+ 3.. = + + = =

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1 MATEMÁTICA Dois amigos, Alfredo e Bruno, combinam dispuar a posse de um objeo num jogo de "cara ou coroa". Alfredo lança moedas e Bruno moedas, simulaneamene. Vence o jogo e, conseqüenemene, fica com o objeo, aquele que conseguir o maior número de caras. Ocorrendo empae, a experiência será repeida, anas vezes quanas forem necessárias, aé que haja um vencedor. Calcule: a) a probabilidade de que Alfredo vença a dispua na primeira experiência. b) a probabilidade de que Alfredo vença a dispua. a) Alfredo vencerá a dispua na primeira experiência se, no lançameno das moedas, ocorrer: I) caras no seu lançameno ou II) caras no seu lançameno e Bruno não obiver caras ou III) cara no seu lançameno e Bruno não obiver alguma cara. A probabilidade de Alfredo ganhar, enão, nessas condições é P = = + + = = b) Ocorrerá empae em cada experiência se, nos seus lançamenos, ambos obiverem 0, ou caras. A probabilidade de empae, em cada experiência, é P = = = = + + = = 6 Alfredo ganhará a dispua se vencer logo na primeira experiência ou, empaar na primeira e vencer na segunda ou, empaar a primeira e segunda e vencer a erceira e, assim, sucessivamene. A probabilidade de ele vencer é, porano, P = = GV - (ª Fase)Dezembro/00

2 6 =. =. = = Resposas: a) b) Seja r a rea 4x + y 56 = 0 que inercepa o eixo das ordenadas no pono A e o eixo das abscissas no pono B. Considere uma rea s, que passa pela origem O(0,0) e inercepa a rea r no pono C, de modo que a área do riângulo OCB seja igual à meade da área do riângulo OAC. a) Enconre a equação da rea s. b) Deermine as coordenadas do pono C. º) A parir da rea r, de equação 4x + y 56 = 0, emos A (0; ) e B (4; 0). º) Seja C (a; b), com a > 0 e b > 0, o pono em que a rea s, que passa pela origem inercepa a rea r de modo que a área do riângulo OCB seja igual à meade da área do riângulo OAC, enão: 4. b. ( ) =. b = a b = º) Como o pono C ( ) a; a perence à rea r, suas coordenadas saisfazem à equação de r: a 4. a +. () 56 = 0 6. a = 56 a = 4º) Para a =, o pono C em coordenadas C ( ; ). a. a 5ª) A rea s, que passa pela origem e pelo pono C (a; b) em equação: GV - (ª Fase)Dezembro/00

3 b / y =. x y =. x y =. x a / Resposas: a) y =. x b) ( ; ) Considere o sisema linear nas incógnias x, y e z: x y z = x + y + z = ax + y + z = a) Enconre o valor de a que orna o sisema impossível ou indeerminado. b) Uilize o valor de a enconrado no iem anerior para verificar se o sisema dado é impossível ou indeerminado. x y z = a) O sisema x + y + z = será impossível ax + y + z = ou indeerminado se, e somene se, = 0 5a + 5 = 0 a = a b) Para a =, a mariz incomplea complea pois 0. em caracerísica e a mariz em caracerísica Assim sendo, para a = o sisema é impossível. Resposas: a) a = b) sisema impossível 4 Na figura abaixo, ABCD é quadrado de área 0 cm ; EF é diâmero da circunferência de cenro O e a medida do ângulo α (F^EG) é 0º. ( OA = OB = OE = OF = OG) Deermine a área do riângulo EFG. GV - (ª Fase)Dezembro/00

4 A B E C α O D F G Sendo l a medida do lado do quadrado ABCD, de área 0 cm emos que l = 0 = 4 5, em cenímeros. No riângulo reângulo OBD, BD = l = 4 5, OD = l = 5 e OB = R (raio da circunferência). Enão, R = ( 5 ) + (4 5 ) R = 0 Assim, EF = R = 0 e EG = 0. cos 0 = 0 = = 0. A área do riângulo EFG é igual a EF. EG. sen α sen 0 S = = = = = 50. Resposa: 50 cm 5 a) A equação x x + mx + 6 = 0, sendo m um número real, em raízes a, b e c, ais que: a = b + c. b Deermine o valor de S, al que S = + +. a b ac b) O polinômio P(x) = x 4 x + 64x 5x + é GV - (ª Fase)Dezembro/00

