EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional

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1 Uversdade Federal do ABC EN34 Dâmca de Fldos Compacoal Apreseação do Crso EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

2 Uversdade Federal do ABC Sod s Shock Tbe Problem Um smples modelo de ma dmesoal de m gás rodzdo por G.A. Sod, J. Compaoal Physcs 7, (978), para esar a capacdade de algormos de resolção de problemas de dâmca de fldos com comporameo de oda de choqe. EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

3 As eqações da dâmca de gases As eqações da dâmca dos fldos são declarações maemácas de rês prcípos físcos fdameas: A massa é coservada. Segda le de Newo: F = ma A eerga é coservada. EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

4 EN34 Dâmca de Fldos Compacoal As eqações da dâmca de gases As eqações dmesoas para a dâmca de fldos de m gás podem ser escro a forma coservava: ode r é a desdade do fldo, é a velocdade, e é a eerga por dade de volme, e p é a pressão. 0 )) ( ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( p e e p r r r r

5 As eqações da dâmca de gases Precsamos de mas ma eqação para fechar o ssema. Esa é a eqação de esado p ( g ) e r ode g é o ídce adabáco do gas. Para m gas deal g =.4. EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

6 EN34 Dâmca de Fldos Compacoal As eqações da dâmca de gases Na forma veoral, esas eqações fcam ode 0 U F(U) e r r U ) ( p e p r r F

7 The shock be problem Sod cosdero m bo dmesoal de comprmeo 0 e com a seges codções cas em = 0: r(,0),0 0,5,0 p(,0) 0, (,0) 0 para para para para EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

8 Codções cas Ese esado cal pode ser magado como havedo ma pelícla o meo do bo. O gás para a esqerda e para a drea da pelícla esá calmee em reposo. A pressão e desdade são descoas ao aravessar a pelícla. Em = 0, a pelícla se rompe. EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

9 The shock be problem Dos pos de sglardades se propagam aravés do gás: Dscodades de coao: a pressão p e a velocdade são coas, mas a desdade r e eerga por dade de volme e são descoas. Odas de choqe: odas as gradezas p,, r e e são em geral descoas ao logo da free de choqe. EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

10 The shock be problem Para smlar m bo fechado, codções de cooro reflevas podem ser aplcada em = [0, ]. O bo de choqe eão ebe m comporameo eressae, com odas de choqe e descodades de coao do e volado o bo, eragdo mas com as oras. EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

11 Méodos de Godov e Rema Solvers A smlação de descodades, como frees de choqe esá ere os problemas mas eressaes e dfíces em dâmca de fldos compacoal. Smples esqemas de dfereças fas ão podem ldar com ese po de comporameo sglar. Segdo o rabalho de Godov, Ma. Sb. 47, 7 (959), baseado em sa ese de PhD, mos esqemas efcazes de capra de choqe foram desevolvdos para aplcações em asrofísca e a dúsra aeroespacal. EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

12 A eqação de advecção lear Cosdere a eqação lear smples (, ) c (, ) ode c é ma cosae com dmesões de velocdade. Dado m perfl cal (, 0) = (), a solção desa eqação é faclmee recohecda como sedo (, ) = ( c). Esa é ma forma de oda qe se move a ma velocdade cosae d/d = c sem alerar sa forma. 0 EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

13 O problema de Rema Uma forma smples de esado cal é ma fção degra o ma fção cosae por pares (,0). Ese po de codção cal defe m Problema de Rema. Fscamee, esa codção cal represea ma free de choqe qe se move com velocdade cosae c, sem alerar a sa forma. EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

14 O problema de Rema Apesar de ser m problema ão smples, com ma solção smples, é mo dfícl para smlar mercamee. A razão para sso é qe a dervada / é fa a descodade: maemacamee raa-se de ma fção dela. Esqemas de dfereças fas assmem qe a solção é save, so é, as dervadas são lmadas, de modo qe ma epasão em sére de Taylor de passo h seja válda. Qado esa sposção é volada por ma descodade, m regme de prmera ordem ede a perrbar a descodade, cldo os reslados de ordes mas elevadas, com osclações sáves a posção da descodade. EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

