Funções de várias variáveis

Transcrição

1 3 Fuções de váras varáves Graça Peraça e Raael Mooo ª Edção

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3 PREFÁCIO Aposla baseada em lvros de cálculos e maeras ulados durae a aculdade de maemáca. Seu objevo é aclar o esudo vso que odo o coeúdo do semesre esá apreseado de maera suca com lsas de eercícos eses e gabaros. Proª. Msc. Graça Peraça 3

4 Sumáro PREFÁCIO... 3 Sumáro Irodução Espaço Eucldao... 6 Coceo de espaço eucldao :... 6 Cojuo o Espaço... 7 Fuções veoras de uma varável Coceo de uções veoras Hodógrao de uma ução veoral Lmes e propredades das uções veoras de uma varável....4 Coudade das uções veoras de uma varável....5 Parameração de curvas Curvas Comprmeo de Arco Iegras de Fuções veoras de uma varável Fuções escalares de váras varáves Fuções de váras varáves Teora de lmes Coudade de uções de váras varáves Propredades globas de uções coíuas Dervadas parcas Dervadas de ordem superor Derecabldade Derecação da ução composa Regra da cadea Dervada Drecoal e Gradee Eremos das uções de mas de uma varável Dervação de uções mplícas Mulplcadores de Lagrage Fuções de váras varáves egras espacas Iegras duplas Mudaça de Varável a egral dupla Área de Superíce Iegral Trpla Mudaça de varáves a Iegral Trpla Campos veoras uções veoras de váras varáves Coceo de campo veoral Lme e coudade de campos veoras Dervada drecoal de um campo veoral Roacoal Dvergêca Iegral curvlíea de prmera espéce Iegral Curvlíea de ª espéce Iegras de lha depedees do camho Teorema de Gree e Teoremas correlacoados Eercícos Lsa Lsa Lsa Lsa Lsa

5 6.6 Lsa Lsa Lsa Lsa Lsa Lsa Lsa Resposas Resposas da Lsa Resposas da Lsa Resposas da Lsa Resposas da Lsa Resposas da Lsa Resposas da Lsa Resposas da Lsa Resposas da Lsa Resposas da Lsa Resposas da Lsa Resposas da Lsa Resposas da Lsa... 8 Tese seus cohecmeos Tese Tese Tese Tese Resposas dos eses Resposas do ese Resposas do ese Resposas do ese Resposas do ese

6 . Irodução. Espaço Eucldao Coceo de espaço eucldao : De...a Para odo do espaço dmesoal reas. A X é o cojuo ordeado de úmeros A :... é a -ésma coordeada. Os poos... e = se = A são da orma =... e = De..b A é chamado lear ou veoral se esse espaço esão rodudas as segues operações:. A.... ; A A o elemeo a a a... a A a De..c Seja X um espaço ou cojuo vamos der que esse espaço é mérco se é roduda uma ução real com as segues codções:. ;. smera da mérca 3. X desgualdade ragular X Eemplo..a: má Vejamos as codções:. má se má. má má 3. má má má má De...d Um espaço lear -dmesoal chamado espaço EUCLIDIANO e deoado por =; eo real A com mérca. é 6

7 =; plao real =3: espaço real Cojuo o Espaço De...e Bola abera Seja a um poo do espaço e r um úmero real posvo. Demos de bola abera com cero em a à odo al que a dsâca dos poos aé a seja meor que r. a R r R r B a r R : a r De... Bola echada Demos de bola echada com cero em a à odo al que a dsâca dos poos aé a seja meor ou gual que r. a R r R r B a r R : a r De...g Esera Demos de esera com cero em a à odo al que a dsâca de aé a seja gual a r. Esera: S a r : a r De...h vhaça Seja a R r a bola abera com cero em a e rao r é chamada r-vhaça do poo a e deoada por U r a B a r. Chamamos de r-vhaça perurada do poo a à oda r-vhaça que ão coém o poo a e é deoada por U r a B a r \ a. De... poo eror Seja X um cojuo do espaço X e a um poo de X. O poo a é chamado poo eror do cojuo X se ese um úmero r posvo al que oda vhaça do poo a eseja coda o cojuo X. De...j poo lme Seja X R a é poo lme de X se em qualquer vhaça perurada do poo a ese pelo meos um elemeo do cojuo X. r : Ur a X ø De... cojuo echado Seja X o cojuo X é chamado echado se esse cojuo coém odos os seus poos lmes. 7

8 De...l cojuo abero Seja X o cojuo X é chamado abero se qualquer poo é poo eror desse cojuo so é oda vhaça perece a X. De...m cojuo lmado X é chamado lmado se r al que odo cojuo eseja codo a bola echada com cero em a e rao r. De... cojuo compaco X é chamado compaco se esse cojuo é lmado e echado. Ou seja coém odos os seus poos lmes. Todos os poos lmes são erores. 8

9 Fuções veoras de uma varável. Coceo de uções veoras De...a Uma ução veoral de uma varável é uma ução do po : I. Vamos rabalhar com uções que assocam a cada valor de um um ervalo I um veor o espaço. Se é um veor o espaço Eemplos..a =se;..b =+/3 3 j 3 3 Domío da ução veoral de uma varável real: é o ervalo coordeadas da ução. que sasa odas as Eemplos..c Aalse o ervalo de domío da ução. Hodógrao de uma ução veoral De.. O hodógrao de uma ução veoral j 3 I é o lugar geomérco dos poos do espaço que êm posção. O hodógrao represea a magem da ução veoral. Eemplo Descreva a rajeóra L de um poo móvel a cujo deslocameo é epresso por: b c 9

10 Operações com uções veoras: Dadas as uções j 3 e g j g g g 3 dedas para I são dedas as segues operações: a 3 b g j g g g 3 3 c 3 3 h g g g j g d g g g g e s j s s s. 3.3 Lmes e propredades das uções veoras de uma varável De..3.a Seja uma ução veoral um ervalo abero I que coém. Demos que o lme de quado ede a é a se: a : Proposção: Seja j 3 e a j a a a 3. 3 lm lm a a Eemplo.3.a: e lm = Propredades dos lmes Sejam g e duas uções veoras e h uma ução escalar dedas um mesmo ervalo: Se eão m h e b g a lm lm lm a b a g lm b b a g.. lm c b a g lm d a m h.. lm

11 .4 Coudade das uções veoras de uma varável Uma ução veoral deda um ervalo I é coíua em poo de I se lm * é coíua em se e somee se suas compoees são uções coíuas em. Eemplo.4.a Aalse o ervalo de coudade da ução Dervadas das uções veoras de uma varável De..4.a Seja uma ução veoral. A dervada de é a ução veoral ' lm odos os poos de um ervalo I eão demos que d ' ' j ' 3 Eemplos.4.b Derve a ução cos j 4² para odo em que o lme ese. Se a dervada ese em é derecável em I ou seja:.4.c Derve a ução g ² e se Ierpreação geomérca da dervada de uções veoras Seja uma ução veoral dervável em I. Quado percorre I descreve uma curva C o espaço. Dados dos poos P e Q sobre a curva a rea que os ue é o veor secae à curva. Quado a rea secae se aproma da rea agee orgado o veor ' agee à curva.

12 Deomamos de veor agee uáro o veor r' u r' Fscamee Ao mover-se o espaço uma parícula desevolve uma rajeóra cuja equação é dada por quado vara. A velocdade saâea desa parícula é dada pela epressão quado o lme ese. Aalogamee se é dervável eão Eemplo.4.d O veor posção de uma parícula em movmeo o plao é. Deerme o veor velocdade e o veor aceleração em e esboce o hodógrao. Propredades das uções veoras de uma varável Sejam e g uções veoras e h uma ução escalar odas derváves em I. Eão I emos: a b c d ' g ' g' ' h h ' h' ' g ' g g' ' g ' g g' Dervadas sucessvas: Seja uma ução veoral dervável em I. Sua dervada ' é uma ução veoral deda em I. Se ' é dervável em I eão sua dervada é chamada dervada seguda e dcamos '' ou. Da mesma orma podemos ober '''.... Eemplo.4.e Calcule a ercera dervada da ução ³ j se

13 .5 Parameração de curvas e Sejam e uções coíuas de uma varável dedas para. Chamamos de curva o cojuo de odos os poos deermados por esa equação. As equações e são chamadas paramércas de parâmero. Para ober uma equação veoral de uma curva basa cosderar o veor posção de cada poo da curva. De..5.a Uma curva plaa é uma curva que esá coda um plao do espaço. Uma curva que ão é plaa é chamada de curva reversa. OBS: Se as uções e orem cosaes a curva degeera-se em um poo. PARAMETRIZAÇÃO DA RETA A equação veoral de uma rea qualquer é dada pela ução posção ode e são veores cosaes e é um parâmero real:. A rea que passa pelo poo A que em veor posção e em dreção do veor apresea as segues equações paramércas: Eemplos.5.a Cosdere a equação veoral e a curva. deerme as equações paramércas.5.b Deerme a represeação paramérca da rea que passa pelo poo A- e em a dreção do veor. 3

14 PARAMETRIZAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA A equação veoral de uma crcuerêca qualquer de rao com cero a orgem do plao é dada pela ução. Quado a crcuerêca ão esá ceralada a orgem emos a equação ode e cujas equações paramércas são: Eemplos.5.c Obeha a equação paramérca da crcuerêca plao. o.5.d A equação veoral crcuerêca. Deerme a equação caresaa correspodee. represea uma 4

15 PARAMETRIZAÇÃO DA ELIPSE A equação veoral de uma elpse o plao com cero a orgem é dada pela equação. Quado a elpse ão esá ceralada a orgem emos a equação ode e cuja equação paramérca é: Eemplo.5.e Escreva a equação veoral e a equação paramérca da elpse plao. o PARAMETRIZAÇÃO DA HÉLICE CIRCULAR A equação veoral de uma hélce o plao com cero a orgem é dada pela equação. Quado o cldro base ão esver ceralado a orgem emos a equação ode e cuja equação paramérca é: Se Se Eemplo.5. Represee gracamee a hélce crcular como os veores velocade e aceleração para. bem 5

16 .6 Curvas De..6.a curva suave Uma curva é chamada suave se as uções e coíuas êm dervadas e além dsso ²+ ²+ ² [ a b]. Ou ada podemos der que uma curva é suave se ão coém poos agulosos ou seja se em cada um de seus poos a curva em agee úca que vara couamee quado se move sobre a curva. De..6.b curva suave por pares A curva é chamada suave por pares se é possível dvdr essa curva em um úmero o de pares de al modo que cada pare seja uma curva suave e os poos de ecoro das derees pares essas uções e eham dervadas ulaeras. Eemplos.6.a.6.b De..6.c curva smples Uma curva é chamada smples se para quasquer valores de De..6.d curva echada Uma curva smples é chamada echada se mas. Curvas smples echadas curvas que ão são smples pos possuem poo de ersecção 6

17 ORIENTAÇÃO DE UMA CURVA Seja uma curva suave represeada por. Chamamos de sedo posvo sobre o sedo o qual a curva é raçada quado cresce de a aé b. O sedo oposo é chamado de sedo egavo. CURVA OPOSTA Uma curva oreada represeada por curva oposa a curva de equação. em como Eemplo.6.c Achar a curva oposa à curva..7 Comprmeo de Arco Seja uma curva dada pela equação e sejam os poos Eão o comprmeo do arco. Teorema.7.a cálculo do comprmeo de arco Se é uma curva suave paramerada por eão OBS.: Se é suave por pares o comprmeo do seu arco é dado por: Ode são subervalos de os quas a curva é suave. Eemplo.7.a Ecore o comprmeo da curva cuja equação veoral é. Ra. 7

18 OBS.: Se a egral subsurmos o lme superor por é um lme varável oberemos uma ução chamada de comprmeo de arco que possblará med-lo para qualquer poo.. Eemplo.7.b Escreva a ução comprmeo de arco da crcuerêca de rao r. Eemplo.7.c Escreva a ução comprmeo de arco da hélce crcular.8 Iegras de Fuções veoras de uma varável Sejam as uções egráves um ervalo eão: Eemplo.8.a Calcule Ra. Eemplo.8.b Calcule Ra. 6;-8;6 Eemplo.8.c Calcule Ra. - Eemplo.8.d Calcule Ra. 8

