Exercícios de Cálculo Numérico Equações Diferenciais Ordinárias
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- Adelino Balsemão Mascarenhas
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1 Eercícios de Cálclo Nmérico Eqações Diereciais Ordiárias. Deermie a solção mérica aproimada da segie Eqação Dierecial Ordiária com o passo.: { ( ( [ ] ( (a Méodo de Eler ( Méodo das Tagees (b Méodo de Eler Apereiçoado (c Méodo de Rge-Ka de ordem. (d Méodo de Predição-Correção de ordem. (e Sabedo-se qe a solção eaa da eqação é ( e compare com as solções aproimadas obidas os iems aeriores.. Cosidere a eqação dierecial ordiária dada por: { ( ( [ ] ( aedo. deermie a solção aproimada o poo. sado o méodo de Eler Apereiçoado.. Deermie a solção mérica aproimada da segie Eqação Dierecial Ordiária de segda ordem com o passo.: ( ( [ ] ( e ( π (a Méodo de Eler ( Méodo das Tagees (b Méodo de Eler Apereiçoado (c Sabedo-se qe a solção eaa da eqação é ( (/π se(π compare com as solções aproimadas obidas os iems aeriores.. Um corpo com massa iicial de Kg esá em movimeo sob a ação de ma orça cosae de N. Sabedo-se qe esse corpo esá perdedo Kg de sa massa por segdo e cosiderado qe a resisêcia do ar é o dobro de sa velocidade e qe o corpo esá em reposo o isae eão a EDO qe descreve a variação de sa velocidade é dada por v v( ( v( > Deermie a velocidade do corpo v( o isae segdos com iervalos de. segdos sado:
2 (a Méodo de Eler Apereiçoado (b Méodo de Rge-Ka de ordem. (c Méodo de Predição-Correção de ordem. (d Sabedo-se qe a solção eaa da eqação é v( compare com a solção aproimada obida os iems aeriores.. Na eoria da propagação de doeças coagiosas podemos iliar ma eqação dierecial para predier o úmero de idivídos da poplação iecado em m dado empo spodo algmas simpliicações adeqadas. Em pariclar spoa qe odos os idivídos de ma poplação ia eam a mesma probabilidade de se iecar e qe ma ve iecado permaeçam ese esado. Vamos deoar por ( o úmero de idivídos vleráveis o empo e com ( o úmero de iecados. Podemos spor qe a aa a qal o úmero de iecados mda seja proporcioal ao prodo de ( e ( já qe a aa depede do úmero de idivídos iecados e do úmero de idivídos vleráveis qe eisem esse empo. Se a poplação é sicieemee merosa para spormos qe ( e ( sejam variáveis coías podemos epressar o problema como: ( ( ( ode é ma cosae e ( ( m é a poplação oal. reescrever essa eqação para qe coea apeas ( a orma Podemos ( (m ( ( Eqação de Berolli Spodo qe m. ( e qe o empo seja medido em dias ecore ma aproimação para o úmero de iecados ao ial de dias. (a Méodo de Rge-Ka de ordem. (b Méodo de Predição-Correção de ordem.. Problema Presa-Predador (Loa & Volerra Cosidere o problema de predição da poplação de das espécies sedo ma delas a presa e a ora predadora cja poplação o empo é dado por ( e (. Spoa qe a presa sempre dispoa de comida siciee e qe sa aa da aalidade seja proporcioal à qaidade de presas vivas esse empo o seja a aa de aalidade é c (. A aa de moralidade da presa depede do úmero de presas e de predadores vivos esse empo qe podemos spor a orma c ((. Por oro lado a aa de aalidade do predador depede de sa dispoibilidade de comida ( e ambém do úmero de predadores dispoíveis para processo de reprodção. Por al raão spoa qe a aa de aalidade dos predadores seja c ((. Spoa qe sa aa de moralidade seja proporcioal à qaidade de predadores vivos o empo o seja qe a aa de moralidade dos predadores seja c (. Dado qe ( e ( represeam a aleração as poplações de presas e predadores o empo o problema se
3 epressa por meio do sisema acoplado de eqações diereciais ão lieares: ( c ( c (( ( c (( c ( ( ( ( Resolva esse sisema para sado o méodo de Rge-Ka de ordem spodo qe c c. c. c.. aça o gráico das solções ecoradas regisrado ambas as poplações em ção do empo e descreva os eômeos ísicos ecorados.sgesão O sisema pode ser resolvido simlaeamee o deermia-se primeiro o úmero de presas ( em ( depois ( em ( sado (. Calclado ( deermie ( em ( sado ( e assim scessivamee.
