4. SINAL E CONDICIONAMENTO DE SINAL

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1 4. SINAL E CONDICIONAMENO DE SINAL Sumário 4. SINAL E CONDICIONAMENO DE SINAL 4. CARACERÍSICAS DOS SINAIS 4.. Período e frequência 4..2 alor médio, valor eficaz e valor máximo 4.2 FILRAGEM 4.2. Circuio RC passa-alo Circuio RC passa-baixo 4.3 AENUAÇÃO 4.3. Aenuador RC e sua compensação Ponas de prova aenuadoras

2 4. Caracerísicas dos sinais 4.. Período e frequência O período de um sinal v() deve saisfazer a condição v() = v( ± k) com k =, 2, A frequência f (em Hz) e a frequência angular w (em rads - ) de um sinal periódico são f = e w = 2π 4..2 alor médio e valor eficaz O valor médio = <v()> =. v() d alor eficaz de v() ef 2 = <v 2 ()> =. v 2 () d Exemplos de valor médio e valor eficaz de alguns sinais periódicos (período ). ipo de sinal alor médio alor eficaz Sinusoidal v() = p sen w p 2 Sinusoidal com recificação de meia onda v() = para < < /2 = p sen w, para /2 < < Recangular v() = p < < p p π p 2 p d p d = p < < ; d (ciclo acivo) = p 2

3 Facor de crisa FC, que em a expressão FC = p ef O quociene, K, enre o valor eficaz e o valor médio é K = rms dam Relação enre alguns parâmeros de formas de onda ípicas. Forma de onda ( p =, vol) rms dam* K = rms dam Facor de crisa - FC Sinusoidal p 2 =,77 vol Onda quadrada p simérica =, vol riangular p 3 =,577 vol 2 p π =,637 vol p =, vol p 2 =,5 vol,77,637 =,,44,, =,,,58,5 =,55,73 * dam desvio absoluo médio (valor médio do sinal após recificação de onda complea) EXEMPLO Calcule o facor de crisa FC dos sinais recangulares v () e v 2 () esboçados na figura. O sinal v 2 () em valor médio nulo. Os dois sinais êm valor máximo p e período. Para os dois casos, esboce graficamene FC em função do ciclo acivo d, FC(d). Analise os resulados obidos. Resolução Sinal v (): O quadrado do valor eficaz de v () é ef 2 = <v 2 ()> =. v 2 () d = p 2 2 p p d = p = p 2 d com d = p ou ef = p d 3

4 Finalmene, resula FC = p ef = d v () v 2 () p p pp p p Sinais recangulares v () e v 2 (). Sinal v 2 (): Como v 2 () apresena valor médio nulo, observa-se a condição O quadrado do valor eficaz é p p = ( pp p ) ( p ) ( pp = alor de pico-a-pico) 2ef 2 = <v 2 2 ()> =. v 2 2 () d = p 2 p d + ( pp p ) 2 d = [ p 2 p + ( pp p ) 2 ( p ) ] como pp p = p p p resula 2ef 2 = [ p 2 p + ( p p ) 2 p ] p Finalmene, após simplificação 2ef = p p p ou FC = p p = d d 4

5 FC (a) (b),,2,3,4,5,6,7,8,9 d Facor de crisa de ondas recangulares em função de d: (a) FC = /d; (b) FC = ( d)/d. 4.2 Filragem Um sinal sinusoidal ao aravessar um sisema linear, não alera a sua forma. Com uma enrada v i () = A sen w (w=2πf ) A saída é do ipo = A 2 sen(w φ(w)) A função φ(w) caraceriza a variação da fase com a frequência; H(w) = A 2 /A é o módulo da função de ransferência H(w). A função de ransferência do sisema é uma grandeza complexa, que à frequência w, apresena o módulo H(w) e fase φ(w), iso é H(w) = H(w) e jφ(w) 5