19 3 Fuções escalares de váras varáves 3. Fuções de váras varáves De.3..a ução de duas varáves Uma ução real de duas varáves reas é uma relação que rasorma em um úco úmero real cada par ordeado de úmeros reas de um cero cojuo D chamado de domío da ução. Se a relação rasorma o úmero real o par ordeado em D eão escrevemos =. O cojuo de odos os valores possíves de é deomado de IMAGEM da ução. Demos o GRÁFICO de uma ução de duas varáves como o cojuo de odos os poos o espaço caresao rdmesoal al que perece ao domío D de e =. O domío D pode ser represeado aravés de um cojuo de poos o plao O e o gráco de como uma superíce cuja projeção perpedcular ao plao O é D. Eemplos: 3..a Qual o domío da ução dada por 5 ² ²? 3..b Ache o domío de deção da ução cuja órmula é ² ache ambém os poos em que 9

20 De.3..b ução de váras varáves Uma ução real a varáves é uma relação que rasorma em um úco úmero real w cada -upla ordeada... de úmeros reas de um cero cojuo D chamado de Domío da ução. Escrevemos Se a relação rasorma o úmero w a -upla ordeada... eão escrevemos w... w varável depedee... varáves depedees O cojuo de odos os valores possíves de w que obemos aplcado a relação às -uplas... em D é deomado IMAGEM de. =: = =3: w= Se uma ução de váras varáves esá deda por uma equação ou uma órmula eão a ão ser que eseja espulado o coráro eede-se por domío de o cojuo de odas as -uplas de varáves depedees para as quas a equação ou órmula adme resposa. * -upla ou êeuplas de úmeros reas: da mesma orma que deoamos um poo em por um úmero real um poo em por um par ordeado de úmeros reas e um poo 3 em por uma era ordeada um poo o espaço umérco -dmesoal é represeado por uma -upla de úmeros reas... Eemplo 3..c Ecore e esboce o domío de 4 ² ² Grácos e curvas de ível Com o auílo de seu gráco pode-se vsualar como uma ução de duas varáves e ucoa. O gráco de é o gráco da equação =. Assm o gráco de é o cojuo de odos os poos do espaço com coordeadas que sasaem a equação =. A ersecção do plao horoal = com a superíce = é chamada CURVA DE CONTORNO de alura a superíce. A projeção vercal o plao O desa curva de cooro é a CURVA DE NÍVEL = da ução. as curvas de ível de são smplesmee os cojuos em que o valor de é cosae.

21 Foe: hp://geographcae.wordpress.com/7/6/9/ormas-de-relevo-e-curvas-de-vel/. Acessado em 9/3/. Foe: hp://ccoasur.blogspo.com.br///el-releve.hml. Acessado em 9/3/ As curvas de ível dão uma maera bdmesoal de represear uma superíce rdmesoal =. Nos grácos acma cada poo da curva de ível correspode a um úco poo a superíce que esá udades acma > mas seram udades abao se < cosderado derees valores para a cosae so é város plaos paralelos que erseccoam obemos um cojuo de curvas de ível chamado de MAPA DE CONTORNO. O cojuo de odos os valores possíves de é a magem da ução e cada curva de ível = o mapa de cooro cosse em poos do domío de edo o mesmo valor ucoal. Eemplo 3..d Desehe as curvas de ível ípcas da ução

22 Grácos e superíces de ível É muo dícl vsualar uma ução de rês varáves por seu gráco uma ve que esaríamos em um espaço de quaro dmesões. Ereao gahamos algum cohecmeo de desehado suas superíces de ível que são as superíces com equação ode é uma cosae. Se um poo se move ao logo de uma superíce de ível o valor de permaece o. Eemplo 3..e Deerme as curvas de superíce da ução CONCLUSÕES = : R R R... rasorma em um úco úmero real cada -upla ordeada... X > > 3 = > : R K R K... R rasorma em -uplas ordeadas... X. : R K R cada -upla ordeada K rasorma cada úmero real em -ulpas ordeadas... R.

23 3. Teora de lmes Lme de ução de váras varáves De.3..a Seja X R e = uma ução deda ese cojuo. Esa ução em valores o espaço K R e o poo a é poo lme de X. X R dedo o X K : X R a poolme de X Vamos der que em lme Apoo com coordeadas quado eder a a se: a A : X U a dsâca Teorema 3..a Seja X R = deda o cojuo X. : X R a poolmede X. A ução em lme =A quado ede a a ode A é poo com coordeadas K A A... A R se e somee se cada coordeada dessa ução em lme e esse lme é gual à coordeada correspodee do poo A. K lm A lm j... A j a... a... a j Propredades elemeares dos lmes Seja... deda em X : e seja g g... g :. E seja ada a o poo lme de X.. Se lm A e lm g B eão: a a alm g A B a blm. g A. B a clm / g A/ B se B a. Se lm A A B ou A C eão: a B ou C X U a. Se lm A X B A B a. X g h Se lm A e a 3. lmc. c.lm c. A a a 4. lm lm A a a lmh A a o eão lm g A a Teorema de Sadwch 3

24 Lmes múlplos e lmes erados Vamos cosderar uma ução de duas varáves u :. E ² poo lme de E De.3..b lme erado Famos qualquer al que o poo pereça ao cojuo E. Cosderamos lm o lm Agora cosderemos lm lm lm A. Se esse lme ese é chamado de LIMITE ITERADO. Se armos qualquer : o E e lm e eão calcularmos lm lm lm B. Se esse lme ese é chamado de LIMITE ITERADO. De.3..c lme múlplo É o lme de calculado o poo quado ele ese. Armação: Se ese lme múlplo e ese lme erado eão ese lme erado cocde com o lme múlplo. Se esem os lmes erados e são guas ere s ão garae que esa o lme múlplo. Coclusão: Se os lmes erados esem e são derees eão o lme múlplo ão ese. Eemplo 3..a Aalse a esêca do lme da ução o poo dado. ² ² Aalsemos prmeramee os lmes erados: lm lm lm lm lm lm lm lm lm lm ² ² ² ² ² ² Vmos que os lmes erados esem e são guas. Com esse resulado ão podemos armar ada ada. Vamos calcular o lme em oura dreção. ² ² 3 lm lm lm ² ² ² Como o resulado do lme deu deree dos lmes erados podemos armar que ão ee lm Eemplo 3..b 3 4 / 3 / 4 / 3 / 3 4

25 3..c Ule a deção para demosrar a esêca do lme 3..d Aalse a esêca do lme 5

26 3.3 Coudade de uções de váras varáves De.3.3.a ução coíua o poo Seja X um cojuo o espaço deda o cojuo X e : X. =... um poo de X. Seja a ução = Vamos der que a ução é coíua o poo se ese o lme da ução quado e esse lme é gual ao valor da ução o poo. lm OBS. a Se : X lm b lm Se : X lm lm CONCLUSÃO:... X... eão L L... L eão Coudade da ução veoral o poo é equvalee à coudade de cada coordeada dessa ução o mesmo poo. cada coordeada é uma ução Propredades Sejam... e g g... coíuas o poo. g.. g 3. / g g São coíuas o poo E eão: De.3.3.b ução coíua o cojuo Seja X um cojuo o espaço deda em X : X. Vamos der que a ução é coíua o cojuo X se a ução é coíua em qualquer poo desse cojuo. Eemplo 3.3.a Verque a coudade de : 3.3.b 6

27 Teorema 3.3.a Coudade Toda ução é coíua o seu domío. Eemplos 3.3.c Deerme o ervalo de coudade da ução 3.3.d Deerme o ervalo de coudade da ução 3.3.e Deerme odos os poos em que é coíua sedo 7

28 De.3.3.c ução composa Seja X deda o X : X. Deoamos por Y X a magem do cojuo X com rasormação. m Seja u g deda oy g : Y. Eão vamos der que o cojuo X é deda uma ução composa u g h m com valor o espaço X h : X Teorema 3.3.a coudade da ução composa Seja X deda o X : X Y X m g : Y u g h Se é coíua um poo valor da ução o poo poo. Y u g deda oy X e a ução g é coíua um poo eão a ução composa g h é coíua o 3.4 Propredades globas de uções coíuas De.3.4.a cojuo learmee coeo O cojuo X é chamado learmee coeo se para quasquer poos desse cojuo ese uma curva gama... ; coíuas o [ a ] al que a= b= j b [ a b] X Teorema 3.4.a º Teorema de Bolao-Cauch- esêca da raí Seja X : X. Se X é learmee coeo e é coíua o X e se X al que. eão ese pelo meos um X : Teorema 3.4.b º Teorema de Bolao-Cauch Seja X ode meos um poo : X. Se X é learmee coeo e é coíua o X e se X A B A B eão para qualquer valor C ere A e B ese pelo X : C Teorema 3.4.c º Teorema de Weerrass Seja X um cojuo compaco. magem Y é lmada o Teorema 3.4.d º Teorema de Weerrass Seja X um cojuo compaco. : X. Se é coíua o X eão Y=X a : X. Se é coíua o X eão X as que os valores de e são valores mámos e mímos da ução esse cojuo. 8

29 3.5 Dervadas parcas De.3.5.a dervada parcal Seja = uma ução de uma varável real. Sua dervada prmera é: d h lm e pode ser erpreada como a aa saâea de varação de d h h em relação à. Para uma ução = de duas varáves ecessa-se de uma erpreação aáloga da aa à qual vara quado e varam solada ou smulaeamee. Vejamos: Começa-se maedo o e aedo varar. A aa de varação de em relação à é eão deoada por e em h o valor lm. h h O valor desse lme se esr é chamado DERIVADA PARCIAL DE EM RELAÇÃO À. Da mesma orma pode-se maer o e aer varar. A aa de varação de em relação a é eão a DERIVADA PARCIAL DE EM RELAÇÃO À deda como: lm. Noações usadas para dervadas parcas: D D Observe que se o símbolo a equação or omdo o resulado é o lme a equação. Isso sgca que se pode calcular como uma dervada smples em relação à smplesmee cosderado-se como uma cosae durae o processo de derecação. Aalogamee pode-se calcular como uma dervada smples ecarado-se como a úca varável e como uma cosae durae o cálculo. Eemplo ² ² ³ ² 4 3² 9

30 Ierpreação geomérca das dervadas parcas As dervadas parcas e são os coecees agulares de reas agees a ceras curvas a superíce =. A gura lusra a ersecção desa superíce com um plao vercal =b que é paralelo a O. Ao logo da curva vara e permaece o =b. Cosderamos um poo P a curva Pabc. Passado por P raçamos a rea agee à curva e coda o plao. Vejamos a projeção paralela da rea agee o plao O da curva a superíce e do poo P gura. Pode-se agora gorar a preseça de =b e cosderar =b como uma ução de úca varável. O coecee agular da rea agee à curva orgal pó P é gual ao coecee agular da rea agee a gura. Mas pelo cálculo de uma varável ese úlmo coecee agular a h b a b é dado por: lm a b h h Sgcado Geomérco de O valor a b é o coecee agular da rea agee em Pabc à curva o poo P a superíce = Sgcado Geomérco de O valor a b é o coecee agular da rea agee em Pabc à curva o poo P a superíce = 3

31 3 Plao Tagee As duas reas agees que ecoramos deermam um plao úco pelo poo Pabab. De.3.5.b plao agee a = Supoha-se que a ução eha dervadas parcas coíuas em um reâgulo o plao coedo ab em seu eror. Eão o plao agee à superíce = o poo Pabab é o plao que passa por P e coém as reas agees às duas curvas: =b =b curva =a =a curva * Equação de um plao: a+b+c+d= abc = veor ormal ao plao v e u são os veores agees ás curvas e respecvamee. Como se vu a curva em coecee agular ab em P e assm pode-se omar b a j v como seu veor agee em P. A curva em como coecee agular ab em P e assm pode-se omar b a u como seu veor agee. aalíca orma j b a b a b a b a j v u ormal veor v u Logo a equação do plao agee á superíce o poo P é: * ] [.. b a poo o calculadas são b a c ode b a c ou b a b b a a b a Eemplo 3.5.a Escreva a equação do plao agee ao parabolode =²+² o poo P-5

