do período anerior. Os invesimenos privados em qualquer período são proporcionais ao aumeno do consumo no período anerior (chamado Princípio da Aceleração) Os gasos do governo são os mesmos em odos os períodos. Nosso problema foi analisar o comporameno da Renda Nacional quando sujeia a esas condições. Primeiro ransformamos as suposições em em linguagem maemáica e depois derivamos a equação original para eliminar as variáveis exceo a da Renda Nacional, o que nos permiirá esudar a renda nacional em função do empo. (i) C α Y (ii) I β C C ) ( (iii) G Onde α, consane de proporcionalidade, é chamada de propensão marginal de consumo. E β, ambém consane de proporcionalidade, é chamada de relação. Subsiuindo as suposições na equação e após o devido raameno algébrico obivemos a equação em diferença para a Renda Nacional: Y α ( + β) Y αβy + MÉTODOS Uma equação em diferenças é dia linear se ela for da forma:

3 33 f g ( ) n + f( ) n + f( ) n fn ( ) + fn( ) onde f... f n e g são funções de definidas para,,,... Em geral, se a equação for de ordem n enão f é diferene de zero e podemos dividi-la por f e renomear os coeficienes para a forma: f a, f f a,..., f seguine noação: f a n n f e g r o que nos leva a reescrever a equação com a f + n + a n + a n an + an r (equação geral) Observamos enão que nossa equação apresenada para o modelo de Samuelson é um caso paricular da equação de diferenças de ordem n. Uma equação dese ipo é dia homogênea (ou reduzida) se r. Teorema : Se () e () são duas soluções quaisquer para a equação em diferenças linear homogênea, enão arbirárias C e C. C + ambém é solução para as consanes () () C Teorema : Se Y é solução da equação homogênea e é solução da equação geral, enão Y + ambém é solução da equação geral. Para enunciar mais dois eoremas vamos esabelecer a equação em diferenças de segunda ordem: r + + a + a e sua respeciva homogênea: + + a + a

4 34 Teorema 3: Sejam () e () duas soluções da equação + + a + a e seja Y + () () C C onde C e C são consanes arbirárias. () () () () Se enão Y é a solução geral da equação a + a Teorema 4: Se é uma solução paricular de + + a + a r e () e () formam um conjuno fundamenal de soluções de a + a, enão a solução geral de C são consanes. + + a + a r é dada por () () C + C onde C e Enconraremos agora as soluções para a equação + + a + a r e usaremos a hipóese de que m onde m é uma consane apropriadamene escolhida diferene de zero. Subsiuindo a hipóese na equação e aplicando o devido raameno algébrico, obivemos: m + a m + a Esa equação do segundo grau é conhecida como equação auxiliar da equação a + a. Mosramos que se m é raíz da equação enão m é solução da equação + + a + a. Esa equação auxiliar em duas raízes não nulas que chamamos de m e m (as raízes nulas foram excluídas porque a é requerido para que a + a seja de segunda ordem) dadas por: Para as raízes m e m exisem as correspondenes soluções () e ()

5 35 () m e () m Para uma análise complea das possíveis soluções desa equação vamos enunciar o seguine eorema. Teorema 5: Se + + a + a onde a e a são consanes, a e m e m são duas raízes da equação auxiliar m + a m + a enão a solução geral da equação é dada por: Y C m + Cm se m e m forem reais e diferenes; Y ( C + C) m se m e m forem iguais; Y Ar cos( θ B) se m e m forem conjugados complexos com forma polar + r (cosθ ± isenθ). Volamos nossa aenção agora para méodos que nos permiiram enconrar soluções para a equação + + a + a r. O mais usado é o chamado Méodo dos Coeficienes Indeerminados. Ese méodo pode ser aplicado quando a função r é uma combinação linear de somas ou produos de funções do ipo: a, (b) sen, cos(b ) e n, onde a e b são consanes e n é ineiro não negaivo. A aplicação dese méodo é feia da seguine maneira: Se r é uma soma de diferenes funções, cada função deve ser raada separadamene. Se a solução inclui uma função que é solução da equação homogênea, enão deve primeiro ser muliplicado por e a nova função usada. Se esa função ambém coném um ermo que saisfaz a equação reduzida, enão muliplica-se novamene por. A abela seguine resume mosra o ipo de hipóese a ser usada para cada função correspondene r.

