3 Derivação dos modelos

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1 3 Derivação dos modelos Ese capíulo apresea a derivação de odos os modelos que serão aalisados. Basicamee serão desevolvidos rês casos disios. Deses casos serão exraídos os modelos que serão esudados esa pesquisa. Derivar o modelo sigifica ober a expressão do preço fuuro de um corao, com vecimeo defiido, sob a medida eura ao risco ou medida marigal equivalee (MME. A suposição iicial é que são cohecidos os ipos de processos esocásicos para as variáveis de esado (ou compoees ão observáveis. O úmero de variáveis de esado defie o úmero de faores do modelo. Assim, os modelos de dois faores possuem duas variáveis de esado, que ão são observáveis, e assim sucessivamee. O preço fuuro será fução do empo de mauração do corao e das variáveis de esado. O objeivo é defiir uma equação para o preço fuuro para que seja possível comparar os preços do modelo, assim obidos, com os dados reais do mercado. A codição fudameal uilizada é aquela que cosidera os mercados livres de arbiragem. Desa forma é possível ober a equação para os preços fuuros. Ese capíulo foi orgaizado da seguie forma: a próxima seção apresea uma irodução mosrado os modelos que serão aalisados; a seguda seção faz uma breve irodução aos rabalhos de Duffie e Ka (996 e Duffie, Pa e Sigleo ( expodo a abragêcia das rasformadas (aqui deomiadas rasformadas DK e DPS e a abragêcia dos processos de difusão afis com salos; a erceira seção apresea a formulação aalíica das rasformadas; as duas seções subseqüees raam, cada uma, das rasformadas DK e DPS e, fialmee, seguem-se as seções com a derivação dos modelos dos preços fuuros. Ao fial é dedicada uma seção para cada modelo. As próximas quaro seções são baseadas o arigo de Duffie, Pa e Sigleo (.

2 Derivação dos modelos Irodução O modelo de Schwarz e Smih ( será deomiado de Modelo Básico. Serão aalisadas rês exesões dese modelo que foram deomiadas de Primeira, Seguda e Terceira Exesões. Em geral, as commodiies são egociadas em mercados fuuros que são basae aivos em ermos de volume de egócios. Já os mercados à visa das commodiies são meos expressivos em volume. A iformação relevae sobre preço é formada a parir dos coraos fuuros egociados para diferees mauridades. Aqui a cosideração básica é que o preço à visa é uma variável ão observável. O Modelo Básico cosidera que o logarimo do preço à visa S é a soma de duas variáveis de esado esocásicas (dois faores ão observáveis. A primeira respode pelas variações de curo prazo. O processo de evolução desa variável é de reversão à média do ipo Orsei-Uhlebec. A seguda variável represea os preços de equilíbrio e o seu processo de evolução é do ipo movimeo geomérico Browiao (MGB. Esas duas variáveis e cosiuem as duas variáveis de esado ão observáveis (coseqüeemee o preço à visa é ão observável. O modelo Primeira Exesão cosidera uma modificação o processo de. Seu processo é cosiderado como de reversão à média. O modelo Seguda Exesão é o mesmo Modelo Básico icluido salos a variável de curo prazo,. Nese modelo há dois casos a cosiderar com relação ao amaho dos salos: (i a disribuição do amaho dos salos é ormal, e (ii a disribuição do amaho dos salos é expoecial. O modelo da Terceira Exesão é o Modelo Primeira Exesão icluido salos a variável de curo prazo,. A derivação do Modelo Básico é descria em Schwarz e Smih (. Ereao a derivação que será apreseada ese capíulo difere subsacialmee daquela coida o arigo origial. Os modelos serão deduzidos com o uso das rasformadas de Duffie e Ka (996 e de Duffie, Pa e Sigleo (. O uso desas rasformadas é aplicável a iúmeras siuações de apreçameo de derivaivos cujas variáveis de esado são processos Maroviaos e caracerizadas