32 3 3.6 Dervadas de ordem superor Seja a ução. : ;... X X u Vamos supor que em dervadas parcas o cojuo X: cosderar um poo X... cosderamos uma r-vhaça perurada do poo..... g Se ese dervada parcal dessa ução eão: p ordem de parcal dervada g p p p p p p p p j j j j j ; " ² Quado j j são as dervadas msas a prmera em relação a e a seguda em relação a j. Eemplo 3.6.a Calcule as dervadas de seguda ordem de Algumas propredades das dervadas parcas Se as uções e g X g X : em dervadas parcas so é: j j g o poo X eão emos: ² g g g g g g g g g g j j j j j j j j j

33 Se dervada da ução o poo em relação à varável j eão é j coíua o em relação à varável j ; Se em odas as dervadas parcas em relação a cada varável eão esa ução é coíua o em relação a cada varável separada; Da esêca de odas as dervadas parcas em um poo ão segue a coudade o cojuo de odas as varáves. Eemplo 3.6.b ² ² 33

34 3.7 Derecabldade Derecal de ução de duas varáves De.3.7.a Se or uma ução de duas varáves e eão o cremeo de o poo deoado por é dado por De.3.7.b Se or uma ução de duas varáves e e o cremeo de o poo puder ser escro como: ode e são uções de e as que e quado eão dremos que é derecável em. Eemplo 3.7.a Verque que a ução é derecável para odos os poos de. 34

35 Derecal de ução de váras varáves De.3.7.c cremeo oal Seja u... X deda o X : : X essa dereça - em o ome de cremeo oal e é deoada por... De.3.7.d derecabldade Vamos der que a ução é derecável o poo... se o cremeo oal dessa ução pode ser represeado da segue orma: A A... A... ode A j são cosaes e j são uções que depedem de j j j De. 3.7.e derecação oal Se é uma ução de varáves... e o cremeo de em é escro como ode quado eão é derecável em. Se é uma ução de varáves e é derecável em eão a derecal oal de é epressa por: j Observações: Se u= é derecável o poo X eão é coíua o poo ; Se ão or coíua o X eão ão é derecável o X. 3 Se u= é derecável o poo X eão essa ução em odas as dervadas parcas esse poo; 4 A esêca das dervadas parcas o poo X ão garae que a ução seja derecável o X. De.3.7.e Seja u X : vamos der que essa ução é derecável um poo X ou em odo X se cada coordeada... j é derecável o mesmo poo X ou o X. j 35

36 ESQUEMA é derecável j j é coíua o em relação ao cojuo das varáves é coíua o em relação a cada varável separada Ese lme múlplo o poo Esem lmes erados e são guas Eemplo 3.7.b Verque a derecabldade da ução Sgcado geomérco da derecal de A ução que é derecável em possu um plao agee esse poo. 36

37 Codção sucee de derecabldade da ução de váras varáves. Teorema 3.7.b codção sucee de derecabldade da ução Seja u= deda o X : X e o poo é poo eror de X. Se em odas as dervadas parcas uma vhaça do poo e essas dervadas são coíuas o eão essa ução é derecável o. Eemplos 3.7.c Prove que é derecável. 3.7.d Seja um coe crcular reo cuja alura é aumeada de 5cm para 5cm e o rao dmuído de 4cm para 398cm. Ecore uma apromação para a varação do volume. 3.7.e Três ressêcas de ohms ohms e ohms são coecadas em paralelo para dar uma ressêca equvalee w al que. Cada ressêca é de 3 ohms mas esá sujea a % de erro. Qual é o erro mámo apromado? 37

38 3.8 Derecação da ução composa Regra da cadea Teorema 3.8.a Seja uma ução g deda o espaço T g : T deoamos por X g T a magem do cojuo T sobre rasormação g X. Seja a ução : deda o cojuo X. Se a ução g é derecável o poo T e a ução é derecável o poo g eão a ução composa w h g é ução derecável o poo. A regra de cadea Caso : Supoha uma ução de uma varável real derecável de. Supoha uma ução de varável real derecável de. Eão é derecável de Caso : Supoha uma ução de duas varáves reas derecável de e ode e são uções derecáves de. Eão é derecável de e Caso 3: Supoha uma ução de duas varáves reas derecável de e ode e são uções derecáves de s e de. Eão é derecável de e Caso geral: Supoha que seja uma ução derecável de varáves ode cada é uma ução derecável de varáves. Eão é uma ução de e Para cada Eemplos 3.8.a Sejam w e ² e ³ w e e 3 ² e b Sejam u rs r² s² r s² u u u u s r r s r r r r 38

39 u u u u r s r s s s s s du s r r s dr r s r s ds 3.8.c A volagem V em um crcuo elérco smples esá decrescedo leamee à medda que a baera se descarrega. A ressêca R esá aumeado com o aumeo de calor do ressor. Use a Le de Oh V=IR para achar como a corree I esá varado o momeo em que Ra: -3 A/s 3.9 Dervada Drecoal e Gradee Veor Gradee Seja w deda o D ³ : ³. A varação o valor da ução w o poo P para o poo vho Q é dada pelo cremeo w Q P w Pode-se epressar esa apromação em ermos do VETOR GRADIENTE da ução que se dee como: j Ou j Eão a equação mosra que o cremeo w Q P é dado apromadamee por w P. v ode 4 v PQ é o veor deslocameode 3 P a Q. Eemplo 3.9.a Se ² ² eão a deção do veor gradee a equação 3: o poo 3 dá: j j 6 5 Para calcular w P. v sedo Q9; ; 3 eão v PQ... Logo w

40 Dervadas Drecoas As dervadas parcas represeam as aas de varação de w= o poo P as dreções e respecvamee. Pode-se agora aplcar o veor gradee para calcular a aa de varação de W em P em uma dreção arbrára uma dreção ca deda por um veor uáro u P s Q w P. v s v w dreção de P a Q. Logo: P. u. s w Ao omarmos o lme da aa méda de varação s dw w INSTANTÂNEA DE VARIAÇÃO lm P. u ds s s De.3.9.a dervada drecoal Seja Q um poo do rao de P a dreção de u. A aa méda de varação de W em relação à dsâca ere P e Q é: Q P w ode s PQ v é a dsâca PQ s de P à Q. Eão a apromação da equação 4 dá:. v mas v D u P P. u é a dervada drecoal de em P a dreção u. é o veor uáro u a quado s oberemos a TAXA Eemplo 3.9.b Supoha que a emperaura o poo com a dsâca medda em qulômeros seja dada por w em graus Celsus. Ache a aa de varação em graus por qulômero da emperaura o poo P3 a dreção do veor v Solução: 4

41 Armação: Se a ução u= é derecável uma vhaça do poo P eão a dervada drecoal dessa ução ese ao logo de qualquer dreção que passa por esse poo. Ierpreação do veor gradee * As órmulas para as dervadas drecoas para as uções de duas ou mas de rês varáves são aálogas. j e Du. u a b u a b P u Se é o âgulo de clação de u meddo o sedo a-horáro a parr do eo posvo eão a=cos e b=se e a equação aeror ca: P u D u. u cos se O veor gradee adme uma erpreação mporae que evolve a dervada drecoal MÁXIMA de. Se é o âgulo ere o poo P e o veor uáro u eão a órmula D u P P. u ca P P.cos escreva a órmula D u para o âgulo ere os veores e u porque u =. O valor mámo de cos é quado =. Iso ocorre quado u é o veor P uáro parcular que apoa a dreção do própro veor P gradee. Nese caso a órmula ca: P P e assm a valor da dervada D u drecoal é o comprmeo módulo do veor gradee o que prova o segue eorema: Teorema 3.9.a sgcado do veor gradee Obém-se o valor mámo da dervada drecoal D u P quado u é o veor a dreção do P veor gradee P u. O valor mámo da dervada drecoal é P P que é o comprmeo módulo do veor gradee. O valor mímo da dervada drecoal é - P. 4

42 Teorema 3.9.b veor gradee como veor ormal Supoha-se que F= eha dervadas parcas de prmera ordem coíuas e seja P um poo do gráco da equação F= com F P. Se r é uma curva derecável essa superíce com r eão: F P r' Assm F P é perpedcular ao veor agee r coorme gura: Dca para demosração: Escreva a equação da superíce como ução composa e aplque a regra da cadea. O veor gradee F é ormal a oda curva a superíce F=. A rea ormal a uma superíce o poo é aquela que passa por e em como veor dreor. Suas equações smércas são dadas por Eemplo 3.9.c Escreva uma equação do plao agee ao elpsóde ² 4² ² 45 o poo -3-: Solução: A ersecção de duas superíces F= e G= é em geral uma curva o espaço. Pode-se represear essa curva paramercamee a vhaça de odo poo ode os veores gradees F e G ão sejam paralelos. Esa curva C é ormal a ambos os veores F e G. Iso é se P é um poo de C eão o veor agee a C em P é perpedcular a ambos os veores FP e GP. Decorre que o veor T F G é agee à curva ersecção das superíces F= e G=. Eemplo 3.9.d Escreva as equações smércas da rea agee à curva de ersecção das superíces em P3-3. 4

43 Eemplo 3.9.e O poo P- perece ao parabolóde F ² ² e ao elpsóde G ² 3² ² 9. Escreva uma equação do plao que coém P ormal à curva de ersecção dessas superíces: Solução: SOBRE DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR: Teorema: Seja a ução u= deda o eror do cojuo X. Se: uma vhaça do poo M U r M ; X :. O poo M é poo Se as dervadas msas são coíuas o poo M ; Eão essas dervadas msas são guas. OBS.: A mesma armação é verdadera para uções de qualquer úmeros de varáves e para dervadas msas para qualquer ordem. 43

44 3. Eremos das uções de mas de uma varável Eremos relavos a Uma ução de duas varáves em um valor mámo relavo ab o poo ab se ese um dsco crcular de rao r> com cero em ab al que se é poo eror desa vhaça eão esá o domío de e a b. b Uma ução de duas varáves em um valor mímo relavo ab o poo a.b se ese um dsco crcular de rao r> com cero em ab al que se é um poo eror desa vhaça eão esá o domío de e a b. Na gura emos: P poo mámo relavo de pos a b é maor que os valores prómos de ; Q é o mímo relavo de já que a 3 b é meor que os valores 3 prómos de ; S ão é em mámo em mímo relavo pos os valores de aumeam quado os apromamos de P e dmuem quado os apromamos de R; R ão é poo de mímo relavo porque a 4 b4 ão é cero de ehum dsco eramee codo em D. Coclusão: Só podem ser eremos relavos de uma ução poos erores do domío. Teorema 3..a Codção ecessára para eremos relavos Seja ab um poo eror do domío de uma ução = cujas dervadas parcas ab e ab esem. Eão se em eremo relavo em ab é ecessáro que ab== ab so é a b ou seja o poo em que a ução em eremo relavo seu gradee ou ão ese ou é o veor ulo. * os poos em que a ução em eremos relavos são chamados de PONTOS CRÍTICOS o eao algus poos crícos podem ser somee poos de sela ou seja poos crícos ode a ução ão em mámo em mímo. Teorema 3..b Tese da seguda dervada Seja ab um poo eror do domío de al que as prmeras dervadas parcas de esem e são coíuas em algum dsco crcular com cero em ab codo o domío de. Se ab é um poo críco de so é ab== ab e a b a b a b. a b a b² eão: a b a b a Se e a b eão em mámo relavo em ab; b Se e a b eão em mímo relavo em ab; c se eão em um poo de sela em ab; d se ão podemos armar ada. Temos que ular ouros eses. 44

45 Eemplo 3..a Deerme e classque odos os poos crícos de. sela 4 sela 3 sela e 4/3 Ma relavo b Deerme os poos crícos de mámo ou mímo relavo ou poo de sela. 4 e classque-os como poo de 45

46 3..c Deseja-se cosrur um depóso reagular sem ampa com volume. O cuso do mero quadrado de maeral a ser usado é de para o udo e para os lados dsos. Deerme as dmesões do depóso que mmam os cusos. 46

47 Eremos Absoluos De.3.a: Uma ução de duas varáves em um valor mámo absoluo ab o poo ab de seu domío D se a b para odo poo em D. Aalogamee em um valor mímo absoluo c d em cd de seu domío D se c d para odo poo de D. Teorema 3..c esêca do eremo absoluo Seja uma ução de duas varáves cujo domío D seja compaco. Eão em um valor de mámo absoluo e um valor de mímo absoluo. Observação: a Um eremo absoluo que ocorre em um poo eror do domío D é auomacamee um eremo relavo de ; um eremo absoluo de que ão é um eremo relavo locala-se em algum poo da roera de D. b Na gura P é poo de mámo absoluo e ambém relavo pos a b D ; R é mímo absoluo mas ão é mímo relavo pos a4 b4 esá a roera de D mas ão é poo eror. c Para localarmos o eremo absoluo de prmero ecoramos odos os eremos relavos e comparamos o maor e o meor valor deses com os valores de ao logo da roera de D. Eemplo 3..d Ache os valores mámos e mímos agdos pela ução 3 em poos da regão ragular D do plao com vérces em e 4 47

