Exercícios de Análise de Sinal

Transcrição

1 Exercícios de Aálise de Sial Faculdade de Egeharia da Uiversidade do Poro Seembro 006 recolha de problemas de diversos auores edição feia por: H. Mirada, J. Barbosa (000) M. I. Carvalho, A. Maos (003,006)

2 Coeúdo Complexos 3 Siais 5 3 Sisemas Lieares e Ivariaes o Tempo 0 4 Covolução de Siais 5 Série de Fourier para Siais Coíuos 5 6 Trasformada de Fourier para Siais Coíuos 7 7 Série de Fourier para Siais Discreos 0 8 Trasformada de Fourier para Siais Discreos 9 Decomposição em Fracções Simples 3 0 Sisemas Coíuos LTI 4 Sisemas Discreos LTI 6 Trasformada de Laplace 8 3 Trasformada Z 9

3 Folha Complexos Um úmero complexo z pode ser expresso de várias formas. As mais habiuais são as seguies: forma caresiaa ou recagular: z = x + jy forma polar: z = re jθ em que: x e y são, respecivamee, a pare real e imagiária de z: x = Re{z} e y = Im{z} r e θ são, respecivamee, o módulo e fase de z: r = z e θ = z j = A relação ere esas duas represeações é expressa pela equação de Euler: e jθ = cos θ + j siθ Para o úmero complexo z = x + jy = re jθ, exprima: (a) r e θ em fução de x e y (b) x e y em fução de r e θ Usado a equação de Euler, prove as seguies relações: (a) cos θ = (ejθ + e jθ ) (b) siθ = j (ejθ e jθ ) (c) cos θ = ( + cos θ) 3 Seja z 0 um úmero complexo de coordeadas polares (r 0,θ 0 ) e coordeadas caresiaas (x 0,y 0 ). Deermie as expressões das coordeadas caresiaas dos úmeros complexos represeados a seguir. Represee aida z 0, z, z e z 3 o plao complexo quado r 0 = e θ 0 = π 4. (a) z = r 0 e jθ 0 (b) z = r 0 (c) z 3 = r 0 e j(θ 0+π) 3

4 4 Sedo o úmero complexo z = x + jy = re jθ, o úmero complexo cojugado, represeado por z, é defiido por: z = x jy = re jθ. Mosre que as seguies relações são válidas: (a) zz = r z (b) z = e jθ (c) z + z = Re{z} (d) z z = j Im{z} 5 Exprima cada um dos seguies úmeros complexos em coordeadas recagulares e represee-os o plao complexo: (a) 3+4j j (b) j (+j) (3 j) (c) je +j π (d) ( j) 9 6 Represee graficamee o módulo e a fase de cada uma das seguies fuções complexas de variável real: (a) f(x) = cos(x) (b) g(x) = cos(x)e jx (c) h() = si() e j (d) S(ω) = ( + cos(ω)) e j3ω 7 Prove a validade das seguies expressões: (a) (b) (c) (d) { N N, α = α = α N =0 α, α α = α, α < =0 α = =0 α = =k α ( α), α < αk α, α < 8 Deermie o valor de: (a) (b) (c) (d) ( j =0 ) ) ( + j =6 ( + j =0 0 =6 ( j) ) 4

5 Folha Siais Decomposição em pare par e pare ímpar: sial par: x p () = x p ( ) sial ímpar x i () = x i ( ) x p () = x i () = x() + x( ) x() x( ) Decomposição em compoee coíua e alerada: compoee coíua: x DC = x() compoee alerada: x AC = x() x() A eergia de um sial é calculada por: E {x()} = Caracerísicas dos siais periódicos: valor médio: x() T = T poêcia média: x () T = T valor eficaz: x RMS = x () T T x()d T x ()d + [ [ x() d x[] N = N x [] N = N [ N =0 N =0 E {x[]} = x[] ] x [] ] + = x[] ] Cosidere o sial x() represeado a seguir: x() 3 5

6 (a) represee x( ) (b) represee x( ) O sial h() esá represeado a seguie figura: h() (a) represee h( ) (b) calcule a eergia de h() 3 Cosidere o sial z() represeado a figura seguie. z() (a) Represee o sial z ( ). (b) Calcule a eergia de z(). 4 x[] é um sial discreo ilusrado a seguir: x[] (a) represee x[ ] (b) represee x[] (c) represee x[ ] (d) calcule a eergia de x[] 6

