Circuitos elétricos oscilantes. Circuito RC

Transcrição

1 Circuios eléricos oscilanes i + - Circuio C Processo de carga do capacior aé V c =. Como C /V c a carga de euilíbrio é C. Como variam V c, i e durane a carga? Aplicando a Lei das Malhas no senido horário i C 0 ou d d C Euação diferencial linear não homogênea de primeira ordem com coeficienes consanes Solução (paricular + homogênea): = p + h d Vejamos. Solução da euação homogênea: 0 d d 0 d 0 d d ln C1 C h = K e - (1)

2 i + - Circuio C Uma solução paricular pode ser uando d/d =0 ou seja no euilíbrio, com o capacior já carregado. Nese caso p = C Agora podemos deerminar K subsiuindo nossas soluções e aplicando a condição inicial (=0) = 0 : C Ke 0 C K K C Logo eremos: C 1 e e? C 1 exp( ) C ()

3 i + - Circuio C Assim na carga do capacior eremos: C 1 exp( ) C E a ensão? V c 1 exp( ) C C E a correne? i d d e C E na descarga do capacior? Qual é a euação e como resolver? (3)

4 i Circuio C Na descarga do capacior a euação é: o O + - d d C 0 Solução: = K e - Agora podemos deerminar K da condição inicial e da subsiuição: E a ensão? Euação diferencial linear homogênea de primeiro grau com coeficienes consanes V c C 0 e C 0 e C E a correne? i C d O sinal menos significa ue a 0 e d C carga diminui. (4)

5 Circuio L Vamos considerar o circuio da figura (na posição b) e ueremos deerminar a correne aravés do induor. Vamos considerar I(=0) = I 0 di di Aplicando a Lei das Malhas emos: L i 0 i 0 d d L i di di d d lni C1 C i K e i i i0 0 L A solução para a correne no induor é: L i I 0 e i I e 0 A ueda de ensão no resisor é: V i I0 e L A poência dissipada no resisor é: P = V i = i = I 0 e L A energia dissipada no resisor é: W W I0 (1 e ) P d 0 1 L (5)

6 Circuio L Vamos considerar o circuio da figura (na posição a) e ueremos deerminar a correne aravés do induor. Aplicando a Lei das Malhas emos: di di L i 0 i 0 d d L A solução para a correne no induor é: i 1 e L (6)

7 Circuio LC A euação é: 0 di d L 0 d C d LC Esa euação é idênica à do sisema massa-mola!!! k m Porano podemos esabelecer uma analogia enre as grandezas eléricas e as mecânicas!!! (e uilizar odos os resulados já obidos) (7)

8 Analogias Massa - Mola Circuio LC d x d m kx 0 L 0 d d C x v m i L 1/k C ω 0 = k m ω 0 = 1 LC E 1 mv 1 kx E 1 Li C (8)

9 Supore rígido Elasicidade, k Massa, m Circuio LC di d d L i 0 d C d d LC A euação é: 0 Esa euação é idênica à do sisema massa-mola com amorecimeno b onde euivale a b/m!!! d x m d b dx d b /m ( ) m co kx x x e s 0 ' 0 1 b x e m m b m 0 Palhea Amorecimeno, b (9)

10 Circuio LC com fone AC Finalmene no caso das oscilações forçadas emos a euação : L di d i C V Esa euação é idênica à do sisema massa-mola forçado!!! Agora F é V esposa em freuência Vamos esudar em dealhe o circuio acima, ue é euivalene ao massa mola forçado com amorecimeno (mais simples de se rabalhar experimenalmene). Vamos considerar a força exerna (ensão exerna) harmônica e sua ampliude complexa: V = V 0 cos(ω γ) V ω = V 0 e jγ (10)

11 Circuio LC com fone AC Vamos considerar, para simplificar, ue =0, porano: V ω = V 0 Vamos considerar ue a ampliude da ensão AC (V 0 ) é consane e ue podemos variar a freuência () e vamos esudar como variam a ampliude e a fase da correne induzida no circuio por esa ensão alernada. No caso do oscilador mecânico em geral, a correne corresponde á velocidade do oscilador. Separadamene vamos esudar a carga no capacior ue corresponde ao deslocameno no sisema mecânico. A euação da ampliude complexa para o circuio elérico é: jωli + I + j 1 ωc I = V 0 = V Onde colocamos odo em função de I (e não de ). (11)

12 Circuio LC com fone AC jωli + I + j 1 ωc I = V 0 = V I( jωl + + j 1 ωc ) = V 0 = V Esa euação diz ue a o produo da ampliude complexa da correne e de cero numero complexo Z é igual á ensão exerna, onde Z pôde ser escrio como: j(ωl 1 ωc ) = Z Assim definimos a impedância: Sua inversa é a admiância Z(ω) = V(ω) I(ω) Y ω = I ω V ω = 1 Z(ω) (1)