48 3. Dervação de uções mplícas Teorema 3..a Dadas as uções F=F e = dedas e derecáves respecvamee em D e [ a b]. Seja a ução deda mplcamee por F= ou seja F= para [ a b]. Eão: F d [ a b] ode as dervadas do segudo membro devem ser d F F calculadas em e supodo Eemplos d 3..a Seja F ³ cos deerme d d 3..b Calcule d F 3² ²² sabedo que = é deda mplcamee por Teorema 3..b Dadas as uções F F e dedas e derecáves o D ³ e S ² respecvamee seja a ução de deda mplcamee por F= ou seja F= em S. Eão: F F F e S F F As dervadas do segudo membro são calculadas em. Eemplo 3..c Calcule e sedo = deda mplcamee por F ³ ³ 3 48

49 49 Se = deda mplcamee por F= or derecável eão: d d d ou seja d F F d F F d OBS: Se =h é deda mplcamee pelo ssema de equações F= e G= dos quas é possível ober a ução mplíca = e =g al que H=-g= eão: G G F F G G F F d d G G F F G G F F d d Eemplo 3..d Sejam F=²+²+²-= e G=²-²-²-= calcule d d e d d Se Fuv= e Guv= ode u e v são uções mplícas de e eão: v G u G v F u F v G G v F F u Da mesma orma dee-se: u v v Eemplo

50 u 3..e Dada Fuv=-u²+v² e Guv=-uv deerme 5

51 5 3. Mulplcadores de Lagrage Os mulplcadores de Lagrage são ulados para ecorar os eremos de uma ução de váras varáves quado esá sujea a alguma codção cal vículo. Teorema 3..a Mulplcadores de Lagrage um vículo Sejam e g uções com dervadas parcas de prmera ordem coíuas. Se o mámo ou mímo de sujeo à codção g= ocorre em um poo P ode P g eão P g P para alguma cosae. Coroláro 3..a Os poos em que uma ução de duas varáves em eremos relavos sujeos ao vículo g= esão cluídos ere os poos que sasaem o ssema: g g g Se a ução or uma ução de rês varáves eão o ssema ca: g g g g Eemplo 3..a Ecore os eremos de se esá resro à elpse.

52 3..b Calcule o volume da maor caa reagular de lados paralelos aos plaos coordeados que pode ser scra o elpsóde 6²+4²+9²=44 em m³. 5

53 4 Fuções de váras varáves egras espacas 4. Iegras duplas São egras de duas varáves. Sua aplcação clu o cálculo de área volume massa e área de superíce. Coceo: Seja D um cojuo quadrável o plao em área D ². Vamos avalar as regões o D echadas. Nesse cojuo é deda uma ução. D D. M D M calculamos o valor da ução ese poo aoamos por má d D ' '' ' Calculamos d D ma M M M M '' D e De.4..a Se lm. A e esse lme é o mesmo para qualquer parção de D e para qualquer escolha dos poos em cada pare dessa regão eão esse lme é chamado INTEGRAL DUPLA da ução ao logo da regão D e deoado por: lm. A D da Y OBS: Se D é a regão quadrável é ução coíua a regão D eão da Y Propredades: Se as uções e g são egráves a regão D eão a ução g ambém é egrável e emos a segue gualdade: D g da da g da D D Se é egrável a regão D eão cr c. é egrável em D e: D c. da c da D 3 Se a regão D é dvdda em duas pares sem poos erores em comum: D D D e é egrável eão: da da D D D da D 53

54 4 da A D D 5 Seja egrável em D e além dsso é lmada: m M D emos m M eão m. A D da M. A D D 6 Se e g são egráves D eão: g g da da D D Sedo geomérco da egral dupla Seja a superíce que ca acma da regão D. alura A D área da base Q D dav Q Cálculo da Iegral Dupla º D ² : a b c d Seja coíua o D D da Ou ada D da b d a c b a dd d b c a d dd c em relação a D regão dd d c b d d a em relação a re agular 54

55 Eemplo 4³ 6² D ;3 ; 3 uv 4..a º D ² : a b são uções coíuas o [ab] e é coíua o D. b d da dd d d D a c Eemplo 4..b Calcule 6 ² da ode D é a regão lmada pela parábola =² e pela rea +=. 99/ uv D 55

56 4. Mudaça de Varável a egral dupla Iegras duplas em coordeadas polares Em muas suações para aclar a descrção de regões de egração se a ecessára uma mudaça de varáves. Apresearemos esa seção a mudaça de varáves para coordeadas polares. De.4..a Uma regão polar smples um ssema de coordeadas polar é uma regão compreedda ere dos raos e e duas curvas polares coíuas e ode as equações dos raos e das curvas polares sasaem as segues codções: a b c As coordeadas polares reagulares pelas equações: de um poo esão relacoadas com as coordeadas Assm para coverermos de coordeadas reagulares para coordeadas polares em uma egral dupla escrevemos e usamos os lmes de egração aproprados para e e subsuímos por. mosrar Eemplo 4..a Calcular sedo Ra. 4..b Ache o volume do sóldo o prmero ocae lmado pelo coe de equação Ra. 6 uv e pelo cldro de equação. 56

57 Iegral dupla o plao Jacobao No cálculo de egras de uções de uma varável real um dos méodos ulados o o de subsução de varáves que é baseado a órmula ode g é uma ução com dervada coíua em um ervalo I que coém c e d e ode c e d são as que gc=a e gb=b. Além dsso supomos coíua a magem de g. Uma mudaça de varáves um subcojuo do é dada por uma rasormação. Como vamos rabalhar com domíos de egração cosderemos um subcojuo do lmado e com área. Vamos supor que admem dervadas parcas de prmera ordem coíuas e jeora o que sgca que ão esem dos poos com a mesma magem. Seja uma parção de um reâgulo que coém e para Observe a gura a segur ode é um pequeo reâgulo o plao cujo cao eror esquerdo é o poo e cujas dmesões são e. A magem de por é a regão o plao ode em um dos poos da roera esá. Cosderado o veor posção da magem do poo a curva de magem por do lado eror de ou seja correspodee a e a curva de magem do lado esquerdo de ou seja correspodee a. Noe que podemos represear veoralmee por 57

58 Assm o veor agee a em é e o veor agee a em é. A gura a segur lusra os veores e secaes às curvas respecvamee. Noe que podemos apromar a regão veores e. pelo paralelogramo deermado pelos Uma apromação mas coveee de pode ser obda apromado-se esses veores secaes por veores agees como segue: Logo podemos apromar pelo paralelogramo deermado pelos veores e cuja área é dada por ode Observe que podemos reescrever a epressão acma como O deermae acma é chamado Jacobao da rasormação. 58

59 De.4.b Se or a rasormação do plao o plao deda pelas equações e eão o Jacobao de é deoado por ou e é dedo por Com essa oação podemos ober uma apromação da área de como Ode o Jacobao é calculado em. Observação Prova-se que o erro o cálculo de ede a ero quado e. Assm cosderado uma ução coíua em emos: Lembrado da deção de egras dupla por somas de Rema sso os leva a pesar que Teorema 4..a Seja lmado e com área e um cojuo abero que coém. Seja uma rasormação com dervadas parcas de prmera ordem coíuas em jeora o eror de e com para odo o eror de. Nessas codções se é coíua em emos: Eemplo 4..c Calcule sedo o domío lmado pelas reas e. Ra. 59

60 Eemplo 4..d Calcule sedo a regão ragular de vérces. Ra. Eemplo 4..e Calcule sedo a regão ragular de vérces Ra. 6

61 4.3 Área de Superíce Seja S a superíce com a equação ode em dervadas parcas coíuas. Para smplcar a dedução da órmula da área vamos supor que e que o domío de seja um reâgulo. Vamos dvdr em reâgulos pequeos com área. Se é o cao de mas prómo da orgem seja o poo de dreamee acma dele Fgura. O plao agee a em é uma apromação de pero de. Assm a área da pare desse plao agee um paralelogramo que esá dreamee acma de é uma apromação da área da pare de que esá dreamee acma de. Eão a soma é uma apromação da área oal de a qual parece melhorar Fgura à medda que aumeamos o úmero de reâgulos. Porao demos a área de superíce de como Tomemos os veores e como os veores que começam em e correspodem aos lados do paralelogramo com área Fgura. Eão. Lembre-se que e são as clações das reas agees a com dreções de e. Porao Fgura Logo Da deção emos: 6

62 E por deção de egral dupla podemos ober a segue órmula: Podemos esabelecer órmulas aálogas o caso de a superíce er projeções coveees os plaos ou : Eemplos 4.3.a Deerme a área de superíce da pare da superíce regão ragular o plao com vérces e. Ra que esá acma da 4.3.b Deerme a área da pare do parabolode que esá abao do plao. Ra. 6

63 Teorema 4.3.a Seja posva em [a;b] e coíua em [a;b]. Se or a medda da área da superíce de revolução obda grado-se a curva = com a b em oro do eo eão: AS b a ' ² d Eemplos 4.3.c Calcule a área do parabolóde de revolução gerada pela roação da pare superor da parábola ²= 4p com h em oro do eo. 63

64 4.4 Iegral Trpla Problema movador Qual é a massa de um sóldo cuja desdade de massa em cada poo é dada pela ução cosderado-se coíua e posva? Aalsemos a cosrução da egral rpla. Seja u= deda o cojuo Q ³; : Q Q é cubcável em volume. Q Q Q é cubcável ão há poos erores em comum. Q M Q calculamos o valor da ução esse poo M : V soma V Q egral Irodumos o comprmeo de parção mád E calculamos comprme o da parção lm lm. V d d Q máds M ' M '' ' M M '' Q De.4.4.a Iegral Trpla Se lm lm. V e esse lme ão depede em do jeo da parção em da escolha dos poos em cada pare dessa regão eão esse lme é chamado INTEGRAL TRIPLA pela regão Q e deoada por dv Q Cálculo da Iegral Trpla º Se emos paralelepípedo reagular: Q ³ a b; c d; e b d dv ddd ddd D b d a c e a e c d b c a e ddd Eemplo 4.4.a =+. Q cosse os poos do espaço as que: ; 3;. Ra. 64

65 65 º D Q dd dv regão quadrável D Q Q o coíua D regão a coíuas uções ³ : 3 D Q dd dv regão quadrável D Q Q o coíua D regão a coíuas uções ³: Eemplos 4.4.b Ache o volume do segmeo oblíquo de um parabolóde delmado pelo parabolóde =²+² e pelo plao +=. Ra.

