UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Curso de Especialização em Maemáica Formação de Professor a Modalidade a Disâcia CONTROLE E ESTABILIZAÇÃO EM DIMENSÃO FINITA VANESSA OECHSLER FLORIANÓPOLIS - SC março de

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3 AGRADECIMENTOS Ao meu orieador, professor Féli Pedro Q. Gómez, pela paciêcia, compreesão e pelas grades coribuições dadas ao rabalho. À coordeação da especialização e do pólo de Blumeau por aederam proamee às ossas soliciações, saado ossas dúvidas e orado essa camihada mais fácil. À uora da especialização Carla Peres Souza pela amizade e pelas dicas durae essa camihada. Aos colegas da especialização do pólo de Blumeau, Orêcio e Hiadra, pelos momeos de esudo e dedicação que passamos juos, bem como pelas palavras de iceivo os momeos difíceis. À professora Rosiée Gaerer, professora da FURB e grade amiga por sua paciêcia e coselhos durae essa jorada. À professora Adresa Pescador, professora da UDESC, pela dispoibilidade em me auiliar em algumas dúvidas que surgiram ao logo do camiho. À amiga Adriaa Kueh, pelo iceivo dado para que eu iiciasse essa especialização. Aos meus pais, Carlos e Svea, por esarem sempre ao meu lado, dado apoio e iceivado para que eu seguisse em free. Aos meus familiares, vó Siy, vó Tereza, vô Vilídio, ia Marisa, io Roaldo e primo Darla pela compreesão os momeos em que esive ausee esse período de esudos. iii

4 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... CAPÍTULO I... O PROBLEMA DE CONTROLE E ESTABILIZA-ÇÃO EM DIMENSÃO FINITA... CAPÍTULO II... PRELIMINARES E NOTAÇÕES..... Equação Diferecial..... Noções de Aálise Maricial Idepedêcia e Depedêcia Liear de Veores Teoria Especral Elemear...48 CAPÍTULO III...8 CONTROLE EXATO DE SISTEMAS DE DIMENSÃO FINITA Sisemas de Corole O ambiee da Teoria do Corole Os méodos da Teoria de Corole Corole de Tempo Míimo para um Trem sem Ario O problema de Corole de um Sisema Regido por EDOs Corole de Sisemas Lieares Teorema de Eisêcia e Uicidade Eisêcia e Uicidade de Soluções em espaços L Propriedade da Observabilidade..... Codições de Kalma Esabilização de Sisemas Lieares de Dimesão Fiia... CONSIDERAÇÕES FINAIS...9 REFERÊNCIAS... iv

5 LISTA DE FIGURAS Figura : Processo com erada previsível com ceras resrições. (Foe: GUZMAN, 98, p.9)...8 Figura : Trajeórias do rem (Foe: GUZMAN, 98, p.45)...89 Figura : Gráfico do corole o empo óimo (Foe: GUZMAN, 98, p.47)...9 Figura 4: Trajeórias da parábola (do auor)...9 Figura 5: Trajeórias da parábola o seido egaivo (do auor)...9 Figura 6: Solução para o problema do rem (Foe: GUZMAN, 98, p.48)...94 v

6 RESUMO O presee rabalho aborda a Teoria do Corole e sua Esabilização em um sisema de Dimesão Fiia. Essa Teoria é uma área da maemáica que esuda o corole de sisemas de modo que, aravés do corole de um objeo, pode-se iflueciar o seu comporameo para se aigir um deermiado objeivo. O esudo desse ramo é relaivamee recee, mas a aureza faz o uso do mecaismo de corole desde a época da criação do Uiverso. Aualmee, campos como robóica, lógica de compuador, bioegeharia fazem o uso dessa Teoria para criar e corolar seus objeos. vi

7 INTRODUÇÃO A Teoria do Corole é uma área da maemáica que esuda o corole de sisemas. Para efeuar o corole de objeos, é preciso iervir o seu comporameo de modo que se cosiga chegar ao resulado esperado. E, para que isso ocorra, os egeheiros são obrigados a cosruir disposiivos que icorporam diversas écicas maemáicas. Cia-se como eemplo desse disposiivo o moor a vapor, projeado durae a Seguda Guerra Mudial e processadores sofisicados ecorados os arigos de cosumo da aualidade, como CD players, auomóveis e aé em robôs idusriais e piloo auomáico de aeroaves. O rabalho aborda essa eoria e sua esabilização em um sisema de dimesão fiia. No primeiro capíulo, faz-se uma breve rerospeciva do surgimeo da Teoria do Corole, desde a época da criação do Uiverso aé os desafios para os dias auais. No capíulo II são eplorados algus coeúdos maemáicos que são uilizados para a resolução dos problemas da Teoria do Corole, como Equações Difereciais Ordiárias e, dere elas, a equação diferecial liear de ª ordem ão-homogêea e a equação diferecial liear de ª ordem ão-homogêea com coeficiees cosaes; a Álgebra Liear e, em seus assuos, a álgebra de marizes, o escaloameo de marizes, o poso de uma mariz a idepedêcia e depedêcia liear de veores, o deermiae e a Teoria Especral. Embasado as defiições e resoluções do capíulo aerior, o erceiro capíulo apresea um problema ípico da eoria do corole: um rem de massa m que se ecora em um poo A de uma via reilíea e vai de A para B, com velocidade v. Deseja-se que o rem eseja em repouso o poo de chegada B o meor empo possível. Dessa forma, em-se a seguie pergua: qual a esraégia a seguir, ou seja, qual deve ser a força u, de aceleração ou de freagem que se deve aplicar em cada poo da rajeória? Para respoder à essa quesão, o erceiro capíulo são apreseados os cálculos maemáicos uilizados para a resolução dese problema.

