Capítulo 2. Modelização matemática por equações diferenciais

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1 DINÂMICA DE SISTEMAS BIOLÓGICOS E FISIOLÓGICOS Capíulo. Modelização maemáica por equações diferenciais Se quisermos definir uma axonomia de sisemas, que nos apoie no esabelecimeno de uma eoria unificadora, poderemos usar o criério da energia e classificá-los conforme o ipo de energia que neles circula. Teremos assim sisemas elécricos, mecânicos, érmicos, fluídicos, químicos, ec. Os sisemas biológicos e fisiológicos são mais complexos e não podem ser visos com essa simplicidade. Eles conêm subsisemas daqueles ipos, mas êm propriedades emergenes em relação a eles - as que derivam da própria vida. Por isso começaremos por uma análise breve daqueles ipos de sisemas. Veremos depois que é possível definir um conjuno de caracerísicas básicas dos sisemas que aravessam odos os ipos, permiindo definir um conjuno de analogias enre eles. Esas analogias permiem-nos usar um dado ipo de sisema (elécrico, por exemplo), para esudar ouros. A figura seguine, por exemplo, represena a carga do coração humano por um circuio elécrico equivalene (capa do livro de Hoppensead) Circuios elécricos análogos do sisema vascular. Na lieraura de engenharia biomédica enconram-se muios ouros exemplos, com o seguine (Wien (Ed), An elecrical equivalen circui model of glucose-insulin kineics during inravenous glucose olerance ess in dogs and in man, p. 1188)) ADC/FCTUC/EB/DSBF/Capíulo / 005 1

2 Os esudos dos músculos e do movimeno humanos recorrem inensamene a modelos mecânicos, como ilusra a figura seguine (de McMahon, 1984) Modelo mecânico de um músculo acivo (McMahon) Modelo de uma perna (McMahon) Os elemenos dos sisemas érmicos, fluídicos e químicos são ferramenas indispensáveis em esudos de modelos comparimenais (muio usados em farmacologia e medicina).. Por exemplo a figura seguine mosra um sisema fluídico que permie modelizar a ingesão oral de um fármaco, a sua absorção pela correne sanguínea no inesino e a sua excreção no rim (de Bruce, pp. 107). Por isso (re) veremos alguns fundamenos deses ipos de sisemas. ADC/FCTUC/EB/DSBF/Capíulo / 005

3 .1. Sisemas elécricos Os circuios elécricos são o ipo de sisemas elécricos mais comuns, com resisências, capacidades, bobinas, fones de ensão e fones de correne. Cada ipo de componene em a sua missão específica. Para a resisência R, v () = R i () A energia dissipada é dada pelo efeio de Joule: WR = R() i A resisência não armazena energia, dissipa-a apenas. Se se irar do circuio nela nada permanece. Para o condensador C, 1 v () = id () C 0 1 A energia armazenada num condensador é dada por WC C Não depende da correne, e permanece mesmo quando esa se exingue. A correne no condensador dada por = v. iso é, A ensão v no condensador depende da correne nele acumulada, dq dv dv 1 i ( ) = = C (porque Q= CV) e porano = i ( ) d d d C inegrando ambos os lados da equação obém-se. 1 1 v ( ) = id ( ) id ( ) vo sendo 0 o insane inicial e v0 a ensão inicial. C = + C 0 Se se reirar o condensador do circuio, depois de o carregar, a sua energia permanece nele. Por isso se pode chamar energia poencial, que se poderá usar colocando o condensador num circuio (al como a energia hídrica conida numa barragem). Para a bobina L, di() v () = L d inegrando ambos os lados da equação. 1 1 i( ) = v( ) d v( ) d i0 sendo 0 e i0 o insane e a correne iniciais. L = + L 0 1 A energia armazenada numa bobina é dada por WL = L i e exise porano apenas quando há circulação de correne. Ela é armazenada no campo magnéico criado pela ADC/FCTUC/EB/DSBF/Capíulo / 005 3

4 correne quando circula na bobina. Reirando a bobina do circuio, nada nela permanece. Por isso a sua energia se pode chamar de cinéica, por depender do movimeno (da circulação da correne de elecrões). Muios sisemas conêm os rês ipos de elemenos do circuio RLC: dissipador de energia, armazenador de energia poencial e armazenador de energia cinéica. Eses elemenos recebem energia das fones (de energia) do sisema. Em muios casos poderemos reduzir os fenómenos no sisema a esas rocas (e dissipações) de energia. Para esse ober um modelo maemáico do circuio, aplicam-se as leis dos circuios elécricos: de Ohm, de Kirchoff, do condensador e da bobina. Lei de Kirchoff: numa malha fechada, em qualquer circuio elécrico, a soma das ensões é nula. Considere-se o pono negro no circuio e uma malha fechada que dele pare e a ele regressa. Aplicando a lei de Kirchoff das ensões: + y v + v + v u = 0 R L C di() 1 Ri() + L + i() d u() = 0 d C 0 Se definirmos a saída do nosso sisema elécrico como a ensão no condensador C, eremos dy() di() d y() i ( ) = C = C y, = C = C y d d d Subsiuindo na equação da malha, e simplificando a escria, RC y+ LC y+ y u = 0 ou, dividindo udo por RC, R 1 1 y+ y + y = u L LC LC uma equação diferencial de ª ordem que relaciona a enrada do sisema (o circuio) com a sua saída. Poderemos represenar o circuio pelo diagrama de blocos seguine ADC/FCTUC/EB/DSBF/Capíulo / 005 4

5 Enrada u Sisema (circuio elécrico) Saída y Os elemenos armazenadores de energia dese sisema são o condensador e a bobina. A resisência não armazena, dissipa. Se quiséssemos guardar informação sobre o passado do circuio (a correne que nele circulou) quais os elemenos do circuio que o permiem fazer? A carga acual do condensador é o efeio acumulado de odas as correnes que o aravessaram. Por isso se pode dizer que o condensador exprime, aravés da sua carga, oda a hisória passada (do pono de visa da correne). O mesmo se pode dizer da bobina (do pono de visa das ensão). Quer dizer que esses dois componenes armazenadores de energia, o condensador e a bobina, conêm a hisória e porano a memória do sisema. Exemplo. ADC/FCTUC/EB/DSBF/Capíulo / 005 5

6 ADC/FCTUC/EB/DSBF/Capíulo / 005 6

7 .. Sisemas mecânicos de ranslação ADC/FCTUC/EB/DSBF/Capíulo / 005 7

8 Exemplo 1. Exemplo Exemplo 3 : Suspensão de um auomóvel ADC/FCTUC/EB/DSBF/Capíulo / 005 8

9 Exemplo 4. ADC/FCTUC/EB/DSBF/Capíulo / 005 9

10 Exemplo 5. ADC/FCTUC/EB/DSBF/Capíulo /

11 Comparação com os elécricos ADC/FCTUC/EB/DSBF/Capíulo /