4 abario da Lisa de Eqações Diereciais Ordiárias Eercício : (a Méodo de Eler (Méodo das Tagees ( ( ( d ( ( d ( Dados do Problema:. [] Ese méodo cosise em aplicar a segie órmla ieraiva: ( Eão: ( ( ( (.(.. ( ( ( ( ( ( (. ( (. ( (.9 ( (....( (..7..( (....(-..9 ( ( (..777 (Méodo de Eler (b Méodo de Eler Apereiçoado (o Rge-Ka de a Ordem: Ese méodo cosise em aplicar as segies órmlas ieraivas: ( ( ( (Predior
5 Assim emos: ( (Correor.8...( (. ( (Predior..( ( ( (Correor..8.( (.8 ( (Predior.8..(.8. (.8. ( (Correor (. (.88 ( (Predior (..98 (.. ( (Correor (. ( (.889 ( (Predior.889.( (.. ( (Correor.9.( (.7 ( (Predior ( (.87.8 ( Apereiçoado (Eler.9.
6 (c Méodo de Rge-Ka (o Rge-Ka de a Ordem: Spoa qe qeremos calclar as aproimações... para os valores verdadeiros ( (... ( e agora qeremos calclar (. Eão ( ( d ( ( d pelo eorema dameal do cálclo. Assim a Regra de Simpso para iegração mérica orece: ( ( ( ( ( ( Repare qe separamos em soma de ermos o ermo o méodo. porqe serão icliações dierees para Dessa orma sado ( ( camaremos as icliações de : ( ( Qado esas sbsiições são eias o reslado é a órmla : ( Eão para ese eercício aremos: ( ( ( (..8 -(.8 -. (..8 -( (.. -(. -.8
7 (. ( (.9 ( (. (.. ( (.7 (.7. (. ( -.98 ( (.9 (.9. (.9789 ( ( (. (.. ( (.9789 (
8 .7 ( (.8 (..8 (RK (d Méodo da Predição-Correção de a Ordem (Méodos de Adams: ( Adams-Basor (Predior: ( sado a oação ( ( Adams-Molo (Correor: * * ( 9 9 ode ( Primeiro devemos calclar e por Rge-Ka de a Ordem(RK-. Depois para calclar de em diae samos o Predior e o Correor de Adams acima. Eão agora vamos resolver o eercício com esse méodo: ( Pela lera (c emos.7.9 e. Com as ideiicações... e ( - obemos: ( ( ;. (.8 ; ( ; Com os valores acima o Predior ( os orece eão: ( (-.79 Para iliar o correor precisamos primeiro de: * ( Assim emos: *. (9 9. (.977.7
9 ( Aida emos qe calclar. Vamos repeir o processo: Predior: *. ( ( Correor:. * * * (9 9 ode ( Assim emos ialmee:..7 ( Porao..888 (Predição Correção de Qara Ordem (e ( e.8 Porao o Méodo de Predição-Correção de a Ordem se aproimo mais do reslado mosrado qe os algorimos de ordem sperior são mais precisos. Eercício : ( d ( { ( ( ( ( ( d Usar Eler Apereiçoado para: d d (. aé.. Eercício : Obs.: Toda ve qe ivermos m eercício sobre Eqação Dierecial de Segda Ordem devemos rasormá-la em m sisema de Eqações de Primeira Ordem aedo a sbsiição (aqi sei mas poderia ser qalqer ora variável arbirária.
10 π - g( ( : as segies sbsiições aer Vo ( d d d d ( ( (a Usado Méodo de Eler emos qe resolver o sisema: g ( ( Assim emos: (.8988 π π.. π ( ( ( (
11 Em oras palavras.99 (.999 (. (Eler (b Usado o Méodo de Eler Apereiçoado: Usado o mesmo sisema ecorado o iem (a: π - g( ( Temos para o Méodo de Eler Apereiçoado as segies órmlas ieraivas: Prediores: g v ( ( Correores: [ ] [ ] [ ] [ ] v g( g( v v ( ( ( [ ] [ ] v.8988 v.977. π Agora vocês erão qe repeir esse processo aé ecorar e.
12 Eercício : Nese eercício apliqe os méodos para:. v (v v d dv Eercício : Após as devidas sbsiições apliqe os méodos para:.. d d OBS.: Aqi ão oi orecido o valor de. Usei.. Eercício : Obs.: O eciado ão disse o valor de. Aqi i com.. g(.. (. - As órmlas ieraivas de Rge-Ka para o passo de ( à aproimação segie ( (( ( são: ( ( ode: ( (
13 Aalogamee aemos isso para. ( ( ( ( ( Eão (7.98.(9.(7.98 g( (9.(7.98 (9. ( (.7.(7.87(.7 g( (7.87(.7 (7.87 ( (7..((7. g( ((7. ( (.7..(.(( g(.(( ( ( Agora é com vocês! açam aé 8.
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Homework 06 (Equações de estado) Felippe de Souza &&& Y(s) U(s) Y(s) U(s) Y(s) U(s) Y(s) U(s) Y(s) U(s) Y(s) U(s) = e) = Y(s) 2. u 1. 1 u 3.
Homework 6 ) Considere o sistema descrito pela sa eqação diferencial ordinária abaio. Ache a F (Fnção de ransferência). Escreva na forma de Eqações de Estado & A B, C D. Verifiqe qe a eqação característica
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