8 CAPÍTULO I O PROBLEMA DE CONTROLE E ESTABILIZA- ÇÃO EM DIMENSÃO FINITA A Teoria do Corole é uma área da maemáica que esuda o corole de sisemas. Para efeuar o corole de um objeo, é ecessário iflueciar o seu comporameo de forma a aigir uma mea desejada. E, para que isso ocorra, os egeheiros são obrigados a cosruir disposiivos que icorporam diversas écicas maemáicas. Pode-se ciar, como eemplo de disposiivo, o moor a vapor, projeado durae a Seguda Guerra Mudial e processadores sofisicados ecorados os arigos de cosumo da aualidade, como CD players, auomóveis e aé em robôs idusriais e piloo auomáico de aeroaves. Uma breve hisória de corole De acordo com Soag [6] (998) mecaismos de corole são amplamee disribuídos a aureza, sedo uilizados por orgaismos vivos para maer a emperaura do corpo, os íveis de açúcar o sague. Ou seja, a aureza, o corole é uilizado para maer as variáveis esseciais para o fucioameo de um ser vivo em equilíbrio. Além de mecaismos da aureza, ecoram-se mecaismos de corole elaborados pelo homem. Por eemplo, os romaos uilizavam o cohecimeo de corole para maer o ível de água cosae os aqueduos, aravés de uso de várias combiações de válvulas. Dessa forma, a hisória dos mecaismos de corole, ao aurais quao os elaborados pelo homem, pode ser dividida em diferees épocas da hisória da humaidade. CRIAÇÃO DO UNIVERSO Acredia-se que o uiverso físico eha se origiado a parir da eplosão do Big Bag. Do poo de visa da Teoria do Corole, a primeira quesão a ser levaada sobre a Teoria do Big Bag é:

9 Foi a criação de um comado de circuio abero iiciado a resposa em um empo específico, em? MARKUS [4] (99) (radução ossa) ou Ese foi um comado de circuio fechado para desecadear uma ação em um deermiado esado do uiverso, como um quaum-mecâico em um vácuo egaivo? MARKUS [4] (99) (radução ossa) Essas resposas são muio difíceis de ser respodidas, pois a criação do uiverso é um eperimeo muio difícil de repeir e o espaço é basae compleo para se aalisar. ERA DO CONTROLE PRÉ-HUMANO Nos primeiros segudos após o Big Bag, a epasão da esfera de eergia se orou meos desa e quee aé a radiação começar a codesar em próos, eléros e parículas de maéria elemear, como áomos de hidrogêio simples. Esses áomos graviaram em eormes bolas de gás com pressões e emperauras cerais ão elevadas que os áomos de hidrogêio se fudiram e produziram o gás hélio em um icêdio uclear. Surge, esse momeo, a esrela e moa-se o palco para o segudo grade eperimeo do corole. Uma esrela é um sisema diâmico isável, desde que a aração graviacioal dero das camadas de superfície da esrela se iesifica à medida que dimiui o raio. E, porao, a gravidade aua como realimeação posiiva. Mas o raio da esrela pode ser esabilizado aravés da pressão da radiação eera gerada pela fusão uclear o cero. Quesioa-se: o que acoece com a esrela, quado odo o hidrogêio dispoível o cero foi coverido em hélio? Por que eão o equilíbrio falha e os colapsos o raio iesificam a pressão ceral aé que o hélio começa a se fudir? Iso esabelece um ovo equilíbrio ere a gravidade e a radiação. Mas o que acoece quado o hélio se esgoa? Por que eão os equilíbrios começam a falhar aé que a esrela colapsa para o poo ode superfusões de elemeos maiores ocorrem causado uma eplosão, que fragmea a esrela e a leva a ejear os resos de carboo, oigêio, irogêio, fósforo e ferro - os elemeos da vida. Dessa forma, uma esrela é uma falha o corole do sisema. Was he creaio a ope-loop commad iiiaig he respose a a specified ime-say, a? Was his a closed-loop commad se o rigger acio a a specified sae of he uiverse-say, a a quaummechaical egaive-vacuum?

10 Durae a criação do uiverso, ouro feômeo de corole aural pôde ser observado: cosidere o problema de corole de esabilizar a relação ere a desidade relaiva de CO e O amosfera. Se a desidade de CO aumear, eão a folhagem das floresas ropicais e o plâco dos oceaos da Aárida crescem, resulado o efeio esufa. Esas plaas crescem, eão, com a eergia decorree de foossíese, cosumido o CO e liberado O. Por ouro lado, se a desidade de O aumear, eão os icêdios floresais aumeam e mais CO é produzido. Por mecaismos de realimeação regulador como ese, o equilíbrio amosférico foi maido quase esável por quase um bilhão de aos. Equívocos populares desas ierações bioquímicas levaram à creça de que a Naureza em cosciêcia ou voade ieligee, mais do que o recohecimeo do feômeo da eoria do sisema de realimeação. ERA DO CONTROLE ARTESÃO E TÉCNICO Desde os empos mais aigos, aresãos e écicos êm habilmee empregado méodos de corole o refio de miério, produzido vidro, e ambém a regulação dos processos de irrigação em larga escala, aravés da uilização de rodas d'água, bombas de parafuso, e barrages. Não esá ieiramee claro que esses méodos se ecaiam o quadro de corole auomáico, mas há muios eemplos idividuais de aueicidade. Regisros ao logo dos séculos descrevem a perfeição do cálculo de fluuação, para regular o ível de água em um aque, pelos gregos; o desevolvimeo dos relógios de água o Egio e a Chia; e da irodução de reguladores de emperaura do foro por C. Drebbel, em 6 d.c. No iício da revolução idusrial, com os grades avaços de isrumeação, Chrisia Huyges aperfeiçoou o relógio de pêdulo, rabalhado com o problema do corole da velocidade. O desevolvimeo de relógios precisos a parir de Huyges e seu coemporâeo Hooke serviu para aeder às ecessidades da avegação, que precisavam de relógios precisos para deermiar o empo solar. Em 76, Joh Harisso alcaçou a perfeição do croômero, com um compleo desig de compesador de emperaura e movimeo. Mas, ceramee, a aplicação de Wa do regulador cerífugo para moores a vapor pode ser cosiderado como o iício da modera egeharia de corole. 4

11 INÍCIO DA ERA DE CONTROLE CIENTÍFICO (85 9) Em 868, J. C. Mawell publicou uma aálise maemáica do regulador mecâico de Wa. Em seu famoso escrio Dos Goveradores Mawell aplicou os pricípios mecâicos de Newo para eplicar a ação de um goverador por equações lieares difereciais com coeficiees cosaes. Ele recoheceu que uma codição ecessária e suficiee para a esabilidade era que o poliômio caracerísico ivesse raízes somee o quaro esquerdo do plao compleo. Depois de resolver a quesão da esabilidade para equações do erceiro grau, ele eão declarou: Eu ão eho sido compleamee capaz de deermiar essas codições para equações de grau maior que rês, mas eu espero que o coeúdo obeha a aeção dos maemáicos. Para poliômios reais, o problema da esabilidade foi aacado por C. Hermie e oalmee resolvido o famoso escrio de A. Hurwiz, em 894. As aplicações para a egeharia foram efaizadas por J. Vishegradskii, em 876. E, aproimadamee um século depois, aida para equações difereciais parciais e equações difereciais fucioais usa-se o espaço Hardy, a eoria Paley-Wieer e marizes sobre aéis Noeheriaos. As pesquisas em diâmica, especialmee a eoria da esabilidade, icluido o rabalho de Rouh (877), são bem relaados os dois volumes da Teoria do Som de Baro Rayleig (894). O ouro grade raado desa era os sisemas de esabilidade diâmica era o volume Problema geral da esabilidade do movimeo de A. Lyapuov. Nese rabalho, o auor iroduziu dois méodos para aalisar a esabilidade de um sisema diferecial de veores ãolieares. O primeiro méodo cosisia a liearização e se relacioa com um comporameo pero do equilíbrio. O segudo méodo depede da fução de dissipação de eergia e gera um resulado global. Eses dois méodos de aálise de esabilidade geraram diversas ivesigações o século seguie. ERA DO CONTROLE CLÁSSICO DA ENGENHARIA (9 94) O Goverors 5