15 Forma egral da le de coservação Para resolver ese problema, Godov lzo a forma coservava da eqação de advecção (, ) f (, ) ode f(, ) = c(, ) é o escoameo do campo (, ). 0 EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

16 Forma egral da le de coservação Escolhemos algs poos da marz espaço empo = h, =. Eses poos serão sados para a resolção merca do problema. EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

17 Forma egral da le de coservação Se cosderarmos o par (f, ) como ma fção do veor o plao (, ), eão a eqação de coservação f f correspode à dvergêca do veor EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

18 Forma egral da le de coservação Vamos egrar essa dvergêca sobre a regão reaglar e lzar o Teorema de Gass para coverê-la em ma egral de lha o perímero: f d d ˆ dl 0 ode o egrado da egral de lha é o compoee ormal do campo de veores o perímero do reâglo. f EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

19 EN34 Dâmca de Fldos Compacoal Forma egral da le de coservação Defmos as médas egras de (, ) os lados speror e feror do reâglo: / / / / ), ( ), ( d h d h

20 EN34 Dâmca de Fldos Compacoal Forma egral da le de coservação E as médas egras de empo do flo ao logo dos lados esqerdo e dreo do reâglo:,, / / / / d f f d f f

21 Forma egral da le de coservação A egral de lha pode ser escra como d f f d 0 / / Agora, se erpreamos como o valor da solção o poo de grade o sae de empo, eão o valor da solção o poo de grade o prómo passo de empo + é dada pela fórmla h / EN34 Dâmca de Fldos Compacoal f f /

22 Esqema Godov para a free para flos de meo-passo O qe resa é especfcar os flos coservados de meo-passo f / A Sgesão de Godov para deermar os flos de meo-passo fo resolver dos problemas de Rema. EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

23 Esqema Godov para a free para flos de meo-passo Por eemplo, para deermar, cosdere o problema de Rema o ervalo ode é o poo ceral f / / 3/ / (, ) para para / / EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

24 Esqema Godov para a free para flos de meo-passo Para a eqação advecção lear, a solção dese problema de Rema é rval / (, ) para c para c 0 0 e ambém f / c c para c para c 0 0 EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

25 Esqema Godov para a free para flos de meo-passo Como reslado, emos m esqema para a free porqe: se c > 0, a forma de oda se move para a drea e o valor cal à esqerda abrage a froera drea da regão reaglar. se c < 0 a oda se move para a esqerda e o valor cal à drea cobre a froera drea. EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

26 EN34 Dâmca de Fldos Compacoal Esqema Godov para a free para flos de meo-passo Sbsdo os valores de flo de Godov a fórmla de aalzação coservava, obém-se a solção dscrea ode o úmero he Cora-Fredrchs-Lewy vale 0 se 0 se CFL CFL / / c c f f h h c CFL

27 A solção de Godov Esa abordagem geral Godov pode ser aplcada a problemas mas complcados. Por eample, a eqação de Brgers o valor corree da solção, em vez de ma velocdade cosae de oda c deerma a escolha de o as eqações acma. f EN34 Dâmca de Fldos Compacoal

28 A solção de Godov No caso das eqações de Eler -D de dâmca de fldos, o flo da solção e cada m em rês compoees U r r e r F r p ( e p) Em vez de ma velocda de de oda úca, a solção para o problema de Rema evolve ecorar os aovalores de ma marz 3 3 A solção evolve váras regões separadas por frees de choqe da esqerda e da drea em movmeo e ma descodade de coao, em vez de apeas ma úca free de choqe. Deve-se escolher a regão correa para calclar o flo de Godov. EN34 Dâmca de Fldos Compacoal