4- Método de Diferenças Finitas Aplicado às Equações Diferenciais Parciais.

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1 MÉTODOS NM ÉRICOS PARA E QAÇÕES DIFEREN CIAIS PARCIAIS 4- Méodo de Difereças Fiias Aplicado às Equações Difereciais Parciais. 4.- Aproximação de Fuções Aproximação por Poliômios Ajuse de Dados: M íimos Quadrados. 4.- Derivadas e Iegrais Numéricas Aproximação de Derivadas por Dif ereças Fiias Aproximação de Iegrais por Regras de Iegração Numérica Solução de Equações Difereciais Ordiárias Problema de Val or Iicial Problema de Val or de Cooro Solução de Equações Difereciais Parciais.

2 4.3- Solução de Equações Difereciais Ordiárias. Muios problemas a ciêcia e a ecologia podem ser modelados por equações que esabelecem uma relação ere fuções descohecidas f o e as derivadas desas fu ções f o. Equações dese ipo são chamadas Equações Difereciais. o Quado a fução depede apeas de uma variável f equação diferecial é chamada de Equação Diferecial Ordiária, já que apeas podem aparecer as derivadas k ordiárias da fução d f. k a Quado a fução depede de mais de e uma vari ável a equação diferecial é chamada de Equação Diferecial Parcial, já que podem aparecer as di ferees derivadas parciais k desa fução f. x k i i L x k j j i, j, L, e k + L+ k k i j f x, x, L, x

3 4.3- Solução de Equações Difereciais Ordiárias. No ópico 4.3 esudaremos Equações Difereciais Ordi árias. No ópico 4.4 esudaremos Equações Difereciais Parciais. Se diz que uma Equação Diferecial Ordi ária é de ordem se a ordem da maior derivada que aparece a equa ção é. df d f d f F f,,, L, EDO implicia d f df d f d f F f,,,, EDO explicia L Resolver esa problema cosise em ecorar a fu ção que deve ser vezes coiuamee difereciavel um iervalo e saisf az esa equação. Em geral, soluções exaas para ese problema pode ser uma arefa difícil. Nese caso os méodos uméricos são uma boa ferramea para ear resolver problemas dese ipo. f

4 4.3- Solução de Equações Difereciais Ordiárias. Equações Difereciais Ordi árias são classificadas como Lieares e Não Lieares. Se diz que uma EDO é Liear se a fução F ou depedem liearmee de f e odas suas derivadas. Iso é, se: dα[ f f ] d α[ f f ] d α[ f f ] F α[ f + f ],,, L, df d f d f df d f d f αf f,,, L, + αf f,,,, L As EDO Lieares verificam as seguies propriedade: Supoha que as fuções f, f, L, fm são m soluções da EDO Liear, eão a fução defiida pela combia ção liear desas m soluções é ambém f x Ci fi x Ci são cosaes arbirarias i solução da EDO Liear. A prova desa propriedade é coseqüêcia imediaa da liearidade da EDO. F

5 4.3- Solução de Equações Difereciais Ordiárias. A forma geral para uma EDO Liear explicia de ordem é: g d f d f df + g g g f g + L+ + + ode as fuções g+, g, L, g x fução f em de suas derivadas. ão depedem em da Quado a fução g + se diz que a EDO Liear é homogêea. Caso corário se diz que a EDO Liear é ão homogêea g +. g d f d f df + g + L+ g + x g x f x Ere as poss íveis soluções f, f, L, fm da EDO Liear esamos ieressados em desacar aquelas soluções que são liearmee idepedees. Iso porque elas formam uma base que permie represear a solu ção geral da EDO Liear: m f x Ci fi x, ode Ci são cosaes arbirarias e fi x são fuções LI. i EDO Liear Homogêea

6 4.3- Solução de Equações Difereciais Ordiárias. m cojuo de m soluções da EDO Liear de ordem é dio ser Liearmee Idepedee m< se o Wroskiao desas soluções é diferee de zero. Iso é se W m df d f f L m f, f, L, fm m df d f f L m L L L L m dfm d fm fm L m Se as fuções f, f, L, f são Soluções Liearmee Idepedees da EDO Liear Homogêea de ordem, eão a fução f C f, ode C são cosaes arbirarias, SG i i i i é ambém solução da EDO e é chamada de Solução Geral desa EDO Liear Homogêea.