12 O problema ceral da egeharia de corole a primeira meade do século XX foi a reprodução fiel e amplificação de um sial em um cabo de elefoe. Esa ampliação seguiu a iveção de Fores do ubo ríodo e foi essecial para a comuicação de loga disâcia, e os problemas levaados e resolvidos levaram aos méodos clássicos de egeharia de corole. Nas primeiras décadas do século XX, O. Heaviside e C. Seimez foram pioeiros o camiho da algebrização de sisemas difereciais lieares por meio do cálculo do operador e aálise complea. Embora esses méodos eham sido cohecidos o coeo maemáico desde os empos de Lagrage e Laplace, eles foram agora avaliados o formao que podem ser uillizados pelos egeheiros eléricos. Mas os descobrimeos mais imporaes foram a década de, em que as pesquisas a eoria do corole se desacaram o Laboraório de Telefoes Bell, ode foi desevolvida uma eoria dos amplificadores, com base a garaia de esabilidade e de resposa adequada para circuios eléricos. Ese rabalho, desevolvido por H. Nyquis, H.W. Bode, ere ouros, cosiui aida a base para a cocepção de frequêcia. Equao esse rabalho era desevolvido, ouro rabalho, meos cohecido era elaborado. Ese ouro rabalho iha grades cosequêcias, como eplicado por Nier, professor de Física da Uiversidade de Miesoa. Em 95, Nier publicou um pequeo eo sobre a operação do especrômero de massa, o qual ele descreve o problema: Em praicamee odos os méodos de aálise de raios posiivos de uma combiação de um campo elérico e magéico é usado para separar os íos de diferees massas... O fao de que a deformação sofrida por um ío depede ao do campo magéico quao de um campo elérico, sugere que ao ivés de ear maer o campo magéico cosae, pode provocar o campo elérico a oscilar auomaicamee juo com o campo magéico de al maeira que a defleão de um ío seria idepedee das fluuações do campo magéico. 4 MARKUS [4] (99) (radução ossa) Esa imporae descobera de Nier fez a massa de especrômero um isrumeo para oriear a separação de Urâio 5 em 8. Era a chave para o odo o fuuro desevolvimeo a eergia aômica e pesquisas em física uclear. 4 I pracically all mehods of posiive ray aalysis a combiaio of a elecric ad a mageic field is used o separae he ios of differe masses... The fac ha he deflecio suffered by a io depeds upo boh he mageic field a he elecric field suggess ha isead of aempig o keep he mageic field cosa oe could cause he elecric field o flucuae auomaically alog wih he mageic field i such a maer ha he deflecio of a io would be idepede of he mageic field flucuaios 6

13 Em resumo, a era do corole clássico era preocupada com a esabilização dos circuios de compesação de realimeação, que foram descrias maemaicamee em ermos de equações difereciais ordiárias lieares com coeficiees cosaes. Algumas eaivas foram feias para eseder eses méodos para equações com coeficiees variáveis o empo, como acoece com a descrição da fução de Kocheburger, e para permiir algum araso esocásico ruído e do sial. INOVAÇÕES DO CONTROLE NA ERA DA SEGUNDA GUERRA MUNDIAL Durae a Seguda Guerra Mudial, o pricipal esímulo para a egeharia de corole surgiu a parir do desevolvimeo de ovas ecologias de armameo, especialmee a aeroáuica e mariha. Esas cosruções, de caças a jao e de aviões de bombardeio com mísseis de logo alcace, aviões, bem como radar e deecção elerôica e avegação a defesa, eigiram iovações de alo ível da ciêcia e da egeharia. Nos Esados Uidos, muias desas pesquisas eram coduzidas o MIT, paricularmee o Laboraório de Radiação, que iha sua pricipal preocupação a perfeição do radar. O problema do corole era usar os dados do radar como realimeação para oriear o acompahameo de arma de aeroaves iimigas. Dessa forma, houve um grade esforço o desevolvimeo da eoria do corole. Novas e sofisicadas eorias maemáicas evolvedo processos esocásicos e méodos esaísicos de aálise de fuções gaharam desaque, lideradas pelas pesquisas de Norber Wieer. Na Uião Soviéica, a eoria das vibrações e oscilações ão-lieares avaçaram com Krylow e Bogoliubov, e seus seguidores, equao grupos fores de egeheiros eóricos eram liderados por A.M. Leov, A. I. Luré e muios ouros. A eoria da previsão de Kolmogorov foi desevolvida idepedeemee da de Wieer. ERA DO CONTROLE MATEMÁTICO (95 97) Esa pare da breve hisória do corole é relaada por Lawrece Markus. Lawrece Markus asceu em 9, a cidade de Norh Hibbig, o esado de Miesoa, Esados 7

14 Uidos. Aos depois, a cidade foi ragada por uma mia de ferro a céu abero, o que levou a família de Markus a se mudar para Mieapolis e, mais arde, para Chicago. Lawrece, cohecido como Larry, igressou a faculdade de Chicago aos 6 aos, edo esudado maemáica, física e asroomia. Com o igresso da América a Seguda Guerra Mudial, Larry foi impelido a esudar Meeorologia, edo se orado mesre a área. E, aos dezeove aos de idade, Markus orou-se Isruor de Meeorologia da Uiversidade de Chicago. Após um curo período de empo com o Projeo Aômico Mahaa, Larry ofereceu-se como voluário para a mariha dos Esados Uidos e serviu vários aos a bordo de uma fragaa do empo o Alâico Nore. Após a guerra, Larry foi para Harvard, ode compleou o seu PHD em Maemáica ido, em seguida, para Paris, ode coseguiu uma bolsa. Markus reorou, depois, à faculdade de Harvard como isruor e, mais arde, orou-se isruor de Yale, coferecisa em Priceo. Em 957, Larry juou-se à Escola de Maemáicos a Uiversidade de Miesoa ode, rapidamee orou-se professor (em 96) e, mais arde, em 98, professor regee. Lawrece era um maemáico icomum, edo um foco a aplicação maemáica a diâmica e a eoria do corole, ouro os aspecos eóricos da geomeria e opologia e foco ambém a álgebra absraa. Seus cursos de graduação em esruuras algébricas e geoméricas do corole diâmico eram um escâdalo ou uma foe de ispiração, depededo dos aluos. Com um esilo de aula diverido, ele recebeu o Prêmio de Ilusre Professor da Uiversidade, em 968. Larry é um grade pesquisador, com publicações cieíficas, icluido o famoso raado Fudameos da Teoria do Corole Óimo, escrio durae um oreio a Suíça, além de ouras 5 moografias e coleções edioriais. A parir de agora, é relaada a hisória da era do corole maemáico de acordo com Markus: Após a guerra, Solomo Lefschez, um famoso opologisa mudial e e-presidee do AMS, alegou que a América deveria er uma políica acioal de iceivo aos campos da maemáica. Com o ecorajameo do Escriório de Pesquisa Naval, Lefschez esabeleceu um cero de pesquisa em equações difereciais ordiárias ão-lieares e diâmicas a Uiversidade de Priceo, em paralelo com o Isiuo Coura em NYU, especializado em equações difereciais parciais. Lefschez foi o pricipal ieressado a eoria da esabilidade e das oscilações ão-lieares. Depois que Lefschez se aposeou em Priceo, ele rasferiu 8

