Recursos Gráficos do Software MuPAD no Estudo de Funções

Transcrição

1 Oicias Recursos Gráicos do Soware MuPAD o Esudo de Fuções Marilaie de Fraga Sa'Aa Alexadre Gaelli Aa Lúcia Maciel 1 - Irodução Dere os coeúdos maemáicos abordados o Esio Médio, as uções êm imporâcia udameal o que se reere à modelagem maemáica e ao chamado pré-cálculo. Freqüeemee os aluos que igressam a Uiversidade em cursos das áreas de exaas ou egeharias apreseam muias deiciêcias ese assuo. Esa é, com cereza, uma das razões do alo ídice de reprovação em disciplias como Cálculo I. Por ouro lado, dispomos aualmee de várias errameas compuacioais que podem servir de auxílio a moivação do aluo para o esudo de uções e visualização das mesmas aravés de recursos gráicos. Uma desas errameas é o soware MuPAD, que oerece bos recursos compuacioais além de er uma versão Ligh que pode ser usada sem cusos para is educacioais. O objeivo desa oicia é abordar o assuo "uções", uilizado o MuPAD ao para modelagem de eômeos como para a visualização gráica. A Meodologia uilizada é a modelagem de siuações coidiaas aravés de uções e a uilização do soware para a avaliação dos dados e esudo do comporameo gráico, eaizado a comparação ere gráicos de dierees uções de uma mesma amília de curvas. 2 - Objeivos Abordar algus exemplos que razem à oa os coceios de uções, bem como a uilidade das mesmas; Mosrar aos proessores de maemáica que o coeúdo de sua disciplia pode ser abordado aravés de exemplos práicos da vida real e com o auxílio do compuador, que esá Marilaie de Fraga Sa Aa é douora em maemáica e proessora do Curso de Maemáica da ULBRA Alexadre Gaelli é acadêmico do Curso de Maemáica da ULBRA Aa Lúcia Maciel é acadêmica do Curso de Maemáica da ULBRA ACTA SCIENTIAE Caoas v.4.1 p ja./ju. 2002

2 cada vez mais em uso a sociedade aual; Iroduzir o soware MuPAD Ligh (da Uiversidade de Paderbor, Alemaha), que é muio poderoso em recursos maemáicos de quase odas as caegorias, desde álgebra umérica simples aé o cálculo dierecial e iegral e o uso de gráicos. Ese soware é de uso grauio para is educacioais e de pesquisa. Todos os aluos da oicia receberão uma olha com os exemplos e um resumo dos comados do MuPAD a serem uilizados. 3 - Aividades Aividades desiadas a rabalhar os exemplos a serem dados uilizado-se o compuador e o soware MuPAD serão proposas aos aluos da oicia. Após a irodução eórica de cada exemplo a ser rabalhado as seguies aividades serão dadas, para serem execuadas pelos aluos: Deiir as uções dadas em cada "exemplo" o soware MuPAD; Moar o cadero as abelas de valores para as uções deiidas o MuPAD em cada exemplo usado-se o soware para calcular ais valores; Moar o compuador os gráicos das uções deiidas o soware e aribuir várias caracerísicas a elas como lihas de grade, róulos os eixos, valores a serem marcados os eixos e iervalo de domíio para a ploagem. Variar algus parâmeros das uções de modo a ober gráicos semelhaes à ução origial. Para cada valor aribuído a um úico parâmero que será escolhido para variar a ução origial, dever-se-á deiir uma ova ução o MuPAD de modo que, ao im do processo, ehamos amílias de quaro ou mais uções semelhaes para ploar curvas de ível. 4 - Exemplos a Serem Tr abal hados as Aividades 4.1 Salo Olímpico com Vara Ao logo dos aos iiciais dos Jogos Olímpicos, a marca vecedora do salo com vara eve um crescimeo dado aproximadamee pela Tabela 1. Como a marca vecedora cresceu com regularidade 20 ceímeros a cada quaro aos, vê-se que a alura do salo vecedor é uma ução liear do empo ao logo do período de 1900 a A marca iicial é de 3,33 m e cresce o equivalee a 5. Será abordado pela oicia apeas a álgebra básica de uções e a moagem dos gráicos das mesmas.cm odo ao; assim, se y é a alura em meros e é o úmero de aos desde 1900, podemos escrever y 3,33 0, 05 O coeiciee 0,05 os iorma a axa em que a alura cresce, e é chamada de 3,33 0, 05 icliação da rea TABELA 1 Recordes do salo com vara olímpico (aproximado) Ao Alura (m) 3,33 3,53 3,73 3,93 A icliação é a razão icremeo verical 0,2 Icliação 0,05 icremeo horizoal 4 76 ACTA SCIENTIAE v.4.1 ja./ju. 2002