5 ( ) divisível por x. Enconre as raízes da equação P(x) = 0 no conjuno dos números complexos. a) Se {a, b, c} for o conjuno-verdade da equação x x + mx + 6 = 0 e a = b + c enão: a + b + c = 4 a = ab + ac + bc = m b + c = abc = bc = 4 a = b + c b Se S = + + enão a b ac bc + ac + b b(b + c) + ac ab + ac S = = = = abc abc abc a(b + c) b + c = = = = abc bc 4 b) Se P(x) = x 4 x + 64x 5x + for divisível por x enão ( e porano P(x) = ( x (x x + 5x 9) ) P(x) = (x )(x x + 9x ) As possíveis raízes ineiras de x x + 9x = 0 são,, e. Por subsiuição verifica-se que é raiz. Assim sendo 6 ) porano x x + 9x = (x )(x 6x + ) P(x) = (x )(x )(x 6x + ) e porano P(x) = 0 x = 0 ou x = 0 ou x 6x + = 0 x = ou x = ou 6 ± 4i x = x = ou x = ou x = ± i Resposas: a) S = e GV - (ª Fase)Dezembro/00

6 6 b) ; ; + i; i O gerene de produção de uma indúsria consruiu a abela abaixo, relacionando a produção dos operários com sua experiência. Experiência (meses) 0 6 Acredia o gerene que a produção Q se relaciona à experiência, aravés da função Q() = 500 A. e k., sendo e =, e k um número real, posiivo. a) Considerando que as projeções do gerene de produção dessa indúsria esejam correas, quanos meses de experiência serão necessários para que os operários possam produzir 45 unidades por hora? b) Desse modo, qual será a máxima produção possível dos operários dessa empresa? Sendo Q() = 500 A. e k., a parir dos dados, emos: ª) Q(0) = = 500 A. e k. 0 A = 00. ª) Q(6) = = e k = 00. e k. 6 = e k. 6 = k. 6 = log e k = Dessa forma a função dada é Q() = e Q() = (e log e ) Q() = Produção (unidades por hora). a) Para produzir 45 unidades por hora, emos: 45 = = 00. = = =. 4 /6 Porano, após meses de experiência. b) Seja Q() = Q() = log e O gráfico da função f: R + R + *, definida por e k log e 6 50 GV - (ª Fase)Dezembro/00

7 f() = 6 é do ipo Assim sendo, quano aumena indefinidamene, ende para zero e Q() ende para 500. Resposas: a) meses b) o maior número ineiro de peças é 499, que aconecerá, aproximadamene, após 50 meses. a) Deermine, no plano de Argand-Gauss, o lugar geomérico dos números complexos z represenados pela equação: z. z w. z + 5 = 0, sendo w = + 5i. b) De odos os números complexos z de módulo, deermine aqueles que saisfazem a igualdade z i =. i Sendo: z = x + yi e z = x yi w = + 5i e w = 5i a) Enão: z. z w. z w. z + 5 = 0 (x + yi) (x yi) ( + 5i). (x yi) ( 5i). (x + yi) + 5 = 0 x + y + 4x 0y + 5 = 0 (x + ) + (y 5) = 4 que é uma circunferência de C( ; 5) e r =. b) ) Sendo z = x + yi enão z = x +y = x + y = 9 ) z i = x + yi i = x + (y )i z i = x + (y ) ) i i = 4 + = 5. i =. 5 = 5 4) z i =. i x + (y ) = 5 x +y 4y + 4 = 4y = 5 4y = 5 y = 5) y = e x + y = 9 x = ± 5 5 GV - (ª Fase)Dezembro/00