15 sua pesquisa para o RIAS (Isiuo de Pesquisa da Corporação Mari) e mais arde, para a Uiversidade Brow, ode se orou o Cero Lefschez para Sisemas Diâmicos, mais arde a direção de Joseph La Salle, com a cooperação de Wedell Flemig E., Harols Kusher e ouros. Larry Markus orou-se membro do grupo em Priceo e ajudou Lefschez a orgaização de um de seus semiários. Muios ouros maemáicos pariciparam de seus programas, como R. Bellma, L. Cesari, J. La Salle, A. Aosiewicz, R. Bass, S. Dilibero, R. Kalma, J. Moser e S. Smale. Lefschez asceu em Moscou em 884, mas começou sua carreira profissioal como um egeheiro graduado a Ecole Cerale de Paris. Mais arde, ele foi aos Esados Uidos como um egeheiro idusrial. Mas em um rágico acidee egeheiro, ele perdeu seus dois braços, e poseriormee, usou membros arificiais com grade habilidade em sua vida diária e aé mesmo em seus escrios e palesras. Suas descoberas em opologia e geomeria algébrica eram o poo alo da maemáica do século XX. Muios dos maemáicos e egeheiros eóricos de Piceo-RIAS-Brow esabeleceram seus próprios ceros de pesquisa. Na Uiversidade de Miesoa, Larry Markus e Bruce Lee orgaizaram o Cero de Corole de Ciêcia e Sisemas Diâmicos, cuja cooperação culmiou o raado Fudações da Teoria do Corole Óimo, que foi amplamee uilizado e depois raduzido para o Russo e o Japoês. Em 968, Larry fez uma associação com a Uiversidade de Warwik, a Iglaerra, ode esabeleceu e dirigiu o Cero de Teoria do Corole. A lisa de professores e visiaes deses dois ceros icorporaram a maioria dos cieisas de corole e líderes mudiais as respecivas áreas de maemáica e egeharia. As aividades de pesquisa efaizavam as equações difereciais ordiárias ão-lieares (especialmee os aspecos de geomeria e álgebra da eoria do corole). Bruce Lee orou-se uma auoridade mudial com corole de sisemas. Equao isso, a Uião Soviéica, o Isiuo Seklov, em Moscou, L. S. Poryagi esabeleceu uma coração semelhae de joves maemáicos com grade ieresse pelas equações difereciais ão-lieares. Eses icluem seus colegas vecedores do prêmio Lêi, V. Bolyaski, R. Gamkrelidze, e E. Mischeko, que foram co-auores do famoso livro A Teoria Maemáica dos Processos Óimos. Como Lefschez, Poyagi era famoso mudialmee como um opólogo algébrico, e como o criador da eoria da dualidade para grupos opológicos. Ele ambém sofreu um 9

16 acidee precoce que o deiou cego. Embora ão fosse muio cohecido pela criação maemáica, Poryagi havia muio empo perseguiu uma carreira criaiva a maemáica aplicada. Por eemplo, Poryagi geeralizou o criério de esabilidade Hurwiz para cobrir as equações difereciais lieares, que iham fuções poliomiais epoeciais caracerísicas. Também foi ele quem iroduziu o coceio de esabilidade esruural de sisemas diâmicos. Ouros imporaes ceros de pesquisa a Uião Soviéica se desevolveram ao redor de Miropolsky em Kiev, Krasovskii e Mishkis em Sverdlovsk, ão bem quao ouras isiuições cieíficas poderosas em Leigrado e Moscou. A pesquisa a eoria de corole ambém foi desevolvida as Uiversidades de Oford, Cambridge, Warwick, Macheser e o Imperial College, em Lodres. Ouros isiuos ambém se dedicaram à pesquisa do corole o reso da Europa, Japão e América do Sul. Para Markus, a ciêcia do corole esá epadido em ovas áreas: i.) Sisema de parâmeros disribuídos, baseados os raados revolucioários de A. G. Bukovskiy e J.- L. Lios. i.) Sisemas difereciais ão-lieares, evolvedo ovos méodos de álgebra e grupos. ii.) Teoria dos sisemas lieares fudameados as cocepções de corolabilidade, observabilidade e ideificação. Aqui a ieração ere o domíio do empo e da frequêcia de domíio era eplorada pela álgebra absraa, com a lideraça assumida por Rudy Kalme e H. Rosebrock. UMA HISTÓRIA DE DUAS ESTARRECEDORAS SURPRESAS No Cogresso Ieracioal de Maemáicos em Edimburgo, em 958, Poryagi apreseou uma resposa aos pricipais covidados: Regulação dos Processos Óimos. Naquele empo, os russos o Ocidee foram feômeos eóicos, e a emoção da ocasião foi iflada pela fama e emiêcia maemáica de Poryagi - o opólogo que era reomado por suas pesquisas em cosmologia e pela eoria da dualidade dos grupos opológicos. O audiório esava loado e Lipma Bers assumiu seu lugar para uma radução em Iglês simulâea da palesra. O público maemáico ieracioal, liderado por uma coceração de opólogos, ficaram boquiaberos e aôios como a palesra desevolvida. Poryagi parecia esar