6 4.2. Circuio RC passa-alo A função de ransferência H(s) do circuio RC passa-alo é H(s) = o(s) i (s) = sτ + sτ i (s) e o (s) são, respecivamene, as ransformadas de Laplace de v i () e. O parâmero τ é a consane de empo, sendo τ = R C Resposa em frequência O módulo e a fase da função de ransferência H(f) apresenam as expressões H(f) = C + (f /f) 2 e φ(f) = arcan (f /f) ( f = é a frequência inferior de core do filro) 2πτ 2log H(f) db 3 9º φ(f) v i () R + 2 db/década 45º 2 f f f f Diagrama assimpóico a) b) c) Filro passa-alo: a) circuio RC; b) curva de módulo e c) curva de fase. 6

7 Resposa emporal Sendo v i () um degrau de Heaviside h(), de ampliude, a ransformada inversa é do ipo = f + ( i f ) e -/τ f e i são, respecivamene, o valor final e o valor inicial. Com condições iniciais nulas, i =, e f =, resula = e /τ v i () Resposa a um degrau de um filro RC passa-alo. v i () v i () p a) p b) Resposa de um filro RC passa-alo a um impulso v i () com: a) τ >> p ; b) τ << p. 7

8 Genericamene, a resposa apresena a forma da b), onde = e 2RC e 2 = 2 e E 2 = e 2 = 2RC Como a onda quadrada de enrada é simérica, verificam-se as relações = 2 e = 2 Resulando 2 = + e /2RC e 2 = + e /2RC Com /2RC<< e aendendo ao desenvolvimeno em série de e x (e x +x, para x << ), as expressões aneriores são aproximadas por O grau de disorção dese ipo de filros é avaliado pela flecha P, definida por P = 2 ' ( + 4RC ) e 2 2 ( 4RC ) % 2RC % = π f f % 2 v i () b) 2 2 a) dc /2 /2 c) /2 Resposa de um filro RC passa-alo: a) sinal de enrada; b), c) sinais de saída para τ >> /2 e τ << /2, respecivamene. 8

9 EXEMPLO Uma onda quadrada simérica de frequência Hz e ensão pico-a-pico 2, é aplicada a um circuio RC passa-alo de frequência inferior de core 5 Hz. Caracerize a onda de saída, calculando os valores insanâneos da ensão em ponos caracerísicos. Deermine o valor da flecha P. Repia a quesão anerior admiindo que a frequência inferior de core do circuio RC é: a),3 Hz; b) 3, Hz; c) 3 Hz. Resolução Para a onda quadrada considerada no problema, a ensão pico-a-pico é = 2,. O seu período é = ms. Para f = 5 Hz, a consane de empo é τ = 2 = 2πf = 3,8 ms e + e -/2RC =,66 e 2 = + e /2RC =,34 ; = 2 =,66 e = 2 =,34 A flecha P é P = % = 32 % A resposa apresena assim um decaimeno apreciável, apresenando uma forma semelhane à esboçada na b). a) Recorrendo às mesmas expressões, para f =,3 Hz obemos sucessivamene: = 2 =,5 ; = 2 =,95 ; P = % A resposa apresena nese caso uma disorção menos significaiva do que na siuação anerior. b) Para f = 3, Hz obemos sucessivamene: = 2 =,44 ; = 2 =,56 ; P = 88 % c) Para f = 3 Hz obemos uma disorção muio apreciável da forma de onda, dando origem a uma resposa próxima da esboçada na c), com variações enre um valor máximo igual a +2 e um mínimo igual a 2. raando-se de um filro passa-alo, em qualquer um dos casos, a resposa apresena um valor médio nulo. 9

10 4.2.2 Circuio RC passa-baixo A função de ransferência H(s) do circuio RC passa-baixo é H(s) = o(s) i (s) = /τ' /τ'+ s (τ' = R'C') Resposa em frequência Em regime sinusoidal, iso é, para s = jw = j2πf, a função de ransferência é H(f) = o(f) i (f) = f 2 f 2 + jf (f 2 é a frequência superior de core, é f 2 = 2πτ' ) O módulo da função de ransferência H(f) e a fase φ(f), apresenam as expressões H(f) = + (f/f 2 ) 2 e φ(f) = arcan f f 2 2log H(f) db 3 2 db/década φ(f) f 2 f R -45 v i () C a) f 2 Diagrama assimpóico -9 f b) c) Filro passa-baixo: a) circuio RC; b) curva de módulo e c) curva de fase.