7 5 Cosidere o sial h[] represeado a seguie figura. x[] Represee h[ + ](u[ + 3] u[ ]) em que u[] é o degrau uiário discreo. 6 Faça a decomposição em pare par e pare ímpar dos seguies siais: (a) x() (b) x[] (c) z() 3 7

8 7 Cohecedo a pare par de x[], x P [], e sabedo que x[] = 0 para < 0, deermie x[]. x p[] Cohecedo a pare par de x(), x P (), e sabedo a forma de x( + )u( ), deermie x(). x p() x( + )u( ) 9 Cohecedo a pare ímpar de x[], x i [], e sabedo a forma de x[ + ]u[ ], deermie x[]. x i [] x[ + ]u[ ] 0 Calcule, para o sial periódico v() represeado a seguir: v() A (a) o valor médio: v() (b) a poêcia: v () (c) o valor eficaz: v RMS (d) a compoee alerada: v AC () 8

9 Deermie o valor médio, a poêcia, o valor eficaz e a compoee alerada dos seguies siais periódicos: (a) v () = si() (b) v () A A T (c) v 3 () 3 4 9

10 Folha 3 Sisemas Lieares e Ivariaes o Tempo Um sisema diz-se liear e ivariae o empo (LTI) se: + =0 em que y () é a resposa do sisema a x (). + α x ( ) LTI α y ( ) =0 Cosidere um sisema liear e ivariae o empo para o qual a resposa ao sial x() é o sial y(). y() x() 3 4 Calcule as resposas do sisema aos siais x () e x (). x () x () 3 4 Classifique os sisemas seguies relaivamee às qualidades de er ou ão memória, ivariâcia o empo, liearidade, causalidade e esabilidade. (a) y() = e x() (b) y[] = x[]x[ ] (c) y() = x( ) x( ) (d) y[] = x[] 0

11 3 Para cada uma das seguies relações erada (x) saída(y), classifique o sisema correspodee quao à liearidade e ivariâcia o empo (a) y() = x( ) (b) y[] = x [ ] (c) y[] = x[ + ] x[ ] (d) y() = x i (), ode x i () é a pare ímpar de x(). 4 Cosidere um sisema liear e ivariae o empo para o qual a resposa ao sial x[] é o sial y[]. x[] y[] Deermie a resposa dese sisema às eradas x [] e x []. x [] x []

12 Folha 4 Covolução de Siais Covolução discrea: x[] h[] = Covolução coíua: x() h() = + k= + x[k]h[ k] x(τ)h( τ)dτ Calcule a covolução y[] ere os siais x[] e h[] represeados a seguir: (a) x[] h[] (b) x[] h[] (c)

13 x[] h[] Calcule (α u[]) (β u[]). 3 Cosidere os siais x[] e w[] represeados a seguir. h[] x[] Sabedo que w[] = x[] y[], deermie o sial y[]. 4 Em cada um dos casos, deermie a covolução ere os siais idicados. (a) x() h() (b) v () 3 v () 3 (c) x() h() 3

14 (d) v () v () 3 5 Calcule ( e u() ) ( e 3 u() ). 4

15 Folha 5 Série de Fourier para Siais Coíuos A série de Fourier de um sial coíuo de período T 0 é expressa por: x() = + k= a k e jkω 0, a k = T 0 T 0 x()e jkω 0 d, ω 0 = π T 0 Calcule os coeficiees da série de Fourier dos seguies siais. (a) x() (b) x() 3 4 Calcule os coeficiees da série de Fourier do sial v() = ( si π. T 0 ) 3 Os coeficiees da série de Fourier de um sial periódico x() com período 4 são Deermie x(). a k = { j k, k < 3 0, ouros casos 5

16 4 Calcule a série de Fourier de v(), represeada a seguir: v() T T T T 5 (a) Mosre que o sial v() v() T 0 T 0 T T T 0 T 0 em como série de Fourier v() = T + + T 0 k= si(kω 0 T ) kπ cos(kω 0 ), ω 0 = π T 0. (b) Aededo à série de Fourier de v(), deermie a série de Fourier de: i. v () T 0 T 0 T 0 T T T 0 ii. v () T 0 T 0 T T T T 0 T 0 T 6

17 Folha 6 Trasformada de Fourier para Siais Coíuos A rasformada de Fourier de um sial coíuo x(), represeada por X(ω) = F[x()], é expressa por: x() F X(ω) = X(ω) F x() = π + + x()e jω d Calcule a rasformada de Fourier dos seguies siais: (a) x() = δ( 4). (b) x() X(ω)e jω dω (c) f() T (d) f() = A (e) f() = e jω 0 (f) f() = u() (g) f() = u( ) u( 3) (h) f() = cos ( π T ) [u( + T) u( T)] 7