3 Derivação dos modelos 54 por fuções afis. Um processo de difusão de uma variável é dio afim se a edêcia (drif, a difusão e os salos são fuções afis desa variável. Esas rasformadas serão deomiadas de DK e DPS, respecivamee. Os processos de difusão afis com salos (Affie Jump Diffusios foram escolhidos esa ese porque eles são bem equipados o seido que coém a compoee de difusão, a compoee dos salos e aida permiem agregar compoees de volailidade esocásica ou volailidades variado o empo, ais como processos ARCH/GARCH. 3. Aspecos prelimiares das rasformadas DK e DPS Em Fiaças o apreçameo de derivaivos da axa de juros ocupa um papel de desaque. Iúmeros rabalhos dedicam-se a ese ema. Nese coexo, a cosideração do ipo de processo esocásico seguido pela axa de juros é fudameal. Quado ese processo esocásico é afim é possível ecorar soluções fechadas para o apreçameo de derivaivos. Diz-se que um processo de difusão de um veor de esado X, com salos, é afim se a edêcia (drif, a difusão (mariz de covariâcia isaâea e a iesidade dos salos são fuções afis do veor de esado (a seção seguie formaliza esa defiição. Como exemplo desa cosideração a lieraura, ciam-se os rabalhos de Vasicec (977 e de Cox, Igerssol e Ross (985, dere ouros. Ouros exemplos o campo do apreçameo de opções são os modelos de volailidade esocásica de Heso (993. Duffie e Ka (996 escreveram um imporae arigo cosiderado os esados (reoros de íulos zero-cupos X = ( X, X,..., X, para diferees mauridades, como processos Maroviaos. Impuseram uma esruura afim a eses esados e demosraram que o preço dos íulos são fuções expoeciais afis. Os ermos desa expoecial afim são soluções de equações difereciais ordiárias (EDOs, cohecidas como equações de Ricai. Ficou assim defiida uma rasformada que permie, dero de deermiadas codições, o apreçameo de derivaivos do aivo objeo (veor de esado X aravés de soluções aalíicas fechadas. Os auores laçaram a base e os coceios fudameais e o ema volou

4 Derivação dos modelos 55 a ser abordado em Duffie, Pa e Sigleo (. Nese úlimo, é ampliado o coceio da rasformada que foi deomiado de rasformada esedida. Exemplificado, cosidere que um íulo paga em um valor que é fução do veor de esado v u X X. Seja ese valor dado pela fução ( v v X e, ode, v e u possuem elemeos escalares reais ou complexos. Seja R(X a axa de descoo do fluxo de caixa fuuro. Eão, o valor do íulo em é dado por: ( u X E exp R(X s,sds v v X e ( ode E é o valor esperado codicioal em. A rasformada esedida permie o cálculo da expressão acima, ou seja, do valor do íulo, aravés de uma expressão que evolve uma expoecial afim. Um caso muio comum a lieraura é a siuação de um íulo sem risco de crédio (defaul-free. Seja a axa de juros uma fução afim de preço de um íulo zero-cupo que vece em é dado por: E ( exp( r ds s X X : r = r r X. O ode foi cosiderado a eq. ( que (X = r, u =, v e v =. R = Aida, o valor esperado é cosiderado sob a medida eura ao risco ou medida marigal equivalee (MME. Duffie e Ka (996 apreseam a solução aalíica para o preço do íulo. Tíulos com risco de crédio podem ser raados similarmee. Ouro uso da eq. ( é aquele em que se busca a fução caracerísica codicioal da disribuição de X em-se que ( iu φ ( u, X,, = E e X caracerísica de X. Fazedo R =, v = e v =,, para u real. Cohecedo a fução X a fução desidade pode ser cohecida e os parâmeros do modelo esimados por máxima verossimilhaça. Sigleo ( cosidera esa abordagem e Das (998 cosidera uma desidade Poisso-Gaussiaa e o méodo dos momeos para esimar os parâmeros do processo da axa de juros. Heso (993 mosrou que os preços de derivaivos de ações, íulos e câmbio podem ser deermiados pela rasformada iversa de Fourier da fução caracerísica codicioal, para os casos em que o aivo objeo é uma fução afim e a volailidade é esocásica.

5 Derivação dos modelos Formulação das rasformadas DK e DPS Cosidere um espaço de probabilidade ( Ω, I,P e uma filração I. Supoha que X é um processo de Marov o espaço esado seguie equação diferecial esocásica: dx D R e que segue a = (X d (X dw dπ ( ode W é um processo Browiao padrão adapado a I em R ; (. : D R ; (. : D R são fuções que defiem a edêcia e a difusão, respecivamee. π é um processo que represea salos e possui uma disribuição de probabilidade em que D [, :. R com iesidade { ( X : } para defiido al Iuiivamee o salo represeado por π represea um salo cujo amaho é aleaório e dado pela disribuição muliplicado por um processo de Poisso de iesidade al que { ( X s : s }. O processo de Poisso e de difusão são idepedees um do ouro e cada um deles é idepedee de. Para que o processo em ( seja afim é ecessário que a edêcia, a difusão e a iesidade dos salos sejam fuções afis. Iso sigifica que as fuções, e sejam afis em seu domíio D. Seja R : D R a fução que represea a axa de descoo. Porao, esas fuções afis são represeadas por: x = K K x, para ( K = (K,K R R ( x (x = ( H ( H x, ( ij ij ij para H = (H,H R R ( x = l l x, para l = ( l l R R, (x = r r x, para R r = (r,r R R Seja um complexo al que c C, eão: R θ( c = exp(cqd(q defie a fução caracerísica do amaho do salo. Será cosiderado o caso em que r =, coseqüeemee a axa de descoo será cosae e represeada por r. Nese coexo os preços fuuros e forwards são idêicos (veja em Duffie (989 esa demosração.