3 Ode 0,2 é a variação a alura, em meros, ao logo de 4 aos. O cálculo da icliação (icliação verical / icliação horizoal) usado quaisquer ouros dois poos da rea resula o mesmo valor. É ese ao de que a icliação ou axa de variação é igual em oda pare que az com que o gráico seja uma rea. Para uma ução que ão é liear, a axa de variação irá mudar de poo a poo. Como y cresce com, dizemos que é uma ução crescee. E quao à cosae 3,33? Ela represea a marca iicial em 1900, quado 0 Geomericamee, o 3,33 é o poo de ierseção com o eixo verical. Você pode esar se perguado se a edêcia liear permaece após Não é de surpreeder que ela ão eha se maido exaamee. A órmula 3,33 0, 05 prevê que a marca vecedora dos Jogos Olímpicos de 1988 seria de 7,73 meros, que é cosideravelmee maior do que o valor real de 6,06 meros. De ao, a marca em crescido em quase oda a sessão das Olimpíadas, mas ão a uma axa cosae. Por coseguie, ica claro que é perigoso exrapolar muio além dos dados cohecidos. Você ambém deve observar que os dados da Tabela 1.4 são discreos, pois são orecidos somee em poos especíicos (a cada quaro aos). Ereao, ós emos raado a variável como se osse coíua, pois a ução y 3,33 0, 05 az seido para odos os valores de. 4.2 Tom Musical O om de uma oa musical é deermiado pela reqüêcia da vibração que a gerou. O Dó médio o piao, por exemplo, correspode a uma reqüêcia de 263 herz (ciclos por segudo). Uma oa uma oiava acima do Dó médio vibra em 526 herz, e uma oa duas oiavas acima do Dó médio vibra em 1052 herz. (Veja a Tabela 2). TABELA 2 Tom das oas acima do Dó médio Número de oiavas acima do Dó médio Número de herz V TABELA 3 Tom das oas abaixo do Dó médio V / 2 32, / 2 65, / 2 131, Observe que e 2 e Em geral, V A base 2 represea o ao de que, quado se sobe uma oiava, a reqüêcia da vibração dobra. De ao, ossos ouvidos ideiicam uma oa como sedo uma oiava acima, jusamee porque ela vibra duas vezes mais rápido. Para os valores egaivos de, a Tabela 3, essa ução represea as oiavas abaixo do Dó médio. As oas em um piao são represeadas por valores de ere 3 e 4, e o ouvido humao percebe valores de ere 4 e 7 ACTA SCIENTIAE v.4.1 ja./ju

4 como audíveis. Apesar de V azer seido, em ermos musicais, somee para algus valores de, os valores da ução x 2 x 263 podem ser calculados para odo x real, e seu gráico em a orma ípica de uma expoecial, como pode ser viso a Figura 1. Ele é côcavo para cima, subido cada vez mais rápido a medida que x aumea. FIGURA 1 Tom em úmero de oiavas acima do Dó médio 4.3 Acúmulo da Quaidade de Droga Supoha que queremos modelar a quaidade de droga o orgaismo. Imagie que a quaidade iicial é zero, mas que a mesma começa a crescer, vagarosamee, via ijeção iraveosa coíua. À medida que a quaidade da droga o orgaismo aumea, ambém cresce a axa a qual o corpo elimia a droga, de modo que, eveualmee, a quaidade de droga ede a ivelar-se em um valor de sauração S. O gráico da quaidade versus empo será parecido com o da Figura 2. FIGURA 2 Acúmulo da quaidade de droga o orgaismo 78 ACTA SCIENTIAE v.4.1 ja./ju. 2002

5 Observe que a quaidade, Q, começa em zero e cresce a direção de S. Dizemos que a rea represeado o ível de sauração é uma assíoa horizoal, pois o gráico se aproxima cada vez mais dela, a medida em que o empo avaça. Como a quaidade de droga aumea a uma axa que dimiui a medida em que a quaidade se aproxima de S, o seu gráico é oro para baixo; e daí, ele é côcavo para baixo. Supoha que queiramos moar um modelo maemáico para essa siuação, iso é, queremos ecorar uma órmula que expresse a quaidade Q em ução do empo. Ober um modelo maemáico implica, muias vezes, observar um gráico e decidir que ipo de ução em aquela orma. O gráico da Figura 4 se parece com uma ução de decaimeo expoecial, de cabeça para baixo. O que realmee decai é a diereça ere o ível de sauração, S, e a quaidade de droga, Q, o sague. Supoha que a diereça ere o ível de sauração e a quaidade de droga o corpo seja dada pela órmula Observe que o gráico dessa ução é uma expoecial de cabeça para baixo. À medida que aumea, dimiui, de modo que Q se aproxima de S. Usado para deoar "ede para", podemos dizer que quado. Isso mosra que 1 0,3 S 1 S Q S 0 quado coirmado que o gráico de Q S 1 0, 3 em uma assíoa horizoal em Q S. Reerêcias ANTON, Howard. Cálculo Um Novo Horizoe. Vol. 1. 6ª ed. Poro Alegre: Bookma, HUGHES-HALLETT, Deborah. M. GLEASON, Adrew. e al. Cálculo. Vol.1. Rio de Jaeiro: LTC, STEWART, James. Cálculo. Vol. 1. 4ª ed. São Paulo: Pioeira-Thomso Learig, com em horas. Como a diereça é S Q e o valor iicial dessa diereça é S 0 S S Q S 0, 3 Resolvedo para Q em ução de, obemos Q S Q Diereça iicial 0, Diereça 3 S 0,3 S 1 0,3. ACTA SCIENTIAE v.4.1 ja./ju

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