17 falado sobre algum ipo de egeharia, fazedo-os se seirem igoraes e cofusos. O Pricípio do Máimo de Poryagi parecia miserioso e icompreesível, eceo para aqueles poucos que eram especialisas a eoria de corole e que já esavam familiarizados com o pricípio Bag-Bag, o caso liear raado aeriormee por Bellma. Depois de algus dias de refleão e murmúrios o Cogresso, os maemáicos decidem que o Pricípio do Máimo ão se raava de egeharia, apesar de udo, mas que era um ema clássico o cálculo das variações. Assim, o coseso do Cogresso chegou à coclusão de que a eoria de corole pode ser maemaicamee respeiável, mas que era moóoo e efadoho - aida a posição defedida por muios dos maemáicos absraos de vaguarda. Em 96, Kalma e Bucy publicaram seu oável escrio o corole óimo dos sisemas lieares, com disúrbios de Gauss, e relaivo a um cuso fucioal quadráico. O resulado maemáico é que o corolador óimo poderia ser sieizado aravés da solução de uma equação diferecial da mariz de Riccai. Assim, um programa de compuador razoavelmee elemear poderia gerar o corolador desejado ideal, que ambém serviu como um esabilizador de realimeação. Não foi apeas esa aálise maemáica elegae, mas mais imporae aida, levou direamee ao hardware práicas para o corole de egeharia de disposiivos de orieação. Em paricular, o filro de Kalma-Bucy era um compoee essecial do sisema de orieação para a Apollo Moo-Rocke. A comuidade de egeharia idusrial ficou boquiabera e aôia que os ais Maemáicos de faasia podiam levar a produos úeis e imporaes para a egeharia. Esa eoria de corole maemáico foi gradualmee aceia e cosiderada poecialmee úil e práica. Por muios aos, sempre que os eóricos de corole foram desafiados a defeder o seu ofício aos direores das empresas de egeharia ou de agêcias de fomeo goverameais, a resposa seria "filro de Kalma". NOVAS TENDÊNCIAS PARA A TEORIA DE CONTROLE (97 99)

18 Durae os úlimos aos do século passado, ovas edêcias apareceram a eoria maemáica do corole de sisemas. Algus dos recees ramos a árvore de corole maemáico são: i.) Algebrização de aálise do domíio da frequêcia, levado para a esfera da eoria do ael e da geomeria algébrica. Os rabalhos de Kalma e seus colegas, paricularmee Soag, foram desevolvimeos fudameais. ii.) Equações difereciais parciais e aálise fucioal para sisemas de parâmeros disribuídos, e sisemas com espaços de ifiias dimesões. Pioeiros ese campo icluem Faorii, Lios, Russel. iii.) Grupos de Lie e Álgebras em um raameo geomérico dos sisemas de corole ãoliear. Veja escrios de Brocke, Hermes, Isidori e Sussma. iv.) Equações difereciais fucioais, especialmee equações difereciais de araso, são um campo aivo para ivesigações por Hale e Lee. v.) Domíio da frequêcia para aálise de sisemas de dimesão ifiia, levado a ovos ipos de problemas a aálise complea. vi.) Campos ão ovos e ão urbuleos sob reavaliação coíua (robóica, lógica de compuador, bio-egeharia), que a sua ifluêcia a eoria de corole, ou vice-versa, é impossível avaliar o momeo.

19 CAPÍTULO II PRELIMINARES E NOTAÇÕES Aes de abordar o assuo de Corole, é ecessário fazer uma revisão de coceios básicos de Álgebra Liear e Equações Difereciais para um eedimeo do próimo capíulo... EQUAÇÃO DIFERENCIAL As equações difereciais são de imporâcia capial a resolução de problemas maemáicos que evolvem movimeo, crescimeo, vibrações, elericidade, mageismo, aerodiâmica, ermodiâmica, hidrodiâmica, eergia uclear, e odo ipo de feômeo que evolva aas de variação. Ver Swokowski [8] (994) Uma equação que coém as derivadas ou difereciais de uma ou mais variáveis depedees em relação a uma ou mais derivadas idepedees é chamada de equação diferecial. Para uma melhor aálise das equações difereciais, as classificamos por ipo, ordem e liearidade. Se uma equação diferecial coiver somee derivadas ordiárias de uma ou mais variáveis depedees em relação a uma úica variável idepedee, será chamada de equação diferecial ordiária, EDO. Uma equação que evolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis depedees de duas ou mais variáveis idepedees é chamada de equação diferecial parcial, EDP. A classificação pela ordem de uma EDO ou EDP, é dada pela ordem da maior derivada que aparece a equação diferecial em quesão. Defiição. Podemos dizer que uma equação do ipo ode y y ( ) ( ( ) ) F, y, y,..., y (..) é a fução icógia de uma variável e suas derivadas defiidas em algum iervalo I R, é chamada de equação diferecial ordiária de ordem. Observe que F é

20 uma fução de variáveis, ( ), y, y, y,, y. É complicado esudar (..) direamee, por isso cosideramos a hipóese de que o eorema das fuções implícias é aplicável. Logo, sempre é possível resolver uma equação diferecial dada a forma (..), de maeira úica, para que a derivada mais ala resaes, a fim de ober, ( ) y se escreva em ermos das variáveis ( ) ( ),,,,, (..) y f y y y y ode f é uma fução coíua de valores reais. A equação diferecial (..) é cohecida por forma ormal. Assim sedo, quado servir a ossos objeivos, uilizaremos a forma ormal (, ) e (,, ) y f y y f y y para represear equações difereciais ordiárias gerais de primeira e seguda ordem. Toda equação do ipo (..) pode ser reduzida ao esudo de uma equação de primeira ordem, iso é a equação (..) com. Eemplos. () y y é uma equação diferecial ordiária de primeira ordem. () y y y 6e é uma equação diferecial ordiária de seguda ordem. () ( y ) y y ( y ) 7 é uma equação diferecial ordiária de erceira ordem. (4) y d y dy e d d é uma equação diferecial ordiária de seguda ordem. A solução de uma equação diferecial é uma fução y ψ ( ) que rasforma a equação (..) uma ideidade quado y e suas derivadas são subsiuídas por ψ ( ) e suas derivadas. Equao que o gráfico de ψ ( ) é chamado de curva iegral. A solução represeada impliciamee por ( y) φ, é chamada de uma iegral de (..). Eemplo. Seja fução epoecial diferecial ordiária, y e. Mosre que é uma solução da equação 4

21 y y. Solução. Para verificar al afirmação, basa subsiuir y f ( ) e sua derivada a equação diferecial dada, iso é, y e e y e Eão, subsiuido, y y e e o que saisfaz a equação forecida. Da mesma forma, pode-se mosrar que y e, y 5e, y e 4 são ambém soluções da equação diferecial dada. Na verdade, qualquer fução da forma y Ce ode C R, é uma solução da equação. Esa família de soluções é chamada de solução geral da equação diferecial. Defiição. Uma fução y y( ) defiida impliciamee por ( y c c c ) φ,,,,..., que coém cosaes arbirárias e é solução da equação diferecial (..), é chamada de solução geral da equação diferecial a região ode (..) é dada. Aribuido valores às cosaes c, c,..., c, obemos uma solução paricular de (..). Ver Leihold [9] (994) Eemplo. Verifique que y C é uma solução da equação diferecial y y para qualquer C Ecore a solução paricular deermiada pela codição iicial: y quado Solução. Do euciado do problema, em-se que y C é a solução geral da equação diferecial. Para se cosaar essa afirmação, é ecessário subsiuir, a equação y y, a fução y e sua derivada: Subsiuido a equação, em-se: de ode obemos y C e y C y y 5

