2.6 - Conceitos de Correlação para Sinais Periódicos

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1 .6 - Conceios de Correlação para Sinais Periódicos O objeivo é o de comparar dois sinais x () e x () na variável empo! Exemplo : Considere os dados mosrados abaixo y 0 x Deseja-se ober a relação enre x e y! Inicialmene escrevemos : x x x y y y x y, : valores médios de x e y 36

2 Enão emos o seguine conjuno de dados: y 0 x Função linear que ajusa os dados Equação da rea de ajusagem: y y p - valor esimado de y m - coeficiene angular m x p Diferença enre y p e y : y y y m x p 37

3 A idéia é minimizar (mínimos quadrados). Iso é feio fazendo-se a derivada do valor esperado E[ ] igual a zero: [ ] [ ] ( ) E E y mx [ ] [ ] [ ] Ey + mex mexy Com iso, obém-se o seguine resulado: m [ ] Exy [ ] Ex Observe que a variância de x e y é dada por: σ σ x y [ ] [ ] Ex Ey Enão, combinando-se as expressões acima, obém-se o seguine resulado para a rea que ajusa os dados com erro quadráico mínimo: 38

4 y y x x ρxy σ σ y Onde ρ xy é o coeficiene normalizado de correlação x ρ xy [( )( )] E x x y y σxσy Medida da similaridade Exemplos: Correlação perfeia Sem correlação alguma ρ xy ± ρ xy 0 39

5 .6. - Correlação Cruzada enre x () e x () É definida por R + / ( τ) x ( ) x ( + τ) d / onde R (τ) é a função de correlação cruzada enre x () e x () e τ é o avanço no empo Cálculo de R (τ) : Os valores de x () são muliplicados pono a pono pelos valores de x ( + τ ) para formar uma erceira curva A área sob esa erceira curva é enão obida e dividida pelo período Ese valor médio é ploado como um pono C O processo é repeido para cada valor de τ 40

6 Graficamene: x () x () A τ B - x () x ( + τ) ( + ) ( - ) ( - ) R () D τ ο C τ 4

7 Podemos relacionar a função correlação cruzada enre as funções periódicas da seguine forma Para x (): x( ) X q e q jqω o X q + x ( ) e jqω o d Para x (): x( ) X p e p jpω o X p + x ( ) e jpωo d Usando a definição de R (τ ) R C p e jp o ( τ ) ω τ * C p Xp X p p 4

8 Esa úlima relação indica que a função de correlação cruzada é periódica e pode ser expandida em séries de Fourier. Enão, C p pode ser deerminada aravés de C p + R ( τ ) e jpω oτ dτ Quando o araso τ é dado em x () ao invés de x (), pode-se demonsrar com procedimeno análogo ao anerior que C C * p C * p C p p ou seja : R (τ) R ( -τ) 43

9 .6. - A Função Auo-Correlação É obida quando os dois sinais periódicos são os mesmos, e é dada por R + / jpω ( τ ) x ( ) x ( + τ ) d C e o p / p com C X * X X p p p p e C p + R ( τ ) e jpω oτ dτ Caracerísicas: Quando τ 0, R (0) reduz-se no valor médio quadráico ambém quando τ 0, R (0) reduz-se na fórmula de Parseval R + / ( 0 ) x ( ) d C X p / p p odos os coeficienes de Fourier são reais e posiivos. p 44

10 Exemplo: Deerminar a função de auo-correlação para o sinal abaixo x () A -/4 /4 Usando a definição obemos: R R ( τ ) ( τ ) A τ A + τ para 0 < τ < / para -/ < τ < 0 Enquano que por uma Análise de Fourier obém-se R ( τ ) A cos π p {( p ) ωoτ} ( p ) 45