11 Resposa emporal A resposa a um degrau de Heaviside de ampliude dese circuio RC passa-baixo apresena a expressão = ( e /τ' ) O empo de subida é r = 2,2 τ' = 2,2 2πf 2 =,35 f 2,9 v i () ' v i () dc '', 2 r Resposa a um degrau de um filro RC passa-alo.a) τ'<< e τ'<< 2. v i () As duas equações da saída,, deduzem-se a parir da expressão genérica = f + ( i f ) e /τ' Idenificando os valores inicial i e final f, em cada uma das sub-funções, v o v o2 2 dc obemos as equações 2 v o () = ' + ( ' ) e /τ' b) τ'>> e τ'>> 2 v o2 () = '' + ( 2 '') e ( )/τ' Resposa emporal de um circuio RC passa-alo.

12 4.3 Aenuação Aenuador de ensão resisivo R. A aenuação a do aenuador resisivo da figura é v i () a = v o() v i () = R + A aenuação é independene da frequência. Na práica, a siuação é mais complexa devido ao efeio de carga, usualmene de naureza capaciiva, exercido pelos andares seguines ao aenuador. O circuio da figura vem alerado, para um circuio do ipo. R R v i () C av i () C a) b) Aenuador resisivo com carga capaciiva; b) circuio equivalene (com a= /(R + ) e R=R /(R + ) ). A frequência superior de core dese circuio é agora f 2 = 2πRC com R = R R + Iso é, o divisor resisivo que em uma resposa em frequência plana passa, por efeio de carga, a apresenar um comporameno de um filro passa-baixo. 2

13 4.3. Aenuador RC e sua compensação O efeio acima descrio é compensado, colocando em paralelo com R a capacidade C. A função de ransferência do circuio é C H(s) = +sr C R + +src onde R = R R + e C = C + C 2. Para uma enrada em degrau, é = v i () R C 2 R + + ( com τ = RC = R R + (C +C 2 ) C ) e C +C 2 R + R /τ 2 A resposa é represenada em duas siuações: a) valor inicial superior ao valor final e b) valor final superior ao valor inicial. Em qualquer uma desas duas siuações, não há manuenção da forma de onda, não esando porano o aenuador compensado. C C +C 2 R + C C +C 2 R + As rês siuações possíveis são: a) o aenuador esá sobre-compensado, o que se verifica se R C > C 2 ; b) aenuador esá sub-compensado, o que se verifica se R C < C 2 ; c) o aenuador esá compensado se R C = C 2. 3

14 A função de ransferência em w é H(jw) = + jwr C R + + jwrc A figura seguine represena o módulo da função de ransferência para as siuações de sobre-compensação e sub-compensação. H(f) H(f) C /(C +C 2 ) /(R + ) /(R + ) C /(C +C 2 ) f f (Sobre-compensado - R C > C 2 ) (Sub-compensado - R C < C 2 ) Resposa em frequência de aenuador RC não compensado. De noar que os valores limies de H(jw) são: lim H(jw) w = C e lim H(jw) R +R w = 2 C +C 2 Eses resulados limies confirmam os resulados obidos no domínio dos empos, onde o valor final da resposa a um degrau é aenuado por /(R + ). Iso é, a resposa à variação lena do degrau corresponde à resposa às baixas frequências. Inversamene, a resposa à ransição rápida depende da forma como o circuio responde às alas frequências, onde a aenuação é C /(C +C 2 ). Se eses dois valores limies forem iguais a resposa em frequência é consane, esando o aenuador compensado. 4

15 4.3.2 Ponas de prova aenuadoras Uma pona de prova aenuadora, usada na ligação do pono de ese de um circuio a um osciloscópio, consiui uma aplicação direca dos aenuadores compensados. São duas as configurações básicas: a pona de prova passiva e a aenuadora (que necessia de ser compensada). R s v s () R i C i Fone de sinal Cabo coaxial Aparelho de medição Pona de prova passiva na ligação de uma fone de sinal a um aparelho de medição. C R R i C i Pona de prova aenuadora Aparelho de medição Pona de prova aenuadora. 5