22 C Desa forma, verificou-se que C C C y C é a solução geral da equação diferecial. Para se ecorar a solução paricular, será uilizado o Problema do Valor Iicial: y quado Eão, aparir da solução geral, e subsiuido os valores dados, obemos y C C C logo 7 Logo, y é uma solução paricular da equação diferecial dada. 7 Observação. O valor aribuído à fução que elimia a cosae é chamado de codição. As codições esão orgaizadas de acordo com o poo em que são avaliadas. Assim, se a equação diferecial ordiária esiver defiida o iervalo [ a, b ] e a codição esiver dada em a eremos uma codição iicial. De oura maeira, se a codição for dada um poo a, será chamada de codição de cooro. A quaidade de codições ecessárias para a oal elimiação das cosaes é igual à ordem da equação diferecial ordiária. O grau de uma equação diferecial é o epoee da derivada ordiária de maior ordem que aparece a equação diferecial. Como ilusração, vejamos as seguies equações difereciais ordiárias: a.) y e y, equação diferecial ordiária de primeiro grau. b.) ( y ) y 5y, equação diferecial ordiária de segudo grau. c.) y 7y 5y, equação diferecial ordiária de primeiro grau. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES De acordo a classificação, emos a liearidade. Dizemos que uma EDO de ordem (..) é liear se F for liear em 6 ( ) é liear quado (..) for escria da seguie forma, y, y, y,, y. Isso sigifica que uma EDO de ordem ( ) ( ) a ( ) y a ( ) y a ( ) y a ( ) y k (..)

23 Na escria da equação diferecial (..) observamos duas caracerísicas imporaes de uma equação diferecial liear: a variável depedee e odas as suas derivadas são do primeiro grau; cada coeficiee depede, o máimo, da variável idepedee. Em pricípio, esudaremos as equações difereciais lieares de primeira ordem ãohomogêeas e a equação diferecial liear de seguda ordem ão-homogêea com coeficiees cosaes. Equação Diferecial Liear de Primeira Ordem de Deoaremos por R o cojuo dos úmeros reais e Ω um subcojuo abero coeo m R cujos elemeos serão escrios a forma (, ) cosideraremos f : Ω uma fução coíua. Diremos que y y( ) m R R y ode m y R é solução da equação diferecial sempre que (, y) Ω para I e y y ( ) I. e R e y f, y em I R (..4) saisfaz a equação diferecial (..4) para Observações. Como a fução f é coíua segue-se que uma solução y y ( ) de (..4), se eisir, será coiuamee difereciável. Em geral a equação (..4) erá mais de uma solução, mas esamos ieressados a solução de uma ED sujeia a deermiadas resrições ou codições prescrias que serão imposas à solução icógia y y ( ) Em algum iervalo I coedo o poo o problema (,,,, ) ( ) ( ) y f y y y ( ) y y, y y,, y y e suas derivadas. ode y, y,, y são cosaes reais, é chamado de problema de valor iicial PVI ou problema de Cauchy. Os valores de y y ( ) chamados de codições iiciais. e suas derivadas um úico poo são Defiição. Uma equação diferecial liear de primeira ordem é uma equação da forma (, ) y f y P y Q y P y Q 7

24 ode P e Q são fuções coíuas em algum iervalo I R. Ver Swokowski [8] (994) Se Q ( ), eão, a equação diferecial liear de primeira ordem é homogêea. Desa forma, a equação diferecial ordiária (EDO) de primeira ordem homogêea com coeficiees cosaes em o seguie formao: y k y Como solução desa equação diferecial ordiária, em-se: Aalisado os seguies casos: ) Se c, eão: ) Se c R \ { }, eão: Mas k é uma cosae. Logo, k y ce para c R ky y e d ( ce ) c ( e ) ck e d y d y d d d k k k k y ce é uma família de soluções para a EDO. Para ober apeas uma úica solução do problema, deve-se rabalhar com o problema do valor iicial, (PVI) ode y é um valor cohecido. y ky, y yo Quado, em-se: y y y ce c k o Desa forma, a úica solução da equação será: Aalisado a cosae k: y y e ) Se k >, eão a solução y é crescee de forma epoecial e k é a cosae de crescimeo. ) Se k <, eão a solução y decai epoecialmee e k é a cosae de decaimeo. k Se cosiderarmos ( ) Q a equação diferecial de primeira ordem liear, y P( ) y Q( ) 8

25 eão, a equação diferecial liear de primeira ordem é ão-homogêea. A equação diferecial ordiária de primeira ordem ão-homogêea com coeficiees cosaes é dada por y k y f com f é possível ober uma família de soluções por iermédio de uma fução chamada de muliplicador. Mas desejamos uma úica solução. Para isso acoecer, devemos adicioar mais uma codição à equação diferecial, chamada de codição iicial. Logo, o problema a resolver é cohecido como problema de valor iicial, PVI. Para ecorar a solução eplícia do PVI, ão homogêeo, ( ), y a y f y y (..5) a procedemos da seguie maeira: Seja o muliplicador M ( ) e. Muliplicado ambos os membros da primeira equação de (..5), em-se: Subsiuido M ( ) por a e : Aplicado a propriedade disribuiva: Tem-se que: Subsiuido (..) em (..), em-se: M ( )[ y ay] M ( ) f a a e y ay e f a a a e y e ay e f 9 M a (..) d ( ye a ) y e a ya e a (..) d d d a a ( ye ) e f ( ) Logo, escrevedo a sua forma de difereciais obemos, a a d ye e f d (..) Aplicado a iegral idefiida em ambos os lados da igualdade, em-se: Isolado a fução y a a a a eão d ye C e f d ye e f d C a a a y Ce e e f ( ) d Subsiuido a variável de dero da iegral pela variável δ,