11 Graficamene A x () -/ / Enquano que pela análise de Fourier (úlima expressão) A x () M / / 46

12 .7 - Conceios de Correlação - Sinais ransienes A correlação cruzada enre dois sinais ransienes x () e x () é definida por + R ( τ ) x ( ) x ( + τ ) d As ransformadas de Fourier para x () e x () são dadas por x () : j x( ) ω X( ω ) e dω π + jω X( ω ) x( ) e d x (): jω x( ) X( ω ) e dω π + jω X ( ω ) x ( ) e d 47

13 Usando-se enão a definição de R (), pode-se demonsrar que jωτ R( τ ) C( ω ) e dω π * ( ω) ( ω) ( ω) C X X onde C (ω) represena uma densidade especral, (função conínua de ω) e que possui unidades de x ()/Hz. A relação enre C (ω) e sua ransformada de Fourier é: jωτ C ( τ ) R ( τ ) e dτ E ambém C C * ( ω) C ( ω) * ( ω) C ( ω) ou seja : R (τ) R ( -τ) 48

14 .8 - Conceios de Correlação - Sinais Aleaórios Sabemos que, a fim de usarmos a ransformada ransiene de Fourier em qualquer sinal ransiene, a seguine condição deve ser saisfeia + x () d< e esa condição não é saisfeia quando x () é um sinal aleaório!.8. - Função Auo-Correlação e Densidade Auo-Especral A função auo-correlação para sinais aleaórios é definida por R xx ( τ) lim x () x ( + τ) / / d Suas principais caracerísicas são: 49

15 R xx (τ ) deve ender a zero conforme cresce R xx (τ ) é uma função real R xx (τ ) é uma função par, R xx (τ ) R xx (-τ ) R xx (τ ) é limiada, obedecendo os requisíos da ransformada de Fourier, ou seja + ( ) Rxx τ dτ < Garanindo-se que odas esas condições são verdadeiras, o par de ransformada de Fourier para sinais aleaórios, devido à Weiner-Khinchine pode ser empregado Rxx ( τ ) Sxx ( ω) cos( ωτ) dω π ( ) ( ) cos( ) S τ R τ ωτ dτ xx e consequenemene : S xx (ω ) S xx (-ω ) xx 50

16 O significado físico de S xx (ω ) pode ser obido fazendo-se τ 0 nesa úlima equação, e aí obém-se R xx x d Sxx dω π ( 0) lim ( ) ( ω) / / média quadráica do sinal área sob a curva de S xx (ω) A função S xx (ω ) recebe o nome de Densidade Especral Média Quadráica ou Densidade Auo-Especral. Ela possui unidades de x () / Hz. eóricamene, S xx (ω ) é uma função válida para frequências posiivas e negaivas. Experimenalmene, faz-se ( ) xx ( ) ( ) ( ) G ω S ω para 0 < ω < xx G 0 S 0 para ω 0 xx xx 5

17 Exemplo: S xx (ω) S o ω ω 0 ω ω ω ω ο ω ω ω ο ω ω R 0 xx ( ) Rxx τ S ω S ω π o ( τ ) cos( ω τ) sin c( ω τ) o ω ω ω o + ω ω ω sinc( ω τ) cos (ω ο τ) τ 5

18 Ese úlimo resulado é uil nas seguines definições Processo aleaório de Banda Esreia é aquele no qual ω é pequeno quando comparado com ω ο Processo aleaório de Banda Larga é caracerizado por ω 0 enquano que ω cresce. No exemplo anerior Soω Rxx ( τ ) sin c( ω τ) π Para τ 0, a medida em que ω cresce, ese resulado aproxima-se da Função Dela de Dirac Rxx( τ ) So δ ( τ ) Sxx( ω ) So Ruído Branco 0 ( ) Rxx τ S ω

19 .8. - Correlação Cruzada e Densidade Especral Cruzada São definidas pelas seguines relações bem como jωτ Rxy ( τ ) Sxy ( ω) e dω π ( ) ( ) S τ R τ e dτ xy xy ( ) ( ) jωτ jωτ Ryx ( τ ) Syx( ω) e dω π S τ R τ e dτ yx yx jωτ e * Sxy ( ω) S yx ( ω) * S ( ω) S xy ( ω) yx 54