5 de fevereiro de x 2 y

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1 P 2 - Gabario 5 de fevereiro de 2018 Quesão 1 (1.5). Considere x 2 y g(x, y) = (x, y + x 2 ) e f (x, y) = x 4, se (x, y) = (0, 0) + y2. 0, se (x, y) = (0, 0) Mosre que: (a) f e g admiem odas as derivadas direcionais em odos os ponos. (b) f g não admie derivada direcional em (0, 0), para alguma direção. Solução: (a) Noe que g é diferenciável em odos os ponos (pois suas componenes o são), e porano admie derivadas direcionais em odos os ponos. Também, f admie odas as derivadas direcionais em ponos (x, y) = (0, 0), onde é diferenciável. Já em (0, 0), omamos (h, k) R 2 e calculamos a derivada direcional via a definição. Se h = 0 ou k = 0 é fácil ver que o resulado exise e dá zero. Caso conrário, emos: f (0, 0) = (h, k) 0 f (h, k) f (0, 0) (h) = 2 (k) 0 ((h) 4 + (k) 2 ) = 0 2 h 2 k 4 h k 2 h = 2 k 0 2 h 4 + k 2 = h2 k. 1

2 (b) Como g(x, y) = (0, 0) se e somene se (x, y) = (0, 0), a composa f g pode ser calculada por subsiuição direa: x 2 (y + x 2 ) ( f g)(x, y) = x 4 + (y + x 2, se (x, y) = (0, 0) ) 2. 0, se (x, y) = (0, 0) Vamos ver que a derivada direcional ( ( f g)/ (1, 0))(0, 0) não exise: ( f g)(, 0) ( f g)(0, 0) 0 = 2 (0 + 2 ) 0 ( 4 + (0 + 2 ) 2 ) = =

3 Quesão 2 (1.0). Seja f : R n R n derivável al que para odo x R n, D f ( f (x)) D f (x) = Id e f ( f (x 0 )) = x 0 para algum x 0 R n. Prove que f em inversa que ambém é derivável. Solução: Das condições dadas é razoável chuar que a inversa de f será a própria f (logo, derivável). Ou seja, queremos ver que f f possui a mesma derivada que a aplicação idenidade, e que empaa com ela em um pono. Esas são precisamene as hipóeses dadas no enunciado. A conclusão segue pela conexidade de R n. 3

4 Quesão 3 (1.0). Sejam f : R m R n conínua, e g : R n R n e g f ambas de classe C 1. Se para odo x R m o conjuno { g i ( f (x)) i = 1,..., n} for linearmene independene, mosre que f é de classe C 1. Solução: Fixe x 0 R m. Vamos mosrar que f é de classe C 1 em um abero conendo x 0. Como ser de classe C 1 é uma propriedade de caráer local e x 0 é arbirário, iso basa. A independência linear de { g i ( f (x 0 ))} i=1 n nada mais nos diz que Dg( f (x 0 )) é um isomorfismo linear. Assim, sendo g de classe C 1, o Teorema da Função Inversa nos dá um abero U R n conendo f (x 0 ) al que g U : U g(u) é um difeomorfismo C 1. Mas f é conínua, donde f 1 (U) é um abero conendo x 0. Assim, emos que f f 1 (U) = g 1 g(u) (g f ) f 1 (U) é uma composa de aplicações de classe C 1, logo é C 1. 4

5 Quesão 4 (1.5). Prove que f (x, y, z) = (e 2y+2z, e 2y 2z, x y) é um difeomorfismo de classe C 1 de R 3 sobre um abero de R 3. Solução: Temos que 0 2e 2y+2z 2e 2y+2z D f (x, y, z) = 0 2e 2y 2z 2e 2y 2z, donde as propriedades usuais do deerminane nos dão de D f (x, y, z) = 4e 2y+2z e 2y 2z de = 8e 4y = O Teorema da Função Inversa nos diz que f é um difeomorfismo local C 1 de R 3 sobre um abero de R 3. Fala ver que f é injeora. Com efeio, a função exponencial é injeora, de modo que f (x 1, y 1, z 1 ) = f (x 2, y 2, z 2 ) nos dá imediaamene que 2y 1 + 2z 1 = 2y 2 + 2z 2 2y 1 2z 1 = 2y 2 2z 2. x 1 y 1 = x 2 y 2 Dese sisema segue que (x 1, y 1, z 1 ) = (x 2, y 2, z 2 ), como queríamos. 5