26 ode, após simplificações obemos Desa forma, a a aδ y Ce e e f ( δ ) d a a a δ y Ce e e f d eão y Ce a e a δ f d δ δ δ δ a a( δ ) y Ce e f ( δ ) d é a família de soluções (solução geral) da equação diferecial dada. δ δ Para ecorar uma solução úica (solução paricular) dessa EDO, aplica-se a iegral defiida em (..) as as d ye e f s ds Aplicado o Teorema Fudameal do Cálculo: a a as a as o Isolado a fução y ( ) : obemos, y e y e e f s ds y e y e f s ds y a a as ( ) e y e e f ( s) ds, [, T ] a a ( s) y e y e f s ds (..4) Desa forma, (..4) é a solução úica do problema de valor iicial. A seguir, cosideramos o seguie PVI ão homogêeo com a e f fuções coíuas, ( ) y a( ) y f, y y (..5) Para ecorar a sua solução cosideramos o muliplicador a( ) d P( ) M ( ) e e com P( ) a( ) d Muliplicado M() a ambos os membros da primeira equação de (..5), em-se: Aplicado a propriedade disribuiva: M y a y M f M ( ) y ( ) M ( ) a( ) y( ) M ( ) f ( ) (..6)

27 Por ouro lado obemos, Pela Regra da Cadeia, em-se: Para c, Mas e d y ( ) M ( ) y ( ) M ( ) M ( ) y ( ) d (..7) d d d logo d d d P P M M e P M M e a c M ( ) d d M P( ) ( ) a( ) e P. Eão, subsiuido a equação aerior obemos, Subsiuido (..8) em (..7), em-se: Subsiuido (..9) em (..6), em-se: Em ermos de difereciais, emos d M M ( ) a( ) M ( ) (..8) d d y ( ) M ( ) y ( ) M ( ) a ( ) M ( ) y ( ) d (..9) d d [ y( ) M ( ) ] M ( ) f ( ) d y M M f d (..) Aplicado a iegral idefiida em ambos os lados da igualdade, em-se: P( ) Mas ( ) e logo d y M C M f d y M C M f d M, subsiuido o resulado aerior, emos Isolado a fução y ( ) : Mas P ( ) a( ) P( ) P y e C e f d P P P y Ce e e f d d, ovamee subsiuido obemos a( ) d a( ) d a( ) d y( ) Ce e e f ( ) d Subsiuido a variável de dero da iegral pela variável δ : a( ) d a( ) d a( δ ) dδ y ( ) Ce e e f ( δ ) dδ

28 Desa forma, a( ) d a( ) d a( δ ) dδ y ( ) C e e e f ( δ ) d é a família de soluções do problema de valor iicial ão homogêeo. δ Para ecorar uma solução úica dessa EDO, aplica-se a iegral defiida em (..), [ y( ) M ( ) ] M ( s) f ( s)ds d Aplicado o Teorema Fudameal do Cálculo: Por ouro lado, y M y M M s f s ds (..) M Subsiuido obemos, Subsiuido (..) em (..), em-se: ( a s ds ) Mas M ( ) ep. Eão: e o a s ds M e e a ( s ) ds (..) ( ) M ( ) y M ( s) f ( s) y o ds Isolado a fução y ( ) s a( s) ds a( r ) dr e o y e y f s ds Sedo P( ) a( s) a( s) ds o o s a( r) dr y( ) e y e f ( s) ds ds. Eão, subsiuido o resulaado aerior, P( ) P( ) P( s ) ( ) e y e e f ( s) y Uilizado o valor forecido da codição iicial emos o ds P( ) P( s) P( ) (..) y e y e f s ds Por ouro lado, s s P( s) P( ) a( r) dr a( s) ds a( s) ds a( r) dr o o o

29 Seja a ( w) a a ( r) r [, s] ( s) s [, ] Por ouro lado sabemos que Assim obemos, Subsiuido (..4) em (..), em-se: s a w dw a w dw a w dw s s a( w) dw a( s) ds a( r ) dr (..4) s P a w dw y e y e s f s ds (..5) Desa forma, (..5) é a solução úica do PVI ão homogêeo. Méodo de Lagrage ou de Variação dos Parâmeros. Cosideremos o problema de ecorar y y ( ) y, al que y a y f, com I R y (..6) ode a e f fuções coíuas uma vizihaça de. Em primeiro lugar, se y f o problema é rivial, e a sua solução é y ( ). Se a seguie possibilidade, acoecer e y f e o problema é de variáveis separáveis e logo a solução é obida com relaiva facilidade, ( ) ep y y a s ds Se a fução f ( ) podemos cojecurar que alvez subsiuido a epressão aerior o valor de y por uma fução apropriada z ( ) difereciável uma vizihaça de podemos ober uma solução de (..6). Porao, esaiaremos com a epressão,

30 raado de ober z ( ) al que y y ( ) Assim, resula o seguie y ( ) z ( ) ep a ( s) ds ep verifique o PVI, (..6). Iso é, ( ) ep( ) ep( ) y z a s ds a z a s ds a z a s ds f ep ( ) z a s ds f Por ouro lado emos que a codição iicial, Assim sedo, Porao a seguie epressão fial, é a solução do PVI em quesão. y y z z ( ) f ( s s ) ep a ( r ) dr ds y ( ) ( s ) y y ep a s ds f s ep a r dr ds Equação Diferecial Ordiária Liear de Seguda Ordem As equações difereciais ordiárias de seguda ordem lieares, escrias a sua forma ormal são dadas pela epressão geral, (,, ) y f y y Nese esudo, será abordada apeas a equação diferecial liear de seguda ordem com coeficiees cosaes, que em a seguie forma: (,, ) y f y y cy by k y by cy k, ode b e c são cosaes. Por solução da equação diferecial eedemos uma fução que saisfaça a equação diferecial. Eemplo. Seja a equação diferecial ordiária e uma fução, y y, y ϕ e 4

31 Verifique que a fução ϕ ( ) é solução da EDO em quesão. Solução. Derivado duas vezes a fução forecida obemos, y e y e, 9. Fialmee, subsiuido as derivadas aeriores a equação diferecial dada, obemos a ideidade desejada. Eemplo. Seja a equação diferecial ordiária de seguda ordem [ ] y, a, b Solução. Por iermédio do eorema fudameal do cálculo, aplicado duas vezes obemos a fução solução y ϕ c c Nese eeplo, a solução geral depede de duas cosaes arbirárias. Muias vezes devemos resolver problemas com duas codições. No caso de serem forecidas as codições y ( a ) e y ( a), eremos um problema do valor iicial. Caso se eha uma codição em a e oura codição em b eremos um problema de cooro. A parir de agora, será esudada a resolução das equações difereciais de seguda ordem com coeficiees cosaes. Para resolver a equação diferecial de seguda ordem homogêea, y by cy com b e c cosaes, é ecessário apresear algus eoremas e defiições. Teorema. Se as fuções y e equação diferecial homogêea liear de seguda ordem, eão a ova fução, y forem soluções defiidas em algum iervalo I R da y ay by Y c y c y, c, c R é ambém solução da equação diferecial em algum iervalo. 5