7 4.3- Solução de Equações Difereciais Ordiárias. m caso paricular de EDO Liear Homogêea de ordem é quado as fuções g x,, g x L são cosaes. Nese caso emos: g d f d f df + L+ g + g f + g λx Se procuramos solu ções para esa equa ção a forma f e, eão obemos a chamada Equação Caracerísica da EDO Liear Homogêea : g λ + g λ + L+ gλ + g Noe que resolver esa equa ção correspode a ecorar os zeros de um poliômio de grau em λ. Esa equa ção caracerísica em raízes. Se esas raízes são odas diferees λi i, L,, eão as λi x soluções fi e são Liearmee Idepedees e λi x fsg Cie, ode Ci são cosaes arbirarias. i

8 4.3- Solução de Equações Difereciais Ordiárias. Se as raízes da Equação Caracerísica da EDO Liear Homogêea em muliplicidade, por exemplo, a raiz λ k em muliplicidade k, podemos ober as k soluções LI que correspodem à esa raiz a forma: λk x λk, x λk k, x k λ f x e f x xe f x x e, L, f x e x. k k + k + k + k No caso que a EDO Liear é Não Homogêea e for cohecida uma solu ção paricular desa EDO Liear Não Homogêea f x g a Solução Geral desa equação será a soma da Solução da Equação Homogêea mais a Solução Paricular: fsg fsp + Ci fi, ode Ci são cosaes arbirarias. i 443 Solução da EDO Homogêea g + SP d fsp d fsp dfsp + g g g f g + L+ + SP +

9 4.3- Solução de Equações Difereciais Ordiárias. Se desacam dois ipos de problemas para as EDO: df d f d f F f,,, L, EDO implicia d f df d f d f F f,,,, EDO explicia L A solução geral desa equação possui cosaes arbir árias, que podem ser deermiadas se são imposas resrições: - Problema de Valor Ii cial: Quado as resri ções são imposas um poo iicial x x Codições Iiciais. Ou seja, quado são cohecidas o poo iicial df x d f x f x,, L, - Problema de Valor de Cooro : Quado as resri ções são imposas os exremos do iervalo x [ a, b] Codições de Cooro.

10 Cosidere que a vari ável idepedee é o empo. Eão osso Problema de Valor Iicial cosise em ecorar u que saisf az: Problemas que evolvem derivadas de ordem maior podem ser rasformados um sisema de equa ções de primeira ordem. Se a EDO é liear. Esudaremos algus m éodos uméricos que aproximam a solução dese PVI. Noe que a solu ção aproximada cosise em aproximar a derivada e parido do dado iicial ava çar o empo de forma a ecorar aproximadamee u. Discreizamos o empo da seguie forma: com ode Problema de Valor Iicial PVI. du f u, > EDO d u u Codição Iicial f u, g u + g é o passo de empo.

11 Méodo de Euler: Quado aproximamos a deri vada a forma obemos o problema aproximado discreizado Desa forma es á expliciado em fu ção de e parido da codição iicial podemos ober uma aproxima ção da solução para os isaes de empo seguies Quado aproximamos a derivada a f orma reardada obemos ouro problema aproximado discreizado Problema de Valor Iicial PVI.,,, u u u L u + { formula backward-differece Esquerdo Reardado Lado u u u D d du Implício Backward-Euler, ou, f f + Explício Forward-Euler, ou, f f { formula forward-differece Direio Adiaado Lado u u u D d du

12 Problema de Valor Iicial PVI. f, ou + f, ou Desa forma es á implício em fução de e parido da codição iicial u podemos ober uma aproxima ção da solução para os isaes de empo seguies u, u,, u L + + f f Backward-Euler Implício De qualquer f orma o Méodo Implício de Euler deve ser resolvido com respeio a e es á equação pode ser ão liear se f, for ão liear. Nese caso devemos usar algum méodo ieraivo para resolver a equa ção ão liear. Ambos méodos são chamados méodo de um passo oe-sep + que sigifica que para deermiar precisa do cohecime o de apeas um valor pr évio. Ambos m éodos êm precisão de primeira ordem!,, Forward-Euler Explício

13 4.3.- Problema de Valor Iicial PVI. Erro do Méodo de Euler: Para esimar o erro local e escrevemos a equação de difereças a forma que assemelha a derivada e subsiuímos esa equa ção a solução exaa da EDO. Depois usamos expasão em serie de Taylor para cacelar os ermos + comus: Forward-Euler Explício f, Equação de Difereças u + u u + u du du e f u, EDO f u, d d 3 du d u d u d u u + u L+ + O 3 d d 6 d! d Similarmee, o erro para o Méodo Backward Euler é de primeira ordem d u d u d u e + + L+ + O C 3 d 6 d! d Primeira Ordem de Precisão