6 Quesão 5 (2.0). (a) Verifique se f (x, y, z) = (3xy, x 2 + y 2, z) é Lipschiziana sobre R 3. (b) Se A = {(x, y) x + y < 2} e f : A R é de classe C em suas derivadas parciais iadas (em módulo) por 3 em A, mosre que f (A) é um inervalo e avalie seu comprimeno. Solução: (a) Não. A componene x 2 + y 2 já nos leva a desconfiar de algum problema. Suponha por absurdo que fosse, para uma consane M > 0. Enão deveria valer que f (0, u, 0) f (0, v, 0) M (0, u, 0) (0, v, 0), quaisquer que fossem u, v R. Ou seja, eríamos u 2 v 2 = (0, u 2 v 2, 0) M (0, u v, 0) = M u v, e porano u + v M para odos u, v R disinos. Conradição. (b) Noe que A é convexo, e porano conexo. Pela coninuidade de f, f (A) é um conexo da rea, e porano é um inervalo. Esimar o seu comprimeno é esimar o máximo enre odas as disâncias f (x 1, y 1 ) f (x 2, y 2 ) R, com (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) A. Iso pode ser feio lembrando (Corolário 3.17, p. 41) que se uma função diferenciável f : A R n R m esá definida em um abero convexo e odas as suas derivadas são iadas em módulo por uma consane M, enão emos f (x) f (y) M mn x y. Nese caso, é fácil ver que diam(a) = 4, donde f (x 1, y 1 ) f (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) =

7 Quesão 6 (2.0). Considere f : R n R m derivável e F(x, y). = f (x) + f (y). (a) Deermine as derivadas direcionais de F em um pono (x 0, y 0 ) pela definição. (b) Use (a) para mosrar que F é derivável, e explicie a mariz F (x 0, y 0 ). (c) Calcule DF((1, 2), (2, 0))((2, 0), (1, 2)) para a função f : R 2 R dada por f (x 1, x 2 ) = x 1 x 2. Solução: (a) Dado (h, k) R n R n, calculamos: F (h, k) (x F(x 0 + h, y 0, y 0 ) = 0 + k) F(x 0, y 0 ) 0 = 0 f (x 0 + h) + f (y 0 + k) f (x 0 ) f (y 0 ) f (x = 0 + h) f (x 0 ) + f (y 0 + k) f (y 0 ) 0 = f h (x 0) + f k (y 0 ), pois f é derivável (de modo que suas derivadas direcionais exisem). (b) Em visa do iem (a), a candidaa é DF(x 0, y 0 )(h, k) = D f (x 0 )(h) + D f (y 0 )(k). Vejamos que iso funciona: F(x 0 + h, y 0 + k) F(x 0, y 0 ) D f (x 0 )(h) + D f (y 0 )(k) (h, k) = f (x 0 + h) + f (y = 0 + k) f (x 0 ) f (y 0 ) D f (x 0 )(h) + D f (y 0 )(k) f (x 0 + h) f (x 0 ) D f (x 0 )(h) = h }{{} k }{{} 1 1 f (x 0 + h) f (x 0 ) D f (x 0 )(h) h } {{ } 0 + f (y 0 + k) f (y 0 ) D f (y 0 )(k) + f (y 0 + k) f (y 0 ) D f (y 0 )(k) k } {{ } 0 7 0

8 Em paricular, emos ( DF(x, y) = D f (x) D f (y) ). (c) Noe que nese caso f é bilinear. Assim, emos: DF((1, 2), (2, 0))((2, 0), (1, 2)) = D f (1, 2)(2, 0) + D f (2, 0)(1, 2) = f (1, 0) + f (2, 2) + f (2, 2) + f (1, 0) = = 8. 8

9 Quesão 7 (3.0). Seja f : R n R n de classe C 1 al que f (x) f (y) x y para odos x, y R n. Mosre que: (a) para odo x R n, D f (x) não admie auovalor nulo. (b) f é um difeomorfismo de classe C 1 sobre um abero de R n. (c) f (R n ) é um fechado de R n. Conclua que f (R n ) = R n. Solução: (a) Suponha por absurdo que D f (x 0 )(v) = 0 para algum x 0 R n e v R n não-nulo. Normalizando se necessário podemos supor que vale v = 1. Usando a definição de derivada direcional e a coninuidade de emos 0 = 0 conradição. f (x 0 + v) f (x 0 ) 0 x 0 + v x 0 = 0 v = 1, (b) Pelo iem (a), f é um difeomorfismo local C 1 sobre um abero de R n (Teorema da função Inversa). Fala ver que f é injeora. Mas x = y nos dá f (x) f (y) x y > 0, donde f (x) = f (y), como queríamos. (c) Vamos uilizar a caracerização de fechados por sequências. Seja y f (R n ). Enão exise (y n ) n 0 f (R n ) com y n y. Em paricular, (y n ) n 0 é uma sequência de Cauchy. Para cada n 0, ome x n R n al que y n = f (x n ). Enão x n x m f (x n ) f (x m ) = y n y m nos diz que (x n ) n 0 é uma sequência de Cauchy em R n. Como R n é compleo, exise x R n com x n x. Da coninuidade de f segue que y n = f (x n ) f (x). Pela unicidade de ies em R n concluímos que y = f (x). Assim f (R n ) é fechado, como queríamos. Sendo f (R n ) abero, fechado e não-vazio em R n, a conexidade de R n nos diz que f (R n ) = R n. 9