6 Derivação dos modelos O coceio da rasformada DK Dada a codição iicial do processo X (, os coeficiees ( K,H, l, θ deermiam perfeiamee a disribuição de X. Já o cojuo dado por = ( K,H, l, θ,r descreve ao a disribuição de X como ambém os efeios dos descoos. Eão deermia uma rasformada ψ : C D R R C de X codicioada a I, para, dada por:. ψ = I u X ( u,x,, E exp( R(X s ds e (3 ode E represea o valor esperado da disribuição de X deermiado por ψ difere da fução caracerísica codicioal somee pela preseça da axa de descoo R(X. Proposição. Supoha que ( K,H, l, θ,r seja bem comporado em ( u,. Eão a rasformada ψ de X defiida em (3 é dada por α( β( x ψ (u, x,, = e (4 ode β e α saisfazem as seguies EDOs de Ricai: β & = r K β( β (H β( l ( θ( β( (5 ( α& = r K β( β (H β( l ( θ( β( (6 ( com as codições ermiais dadas por β ( = u e α ( =. Prova: Veja o corpo do exo de Duffie, Pa e Sigleo ( e o Apêdice A dese mesmo arigo. Iuiivamee pode-se verificar al resulado usado o lema de Iô a fução ψ dada em (4. As EDOs (5 e (6 podem er solução fechada se a disribuição iver fução caracerísica facilmee raável. Duffie e Ka (996 apoam que as disribuições expoecial, biomial e ormal são coveiees. No caso de ão possuírem soluções aalíicas as EDOs devem ser resolvidas umericamee. A codição de bem comporada é dada pela defiição a seguir. Defiição. O cojuo ( K,H, l, θ,r é dio bem comporado em (u, C [, se (5 e (6 possuem em β e α soluções úicas, e se

7 Derivação dos modelos 58 (i (ii ϕ( < E ode ϕ = Ψ ( θ β( (X ( < η E ηd ode η = Ψβ ( (X ( ( X E Ψ ode Ψ = α β exp R(X s ds e (iii ( < 3.5 O coceio da rasformada esedida DPS Em algus casos o apreçameo de derivaivos recai o cálculo do valor esperado do produo de uma fução afim de X e de uma expoecial afim de X. Por iso a ecessidade do coceio da rasformada esedida, ou rasformada DPS. Nesa pesquisa odos os modelos esão defiidos em ermos do logarimo do preço à visa: l( S. Por esa razão a rasformada DK é suficiee para a obeção dos modelos. Caso os modelos ivessem sido desevolvidos a parir do preço S, ao ivés do seu logarimo, usar-se-ia a rasforma DPS. Podese defiir a rasformada φ : R C D R R C de X, codicioada a I, para por: φ = I u X ( v, u, X,, E exp R(X s ds (v X e (7 Proposição. Supoha que = ( K, H,, θ, r l seja bem comporado em ( v,u,, agora o seido esedido. A rasformada esedida é dada por: φ defiida em (7 φ ( v,u, x,, = ψ (u, x,, (A( B( x (8 ode ψ é dada em (4 e B e A saisfazem as EDOs: & ( = K B( β (H B( l θ( (B( (9 B β & ( = K.B( β (H B( l θ( (B( ( A β com as codições ermiais dadas por B ( = v e A ( =, ode θ(c é o gradiee de θ (c com relação a c C. Prova. Veja o Apêdice de Duffie, Pa e Sigleo (. A codição bem comporada o seido esedido é dada pela defiição a seguir.