66 4.4.c Calcule o volume do sóldo cuja base é o râgulo de vérces e e é delmado pelos plaos = e +=. Ra. Propredades da Iegral Trpla. Se as uções e g são egráves a regão Eão Q g ambém é egrável e g dv dv g dv Q Q 3 Q Q é cubcável.. Se o sóldo Q or dvddo em duas pares sem poos erores em comum: Q Q Q e a ução é uma ução egrável eão: Q dv Q dv 3. Se a ução é egrável o c. dv c Q Q dv Q dv 3 Q eão: c 4. Se as uções e g são egráves o Q e g Q eão: dv g dv Q Q 5. dv V Q ode Q é qualquer sóldo cubcável Q 4.5 Mudaça de varáves a Iegral Trpla O méodo é semelhae ao ulado em egras duplas eceo pelo ao de que agora rabalharemos com rasormações de regões rdmesoas em ve de bdmesoas. Uma mudaça de varáves um subcojuo do é dada por uma rasormação 66

67 Ode é um subcojuo lmado e com área possu dervadas parcas de prmera ordem coíuas e é jeora. De.4.5.a Se or a rasormação do espaço de varáves o espaço deda pelas equações e eão o Jacobao de é deoado por ou e é dedo por Teorema 4.5.a Seja lmado e com volume e um cojuo abero que coém. Seja uma rasormação com dervadas parcas de prmera ordem coíuas em jeora o eror de e com para odo o eror de. Nessas codções se é coíua em e emos: Eemplo 4.5.a Calcule ode é a regão delmada pelos plaos e os hperbolódes. Ra. 67

68 Iegras Trplas em coordeadas Clídrcas e Esércas As subsuções em coordeadas clídrcas e esércas são casos especas do méodo de mudaças de varáves em egras rplas como rasormações de regões rdmesoas. Coordeadas Clídrcas A represeação em coordeadas clídrcas de um poo P é a era ordeada r ode r e são as coordeadas polares da projeção de P o plao polar e é a dsâca oreada dese plao aé P. A le da rasormação de coordeadas clídrcas para coordeadas caresaas é dada por: E o Jacobao é dedo por Assm uma egral rpla reagular pode ser escra em coordeadas clídrcas como: Eemplo 4.5.b Calcule a massa do sóldo de desdade e o plao. Ra. lmado pelo coe 68

69 Eemplo 4.5.c Deerme o volume do sóldo delmado pelos parabolódes e. Ra. Coordeadas esércas Num ssema de coordeadas esércas há um plao polar e um eo perpedcular ao plao polar com a orgem do eo a orgem do eo polar. Um poo P em coordeadas esércas é dado pela era ordeada ode OP é o âgulo que orma com o eo posvo e é o âgulo das coordeadas clídrcas. Noe que cosderado o râgulo reâgulo em emos. Como e podemos escrever e. Assm a le da rasormação de coordeadas esércas para coordeadas caresaas é dada por: E o Jacobao é dedo por: 69

70 Logo uma egral rpla reagular pode ser escra em coordeadas esércas como: Eemplos 4.5.d Ache a equação caresaa da superíce e deque-a. 4.5.e Escreva a equação do parabolode em coordeadas esércas Calcule o volume do sóldo lmado acma pela esera e abao pelo coe. Ra. 4.5.g Calcule o volume do sóldo delmado abao pela esera acma pelo coe. Ra. e 7

71 5 Campos veoras uções veoras de váras varáves 5. Coceo de campo veoral De.5..a campo veoral Um campo veoral dedo em uma regão T do espaço é uma ução F com valores veoras que assoca a cada poo de T um veor F P Q j R. Pode-se descrever mas sucamee o campo veoral F em ermos de suas compoees P Q e R escrevedo-se F=<PQR>. P Q e R são uções escalares com valores reas. Um campo veoral o plao é uma ução F com valores veoras que assoca a cada poo de R um veor. Cada veor é represeado por uma sea de amaho F edo como seu poo cal. Eemplo 5..a Campo veoral F j Para cada poo o plao coordeado F é smplesmee seu veor posção. Apoa dreamee a parr da orgem e em comprmeo F =. j ² ² r gual à dsâca da orgem a * Um campo de velocdade é um campo veoral em que cada poo esá assocado um veor velocdade e um campo de orças é aquele que arbu a cada poo um veor orça. De. 5..b campos veoras esacoáros Chamamos campos veoras esacoáros os campos em que os veores são depedees do empo. Eemplo 5..b Mosre uma gura as represeações edo como poo cal em dos veores do campo veoral F j campo de veores velocdade assocado a um rodamoho de água em oro da orgem com velocdade agular cosae o sedo ahoráro. 7

72 De.5..c campo quadrado verso Seja r j o veor posção de e r u o veor uáro que em a mesma r dreção de r. Um campo veoral F é chamado campo quadrado verso se c c F. u. r ode c é um escalar. Um eemplo é o campo Gravacoal dad o 3 r r por Eemplo 5..c Descreva o campo quadrado verso F de r j * cosderações: F erá sedo coráro à r se c< e erá o mesmo sedo de r se c> pos F é múlplo de r. De.5..d campos coservavos Um campo veoral F é chamado coservavo se F para alguma ução escalar. Se F é coservavo eão a ução é chamada de ução poecal para F e é o poecal o poo. Assm odo veor F em um campo veoral coservavo é ormal à superíce de ível de uma ução poecal para F que coém P Teorema 5..a Todo campo veoral quadrado verso é coservavo. 7

73 73 5. Lme e coudade de campos veoras As uções veoras de váras varáves são uma geeralação das uções veoras de uma varável e suas propredades e deções são aálogas. Seja R j Q P F R j Q P F R j Q P F parcas dervadas coíua é F F Se coudade a a F e R j Q P F ; ; : eão lm : 3 lm : lm : 5.3 Dervada drecoal de um campo veoral Cosderemos um campo veoral R j Q P F. Escolhemos um poo P o espaço e uma dreção em P dada por um veor uáro b. Seja C uma sem-rea cuja orgem é P e possu a dreção de b e seja Q um poo sobre C cuja dsâca de P a Q é S. A dervada drecoal de um campo em um poo P é dada por:. 3 P S R P S Q P S P b b b P R P R P R P Q P Q P Q P P P P P P P S F jacobaa mar Ierpreação ísca da dervada drecoal de um campo veoral Cosderemos um luído movedo-se em uma regão D em regme esacoáro so é a velocdade em qualquer poo P é depedee do empo. Eão a cada poo P de D esá assocado um veor que é a velocdade do ludo em P. A dervada drecoal de em P uma dreção epressa a varação da velocdade do ludo em P a dreção de. Eemplo 5.3.a Deerme a dervada drecoal em P do campo veoral radal j F a dreção de um veor j a

74 5.4 Roacoal De.5.4.a Seja F P Q j R ode P Q e R em dervadas parcas em alguma regão. O roacoal de F é dado por: rof F P j Q R Ierpreação ísca do roacoal O roacoal de um campo veoral aparece em dversas suações a ísca como por eemplo: Na aálse de campos de velocdade a mecâca dos luídos; Na aálse de campos de orças eleromagécas; Pode ser erpreado como uma medda de movmeo agular de um luído e a codção rof para um campo de velocdade v caracera os chamados luos rroacoas; A equação roe ode E é a orça elérca caracera que somee orças elerosácas esão presees o campo elérco. Propredades Sejam F e G campos veoras e h uma orça escalar odas dedas em um domío D F e G com dervadas parcas de ª ordem coíuas em D e h derecável em D. Eão: ro F G rof rog ro h. F h. rof h F Eemplos a Se F ² ² j ³ ² deerme rof. 5.4.b Um escoameo é represeado pelo campo velocdade Verque se o campo é rroacoal. V j 3. 74

75 5.5 Dvergêca De.5.5.a Seja F P Q j R com P Q e R edo dervadas parcas em alguma regão. A dvergêca de F é dada por: P Q R dvf. F Ierpreação ísca Se F é um campo de velocdade de um luído ou gás eão dvf orma sobre o luo de massa: se em um poo dvf< sgca que há maor quadade de massa ludo para o poo do que sado dele so é ese um poço em ; agora de dvf> sgca que lu maor quadade de massa de do que para so é há uma oe em ; e se dvf= o que é possível para luídos compressíves eão ão há poço em oe em. Da mesma orma se F represea o luo de calor e se dvf em é maor que ero eão há uma oe de calor em so é o calor esá deado e assm a emperaura em esá decrescedo. Do coráro se dvf< o calor esá sedo absorvdo em ou seja a emperaura esá aumeado. Eemplo 5.5.a Um luído escoa com velocdade uorme v j. Mosre que odas as parículas se movem em lha rea e que o campo de velocdade represea um escoameo compressível. Propredades Sejam F e G uções veoras dedas em um domío D e h uma ução escalar derecável em D. Se ese df e dvg eão: dv F G df dvg dv h. F h. dvf h. F 75

76 5.6 Iegral curvlíea de prmera espéce Temos uma curva : r j ode é um parâmero real [a;b] r : ³ é ução veoral. uma curva suave por pares e seja a ução deda a curva. Agora Seja começamos a cosrur a egral. ; b] [ a ; ; l l calculamos o comprmeo de odas as pares da curva. comprmeo dacurva Escolhemos o maor deles: l comprme o da parção má Pegamos qualquer poo. l De.5.6.a Se lm. l M M M e esse lme ão depede em do jeo da parção da curva gama em da escolha dos poos em cada pare da curva eão esse lme é chamado de INTEGRAL CURVILÍNEA DE ª ESPÉCIE da ução ao logo da curva gama e deoamos do segue modo: lm. l dl massa realm de Qualquer erpreação ísca da egral curvlíea dl depede da erpreação ísca da ução. Se represea a desdade lear um poo de um arame o com o ormao de eão dl represeará a massa m do arame. Sgcado ísco Podemos der o rabalho realado por um campo de orças sobre uma parícula em 3 movmeo ao logo de uma curva em como uma egral de lha. 76

77 Cálculo da Iegral Curvlíea de ª espéce r j [a;b] h=. l l comprmeo doarco b ' ² ' ² ' ² dl. ' ² ' ² ' ² d No plao =: b a dl. ' ² ' ² d a Eemplos 5.6.a Calcular a egral curvlíea dl ode é o quaro de círculo do prmero quadrae paramerado por =cos =se. 5.6.b Calcule dl ode é ormada pelo arco da parábola segudo pelo segmeo de rea vercal. 5.6.c Calcule sedl ode é a hélce crcular dada pelas equações. 77

78 Iegral Curvlíea de ª espéce Seja uma curva smples suave ou suave por pares o ² ³ ou. : j r uções e êm dervadas coíuas ] [ b a. ²+ ²+ ² Seja a ução P deda a curva ; Seja l l o comprmeo do ervalo da parção da curva; Seja mál o maor comprmeo de ervalo da parção; M M calculamos o valor da ução o poo M P ; Seja P.. De.5.7.a Se lm e esse lme ão depede em do jeo da parção da curva em da escolha dos poos de cada pare da curva eão esse lme é chamado INTEGRAL CURVILÍNEA DE ª ESPÉCIE da ução P ao logo da curva. d R R d Q QP d P P. lm lm. lm lm. lm lm 3 No caso geral emos: 3 3 : F R j Q P F d R d Q d P d R d Q d P Se as uções P Q e R são coíuas a curva suave ou suave por pares eão a egral curvlíea de seguda espéce ese. b a d R Q P d R d Q d P '. '. '. Podemos ada escrever a egral a orma veoral: dr F d r r F.. '.

79 Eemplo 5.7.a Uma parícula se move ao logo de uma parábola =² do poo - ao poo 4. Ache o rabalho oal realado se o movmeo or causado pelo campo de orças F=²+²+3²j. Supoha que os arcos sejam meddos em meros e a orça em Newos. De.5.7.b Seja uma curva suave por pares al que esas pares sejam lha Fdr.... Eão a egral de F P Q j R sobre é deda como: r dr. Eemplo 5.7.b Calcule a egral de lha 4 d ² 3 d se a curva cosse o segmeo de rea ed -3- a e o arco do prmero quadrae da crcuerêca ²+²= e se or percorrda o sedo a-horáro: 79

80 5.8 Iegras de lha depedees do camho Teorema 5.8.a Seja uma curva suave ou suave por pares coda a regão D com eremdades os poos A e B. Se F or um campo veoral coservavo em D e se or uma ução poecal para F eão a egral curvlíea F. dr será depedee do camho e F. dr = -. * Para a aplcação dese eorema é ecessáro saber se o veor dado represea o gradee de uma ução para ecorarmos a ução poecal e para sso emos os segues eoremas: Teorema 5.8.b Sejam P e Q uções de duas varáves e dedas em D as que P e Q sejam coíuas em D. Eão o veor P+Qj será um gradee em D se e somee se P =Q para odos os poos de D. Teorema 5.8.c Sejam P Q e R uções de rês varáves e dedas em D as que P P Q Q R e R sejam coíuas em D. Eão o veor P+Qj+R será um gradee em D se e somee se P =Q ; P =R e Q =R para odos os poos de D. De.5.8.a Campos coservavos e ução poecal O campo veoral F dedo a regão D é CONSERVATIVO se ese uma ução escalar deda em D al que F em odos os poos de D. Nesse caso é chamada FUNÇÃO POTENCIAL do campo veoral F. * em algumas aplcações íscas a ução escalar é chamada de ução poecal do campo veoral F se F Eemplo 5.8.a Deerme uma ução poecal do campo coservavo F=6-³+4+3²-3²j sedo a rajeóra relíea do poo A ao poo B paramerada por = = para 3 8