14 ma forma de aumear a ordem de precisão é desevolver méodos mulipasso mulisep que evolvem o cohecimeo prévio de mais de um valor. du u D u d + + f, Ouro méodo: Problema de Valor Iicial PVI. + + u Difereça Cerada Difereça Cerada E assim, usado as formulas de di fereças fiias desevolvidas a aula aerior podemos ober di ferees ipos de aproxima ções para o PVI. Eses méodos ão idicam como ober os valores prévios aes de poder aplicar o m éodo. O primeiro valor pr évio é obido da codi ção iicial u u, mas os ouros devem ser obidos aplicado algum m éodo de um passo. { Explicio de Seguda Ordem de Precisão du 3u 4u + u 3 4 D u [ 4 + f, ] Difereça Reardada 3 + { Implício de Seguda Ordem de Precisão

15 4.3.- Problema de Valor Iicial PVI. Méodos mulipasso possuem ordem de precisão maior que os méodos de um passo. Na práica, é comum o uso de m éodos de um passo com eapas iermediarias mulisage que possuem a mesma precisão que os méodos mulipassos. Nesas eapas iermediarias são gerados valores iermedi ários da icógia e suas deri vadas. Méodo de Ruge-Kua Explicio de Duas Eapas : * + f, + f, + { Primeira Eapa gera um valor iermediario ere o passo e + * u obido pelo Forward Euler + + * Seguda Eapa avalia f o poo para esimar a derivada o iervalo defiido ere o passo e +. Combiado esas duas eapas o m éodo pode ser escrio como f f,, iermediario gerado a Primeira Eapa { Méodo de m Passo Ese méodo possui precisão de seguda ordem. { Explicio de Seguda Ordem de Precisão

16 4.3.- Problema de Valor Iicial PVI. Méodo de Ruge-Kua Explicio de Quaro Eapas : Y { Eapa Zero Y + f Y, { 3 Y + f Y, Y + f Y, + Noe que ese m éodo é Explício e de m Passo + F, f,,, Primeira Eapa { { Seguda Eapa Terceira Eapa,,, {Quara Eapa 6, f Y + f Y + + f Y + + f Y A precisão dese méodo de Ruge-Kua é de quara ordem.

17 4.3.- Problema de Valor Iicial PVI. Exemplo: se ambos méodos de Euler para resolver o PVI du λu > EDO d u Codição Iicial Coe pág. 356 Esa EDO Liear Homogêea em como solu ção exaa: que com a codi ção iicial resula em Os méodos de Euler m Passo são: f + + λ + λ O méodo mulipasso da Difereça Cerada é: λ u e, já que C. u Ce λ f, + λ + λ Forward Explício, Backward Implício +, + f + λ com u e + λ Explício de Seguda Ordem de Precisão Forward Euler

18 4.3.- Problema de Valor Iicial PVI. Exemplo: se ambos méodos de Euler para resolver o PVI du λu > EDO d u Codição Iicial Coe pág. 356 Esa EDO Liear Homogêea em como solu ção exaa: que com a codi ção iicial resula em λ u e, já que C. u Ce λ Méodo Ruge-Kua de Duas Eapas m Passo, Expl ício: + f f + +,, + { Seguda Ordem de Precisão + λ + λ + λ + λ +

19 4.3.- Problema de Valor Iicial PVI. Exemplo: Coiuação do Exemplo Méodo Ruge-Kua de Quaro Eapas m Passo, Expl ício: Y + λ + λ Possui quara ordem de precisão { Eapa Y + f Y λ λ λ λ { 3 Y + f Y + λ+ λ+ λ + λ+ λ+ λ {4 Eapa 6 Eapa f Y + f Y + f Y + f Y λ λ+ + λ+ λ+ + λ + λ + λ 6 +

20 Frase do Dia Alhough o peerae i o he iimae myseries of aure ad hece o l ear he rue causes of pheomea i s o allowed o us, everheless i ca happe ha a cerai ficive hypohesis may suffice for explaiig may pheomea. Leohard Euler A mesma das Aula 9, Read Euler, read Euler, he is he maser of us all. Read Euler: he is our maser i everyhig. Pierre Simo de Laplace