8 Derivação dos modelos 59 Defiição. ( K,H, l, θ,r é bem comporada o seido esedido se β e α são soluções úicas de (5 e (6, se θ é difereciável em β ( para, se B e A são soluções úicas de (9 e ( e aida se as seguies codições forem saisfeias: (i (ii E ϕ < ~ ( d, ode ϕ ~ = ω(x ( Φ( θ( β( Ψ θ( β(b( < η E ~ η ~ d, ode η ~ = Φ( β ( B ( (X (iii ( < E, ode Φ = Ψ A( B( X Φ ( 3.6 Derivação dos modelos com a rasformada DK Nesa seção serão apreseadas as codições gerais para o desevolvimeo dos modelos. Poseriormee será apreseado o preço fuuro como uma fução da rasformada DK. Em seguida será apreseado cada modelo com as respecivas paricularidades. Os modelos desa ese foram desevolvidos cosiderado o logarimo do preço à visa ( l( S. Por vezes ecora-se a lieraura a deomiação de ais modelos como modelos de reoro. Decorre dese fao que somee a rasformada DK será ecessária. Se além dos modelos de reoro, houvesse o desevolvimeo de modelos o ível do preço ( S, haveria a ecessidade da uilização da rasformada DPS. Cosidere iicialmee um iervalo de empo ode ocorre a egociação os mercados fuuros [, ], ode é fixo. A icereza a ecoomia é descria pelo espaço de probabilidade ( Ω, I, P, sedo P a medida real de probabilidade. Os eveos a ecoomia são revelados ao logo do empo de acordo com a filração I. O modelo de mercado cosiderado admie que as commodiies são egociadas em mercados fuuros sob diferees coraos, ou seja, com diferees daas de vecimeo. O preço à visa em é S que é fução de duas variáveis de esado ão observáveis l( S f ( e, al que = (

9 Derivação dos modelos 6 ode são as variações do preço o curo prazo, é o preço de equilíbrio o logo prazo e f ( é uma fução deermiísica que descreve a sazoalidade em. As variáveis de esado evoluem segudo processos gerais de Iô : d = (X d (X dw dπ ( d = ( ( dw (3 ode (. e (. são processos esocásicos adapados em ( Ω, I, P. A eq. ( equivale ao processo descrio em (. A eq. (3 descreve um processo similar sem salos. Assume-se a exisêcia de ão arbiragem para os preços fuuros. Decorre dese fao a exisêcia de uma úica medida eura ao risco ou medida marigal equivalee (MME, defiida por Q. Ese é o Teorema Fudameal de Fiaças. O seu euciado formal e sua demosração esão coidos em vários exos clássicos como em Huag e Lizeberger (988. Em síese ese eorema esabelece que se ão há arbiragem eão exise uma úica MME, e por ouro lado, se exise uma MME o mercado ão admie possibilidade de arbiragem. É um fao em cohecido em Fiaças que sob a MME o preço fuuro em de um corao fuuro com vecimeo em, é o valor esperado codicioal do preço à visa em : F ( I Q, = E S (4 Q ode E ( I represea o valor esperado codicioal a I sob a MME. O capíulo a seção..4 oferece os argumeos para a eq. (4. Veja, por exemplo, em Duffie (989 as codições de sua validade. A eq. (4 pode ser escria como Q r( Q r( r( Q r( l S F, = E (S I = e E (e S I = e E (e e I Por coveiêcia omiiremos o subídice o processo padrão de Wieer. Eão W serão escrios como W e W, respecivamee. W e Será usada a oação simplificada para os preços fuuros F, que equivale a F(,,,.

10 Derivação dos modelos 6 Iroduzido a equação a cima o ermo r( Q r( f ( F, = e E (e e I Rearrajado os ermos, l S dado a eq. (: r( f ( Q r( u x F, = e E (e e I (5 ode x = ( e u = (. Comparado a rasformada a eq. (3 com a eq. (5, pode-se escrever: r( f ( Q F, = e ψ (u, x,, (6 Eão para cada modelo basa calcular o valor da rasformada DK sob a MME. O preço fuuro será decorrêcia da eq.( Modelo com disribuição ormal para os salos e MGB para Nese modelo a variável de esado de curo prazo evolui por um processo de reversão à média do ipo Orsei-Uhlebec adicioado a um processo de Poisso que é muliplicado pelo amaho dos salos. O amaho dos salos é descrio por uma disribuição ormal. A variável de logo prazo (preços de equilíbrio é descria por um movimeo (ou processo geomérico Browiao (MGB. Sob a medida real o modelo é escrio por: l( S = f ( d d = d dw (, dπ( (7 = d dw ρd = dw dw Cosidera-se para o modelo descrio pelas equações (7 as mesmas codições exposas a seção 3.3. Agora o cojuo de equações (7 deve ser escrio sob a MME. Para a variável a mudaça de medida segue o eorema de Girsaov com um ajuse a edêcia do processo. Veja em Øsedal ( a demosração do eorema de Girsaov. Porao, é a edêcia sob a MME, ode = λ e λ é preço de risco de mercado da variável, admiido como cosae. Para a