81 Teorema 5.8.d Campos coservavos e ução poecal Supoha-se que as uções P e Q sejam coíuas e eham dervadas parcas de R / a b c d. Eão o prmera ordem coíuas o reâgulo abero campo veoral F P Q j é coservavo em R e por sso em uma ução poecal P Q deda em R se e somee se em cada poo de R. Eemplos 5.8.b Seja F=² j mosre que a egral F. dr é depedee do camho e calcule seu valor de a. 5.8.c Seja F=4+-+-+j+-++ mosre que a egral depedee do camho e calcule seu valor de 4- a -. F. dr é 8

82 Teorema 5.8.e Seja uma curva suave ou suave por pares coda em um dsco abero um campo veoral coservavo em B eão F. dr = A=B B. Se F or Eemplo 5.8.d Uma parícula movmea-se sobre a crcuerêca r cos se j. 4 Calcule o rabalho oal realado pelo campo de orças F j 4l 3 8

83 5.9 Teorema de Gree e Teoremas correlacoados Teorema 5.9.a Teorema de Gree Sejam P e Q uções de duas varáves e de al modo que eham dervadas parcas de prmera ordem coíuas em um dsco abero B. Se or uma curva suave ou suave por pares coda eramee em B e se D or a regão lmada por eão: Q P P d Q d da D Por coveção o Teorema de Gree omamos o sedo a-horáro da curva. O Teorema de Gree esabelece uma relação ere uma egral curvlíea ao logo de uma curva echada plaa smples e uma egral dupla usual sobre a regão plaa D delmada por. Eemplos 5.9.a Aplque o Teorema de Gree para calcular a egral curvlíea 9 ³ d 5 e arcg d sedo a crcuerêca ²+²= b Calcule a egral curvlíea 3 d ² d ode é a roera da regão D delmada acma pela rela = e abao pela parábola =²-. 83

84 * No eemplo aeror vu-se que a egral dupla é mas ácl de calcular do que a egral curvlíea. Às vees ereao a suação se vere. A cosequêca segue do Teorema de Gree lusra a écca de calcular uma egral dupla D uma egral curvlíea Pd Qd. Coroláro do eorema de Gree da rasormado-a em A área A da regão D delmada pela curva echada smples parcalmee suave é dada por: A d d Eemplo 5.9.c Use o eorema e o coroláro de Gree para calcular a egral de lha 4 3 d ³ 4 d ode é a elpse ² ²

85 A dvergêca e o luo de um campo veoral Cosdere o luo esacoáro de uma camada delgada de luído o plao como uma camada de água espalhado-se pelo assoalho. Seja V seu campo de velocdade veoral a desdade do luído o poo. A epressão luo esacoáro sgca que V e depedem apeas de e e ão do empo. Deseja-se calcular a aa à qual o luído sa da regão D delmada por uma curva echada smples. A egral curvlíea F. ds é chamada luo do campo veoral F aravés da curva ou seja o luo de F aravés de é dado por F. ds ode é o veor ormal uáro eeror à. No caso presee do luo de um luído com velocdade veoral V o luo de F=.V é a aa à qual o luído esá sado de D aravés da curva de roera em udades de massa por udades de empo. Mas a mesma ermologa é usada o caso de um campo veoral arbráro F P Q j. Assm é que se pode alar do luo de um campo elérco ou gravacoal aravés de uma curva. A orma veoral da egral orma veoraldo eorema degree F. ds é F. da P Q F. ds F. Da ode F df D Laplacao De.5.9.a: Laplacao D Seja F um campo veoral dedo uma regão do espaço al que F=P+Qj+R. se as dervadas parcas de seguda ordem de P Q e R são coíuas chamamos laplacao à epressão: dv grad F. F F F ² De.5.9.b equação de Laplace F ² F ² Se ² F eão esa epressão é chamada de equação de Laplace. * uma ução escalar que sasa a equação de Laplace é chamada ução harmôca esa ução esá mamee lgada ao esudo da raserêca de calor radação eleromagéca e ouros ramos da ísca. Eemplo 5.9.d Verque se as uções harmôcas. ² e e são 85

86 6 Eercícos 6. Lsa. Represee gracamee as segues bolas: a B P ; r P = - e r = 3 P = ½ e r = b B P ; r P = e r = P = ½ e r = ½. Ideque se as equações abao represeam bolas aberas echadas ou ão represeam bolas; caso represeem deerme P e r: a + + < 3 b c + d + > e < < 6. Lsa. Esboce o hodógrao das segues uções veoras: a r = 44cos9se b r = 3se c = 4 + d = a 3 e = 3.. A posção de uma parícula é dada por r = 4 +. Esboce a rajeóra bem como os veores velocdade e aceleração em =. Verque se eses veores são perpedculares ere s. 3. O movmeo de um besouro que desla sobre a superíce de uma lagoa é epresso pelas uções = cos m e = + se ode m é a massa do m besouro. Deerme: a equação veoral que epressa o movmeo do besouro e sua posção em = 3 4. A equação r = 8 - descreve a rajeóra de uma parícula o plao o. a esboce a rajeóra da parícula e os veores velocdade e aceleração em = ; b verque se os veores do em a são perpedculares ere s 5. Sejam 3 e g = e calcule: 86

87 87 a. lm g b lm g 6. Sejam as uções = e l+ 3 e g = se + + calcule g " ' lm 7. Sejam as uções = e + se j e g = cos + j +. Calcule lm 3 lm g 8. Verque se a ução r = se j j é coíua em =. 9. Verque se a ução ; ; j j e é coíua para =.. Calcule p de modo que a ução 3 l 3 3 ; j e j p seja coíua. Verque se a ução 3 3 ; 3 3 j j é coíua para =.. A posção de uma parícula é dada por r =. 4 j Deerme: a os veores velocdade e aceleração em = 5 s ; b esboce a rajeóra da parícula e os veores do em a ; c verque se os veores do em a são perpedculares ere s 3. Escreva a equação veoral da curva = ; = e descreva a curva 4. Escreva a equação caresaa e a equação veoral da elpse que em cero o poo -3 e cujos valores dos sem-eos ocas são a = 5 e b =.

88 6.3 Lsa 3. Deermar o domío da cada ução de duas varáves e esboçar seu gráco. a b ² ² c d ² ² 3 9 ² ² e g ² ² h. Calcule cada epressão usado as uções g e h dedas por: 5² 7 g h ² ² ² a b a b c h secos 3. Especque o domío da ução e calcule para os valores dados: a b ² ² 4 c Se calcule e smplque Desehe o mapa de cooro do gráco de = mosrado as lhas de cooro correspodees aos valores de dados: a 3 b 9 ² ² 3 ² ² c 4 9 d ² e 3 ² ² 3 5. Esboce algumas curvas de ível ípcas da ução. a b ² ² c ² 4² 6. Ecorar o domío magem curvas de ível e cosrur o gráco das superíces dadas: a 5² 4² b 4² 9² c ² 4² 6 88

89 6.4 Lsa 4. Calcular os lmes duplos e erados a b c 4 4 lm ² ² ² lm ² ² lm 4 3² ² ³ ² ²² d lm 3 4 ³. Ecorar o domío magem curvas de ível e superíce. a =4²+5² b =- - c 4² 5² 3. Esudar os lmes e a coudade da ução. Se or o caso remover a descoudade. a se² se² e e 9 b 6 ²² c ² ²

90 6.5 Lsa 5. Seja w deerme -3 4 / / 3 + e - -. Seja g = 4 deerme g - - g- / 3 / e g / / / 3. Deerme o domío da ução e esboce a regão de R que a represea: a = + - b = c = 4 4 d = e = l- 4. Deerme o domío de e descreva a regão que o represea: a = 6 4 b = l Dadas = g = e hs = s ache g o 5 h3 g9 g h e g o h 6. Calcule o lme das uções: 3 a lm b lm c lm 3 3 d lm arca / e lm g sec sec lm /3 sec e e e lm e e e lm 7. Dadas as uções abao prove que ão ese: 9

91 9 a = b = c = Deerme odos os poos em que a ução é coíua: a = b h = se / c g = l5 d e se 9. Mosre que a ução g é coíua em odos os poos de R com eceção dos que esão sobre a elpse + 4 = 5

92 6.6 Lsa 6. Calcule as dervadas parcas e o derecal a =3-6-² b ² c u = ²-3²+ d u = 4+l. Cosderado a ução =3²+-² calcule: a cremeo o poo 4 b 4 =3 = - c d4 d d4 = 3 = - 3. Cosderado a ução =²+5+4² calcule: a - b - se = - e = 4. Seja =l²++² provar que Seja Seja e provar que u u u u calcular e du 7. Ecore a derecal dw: a w 3² 4 ³ b ² ² w e c w ² ² d w e e w se w l rs s g w s h v² w u² e 8. Obeha por meo de derecas uma apromação de Q P a ² ² P34 Q b P36 Q3..65 c e P- Q w 9. Calcule derecar. aplcado a regra de cadea e eplcado w como ução e aes de 9

93 a w u² v² u=cos v=se b w se = =² =³ c w l u v u=cos² v=se² =² w w. Calcule e. s a w p. qse r p s q s r s b w u² v² ² u 3e se s v 3e cos s 4e c w s² ² s² ² s² ². Escreva uma equação do plao agee o poo P à superíce de equação dada: a ² ² ² 9 P b ² ² ² 4 P- c ³ ³ ³ 5 P d ³ ² ² ² 3 P. Deerme o veor gradee o poo P dcado. a 3 7; P7;39 b 3² 5²; P; 3 c se ; 4 P3; d ² 3 ³; P e ; P ; P Deerme a dervada drecoal de em P a dreção do veor v so é: deerme Du P v ode u v a ² 3² P v b e se P / 4 v c P v j d l ² ² ²; P v j 3 4. Deerme a dervada drecoal máma de em P e a dreção em que sso ocorre. a ² 3 4² P b 3² ² 4² P5 c ² ³ P 93

94 94 5. Escreva uma equação da rea ou plao agee à curva ou superíce dada o poo dcado. a 3 35 ² 3 ² P b 3 9 ² 4 P c 3 73 ² 5 ² 4 ² 3 P d 3 / 3 / 3 / P e ³ ² ² P 6. Deerme o domío de cada ução veoral: a j ² ² 5 b j g c h d p e q 7. Sejam ² 3 ³ 3 ² j g j a lm g b lm g c / 3 lm g d. lm g e lm g. lm g lm g 8. Calcule o lme e aalse a coudade das uções veoras abao os poos dcados: a j j b 5 4 j 9. Idque o ervalo de coudade das uções veoras abao:

95 a g ² j e b w sea e ² r e l c. Deerme a dervada das uções veoras: a cos ³ a se² b g se cos e c e e j d g l j e 5 h l ² 5. Deerme os veores velocdade e aceleração para qualquer sae bem como o módulo deses veores sae dado. a r e e j l b r 3 ² c r cos 5sej 3 / 4 ² ² ² ². Dadas as uções calcule ² ² a 6² 7 5² b cos ² 3 c ² ² d cos e e se 5cosh e Verque que ² ² 3. Deerme as dervadas drecoas os poos dados a dreção do veor uáro: a ² 3² P u / / b ² ² P u / 3 / c cos ² P / 4 a 5 d 7 3 P u 3 4. Deerme o valor mámo da dervada drecoal e um veor u a dreção da dervada drecoal máma o poo dado. a ² 7 4² P 95

96 96 b / ² ² P se 5. Ecore os poos crícos das uções abao e classque-os como mámo local mímo local ou poo de sela. a ² ² b c 6. Calcule d d das uções mplícas a cos se F b l e e F c 3 se e F 7. Calcule u das uções mplícas a u v ve v u G v ue v u F v ; b 4 4 ³ ²; ² ³ v u v u G v u v u F 8. Ule os mulplcadores de Lagrage para ecorar os poos crícos a 8 ² 5 6 ² 5 ² ² G b ² ² ; ² ² G 9. Represee gracamee o campo veoral j F

