1 a Lista: MTM146: Prof. Paulo Magalhães:

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1 Exercício : Mosre que a solução do sisema de EDO s x y f ( x y y com codições iiciais: x ( ) x() ) ), f saisfazedo x( f ( ) d f ( ) cos( ) d f ( ) cos( ) d f ( ), é dada por Exercício : Resolva o seguie y y PVI Exercício 3: Resolva o seguie :, ) d,, I y PVI : I y y 4y 3y 3e cos 3 Exercício 4: Obeha a rasformada de Laplace do seguie sial Exercício 5: Obeha a rasformada de Laplace das seguies fuções 3 d x ( i) e f ( ( ii) cos3 ( iii) e x ( e se x) dx ( iv) se dx

2 Exercício 6: Obeha as fuções que possuem as seguies rasformadas de Laplace as s e e s s ( i) ( ii), a ( iii) ( iv) ( v)l ( s a) ( s b)( s c) s s a s Exercício 7: Prove que L [ ]( L [ ]( ) d,, a ( s a ) ( s a ) Exercício 8: (i) Prove que!! u m ( u) m du ( m)! (ii) Com isso prove que m m m ( )( u ( u) du, m, (iii) Geeralize para o caso em que m e são reais posiivos e obeha a fução bea ps () Exercício 9: (Expasão de Heaviside) : Se Fs () qs () ode é um poliômio de grau com raízes disias r,, r e p(s) é um poliômio de grau meor que, eão é possível mosrar pelo méodo das frações parciais que ps () A A (*) q() s s r s r ode os coeficiees precisam ser deermiados (i) Mosre que pr ( ) A,,, q( r ) qs () Sugesão: muliplique (*) por ( s r ) e ome o limie s r (ii) Mosre que pr ( ) r L [ F( s)]( e q( r )

3 Exercício : Uilize a rasformada de Laplace para resolver os seguies PVI s:, y 4y 4y ( ) e, () i Iy d ( ii) 4 d y 4, y, Iy Exercício : Uilize a rasformada de Laplace para resolver os seguies PVI s: y 4 y H( H( y y 4 y H( H( (i) (ii) Iy Iy y y Ha( ( a) Ha ( ( ( a )) (iii) I y, a, y y ( ) Ha ( (iv), a Faça a solução Iy Exercício : Os problemas a seguir raam dos efeios de uma sequêcia de impulsos aplicados em um oscilador ão-amorecido dado pelo seguie y y f () PVI : Iy Para cada uma das escolhas de f( resolva o PVI: (i) f ( ( ) (ii) ( ) ( ) ( ) f (iii) f ( ( ) (iv) f ( ( ) ( ) 3

4 Exercício 3: Resolver formalmee a seguie Equação Iegral do ipo Volerra f ( ( ) ) d Exercício 4: Resolva a equação iegral Exercício 5: Resolva a equação iegral (a) quado b bc ; (b) quado a se cos( ) ) d a se b c se b( ) ) d b c Exercício 6: Resolva a seguie equação iegral ão-liear ) ) d Exercício 7: Cosidere a equação iegral de Volerra ( ) ) d se (*) (i) Resolva (*) usado Laplace (ii) Derivado duas vezes (*) mosre que é solução do seguie y y 4se PVI : Iy (iii) Resolva o PVI acima e comprove que a solução é a mesma que a do iem (i) 4

5 Exercício 8: Em cada uma das equações iegrais abaixo repia os procedimeos (i),(ii) e (iii) do exercício 4: ( ) ) d cos( ) ) d e 3 ( ) ) d, ) 3 se( ) ) d, ) Exercício 9: A equação b ( ) ) d f ( ) ( b ) é cohecida como equação iegral de Abel, ode a variável depedee agora é que sua solução é dada por b ) f ( ( b) ( b) y Mosre quado f saisfaz ceras codições de coiuidade Exercício : Coforme sabemos, a rasformada de Laplace de! L [ ]( ) s e s d s De modo que, e d! é dada por Ese resulado levou a uma geeralização da fução faorial deomiada fução gamma deoada por e defiida por x ( x) e d, x (i) Prove a seguie propriedade faorial ( x ) x( x) (ii) Prove que ( ) e cosequeemee que ( )!,,, (iii) Prove que ( 3 ) e com isso obeha ( )! (iv) Prove que L [ ]( s) 3, s s 5

6 Exercício : Os poliômios de Laguerre L( são defiidos por e d L ( ( e ),,,,! d (i) Mosre que ( s ) L [ L ( ]( s), s s (ii) Obeha as seguies relações de recorrêcia L ( L ( L ( ; L( L ( L ( Exercício : (i) Prove que L s /4s [se ]( s) e, s 3/ Sugesão: prove que se saisfaz a EDO 4y y y, e uilize o eorema do valor iicial para comparar o comporameo de pequeos valores de com grades valores de s (ii) Com isso obeha que cos /4s L [ ]( s) e, s / s Exercício 3: Uma parícula de massa m, iicia seu movimeo ao logo do eixo-x parido da origem com velocidade v A úica força exera que aua sobre a parícula é um impulso isaâeo p o isae =, a direção do eixo-x De modo que, o deslocameo x( é descrio pela solução do seguie mx p ( ) PVI : I x v Obeha a solução e seu gráfico Verifique que a solução obida é de fao solução, mosrado que, x ( ), Além disso, x( ), x() v e o momeo mx( apresea um salo p o isae 6

7 Exercício 4: (Equação de Difereça) A fução escada uiária é defiida pelo símbolo [], sedo que []:= maior ieiro meor ou igual a Para se ober uma fução escada com degrau possuido comprimeo h e alura c, basa omar a fução c[ ] ( c, h ) h Por ouro lado, [ ] () h pode ser reescria como uma equação de difereça de primeira ordem com uma codição iicial dada por h), y (, (a) Uilizado ese fao, obeha a rasformada de Laplace de () (b) Mosre que hs L[[ ]]( s) ( coh ) h s Exercício 5: A fução especial Iegral Seo é muio uilizada em óica: Si( se x dx x Calcule sua rasformada de Laplace Exercício 6: () Mosre que s L { J ( } s () Prove que J J ( ) e com isso obeha que ( s s L { J ( } s (3) Prove que (4) Prove que J ( ) J ( ) d se J ( ) J ( ) d J ( cos 7

8 Exercício 7: Se a EDO do modelo maemáico para um servomecaismo ivermos c I Obeha o oupu graficamee Qual a coclusão que se pode irar? ( (, e os compare ( correspodee a um ipu cosae ) i Exercício 8: Se a dedução da lei maemáica obida para o servomecaismo, uma compoee proporcioal ao âgulo acumulado for adicioada as duas compoees relaivas ao orque, obém-se a seguie EDO I ( ( c( b ( ) d o ode b é uma cosae posiiva Assumido as mesmas codições iiciais, resolva a equação iegro-diferecial obida Aalise o caso especial de um ipu dado por ( a, i ) Exercício 9: Uilizado Laplace obeha a solução limiada do seguie u ux u, x, PVI : 3x u( x,) e, x Exercício 3: Uilizado Laplace obeha a solução limiada do seguie problema de rasferêcia de calor uma barra semi-ifiia u uxx x, PVIF : u( x,), x u(,, 8