11 Derivação dos modelos 6 variável, que segue um processo de difusão com salos, rês ajuses são requeridos. O primeiro é feio a edêcia do processo e ese caso λ represea o preço de risco de mercado ambém cosae. Os dois ajuses seguies ocorrem por coa do processo de salos. O segudo ajuse é feio a disribuição que represea o amaho dos salos rocado pelo seu equivalee o processo sob a MME. O úlimo é feio a iesidade do processo de Poisso, ode subsiuído pelo seu equivalee e e ere e sob a MME. Porao, as difereças ere é são as resposáveis pelo premio de risco associado à icereza que os salos iroduzem o processo puro de difusão. Será feia uma hipóese simplificadora (esa mesma cosideração foi feia por Pa ( 3 relaiva ao premio de risco dos salos. Será admiido que odo o premio de risco dos salos será capurado pelo premio de risco da icereza associada ao amaho dos salos, ou seja por =.. Em ouras palavras, será cosiderado que Porao, as equações em (7 escrias sob a MME forecem: l( S = f ( d d Q = ( λ d dw (, dπ( (8 = d dw Q ρ d = dw Q dw Q Sob a MME, o processo descrio em (8 permaece um processo afim. Esa demosração de que a mudaça de medida de probabilidade ão alera esa propriedade do modelo pode ser visa em Culo (3. A rasformada DK para ψ (u, x,, ou aida = e α( β( x ψ é dada pela eq. (4 reescria abaixo: 3 Nese arigo a auora ivesiga os prêmios de riscos associados às preseças de volailidade esocásica e de salos as séries de reoros fiaceiros. Esuda o preço de risco de mercado dos salos e aida se o risco associado aos salos é apreçado difereemee do risco associado ao processo de difusão puro.

12 Derivação dos modelos 63 ψ ( α(u,, β (u,, β (u,, ( u,(,,, = exp As EDOs (5 e (6 devem ser resolvidas, cosiderado as equações em (8 sob a MME. O resulado forecerá a rasformada sob a MME que será subsiuído a eq. (6. As EDOs esão resolvidas o Apêdice. A rasformada sob a MME resula em Q λ ( ψ (,,, = exp[ r( ( 4 ( ρ ( (9 ( ( e B( ] ( Levado o resulado de ( em (6, chega-se à equação do corao fuuro: - ( - ( e A( - B( - F, = exp f ( ( ode: A( = λ ( ρ ( 4 ( ( ( * - ( -s - ( -s [ exp( e e -]ds B( - = ou aida, escrevedo em ermos do logarimo: - ( - l( F, = f ( e A( - B( - ( 3.6. Modelo com disribuição expoecial para os salos e MGB para Nese modelo a variável de esado de curo prazo é descria por um processo de reversão à média do ipo de Orsei-Uhlebec adicioada a salos para cima e para baixo cujos amahos são descrios por disribuições expoeciais. A variável de logo prazo (preço de equilíbrio é descria pelo movimeo geomérico Browiao. Sob a medida real, o modelo é escrio por: l( S = f ( d = d dw u ( ηu dπ( u d ( ηd dπ( d (3 d = d dw

13 Derivação dos modelos 64 ρd = dw dw ode os subídices u e d sigificam salos para cima e para baixo, respecivamee. A esruura para os salos é diferee daquela do modelo aerior. Cosiderou-se um salo para cima e um salo para baixo. Embora ão seja ese o objeivo, esa esruura é uilizada para modelar spies que é um feômeo comum em séries de preços de eergia elérica. Cosidera-se para o modelo descrio as equações (3 as mesmas codições exposas a seção 3.3. Aqui ambém é feia a mesma cosideração simplificadora acerca do modelo sob a MME. Iso é o prêmio de risco dos salos esá sedo carregado ieiramee pela disribuição. Equivale a escrever as equações em (3, escrias sob a MME, ficam: l( S = f ( u = u e d = d. Eão d d Q = ( λ d dw u ( ηu dπ( u d ( ηd dπ( d (4 = d dw Q ρ d = dw Q dw Q A rasformada DK para ψ ψ é dada pela eq. (9, escria ovamee abaixo: ( α(u,, β (u,, β (u,, ( u,(,,, = exp As EDOs (5 e (6 esão resolvidas para ese caso o Apêdice. A rasformada DK sob a MME resula em: ψ Q λ (,,, = exp r( ( ( 4 ( ρ ( ( i -η ui exp(- ( - -η exp(- ( - di di - ( - ( ( l e ui l (5 -ηiu i Levado o resulado de (5 em (6 e escrevedo em ermos do logarimo, resula em: ( -ηdi l( F, = f ( e A( B( (6 ode:

14 Derivação dos modelos 65 A( = λ ( ( 4 ( B( = i ui l ρ ( ( -ηui exp(- ( - -ηdi exp(- ( - di ( ( l -η iu i -η di Modelo com disribuição ormal para os salos e reversão à média para Nese modelo a variável de esado de curo prazo é descria por um processo de reversão à média, do ipo Orsei-Uhlebec adicioado a um processo de Poisso, represeaivo dos salos. O amaho dos salos é descrio por uma disribuição ormal. A variável de logo prazo (preços de equilíbrio é descria por um processo de reversão à média. Sob a medida real o modelo é escrio por: l( S = f ( d d = d dw (, dπ( (7 = ( d dw ρd = dw dw ode e são a velocidade de reversão e a média de logo prazo do processo, respecivamee. Cosidera-se para o modelo descrio pelas equações (7 as mesmas codições exposas a seção 3.3. Aqui ambém são válidas as mesmas cosiderações relaivas ao prêmio de risco dos salos que foram apreseadas as seções aeriores. Escrevedo as equações em (7 sob a MME: l( S = f ( d d Q = ( λ d dw (, dπ( (8 = (ˆ d dw Q ρ d = dw Q dw Q

15 Derivação dos modelos 66 ode λ ˆ = A rasformada DK para ψ é dada pela eq. (9 e escria ovamee a seguir: ψ ( α(u,, β (u,, β (u,, ( u,(,,, = exp As EDOs (5 e (6 são resolvidas o Apêdice 3. A rasformada DK, sob a MME, resula em: Q λ ( ( ψ (,,, = exp( r( ˆ( e 4 e - ρ ( ( ( ( ( e ( - e B( - ( (9 Levado o resulado de (9 em (6, chega-se a equação do preço fuuro: ( ( ( e e A( B( F, = exp f ( (3 ode: A( = ˆ( e ρ λ 4 ( ( ( 4 ( ( ( * - ( -s - ( -s [ exp( e e -]ds B( - = Ou aida em ermos do logarimo: ( ( l( F, = f ( e e A( B( (3 3.7 Resumo dos modelos Com as derivações apreseadas as rês seções aeriores é possível exrair os modelos a serem aalisados esa pesquisa. Esa seção coém um resumo de odos os modelos, de acordo com a deomiação já mecioada o iício dese capíulo.

16 Derivação dos modelos Modelo Básico O Modelo Básico é o modelo de Schwarz e Smih (. Ele é descrio a medida real pelas equações: l( S d = f ( = d dw (3 d = d dw ρd = dw dw A derivação da equação dos preços fuuros é imediaa já que se raa do modelo da seção 3.6. excluido-se a compoee dos salos a variável de esado de curo prazo, por: l( F ode:. Porao, a equação dos preços fuuros, sob a MME, é dada - ( -, = f ( e A( - (33 A( = λ ( 4 ( ( ρ ( ( e ( Esa é exaamee a equação que em Schwarz e Smih ( foi deduzida de forma diferee, seguido ouras eapas e sem o uso do coceio da rasformada. Ese modelo em sido uilizado em várias pesquisas. Além do rabalho origial dos auores acima com a commodiy peróleo, Sørese ( e Maoliu e Tompaidis ( esudaram o comporameo dos preços de commodiies agrícolas e da commodiy gás aural, respecivamee. Nese modelo (equação (33 o logarimo do preços fuuros é uma fução afim dos esados e. Além disso, as equações de evolução dos esados são Gaussiaas. Esas caracerísicas permiem que o modelo, uma vez discreizado e escrio a forma espaço-esado, possa er as compoees ão observáveis e esimadas com o filro de Kalma. Aida mais, os hiperparâmeros do modelo podem ser esimados usado a maximização da verossimilhaça do erro de previsão. O logarimo do preço

