4.1 Definição e interpretação geométrica de integral definido. Somas de Darboux.

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1 Aálse Memá I - Ao Levo 006/ Cálulo Iegrl emr 4. Defção e erpreção geomér de egrl defdo. Soms de Drou. Def.4.- Sej f() um fução oíu o ervlo [, ]. M e m o mámo e o mímo vlor d fução, respevmee. Se desgrmos por K o ojuo dos poos: {(, y) R : e 0 y f ( ) }, e α( K ) áre do m α ( k) M. ojuo K, emos que ( ) ( ) α o º por defeo e o º por eesso, ms ão se poderá dzer que esses erros são gerlmee pequeos. m(-) e M(-) são vlores promdos de ( K ) Proedmos d segue form : osder-se os segues + poos, = 0,,,...,, = = 0 < < <... < < = = 0 = 0,..., =, 7ª ul eór Pág. 36

2 Aálse Memá I - Ao Levo 006/007 Como fução f() resrgd d ervlo [, ] (I=, ), é oíu, em mámo M e mímo Desgmos por s = m + m +... m e s = M + M M s - desg-se som feror e s som superor. m. Como m, urlmee s s M Cosderemos < < m f ( ξ ) M m f ( ξ ) M ξ, ξ é rráro m = = f ( ξ ) M = s s s som egrl pr fução f() Qudo má. 0 ( + ) se s soms egrs verem o mesmo lme I, dz-se que f() é egrável o ervlo [, ] e o lme I hm-se egrl defdo d fução f() o ervlo[, ]. lm f(ξ ) = f ( ) m 0 = 7ª ul eór Pág. 37

3 Aálse Memá I - Ao Levo 006/007 - Lme feror do egrl - Lme superor do egrl X - vrável de egrção Teorem 4. Se f(): [ ] R egrável o ervlo [,] Teorem4.3 Se f:[ ] R eão: f ( ) 0, é ou eão f() é., é egrável e f() 0, [, ] 4. Propreddes do Iegrl Defdo Teorem 4.4 Sej f:[, ] R um fução egrável e K um ose eão: kf ( ) = k f ( ) Teorem 4.5 Sejm f e g: I R(I=[, ] ) egráves, eão: f ( ) + g( ) = f ( ) + g( ) Teorem 4.6 Sejm f e g: I R egráves, e f() g() I, eão: f ( ) g( ) Prop. 4.7 Sej f: I Rum fução egrável, e m, M o vlor mímo e o vlor mámo d fução em I, eão: m( ) f ( ) M( ) Teorem 4.8 f ( ) f ( ) f ( ) = + Sej f: I Rum fução egrável, e I, eão 7ª ul eór Pág. 38

4 Aálse Memá I - Ao Levo 006/007 Teorem 4.9- Regr de Newo-Lez ou de Brrow Sej f:[, ] R um fução oíu, eão: f ( ) = F( ) F( ) ode F() e F() desgm os vlores de um prmv de f(), luldos os poos e, respevmee. f ( ) = F( ) = F( ) F( ) + 3 d Noção: [ ] Clule: 4.3. Méodos de Cálulo Mudç de vrável. Teorem 4. 0 Sej f:[, ] R um fução oíu e =ϕ( ), l que ϕ( ) e ϕ ( ) α, β om ϕ α são oíus o ervlo [ ] ( ) = e ( ) =. Se f[ ϕ( )] esá defd e é oíu o ervlo [ α, β] ϕ β eão: β f ( ) = f [ ϕ( ) ] ϕ ( ) d α Iegrção por pres. u v = [ uv] uv fg = Fg Fg ou [ ] 7ª ul eór Pág. 39

5 Aálse Memá I - Ao Levo 006/ Alrgmeo do oeo de egrl 5.. Iegrs om lmes fos Def. 5. Sej um fução oíu defd um ervlo + + eão: f ( ) = lm f ( ) + f [, [, Se o lme lm ( ) ese e é fo dz-se que o + egrl + f ( ) ese ou overge. Se o lme ão ese ou é fo dz-se que o egrl ão ese ou dverge. Alogmee: f ( ) = lm f ( ) f ( ) = f ( ) + f ( ) + + = lm f ( ) + lm ( ) e s f s + Eerío: Iegrl de um fução desoíu Sej f() um fução defd um ervlo [ [ desoíu em, eão f ( ) = lm f ( )., e f() O egrl dz-se overgee se o lme esr e for fo e dvergee o so oráro. 7ª ul eór Pág. 40

6 Aálse Memá I - Ao Levo 006/007 Sej f() um fução desou em [ ] f ( ) = f ( ) + f ( ) = lm f ( ) + lm f ( ) +,, eão: Noe: os egrs em 5. e 5. dzem-se egrs mprópros. Eemplos: ) ) 0 6. Cojuos emr 6.. Ssem de oordeds regulres e polres. Ssem de oordeds regulres Hulmee, osder-se dus res perpedulres e mesm udde de omprmeo em ms, pr represer o ojuo R, e rês res, perpedulres dus dus pr 3 represer o ojuo R. R Y 0 y P(,y) X R 3 Z z P(,y,z) y Y X 7ª ul eór Pág. 4

7 Aálse Memá I - Ao Levo 006/007 Ssem de oordeds polres Um ssem ulzdo por vezes, pr represer o ojuo R, é o desgdo por ssem de oordeds polres, e osse em defr d poo P R por dos vlores; ρ dsâ à orgem e θ o âgulo formdo pels sem-res OX, OP. Assm P f defdo pelo pr ( ρ,θ ), em que ρ o e θ [ o, π[ R Ese urlmee um orrespodê ere os dos ssems de oordeds: = ρ os( θ) ρ = + y y = ρse( θ) e θ = rg y 7. Aplções geomérs 7. Cálulo de áres em oordeds regulres º so y 0 Se f() o, [, ] e f() egrável em [ ],, eão: f ( ) ode om áre do ojuo {(, ) : 0 ( )} K = y R y f ρ K θ P f() Eemplo: Clule áre y = 3, =, = e o eo OX 7ª ul eór Pág. 4

8 Aálse Memá I - Ao Levo 006/007 º so Se f() mud de sl um úmero fo de vezes, áre, delmd pelo gráfo de f() e pelo eo OX deerm-se por f( ) = [ F( ) ] = F ( ) F( ) ou, deermdo s rízes A= A + A + A A + A + 0 Eemplo: Deerme áre delmd por: y=se(), eo OX, =0 e =π 3º so, áre delmd pels urvs f() e g() e pels res = e = é dd Sej f(), g() defds em [, ] e f() g(), [ ] por: ( ) f( ) g( ) = f( ) g( ) A f() g() Eemplo: Deerme áre lmd por: y = e y = 7. Cálulo de áres em oordeds polres θ A = ρ dθ θ Eerío: lule áre de um ruferê de ro r. 7ª ul eór Pág. 43

9 Aálse Memá I - Ao Levo 006/ Cálulo do omprmeo de um ro em oordeds regulres. Sej f() um fução defd em [, ], o omprmeo do ro S f f(), f() sore o gráfo de f() é ddo por: = + ( ( )) f() 7.4 Cálulo do Volume de um sóldo de revolução Sej f() defd o ervlo [, ], o volume gerdo pel roção d áre lmd pel urv y=f() em oro do eo OX é ddo por: = π ( ) = π f ( ) V f Eemplo: Deerme o volume de revolução gerdo pel roção, y R : 0 y e 0, em oro do de π d regão A= ( ) eo do X. { } 7ª ul eór Pág. 44