13 Circuio LC com fone AC jωli + I + j 1 ωc I = V 0 = V I( jωl + + j 1 ωc ) = V 0 = V Nos esamos ineressados na ampliude e na fase da correne Considerando a impedância nese caso como sendo: I = I 0 e jβ Z = Z 0 e iφ E a fase será: φ = g 1 ωl 1 ωc Assim para a ampliude e fase da correne emos: I 0 = V 0 Z 0 = V 0 + ωl 1 ωc Z 0 = + ωl 1 ωc 1 ωl 1 β = φ = g ωc (13)

14 Circuio LC com fone AC Vamos analisar a resposa do circuio I 0 = V 0 Z 0 = V 0 + ωl 1 ωc 1 ωl 1 β = φ = g ωc Quando emos =0 a correne é I 0 =0 (o capacior inerrompe o circuio) Quando emos = a correne é I 0 =0 (o induor bloueia o circuio) Enre eses dois valores eremos um máximo! Ese máximo é I m =V 0 / e aconece uando: ω = 1 LC ω 0 A freuência na ual aconece o máximo de ampliude é chamada de freuência de ressonância (é a mesma freuência das oscilações livres sem amorecimeno) (14)

15 Circuio LC com fone AC Vamos analisar a resposa da circuio I 0 = V 0 Z 0 = V 0 + ωl 1 ωc 1 ωl β = φ = g 1 ωc A correne esá defasada respeio da ensão por β Na ressonância β=0 Nos limies de =0, emos ue β=-/ e / Porano a correne corre arás da ensão para 0 e corre afrene da ensão para > 0 Vamos ver graficamene eses comporamenos. Para isso primeiro normalizamos a freuência / 0 e resisência D 0 C = / 0 L (esa resisência normalizada é inerpreada como a relação enre a ampliude da ensão no resisor, capacior e induância na ressonância) (15)

16 Circuio LC com fone AC O inverso desa resisência normalizada é o faor de ualidade Q!!! Q = 1/D = 0 L/ Em ermos desas grandezas normalizadas eremos: Z jωl + + j 1 ωc / 0 D 0 C = / 0 L (esa igualdade a menos do sinal, é valida na ressonância). = j DΩ 1 Ω jdω I = I 0 e jβ = I m β = g 1 Ω 1 DΩ jdω 1 Ω jdω I 0 I m = DΩ 1 Ω + (DΩ) Todo iso é valido para o sisema massa-mola considerando as correspondências enre as grandezas. Vamos ver agora o gráfico do comporameno... (16)

17 I 0 I m = DΩ 1 Ω + (DΩ) Circuio LC com fone AC I 0 = V 0 Z 0 = V 0 + ωl 1 ωc No eixo y eremos a razão das ampliudes (I o /I m ou v 0 /v m ) vs para diferenes valores de D (de 0,15 aé 4). Para freuências muio menores ue a de ressonância (<<1) a ampliude é proporcional à freuência (I o /I m D). Nese caso a consane elásica k é uem fornece a principal força de oposição (pois C esá correlacionado com k!). No ouro limie, (>>1) a massa inercial M é uem conrola a resposa e a ampliude é inversamene proporcional à freuência (I o /I m D/) (pois L esá correlacionado com M). E na ressonância? (17)

18 Circuio LC com fone AC Na ressonância as forças reaivas da mola e da massa inercial se cancelam! E somene a resisência limia a velocidade! (ao valor v m =F 0 /), senão a velocidade (ou correne) vai para Pero da ressonância eremos ue Ω 1 e v 0 D v max 1 Ω + D Ese valor da ampliude é reduzido de 1 (na ressonância) para uando (1 Ω ) = D Na figura de baixo emos a dependência da fase da velocidade. 1 (18)

19 Circuio LC com fone AC Exercícios (do K. Ingard, páginas 53-64) 1. Desenvolver a mesma análise feia para a velocidade, agora para o deslocameno (euivalene da carga no capacior) de um sisema massa-mola forçado com amorecimeno. Ober a dependência da ampliude e da fase das oscilações do deslocameno em função da freuência. Uilize como pono de parida a euação do movimeno Mξ ሷ + ξ ሶ + kξ = F 0 cos ω. Enconre as euações normalizadas, para a variável, uilizando seu valor para a freuência =0 como faor de normalização (/ =0 ) e uilizando a freuência normalizada Ω ω onde ω ω 0 = 0 k M Desenhe e analise ualiaivamene o comporameno da ampliude normalizada do deslocameno e da sua fase com a variação da freuência normalizada da força exerna. Orienações no livro Waves and oscillaions de K. Ingard página 58. (19)

20 Exercícios Circuio LC com fone AC. No caso da análise da velocidade (correne) do sisema massa-mola forçado, sem amorecimeno, desenhar num gráfico v v 0 vs Ω (um gráfico no plano complexo) no lugar de fazer dois gráficos no plano real (um para a ampliude e ouro para a freuência, como fizemos na nossa análise durane a aula). Demonsrar ue o caminho percorrido parindo de =0 aé = é um circulo de diâmero unidade cenrado no eixo x 3. epeir a análise do exercício para o caso do deslocameno normalizado / =0. (0)