8 5 6) z = ± i Resposas: a) O lugar geomérico pedido é uma circunferência de cenro ( ; 5) e raio. 5 5 b) Os números são i e i a) Um elevisor, cujo preço à visa é R$.000,00, esá sendo vendido, a prazo, em parcelas mensais, sucessivas e iguais a R$ 50,00, sem enrada. João Auguso em R$ 000,00 aplicados à axa de % ao mês, pelo criério de juros composos, mas preferiu comprar o elevisor a prazo. "Levo o elevisor sem gasar nada agora e, ainda, manenho o dinheiro aplicado. Pagarei as parcelas com reiradas mensais da aplicação", pensou ele. João Auguso raciocinou correamene? Haverá dinheiro suficiene na aplicação para saldar a úlima parcela do financiameno? b) Cera loja em como políica de vendas a crédio exigir, como enrada, 0% do valor à visa da mercadoria e o resane a ser liquidado no final de meses. Nese caso, o saldo devedor é acrescido de 0% do valor à visa da mercadoria, a íulo de "despesas adminisraivas". Qual é a axa anual de juros simples cobrada por esa loja? a) Acompanhemos a aplicação de João Auguso. ) Aplicação inicial: R$ 000,00. ) Ao final do º mês em aplicado R$ 000,00 x,0 = R$ 00,00. Reira R$ 50,00 para pagar a ª parcela. Coninuam aplicados R$ (00,00 50,00) = = R$ 60,00. ) Ao final do º mês em aplicado R$ 60,00 x,0 = R$ 6,40. Reira R$ 50,00 para pagar a ª parcela. Coninuam aplicados R$ (6,40 50,00) = = R$,40. 4) Ao final do º mês em aplicado R$,40 x,0 R$ 40,0, insuficienes para pagar a ª parcela. João não raciocinou correamene. b) Sendo v o valor à visa da mercadoria, i% a axa anual de juros simples cobrada por esa loja e J o juro simples cobrado, em-se GV - (ª Fase)Dezembro/00

9 = 0% v 0,0. i 0,0 i = Resposas: a) João não raciocinou correamene. Falará dinheiro para pagar a ª parcela. b) A axa anual de juros simples é 50%. 9 0% v. i J = 00 Denomina-se "descono na fone" o Imposo de Renda (IR) pago pelos empregados brasileiros com regisro em careira de rabalho, mediane descono direamene da sua remuneração mensal. Para valores de salário-referência maiores que R$.5,00, o cálculo do descono de IR na fone é feio aravés da seguine equação: IR = (salário referência). (0,5) 4,0 Obém-se o salário-referência (SR), deduzindo-se do salário bruo os valores referenes ao gaso com dependenes (R$06,00 para cada um) e à conribuição ao INSS (% sobre o valor eo de R$.69,9), conforme a expressão seguine: SR = (salário bruo) (.69,9). (0,) (nº de dependenes). (06,00) a) Considere que João da Silva, analisa de markeing de uma grande empresa do seor alimenício, foi conraado e regisrado com um salário bruo de R$.5,6 e em rês dependenes. Quano é desconado do seu salário, mensalmene, a íulo de Imposo de Renda na fone? b) Enende-se por salário líquido (SL) o valor efeivamene recebido pelo assalariado, iso é, deduzindo-se do salário bruo a conribuição ao INSS (% sobre R$.69,9) e o descono do IR na fone. Considerando que em um ano de rabalho são efeuados desconos de IR na fone, calcule o número aproximado de meses de salário líquido do João da Silva que são devorados pelo "leão" da receia federal brasileira? a) Salário-referência de João da Silva SR = R$ 5,6 R$.69,9 x 0,. R$ 06,00 SR R$ 000,00 Imposo de renda desconado do salário de João IR = R$ 000,00 x 0,5 R$ 4, 0 = R$ 40,9 b) O salário líquido de João é SL = R$ 5,6 0,. R$ 69,9 IR SL = R$ (5,6 05,6 40,9) = = R$ 96,0 GV - (ª Fase)Dezembro/00

10 Anualmene são desconados do salário de João e a íulo de imposo de renda x R$ 40,9, equivalenes a,65 salários lí- x R$ 40,9 R$ 96,0 quido. Resposas: a)r$ 40,9 b),65 salários-líquido 0 6 É dada a mariz A = 4 0 a) Se B = A A,onde A amariz ransposa de A e y 0 5x + y x 5 x B =, y y x + y x deermine o número real w, al que w = x. y b) Considere a mariz C, al que C = A. Enconre o valor do número real p, sendo p o deerminane da mariz C. A, iso é, p = de (C. A ) e A mariz inversa da mariz A. a) B = A A = 0 6 = = = = GV - (ª Fase)Dezembro/00

11 y 0 5x + y x 5 x = y y x + y x x = y 5x + y = x + y = x = e y = w = x. y =. = b) p = de(c. A ) = de A. A = =. de A. de A = =. de A. p = de A Resposas: a) b) p = Comenário A prova de raciocínio maemáico do vesibular da FGV-EAESP apresenou quesões bem elaboradas, com enunciados precisos e fore predominância de álgebra ( quesões). Com grau de dificuldade acima da média, a prova permiirá selecionar candidaos melhor preparados. GV - (ª Fase)Dezembro/00