17 Derivação dos modelos 68 fuuro possui disribuição codicioalmee Gaussiaa sob a MME. Esa propriedade coduz a soluções aalíicas fechadas para opções de compra/veda européias. O modelo descrio em (3 mosra que o preço à visa possui duas compoees: uma de curo prazo e oura de logo prazo. Esas duas variáveis esocásicas seguem os processos mais comumee uilizados em Fiaças para descrever os movimeos de aivos. A de curo prazo represea um processo de reversão, ou seja, são choques rasiórios e que reverem à média zero. A de logo prazo represea um processo do ipo passeio aleaório e represea choques permaees. Iuiivamee, o processo de curo prazo represea os efeios de variações de esoque e demada de efeios imediaos e rasiórios; já o processo de logo prazo represea mudaças esruurais os cusos de produção, iovações ecológicas ec. Uma quesão imediaa que surge é se odas as commodiies podem ser modeladas desa forma. Os rabalhos iiciais modelaram a commodiy com um úico faor esocásico, como é o caso de Brea e Schwarz (985 que escreveram um pioeiro arigo sobre a valoração e gereciameo de um projeo de produção de cobre. As razões imediaas são as simplicidades dos modelos e a possibilidades de resulados aalíicos. Gibso e Schwarz (99 apresearam evidêcias de que o peróleo é mais apropriadamee descrio por duas variáveis esocásicas. Schwarz (997 mosrou que a commodiy ouro ão se ajusou bem ao modelo de dois faores. Já o cobre e o peróleo êm bos ajuses. Bessembider, Cougheour, Segui e Smoller (995 apresearam um esudo em que aalisaram quais commodiies possuem processo de reversão os preços. O resulado mosra que o peróleo e as commodiies agrícolas são aquelas em que a reversão é mais sigificae. Eses faos jusificam o uso de uma compoee de curo prazo que revere à média zero em (3. Cumpre aida ressalar que esá demosrado em Schwarz e Smih ( que o modelo proposo equivale ao de Gibso e Schwarz (99: o reoro de coveiêcia, dese úlimo modelo, esá liearmee relacioado à variável de curo prazo em (3. A oura quesão que surge é se o modelo proposo em (3 represea um modelo de equilíbrio. A resposa é afirmaiva, embora o arigo origial ão haja

18 Derivação dos modelos 69 ehuma meção efáica a ese respeio. Rouledge, Seppi e Spa ( desevolveram um modelo para os preços de commodiies baseado em codições de equilíbrio microecoômicas. Ese rabalho foi publicado pouco aes do rabalho de Schwarz e Smih. Os auores refereciam-se a ese úlimo com um arigo a emiêcia de ser publicado. No modelo de equilíbrio de Rouledge e ouros, quado são uilizadas duas variáveis esocásicas, surgem as compoees rasiória e permaee, e o equilíbrio reduz-se ao modelo de Schwarz e Smih (. Aida com relação ao modelo básico descrio as equações (3 e (33 a esruura a ermo da volailidade pode ser obida usado o lema de Iô. Veja o Apêdice 4 para o dealhameo da equação abaixo: df, ( ( ( e ρ Q d VAR e F, = (34 ode Q é a medida marigal equivalee. É claro da eq. (34 que quado a mauridade do corao ede para valores muio grades, a volailidade dos preços fuuros ede para volailidade do preço de equilíbrio (ou de logo prazo., ou seja a 3.7. Modelo Primeira Exesão A primeira exesão do Modelo Básico cosidera que o movimeo de evolução da variável preço de equilíbrio é de reversão à média. Na medida real, as equações abaixo descrevem o modelo: l( S d = f ( = d dw (35 d = ( d dw ρd = dw dw A derivação dos preços fuuros é imediaa, pois se raa do modelo da seção excluido a compoee dos salos. A equação dos preços fuuros, sob a MME, é dada por: - ( - - ( - l( F, = f ( e e A( - (36 ode:

19 Derivação dos modelos 7 A( = ˆ( e λ 4 ( ( ( ρ 4 ( ( ( O logarimo do preço fuuro é uma fução afim dos esados, e aida codicioalmee Gaussiaa. As variáveis de esado ambém são codicioalmee Gaussiaas. Da mesma forma que o modelo aerior, esas propriedades permiem a uilização do filro de Kalma a esimação dos esados ão observáveis. A esimação dos parâmeros é feia pela maximização da verossimilhaça do erro de previsão. A esruura a ermo da volailidade para ese modelo esá apreseada abaixo e o seu dealhameo ecora-se o Apêdice 5: df, ( ( ( ( ( e e ρ Q d VAR e F, = (37 ode Q é a medida marigal equivalee Modelo Seguda Exesão A seguda exesão do Modelo Básico é aquela que cosidera salos o processo esocásico de curo prazo. A represeação de processos esocásicos de séries fiaceiras usado difusão com salos é basae dissemiado a modelagem da axa de juros 4. Dere as commodiies, a eergia elérica é aquela que apresea maior apelo pelo uso dos salos o seu processo de evolução 5. Para a eergia elérica, a disribuição mais apropriada para modelar o amaho dos salos é a disribuição expoecial. Ela facilmee descreve os salos do ipo spie caracerísicos desa commodiy (veja Deg (998. Um dos faos esilizados das séries de reoros fiaceiras é o excesso de curose (caudas pesadas. A modelagem desa propriedade em sido feia aravés 4 Dere vários rabalhos ciam-se Duffie e Ka (996, Das (998, Babbs e Nowma (999, Duffie, Pa e Sigleo (, e de Jog (. 5 Veja, por exemplo, Deg (998, Escribao, Peña e Villaplaa ( e Villaplaa (4.