97 6.7 Lsa 7. Calcule as dervadas parcas das uções abao: a = b h h = se cos 7 w c w = d r r = r cos7 e = e 3 dl = w g w = + +. Ecore a derva parcal dcada ulado a regra de cadea: a w b w = l u u = c h h = arca d w w = u se e d u = 5 e = e w w = / d 3. Verque as gualdades abao com relação às uções dadas: w w a + = 5w para a ução w = w w w b + + = w dada a ução w = a + b + c ode a b e c são cosaes. 4. Ecore as dervadas parcas ulado a regra de cadea: a = 3 4 = u.v =u u v b = = ucosv e = vseu u v w w c w = lu + v u = + e v = + 3 u u d u = cosh3 + 7 = r e -s e = re 3s r s 5. Ecore o coecee agular da rea agee à curva de ersecção ere a superíce e o plao o poo dado: a superíce: = plao = o poo A. 97

98 b superíce: = c superíce: = e 3 3 plao = o poo B3 se 3 plao = o poo C 6. Verque se as uções abao são derecáves os poos dcados: a = e - em 3 b = em 3 3 c =.cos e em 7. A poêca P cosumda por uma ressêca elérca é dada por P= R E was ode E é a orça eleromor em vols e R é a ressêca em ohms. Se em um dado sae E = vols e R = 5 ohms apromadamee de quao rá varar a poêca se E decrescer de vols e R decrescer de 3 ohms? 8. As dmesões de uma caa reagular são 5 6 e 8 cm. Se cada dmesão aumea em cm qual é apromadamee o volume resulae? 9. Dadas as uções abao calcule e verque que = : a = b = cos c = + 3/ d = cos e e = se + = 5cosh. Se w = A + B 3 ode A e B são cosaes verque que 3 w 3 w = 98

99 6.8 Lsa 8. Ecore as coordeadas caresaas dos poos dados em coordeadas polares: a 5 3 b 4 3 c d. Ecore um par de coordeadas polares dos poos dados em coordeadas caresaas: a b - c - - d - 3. Trasorme as equações abao para coordeadas polares: a + = 4 b = 4 c = d + = e + = + 6 = 4. Trasorme as equações abao para coordeadas caresaas: a r = cos b r = se c r = cos + se - d r = a a > 5. Ache as coordeadas caresaas dos poos cujas coordeadas clídrcas são dadas abao: a 4 b 3 4 c Ache as coordeadas clídrcas com r e dos poos cujas coordeadas caresaas são dadas: a 4 b 3 6 c Ache as coordeadas caresaas dos poos cujas coordeadas esércas são dadas abao: 5 a b 7 c Ache as coordeadas esércas com e e dos poos cujas coordeadas caresaas são dadas: a - b 5 c 9. Covera as equações caresaas em equações clídrcas e esércas correspodees. Classque a curva ou superíce ecorada: a = + b = c + = 5 d + = 5 e + - =. Covera as equações clídrcas em equações caresaas e esércas correspodees. Classque a curva ou superíce ecorada: 99

100 a = r b r 9 4 c r = 4cos. Covera as equações esércas em equações caresaas e clídrcas correspodees. Classque a curva ou superíce ecorada: a = b se = 3 c = / 3. Ideque as superíces abao e esboce o gráco: a = b 4 + = 8 c 4 4 = 4 d 4 + = e 4 = + =

101 6.9 Lsa 9. Calcule ulado egras duplas: 3 a dd b c d e R e R dd dd cos da ode R é a regão lmada pelas reas = e = e o eo da ode R é a regão lmada pelas reas = = e a hpérbole = a área da regão o plao ; lmado pelas curvas e = 4 g a área da regão o plao lmado pelas curvas + = 6 e = 6. Calcule as egras duplas ulado coordeadas polares: R R a 4 dd ; b dd ; R: + 3 c 3 R dd ; R: d e dd 3 a e 9 a 3 / dd 3. Ache o volume do sóldo: a Que esá o prmero ocae lmado pelo parabolóde = r e pelo cldro r = b Que é ormado pela pare eror da esera + + = 5 e pela pare eera do cldro + = 9 c Formado pelo coe = + pelo cldro de r = acma do plao. 4. Ache a área da superíce: a Delmado ao plao + + = 4 pelos plaos = = = e = b No plao = 44 delmada pelos plaos coordeados c Da pare do gráco de 5 = que esá sobre a regão ragular do plao que em vérces 4 e 4 5. Calcule ulado egras rplas: a l e ddd b ddd cos c o volume do sóldo delmado pela curva + = 4 e pelos plaos + =4 = e = d o volume do sóldo cuja base é o râgulo de vérces e e é delmado pelos plaos = e + =

102 6. Calcule as egras rplas ulado coordeadas clídrcas: a ddd ode S é o sóldo de prmero ocae lmado pelos plaos s coordeados pelo plao = 4 e pelo cldro + = 5 b ddd ode S é o sóldo lmado pelos plaos = 4 e = e S pelo cldro + = 6 7. Calcule em coordeadas esércas: a o volume da pare superor de uma esera com cero a orgem e rao a se a desdade em qualquer poo é proporcoal à dsâca do poo do eo do sóldo b o volume do sóldo delmado acma pela esera = e abao pelo coe = c c

103 6. Lsa. Calcule a área ere a parábola = e a rea =+.. Ache o volume da regão ++=. 3 B lmada pelos plaos coordeados = = = e 3. Deerme o volume do sóldo cuja base é a regão do plao delmada pela parábola =- e pala rea = e cuja pare superor esá coda o plao =+. 4. Desehe a regão de egração reeree à egral 4 4 dd 5. Ecore o volume do sóldo lmado pelos grácos + =9 e + =9. 6. Calcule + =9. D dd ode D é o domío do plao lmado por + =4 e 7. Deerme o volume compreeddo ere as superíces =8- - e = Ule coordeadas clídrcas para calcular 4 ds ode R é a regão clídrca Ule coordeadas esércas para calcular ds B R ode B é a regão Calcule o volume do sóldo V lmado pelo parabolode =4- - e pelo plao. Sugesão: ule coordeada polar.. Calcule o volume do sóldo lmado pelo cldro + =4 e os plaos +=4 e =. 3. Calcule a egral rpla dv a caa reagular 3 G 3. Seja G a cuha do prmero ocae secoada do sóldo clídrco pelos plaos = e =. Calcule dv. G 4. Calcule o volume do eraedro lmado pelos plaos coordeados e pelo plao +3+6= 3

104 6. Lsa. Represee gracamee os campos veoras abao: a F = b F = c F = d F = e F = j j j j. Seja D um sóldo esérco de rao r. A emperaura em cada um dos poos é proporcoal à dsâca do poo aé a superíce da esera. a Usado coordeadas caresaas deerme a ução que dee o campo de emperaura; b Deerme as superíces soermas do campo de emperaura em D so é ode a emperaura é cosae. 3. Um aque em a orma de um paralelepípedo reâgulo cuja base em dmesões mxm e cuja alura é 5m. O aque esá cheo de uma subsâca com desdade varável. Em cada poo a desdade proporcoal à dsâca do poo aé a superíce superor do aque: a Deerme a ução que dee o campo de desdade; b Deerme as superíces ode a desdade é cosae. 4. Calcule lm rro sedo: a F = ; r = 4 se b F = e ; ro / c F = ; r o = 4 5. Deerme os poos em que as uções são coíuas: a F = e l j b F = 3 a c F = ode a a j 6. Ecore a dervada drecoal de P os campos veoras dados a dreção do veor a = j : 4

105 a F = 5 j 4 ; P b F = j ; P c F = e e j ; P 7. Seja v o campo de velocdade de um ludo em movmeo. Deerme a varação de u o poo e a dreção dcados: a v = ; Po ; a j b v = - - ; Po ; a 8. Ecore a dvergêca e o roacoal dos campos veoras abao: a F = e cos e se b F = c F = 9. Verque se o campo dado é rroacoal: a F = e e e b F = cos se se c F =. Um ludo escoa em movmeo uorme com velocdade v dada. Verque se v represea um possível luo compressível: a v = b c v = v = j j j 5

106 6. Lsa. Calcule as egras de lha: a F = j e C é a elpse + 9 = 36 o plao = b d d d e C é o arco da hélce crcular dada por R = 4cos4se C 8 [ ] c d d d e C é a ersecção das superíces 8 e C 8 cosdere os dos possíves sedos da curva d F = j e C é o quadrado de vérces e - e 3 6 d 3 d e C é a parábola = do poo ao poo C.. Calcule o rabalho em Joules: a Realado por F 3 j para deslocar uma parícula em lha rea do poo A3 4 aé o poo B- b Realado por F para deslocar uma parícula ao logo da lha polgoal que ue os poos A B C e D o sedo de A para D 3. Mosre que o valor da egral de lha é depedee do camho e calcule-o ulado o eorema da ução poecal: a d d ere os poos 4 e 3 C b e sed e cos d de A aé B / C 3 c d 3 d de -3 - aé C d d 3 d 3 d de -3 aé 3 4 C 4. Calcule a egral de lha ulado o eorema de Gree: a d d ; C é a curva echada delmada pelo eo pela rea = e pela C curva 4 = 3 b d ; C é a curva echada delmada pela rea = e pela parábola C = c cos d cos d C é o reâgulo com vérces /3 /3 /4 /4 C 4 3 d se e d cos e d ; C é a crcuerêca + = 4 C 5. Calcule o valor da área da regão dada ulado o eorema da área: a A regão lmada pelos grácos = e = b Regão lmada pelo hpocclóde que em 3 a cos e 3 a se a como equações paramércas 6

107 6. Ule o eorema de Gree para ecorar o rabalho oal realado pelo campo de orças F = j para mover um objeo o sedo a-horáro uma vola em oro da elpse + = 6 supoha que o arco seja meddo em meros e a orça em Newos 7. Calcule a egral curvlíea ds ode C é o quaro de círculo do prmero C quadrae paramerado por =cos e =se com / Calcule a egral curvlíea d d sedo C: C a O segmeo de rea o plao de A a B4; b A rajeóra plaa de A a B4 ao logo do gráco da parábola =². 9. Deerme uma ução poecal para os campos veoras dados: a F=+3+3+j b F=3²+²+4+6²j; cf=--+-j+-. Aplque o eorema de Gree para calcular a egral Pd Qd ao logo da curva echada C especcada: P=+ Q=+ C é o quadrado de vérces e --. Calcule a área da regão dcada aplcado o coroláro do eorema de Gree: A regão delmada por =² e por =³ C 7

108 7 Resposas 7. Resposas da Lsa.aBola abera.c Não represea bola.e Bola abera.b Bola echada.d Não represea bola. Não represea bola 7. Resposas da Lsa.a.b.c.d.e. São perpedculares 5.a 5.b 3. 4.a 4.b ão são perpedculares. 8

109 Não é coíua em = 9. Não é coíua em =.. Não é coíua em =.a.c Não são perpedculares Resposas da Lsa 3.a.b.c.d.e..g.h.a.b.c 3.a 3.b 3.c 4.a 4.b 4.c 9

110 4.d 4.e 4. 5.a 5.b 5.c 6.a Gráco da regão de domío: Mapa de cooro: Gráco da ução: 6.b Gráco da regão de domío: Mapa de cooro: Gráco da ução: Todo o plao

111 6.c Gráco da regão de domío: Mapa de cooro: Gráco da ução: 7.4 Resposas da Lsa 4.a.c.b.d.a Gráco da regão de domío Mapa de cooro Gráco da ução Todo o plao.b Gráco da regão de domío Mapa de cooro Gráco da ução Todo o plao

112 .c Gráco da regão de domío Mapa de cooro Gráco da ução Todo o plao 3.a 3.b 3.c 7.5 Resposas da Lsa a D = { / } 3.b D = { / } 3.c D = { / } 3.d D = { / 3.e D = { / > } 4.a D = { / 6} elpsode 4.b D = { / } cldro C e r = 5.a 5.b 6 5.c 5.d 6.a 4 6.b 6.c 6.d 6.e 6. 6.g 3 7. Mosrar que em dreções derees emos lmes derees logo o lme múlplo ão ese. 8.a coíua que ão eseja sobre a rea = 8.b coíua que ão eseja sobre o eo 8.c coíua que esá dero da crcuerêca de rao 5 8.d coíua 8.e coíua

113 7.6 Resposas da Lsa 6.a.b.c.d.a.b.c.d 3.a 3.b 6. 7.a 7.b 7.c 7.d 7.e 7. 7.g 7.h 8.a 8.b 8.c 9.a 9.b 9.c.a.b.c.a.c.b.d.a.c.e.b.d. 3.a 3.c 3.b 3.d 3