6 36 r a sen(b) ou cos(b) n Aa A sen(b) + B cos(b) A +A +A + +A n n n a a (A +A +A + +A n n ) a sen(b) ou a cos(b) a (A sen(b) + B cos(b)) Para analisarmos o comporameno limie das soluções enunciaremos o eorema a seguir. Teorema 5: Seja ρ max( m, m ), onde m e m são raízes da equação homogênea auxiliar de segunda ordem: + + a + a Enão ρ < é condição necessária e suficiene para a solução { } convergir com limie zero para odos os valores iniciais e. Consideramos agora a equação + + a + + a r (escrevemos apenas o r no lugar de r desde que assumimos o ermo à direa da equação como consane). Se a equação possui uma função consane como solução, enão o valor desa função recebe o nome de valor esacionário de ou valor de equilíbrio. Teorema 6: A condição necessária e suficiene para esabelecer o valor de equilíbrio de é < m ρ, onde: ρ max( m, m ) e m e m são raízes da equação auxiliar + a m + a

7 37 Por causa dese eorema orna-se imporane aprender quais resrições devem ser aplicadas aos coeficienes a e a na equação auxiliar para que ρ seja de fao menor do que. Da fórmula para exração de raízes de uma equação do segundo grau emos: a ± a 4a As raízes m e m são reais e diferenes, reais e iguais ou conjugados complexos se a 4a for posiivo, zero ou negaivo respecivamene. Analisamos os casos de raízes reais e raízes complexas para enunciar o próximo eorema. Raízes Reais: Desde que ρ <, ambas as raízes esão enre - e. Resolvendo as inequações: -< a ± a 4a +a +a >. <, enconramos -a +a > e Raízes Complexas: Seja m a + bi e m a bi, o produo desas raízes é a +b que foi demonsrado ser r. Após devida manipulação algébrica enconramos -a >. Teorema 7: As condições -a +a >, +a +a > e -a > são necessárias e suficienes para ambas as raízes de m + a m + a serem menores do que em valor absoluo.

8 38 RESULTADOS E ANÁLISE Reornamos agora à equação do modelo de Samuelson, que repeimos a seguir: Y α( + β) Y + αβy + Lembrando que Y indica a Renda Nacional em um período e que α e β são a margem de propensão ao consumo e a relação respecivamene. Assumimos que α > e β >. Se α β αβ, Y é uma solução consane de Y + ( + ) Y + Y Y α ( + β ) Y αβy Para a qual enconramos o valor de equilíbrio da Renda Nacional: Y α α As condições de esabilidade quando aplicadas à equação em diferença ornam-se: α ( + β ) + αβ > + α ( + β ) + αβ > αβ < A segunda delas é saisfeia auomaicamene desde que α e β são ambos posiivos. A primeira e a erceira podem ser reescrias como: α < e αβ < Esas duas condições são necessárias e suficienes para a renda Y ser um valor de equilíbrio esável: Ambas as margens de propensão de consumo e seu produo com a relação devem ser menores do que. Se eses requerimenos forem

9 39 preenchidos, a seqüência de valores da renda vai convergir para das condições iniciais prescrias. Y independene Esa convergência para Y será oscilaória ir as raízes forem números complexos. Para iso a 4a precisa ser negaivo. No presene caso: real. 4β α ( + β ) 4αβ < ou α < ( + β ) 4β As raízes da equação auxiliar são complexas se α < for saisfeia e ( + β ) A solução para o valor de equilíbrio visualizada na figura () a seguir: Y para Renda Nacional pode ser Valor de Equilíbrio da Renda Nacional alfa Figura Valor de Equilíbrio da Renda Nacional

10 3 As condições sobre as consanes α e β nos permiem delimiar cinco regiões de comporameno dinâmico diferene, como pode ser viso na figura () a seguir: Gráfico de Alfa x Bea para o Modelo de Samuelson para a Renda Nacional Linha vermelha: alfa Linha azul: alfa. E.8 A D Alfa.6 B C Bea Figura Gráfico para o Modelo de Samuelson para a Renda Nacional Região A: Se houver um nível consane dos gasos do governo, a Renda Nacional vai aproximar-se assinóicamene do valor de gasos do governo. α vezes o nível consane Região B: O aumeno consane de gasos do governo resulará em movimenos oscilaórios conrolados da Renda Nacional, gradualmene se aproximando da assínoa α vezes o nível consane de gasos do governo.