18 (i) f() é periódica (período T 0 ) f() T 0 T T T 0 (j) f() Sedo X(ω) a rasformada de Fourier de x(), exprima em fução de X(ω) as rasformadas dos seguies siais: (a) x 0 () = x() (b) x () = x(3 6) (c) x () = d d x( ) (d) x 3 () = d x() d + 3 dx() d 5x() 3 O sial f() em a rasformada de Fourier da figura: F(ω) F(ω) ω 0 ω 0 ω ω Obeha f() recorredo às propriedades da rasformada de Fourier. 4 Diga, com base a respeciva rasformada de Fourier, se os siais seguies são reais e pares: (a) X (ω) = u(ω) u(ω ) (b) X (ω) = A(ω)e jb(ω), em que A(ω) = si(ω) ω e B(ω) = ω + π 5 Sabedo que X(ω) = +ω é a rasformada de Fourier do sial x() = e, calcule a rasformada de Fourier do sial e. 8

19 6 Deermie a fase da rasformada de Fourier do sial represeado a figura. x() 3 7 Deermie a pare imagiária da rasformada de Fourier do sial da figura. (Sugesão: uilize as propriedades da rasformada de Fourier.) x()

20 Folha 7 Série de Fourier para Siais Discreos A série de Fourier de um sial discreo x[] de período N é expressa por: x[] = a k e jk(π N ), a k = N k= N x[]e jk(π N ) = N Cosidere o sial periódico represeado a figura. x[] (a) Calcule os coeficiees da série de Fourier do sial. (b) Deermie o desevolvimeo em série de Fourier de x[]. Calcule os coeficiees da série de Fourier do sial x[]: x[] = + m= (4δ[ 4m] + 8δ[ 4m]) 3 Cosidere um sial x[] real e ímpar de período N = 7. Sabedo que os coeficiees de Fourier a 5, a 6, a 7 em os seguies valores: a 5 = j; a 6 = j; a 7 = 3j Deermie os coeficiees a 0, a, a e a 3. 0

21 Folha 8 Trasformada de Fourier para Siais Discreos A rasformada de Fourier de um sial discreo x[], represeada for X(Ω) = F{x[]}, é expressa por: x[] F X(Ω) = X(Ω) F x[] = π + = π x[]e jω X(Ω)e jω dω Cosidere o sial discreo da figura. x[] 3 (a) X(Ω). (b) Represee graficamee X(Ω) e X(Ω). (c) Obeha x[] a parir de X(Ω). Calcule a rasformada de Fourier dos seguies siais: (a) x [] = δ[ ] + δ[ + ] (b) x [] = ( ) u[ ] 3 Calcule a rasformada de Fourier do sial da seguie figura: x[]

22 4 Calcule a rasformada de Fourier do sial da figura e represee-a em módulo e fase. x[] Calcule a rasformada iversa de X(Ω): X(Ω) = { j, 0 < Ω π j, π < Ω 0 6 Sabedo que x[] em como rasformada de Fourier X(Ω), calcule as rasformadas dos seguies siais em fução de X(Ω): (a) x [] = x[ ] + x[ ] (b) x [] = ( ) x[] 7 Cosidere um sisema discreo descrio pela seguie equação às difereças: y[] = x[] x[ 8] Represee graficamee a sua resposa em frequêcia.

23 Folha 9 Decomposição em Fracções Simples Dada uma fução G(x), fracção própria de dois poliómios, e supodo que o deomiador em raízes ρ, ρ,..., ρ r, disias, e de muliplicidade σ, σ,..., σ r, respecivamee, ou seja, G(x) = P(x) (x ρ ) σ (x ρ ) σ (x ρr ) σr, é possível escrevê-la como uma soma de fracções, a forma G(x) = r σ i i= k= A i,k (x ρ i ) k, iso é, G(x) = A, x ρ + A, (x ρ ) + + A,σ (x ρ ) σ + + A, x ρ + A, (x ρ ) + + A,σ (x ρ ) σ A r, x ρ r + A r, (x ρ r ) + + A r,σ r (x ρ r ) σr, sedo os coeficiees A i,k deermiados pela expressão A i,k = (σ i k)! [ d σ i ] k dx σ i k [(x ρ i) σ i G(x)]. x=ρ i Decompoha as seguies fuções em fracções simples. (a) H(x) = x (x )(x 3) (b) F(x) = x+ x 5x+4 (c) F(x) = (x 3) (x ) (d) G(x) = (x ) 3 (x+) 3