20 Derivação dos modelos 7 de: (i volailidade variado o empo (modelos da família ARCH/GARCH, (ii volailidade esocásica e (iii processos de difusão com salos. Por esa razão decorrem as exesões proposas em (38-(39 e em (4-(4. A disribuição do amaho dos salos foi cosiderada de dois ipos: disribuição ormal e expoecial. Eses dois ipos de modelos foram derivados as seções 3.6. e 3.6., respecivamee. As equações do modelo com disribuição ormal esão descrias abaixo, sob a medida real de probabilidade: l( S = f ( d d = d dw (, dπ( (38 = d dw ρd = dw dw A equação dos preços fuuros com disribuição ormal, sob a MME, foi deduzida a seção 3.6.: l( F ode: - ( -, = f ( e A( - B( - (39 A( = λ ( 4 ( ( ρ ( ( e ( * ( z ( z B( - [ exp( e = e ]dz O logarimo do preço fuuro é uma fução afim dos esados. O processo esocásico de evolução da variável é ão Gaussiao pois exise a parcela dos salos que é adicioada à parcela Gaussiaa. As equações do modelo com disribuição expoecial esão descrias abaixo, sob a medida real de probabilidade: l( S = f ( d = - d dw u ( ηu dπ( u - d ( ηd dπ( d (4 d = d dw ρd = dw dw A equação dos preços fuuros, sob a MME, é dada por:

21 Derivação dos modelos 7 - ( l( F, = f ( e A( - B( - (4 ode: A( = λ ( 4 ( ( B( = i ui l ρ ( ( e ( -ηui exp(- ( - -ηdi exp(- ( - di ( ( l -ηiu i Se por um lado a iclusão dos salos é uma proposa de melhor descrever os processos esocásicos, a sua preseça causa eormes dificuldades o processo de esimação. Não é por oura razão que, em muios casos, a lieraura simplifica a aálise, abadoado os salos em derimeo de maior simplicidade para a esimação. A iclusão dos salos impossibilia o uso do filro de Kalma a sua forma clássica para esimação dos esados. Esa pesquisa propõe o filro de parículas como meodologia aleraiva. -ηdi Modelo Terceira Exesão A erceira exesão do Modelo Básico cosidera salos (com disribuição ormal o processo de difusão de curo prazo. O processo para o preço de equilíbrio é de reversão à média. As equações do modelo sob a medida real de probabilidade esão abaixo: l( S = f ( d = - d dw (, dπ( (4 d ( - d = ρd = dw dw dw A derivação dese modelo foi apreseada a seção e a equação do preço fuuro, sob a MME, esá a seguir: - ( - - ( - l( F, = f ( e e A( - B( - (43

22 Derivação dos modelos 73 ode: A( = ˆ( e λ 4 ( ( ( ρ 4 * - ( z ( z [ exp( e e ]dz B( = ( ( ( Nese modelo o logarimo do preço fuuro é uma fução afim dos esados. A variável de esado de curo prazo ambém é ão Gaussiaa. Da mesma forma que o caso aerior, ão é possível usar o filro de Kalma. A proposição é usar o filro de parículas que dispesa os requisios de liearidade e Gaussiaidade. Todos os modelos aqui derivados são gerais e, porao aplicáveis a qualquer commodiy. Eles serão uilizados o capíulo 7 edo como dados de observação os preços da commodiy peróleo egociada em vários coraos fuuros. Serão esimados as variáveis de esado e simulaeamee os hiperparâmeros de cada modelo. Os hiperparâmeros serão comparados com dados usuais da lieraura, observado a coerêcia ere os resulados. Aida mais, serão mosradas as esruuras a ermo dos preços e da volailidade.