11 3 Região C: Um nível consane de gasos do governo resulará em oscilação explosiva em orno da assínoa. Região D: O nível consane de gasos do governo resulará no aumeno da Renda Nacional, evenualmene se aproximando da axa de crescimeno. Região E: região fora do domínio de validade de α. Um aspeco ineressane é o que aconece quando pequenas variações nas consanes α e β levam a mudanças na dinâmica do sisema. As flexas na figura (3) a seguir indicam algumas desas possibilidades: Gráfico de Alfa x Bea para o Modelo de Samuelson para a Renda Nacional Linha vermelha: alfa Linha azul: alfa. E A D.8 Alfa.6 B C Bea Figura 3 Gráfico de Alfa x Bea para o Modelo de Samuelson para a Renda Nacional

12 3 A fim de melhor visualizar possíveis mudanças na dinâmica, colocamos algumas delas nas figuras (4)-(8) a seguir: 5.5 Evolução da Renda Nacional Linha Azul: Região A Linha Vermelha: Região B Renda Nacional n Figura 4 Evolução da Renda Nacional 7 Evolução da Renda Nacional Linha Azul: Região A Linha Vermelha: Região B Renda Nacional n Figura 5 Evolução da Renda Nacional

13 33 5 EVolução da Renda Nacional Linha Azul: Região B Linha Vermelha: Região C 4 3 Renda Nacional n Figura 6 Evolução da Renda Nacional 5 Evolução da Renda Nacional Linha Azul: Região C Linha Vermelha: Região D Renda Nacional n Figura 7 Evolução da Renda Nacional

14 34 4 x 4 Evolução da Renda Nacional Linha Azul: Região C Linha Vermelha: Região D Renda Nacional n Figura 8 Evolução da Renda Nacional CONCLUSÕES O modelo de Samuelson foi proposo em 939, mas oferece variações dinâmicas as mais variadas para a Renda Nacional. Deduzimos, nese rabalho, as condições sobre as consanes que levam a delimiar o seu domínio de validade e quais as relações a que esas consanes êm que obedecer a fim de que haja um valor limie esável para a Renda Nacional. Os gráficos colocados acima exibem bem esas variações. Um fao ineressane é a mudança que pode ocorrer na dinâmica da

15 35 Renda Nacional caso ocorram pequenas variações nas consanes, desde que sejam da magniude suficiene para deslocar o pono de uma para oura das regiões colocadas na figura (). REFERÊNCIAS ELAYDI, Saber. An Inroducion o Difference Equaions. New Yor: Springer, 5, 546 p. GRAHAM, Ronald L.; KNUTH, Donald E.; PATASHNIK; Oren. Maemáica Concrea.. ed. Rio de Janeiro: LTC Ediora, 995, 475 p. GOLDBERG, Samuel. Inroducion o Difference Equaions. New Yor: Dover Publicaions, 986, 6 p. HANSELMAN, Duane; LITTLEFIELD, Bruce. Malab 6 Curso Compleo. São Paulo: Prenice Hall, p. KELLEY, Waler G.; PETERSON, Allan C. Difference Equaions: An Inroducion wih Applicaions. San Diego, CA: Academic Press,, 43 p. METZLER, L. A. The Naure and Sabili of Invenor Ccles, Review of Economics and Saisics, vol. 3, p. 3-9, 94. SAMUELSON, Paul A. Inrodução à Análise Econômica, vol. Rio de Janeiro: Livraria Agir Ediora, 96, 557 p.