24 Folha 0 Sisemas Coíuos LTI A erada x() e a saída y() de um sisema coíuo LTI x() y() esão relacioadas por y() = h() x(), ode h() é a resposa impulsioal do sisema. Pode aida escrever-se Y (ω) = H(ω)X(ω), ode X(ω) = F{x()}, Y (ω) = F{y()}, e H(ω) = F{h()} é a resposa em frequêcia do sisema. Um dado sisema é caracerizado pela equação diferecial d y() d + 4 dy() d + 3y() = dx() d ode x() é a erada do sisema e y() a saída. Deermie (a) a resposa em frequêcia do sisema; (b) a resposa impulsioal do sisema; (c) a saída do sisema quado x() = e u(). + x() Dois sisemas coíuos LTI, com resposas impulsioais h () = e u() e h () = e 3 u(), são ligados em série para cosiuírem um sisema composo, de resposa impulsioal h(). (a) Deermie a resposa impulsioal h(). (b) O sisema composo pode ser descrio por uma equação diferecial liear de coeficiees cosaes. Deermie-a. (c) Deermie o sial de saída do sisema composo quado o sial de erada é x() = e u(). 4

25 3 Cosidere um sisema coíuo LTI com resposa em frequêcia H(ω) = (jω) + (jω) + + ( + jω). (a) Deermie a resposa impulsioal do sisema. (b) Deermie um equação diferecial liear de coeficiees cosaes que relacioa a erada x() e a saída y() dese sisema. 5

26 Folha Sisemas Discreos LTI A erada x[] e a saída y[] de um sisema coíuo LTI x[] y[] esão relacioadas por y[] = h[] x[], ode h[] é a resposa impulsioal do sisema. Pode aida escrever-se Y (Ω) = H(Ω)X(Ω), ode X(Ω) = F{x[]}, Y (Ω) = F{y[])}, e H(Ω) = F{h[]} é a resposa em frequêcia do sisema. Um sisema discreo LTI é caracerizado pela equação 8y[] 6y[ ] + y[ ] = 3x[] x[ ] ode x[] é a erada do sisema e y[] a saída. Deermie (a) a resposa em frequêcia do sisema; (b) a resposa impulsioal do sisema; (c) a saída do sisema quado a erada é x[] = ( 3) u[]. Cosidere os siais x[] s[] (a) Sabedo que s[] é a resposa idicial de um sisema discreo LTI, deermie a sua resposa impulsioal. 6

27 (b) Admiido que x[] é a erada do referido sisema, deermie a sua saída. 3 A resposa em frequêcia de um sisema discreo LTI é Deermie H(Ω) = 6 ( 5 e jω) e jω 5e jω + 6. (a) uma equação às difereças que relacioe a erada e a saída do sisema; (b) a resposa impulsioal do sisema; (c) a resposa idicial do sisema; (d) a saída y[] quado a erada é x[] = ( 4) u[]. 7

28 Folha Trasformada de Laplace A rasformada de Laplace (bilaeral) de um sial coíuo x(), represeada for X(s) = L[x()], é expressa por: x() L X(s) = + x()e s d Diga qual é a região de covergêcia da rasformada de Laplace dos seguies siais: (a) x () = e 5 u() (b) x () = e 5 u( ) (c) x 3 () = e 5 [u( + 5) u( 5)] (d) x 4 () = e 5 (e) x 5 () = e 5 (f) x 6 () = e 5 u( ) Cosidere o sial x() = e 5 u() + e β u() que em a rasformada de Laplace X(s). Quais deverão ser as resrições imposas à pare real e à pare imagiária de β para que a região de covergêcia de X(s) seja Re{s} > 3? 3 Quaos siais êm uma rasformada de Laplace que pode ser expressa por: X(s) = s (s + )(s + 3)(s + s + )? 8

29 Folha 3 Trasformada Z A rasformada Z (bilaeral) de um sial discreo x[], represeada for X(z) = Z{x[]}, é expressa por: x[] Z X(z) = + = x[]z Calcule a rasformada Z do seguie sial: x[] = Cosidere a seguie rasformada Z: ( ) u[ 3]. 5 4 X(z) = ( z + 4 z )( z z ). Represee os pólos e os zeros o plao z e diga quaas regiões de covergêcia se podem defiir. 9