114 4.a 4.b 4.c A dervada drecoal máma ocorre a dreção do veor gradee. 5.a 5.c 5.d 5.b 5.e 6.a 6.b 6.c 6.d 6.e 7.a 7.b 7.c 7.d 3 7.e 7. 7.g 8.a 8.b 9.a 9.b 9.c.a.c.b.d.e.a.b.c.a.b.c.d.e 4

115 . 3.a 3.c 4.a 3.b 3.d 4.b 5.a 5.b 5.c 6.a 6.b 6.c 7.a 7.b 8.a 8.b 9. 5

116 7.7 Resposas da Lsa 7.a 4 +.b coscos7.c.d rcos7.e g +.a.b.c.d 5.e. 4.a 6v-+ 8 6u 4.b 6 cosv 6 vcosu 6 -usev 6 seu 4.c 4.d 6re -r seh e 3s seh r e -s seh3+7 + re 3s seh a 3 5.b 6 5.c 6.a derecável 6.b derecável 6.c derecável 7 4 was 8 8 cm 3 9.a 9.b - cos - se 9.c 9.d cos 4e se e 9.e se + 4se + se + 9. cosh seh 7.8 Resposas da Lsa 8.a ; -.b -537; c.d ;.a.b.c.d 3.a r = 3.b 4 = rcos 3.c = rse 3.d = + K 3.e r = cos 3. r = 6se 4.a + = 4.b + = 6

117 4.c + = 4.d + = a 5.a ; ; 5.b ; 3; 4 5.c 6.a 4; ; 6.b 6.c 7.a 7.b ;;-7 7.c -9; 8.a 8.b 5; ; 8.c ; ; 9.a = r = ρ parabolode 9.b rcos = Rea 9.c r = 5 a = coe 9.d r = 5 ρse = 5 crcuerêca 9.e r = + Hperbolode.a = + ρ = cos csc parabolode.b ρ 9cos + 4se = 36 elpsode.c + = 4 ρ se = 4 cos crcuerêca.a + + = 4 r + = 4 elpsode esera.b + = 9 r = 3 crcuerêca.c + 3 = 3 = r Coe.a elpsode.b hperbolode de uma olha eo.c hperbolode de duas olhas eo.d parabolode eo.e parabolode hperbólco eo. coe eo 7

118 7.9 Resposas da Lsa 9.a 4.b ½.c /5.d -.e 9/4. 8/3.g.a.b.c.d.e 3.a 3.b 3.c 4.a 4.b 4.c 5.a 5.b 5.c 5.d /6 6.a 6.b 4 7.a 7.b cós c 7. Resposas da Lsa

119 7. Resposas da Lsa.a.b.c.d.e 9

120 .a.b 3.a 3.b 4.a 4.b 4.c 5.a 5.b 5.c 6.a 6.b 6.c 7.a 7.b 8.a 8.b 8.c 9.a rroacoal 9.b roacoal 9.c rroacoal.a compressível.b compressível.c compressível > -> oe < -> poço 7. Resposas da Lsa.a.b.c.d.e.a.b 3.a 3.b 3.c -4 3.d 5 4.a 4.b 4.c 4.d 5.a 5.b a 8.b 9.a 9.b 9.c..

121 8 Tese seus cohecmeos 8. Tese. Aalse a esêca do lme. Se esr calcule-o caso coráro mosre que ão ese.. Deerme o domío e a magem da ução. Esboce o gráco do domío. 3. Esboce odas as amílas de curvas de ível ípcas da ução 4. Aalse a esêca do lme. Se esr calcule-o caso coráro mosre que ão ese. 4 4 lm Na ução abao ecore o domío e aça seu gráco a magem aça o mapa de cooro e o gráco da superíce dcado a pare que represea a ução: 6. Aalse a esêca do lme. Se esr calcule-o caso coráro mosre que ão ese. 7. Represee gracamee o domío da ução dada por. 8. Esboce odas as amílas de curvas de ível ípcas da ução

122 8. Tese. Uma caa reagular sem ampa deve er um volume de meros cúbcos. Ecore as dmesões da caa que erá área de superíce míma. ule o méodo de mulplcadores de Lagrage. Deerme a dervada drecoal da ução o poo P- 3 a dreção do veor u. Qual seu valor mámo? Qual a relação ere dervada drecoal e dervadas parcas? 3. Ecore uma equação para o plao agee e ecore as equações paramércas da rea ormal ao coe elípco o poo perecee ao coe. 4. Deerme a equação do plao agee e da rea ormal à superíce e 3 se3 = o poo P / Ule o méodo dos mulplcadores de Lagrage para calcular a área máma do reâgulo que pode ser scro em um quaro da crcuerêca de rao 4 ule as meddas o prmero quadrae. 6. Eplque a relação esee ere dervadas parcas e dervadas drecoas. 7. Um coêer a orma de um sóldo reagular deve er um volume de 48 meros cúbcos. A base cusará R$ 5 por mero quadrado para ser cosruída e os lados e o opo cusarão R$ 3 por mero quadrados para serem cosruídos. Use os mulplcadores de Lagrage para ecorar as dmesões de um coêer dese volume que eha cuso mímo. 8. Deerme a dervada drecoal da ução o poo P-4 a dreção do veor u. Qual seu valor mámo? Dê uma erpreação geomérca para essa dervada. 9. Seja o âgulo ere os lados guas de um râgulo sósceles e seja o comprmeo deses lados. A aa de crescmeo de é mero por hora e a aa de crescmeo de é radaos por hora. Calcule a aa de crescmeo da área quado =6 e.. a O que sgca der que é coíua o poo? b Escreva as epressões para as dervadas parcas como lmes. c Qual a erpreação geomérca para e? d Dea o veor gradee de uma ução de duas varáves e eplque o sgcado geomérco do gradee.. Deerme a equação da rea agee à curva de ersecção da superíce com o plao o poo.

123 . A água esá ludo para dero de um aque em ormao de cldro crcular reo a uma aa de. O aque esá aumeado de al orma que se maeha clídrco com o rao crescedo a uma aa de cm/m. Quão rápdo esá se elevado a superíce da água quado o rao or m e o volume da água o aque or de? 3. Deerme o paralelepípedo reâgulo de volume mámo com aresas paralelas aos eos coordeados scros o elpsode. 4. a O que sgca der que é derecável o poo? Qual a relação ere derecabldade e coudade? b Escreva as epressões para as dervadas parcas como lmes. c Qual a relação esee ere o veor gradee de uma ução de duas varáves em um poo e seu mapa de cooro? Eemplque. 5. Ecore o volume da maor caa reagular echada o prmero ocae que eha rês aces os plaos coordeados e um vérce o plao ode. 6. Dscua a derecabldade da ução a orgem sedo deda por 7. Cosdere a ução dada por : a Ecore os poos crícos desa ução se esrem classque-os. b Ecore a equação do plao agee à superíce o poo. 8. A alura de um coe crcular reo esá decrescedo a uma aa de 5cm/m e o rao crescedo a uma aa de 6cm/m. Deerme a aa de varação do volume o sae em que a alura é 5cm e o rao é 5cm. 9. Deerme os eremos absoluos da ução dada por sobre o cojuo echado e lmado R: regão reagular com vérces 3 e 3.. Deerme o volume mámo da caa reagular com rês aces os plaos coordeados e um vérce o prmero ocae sobre o plao.. A emperaura em um poo de uma placa de meal plaa é T graus Celsus e. a Trace um esboço do mapa de cooro da ução mosrado as curvas de ível de em 8 4 e. Eplque o que ese mapa represea. b Deerme a dreção a qual a emperaura decresce mas rapdamee em Q e a aa de varação de esa dreção. 3

124 . Seja a ução sabedo que é uma ução de e deerme e. 3. Um crcuo elérco smples cosse em um ressor R e uma orça eleromor V. Em cero sae V é 8 vols e aumee à aa de 5 vols/m equao R é 4 ohms e decresce à raão de ohms/m. Use a le de Ohm achar a aa à qual a corree em ampéres vara. e uma regra da cadea para 4

125 8.3 Tese 3. Ecore o volume do sóldo o prmero ocae lmado superormee por erormee pelo plao e laeralmee pelo cldro e pelo plao.. Use uma egral dupla para calcular a área da regão o eror do círculo e o eeror da cardode. 3. Ache a área era ao círculo e eera ao cardóde. 4. Use egração rpla para calcular o volume do sóldo lmado superormee pelo cldro parabólco e lmado erormee pelo parabolóde elípco. 5. Ecore o volume do sóldo lmado pelo hperbolóde e a pare superor do coe. 6. Ule uma mudaça de varáves aproprada para calcular a área da elpse. 7. Calcule a área da pare do plao que ca o eror do cldro. 8. Calcule ulado mudaça de varáves ode R é a regão o prmero ocae lmada pelas curvas. 9. Ecore a área de superíce da pare do cldro parabólco que ca acma do râgulo com vérces em o plao.. Escreva a egral em coordeadas esércas e calcule-a.. Ao se esabelecer a egral dupla que dará o Volume V sob o parabolode e acma de uma cera regão R do plao chegou-se a segue epressão: dd dd. Desehe a regão R.. Ecore o volume do sóldo lmado pela superíce. 3. Calcule a egral a segur ulado as mudaças de varáves adequadas: 5

126 4. Deerme o volume da regão delmada acma pela superíce de equação e abao pela superíce de equação. 5. Deerme a área do parabolode que esá acma do plao =5. 6. Deerme o volume V do sóldo D lmado pelos plaos e pelos cldros. 7. Calcule ode D é o domío dado pelo paralelogramo de vérces A B C e D3. 8. Deerme o volume do sóldo suado o º ocae lmado por e. 9. Covera as segues egras para coordeadas polares a b. Deerme o volume do sóldo que esá abao do parabolóde acma do plao e dero do cldro. Além dsso o sóldo esá o º ocae.. Ule uma mudaça de varável adequada para calcular a egral ode R é a regão ragular evolvda pelas reas = = e. Use uma rasormação aproprada para calcular a egral plao uv. escrevedo-a como uma egral sobre uma regão G o 3. Deerme o volume do elpsóde de equação ulado mudaça de varável. 6

127 8.4 Tese 4. Deerme a área da pare da superíce que esá dero do cldro.. Ule egral rpla para calcular o volume do eraedro lmado pelos plaos. 3. Ule egras rplas para calcular o volume do sóldo o prmero ocae que é ormado pelo cldro + = e pelos plaos = e =. 4. Ule coordeadas clídrcas para calcular ode E é o sóldo do prmero ocae que esá abao do parabolode. 5. Ule coordeadas esércas para calcular o volume do sóldo que esá dero da esera acma do plao e abao do coe. 6. Ule mudaça de varável adequada para calcular a egral ode R é a regão rapeodal com vérces. se 4 ; ; 7. Verque se a ução abao é coíua para =. e ; l ; 8. A rajeóra de uma parícula é dada por r = + 4 j - 3. Deerme o veor velocdade para = e esboce a rajeóra da parícula e o veor velocdade. 7

128 9 Resposas dos eses 9. Resposas do ese.. Regão de domío Regão de domío Gráco da ução Mapa de cooro 6. Usar deção 7. A ersecção pare mas ore 8. 8

129 9. Resposas do ese... As dervadas parcas são as dervadas drecoas calculadas as dreções dos veores a base caôca oroormal Ver resposa da quesão a que possu lme esse poo que é deda esse poo e que o valor do lme é gual ao valor da ução esse poo. b. c represea o coecee agular da rea que ageca a curva curva de ersecção da superíce = com o plao o poo P em relação ao eo o. Represea o coecee agular da rea que ageca a curva curva de ersecção da superíce = com o plao o poo P em relação ao eo o. d Veor que possu suas compoees sedo as dervadas parcas da ução. É um veor ormal à superíce = um poo P a que podemos escrever seu cremeo da segue orma: sempre que quado mesmo poo. b. Se é derecável o poo P eão é coíua o grad é orogoal às curvas de ível de o poo dado. E:. c O veor 9

130 5. 6. A ução ão é coíua o poo dado logo ão é derecável. 7. a Ese mapa represea as aas de varação da emperaura. Eemplo: ere as curvas obdas para = e = emos a prmera aa de emperaura que vara de. b e ocorre a dreção do veor gradee porém em sedo coráro

131 9.3 Resposas do ese a b.. U Resposas do ese Coíua 8. 3