32 Devemos eigir alguma garaia a forma de codições sobre a solução Y para que esa seja chamada de solução geral da equação diferecial homogêea. Em ouras palavras, se W for uma oura solução da equação diferecial homogêea, eão podemos selecioar as cosaes c c de maeira que Y ( ) W ( ) e. Teorema. Se as fuções y e equação diferecial homogêea liear de seguda ordem, com a seguie epressão, Eão, a ova fução dada por y forem soluções defiidas em algum iervalo I R da em [, ] y ay by α β [ ] y y y y em α, β Y c y c y é a solução geral da equação diferecial homogêea. Defiição. A epressão y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) descria o eorema aerior ou represeada por um deermiae, y y y y é chamada de wroskiao das fuções y e y e é deoado pelo seguie símbolo, [, ] W W y y 6 Desa forma, será, a parir de agora, esudado um méodo, eraído de Leihold [9] (994), para a resolução da equação homogêea ay by cy. Se forem ecoradas duas soluções cujo wroskiao seja diferee de zero, eão, em-se a solução geral da equação. Ao se aalisar a equação, percebe-se que a soma de ay ( ) com by ( ) e cy ( ) deve ser ula. Para isso, as fuções y ( ), y ( ) e ( ) y devem er o mesmo aspeco, ou seja, ão se pode pesar em y ( ) como uma fução poliomial, pois suas derivadas sucessivas reduziriam o grau do poliômio e a soma deses resulados jamais y seria zero. Pode-se ear deduzir que e, ode é um parâmero a ser deermiado.

33 Desa forma, orar-se-ia o primeiro membro da equação como uma combiação liear da fução epoecial e : Eão, subsiuido as fuções aeriores em, y ( ) e, y ( ) e e y ( ) e obemos ay by cy a e be ce logo a b c e Como a fução epoecial é diferee de zero, se, e somee se, é solução da equação caracerísica da equação dada. e a b c Ecorado a solução da equação a b c em-se: Aalisado b 4ac e a a b b 4ac b b 4ac é solução da equação homogêea, deomiada de equação Caso : Se a epressão b 4ac >. A equação possui duas raízes reais disias e, porao, duas soluções e Calculado o wroskiao: e e. Como [, ] W e e ode c e c são cosaes arbirárias. e W e, e e e e, a solução geral da equação é dada por e ( ) c e c e y ( ) Eemplo. Dada a equação diferecial Deermie a solução geral desa equação. y y y Solução. Seja y( ) e. Eão, as derivadas sucessivas são dadas por e y ' e y e. 7

34 Subsiuido a equação dada, em-se: ( ) e Calculado a equação caracerísica, em-se: 4 4 e Eão: Além disso, 9 9 e ambém y c e y c e e e W y ( ), y ( ) e e e Segue que y ( ) c e c e é a solução geral da equação diferecial requerida. Caso : Se a equação porao, apeas uma solução y ( ) Cosiderado a seguie fução Subsiuido y ( ) e, calculado a primeira derivada e a seguda derivada, Logo subsiuido para ober b 4ac. A equação quadráica em-se uma úica raiz dupla e, e. y y v a equação homogêea reescria a forma b c y ( ) y ( ) y ( ), a a y y v y v y y v y v y v b c y ( ) v( ) y ( ) v ( ) y ( ) v ( ) y ( ) v( ) y ( ) v ( ) y ( ) v( ) a a 8

35 Agrupado b b c y ( ) v ( ) y ( ) y ( ) v ( ) y ( ) y ( ) y ( ) v( ) a a a E pelo fao que y ( ) é solução da equação, emos, Tem-se que y ( ) b y ( ) v ( ) y ( ) y ( ) v ( ) a, é solução da equação se v ( ) for solução da equação diferecial Sedo v ( ) u ( ) e y ( ) e Dividido a equação acima por b y ( ) v ( ) y ( ) y ( ) v ( ) a eão: b a e u e e u e, em-se: b u ( ) u ( ) a Tem-se agora, uma equação liear de primeira ordem homogêea com coeficiees cosaes, cuja solução é dada por, u k e b a Para ecorar somee uma solução, faz-se k. Eão: b b b a a a e e u( ) e u( ) u( ) e y Eão, pela relação defiida aeriormee, Calculado v ( ), após iegração, emos Eemplo. Dada a equação diferecial e v ( ) y b a ( ) e y ( ) y ( ) d y b a ( ) ( ) 9

36 Deermie a solução geral desa equação. y 4y 4y Solução. Seja y( ) e. Eão as derivadas são Subsiuido a equação dada, em-se: e y ' e y e. ( ) 4 4 e Calculado a equação caracerísica 4 4, em-se: e Eão: 4 4 e y ( ) c e Para ecorar y, faz-se: Eão: Logo emos, Além disso, y ( ) y ( ) b a e d y ( ) 4 4 e e 4 ( e ) e y e d e d e d y ( ) e e e W y y e e e e e e e , Segue que é a solução geral da equação diferecial dada. y ( ) c e c e

37 Caso : Se a desigualdade b que foi viso aé eão, y( ) c e c e, ode y( ) 4ac <. Desa forma, em-se duas raízes compleas. E, pelo seria compleo. Ereao, é ecessário ecorar duas raízes reais. Para se coorar esse problema, usa-se um arifício: Eão:, uma solução da equação homogêea com valores compleos. Seja y ( ) u( ) iv( ) Ideificado pare real e imagiaria, a u iv b u iv c u iv au bu cu i av bv cv desa forma, o úmero compleo resulae é ulo. No eao, para que um úmero compleo seja ula, sua pare real e imagiária devem ser iguais a zero. Eão: soluções reais. au bu cu e av bv cv Nese caso, cada solução complea dessa equação homogêea, dá origem a duas Cosiderado a solução complea e. Defie-se: eão θ 4ac b a Assim sedo b iθ b b a a iθ a e e e e e cos se ( θ) i ( θ) Porao, em-se as soluções reais, b b a a e e cos e se b ( θ ) i ( θ) e cos e e a a θ se ( θ ) y y A seguir calculamos seu wroskiao de ambas soluções, defiido previamee σ b a [ ] σ σ σ W y, y W e cos θ, e seθ θe decorre do fao que θ > defiida aeriormee. b Assim sedo, a solução geral é dada por

38 σ ( θ ) ( θ ) Y c e cos c e se σ Podemos imagiar que deiamos de lado a seguda solução complea, pois eríamos mais duas soluções reais, porém ão acoece acréscimo de soluções reais. Cosiderado a solução complea e. Defie-se: eão Assim sedo θ 4ac b a ( σ iθ ) σ iθ σ σ ( θ) i ( θ) ( θ) i ( θ) e e e e e cos se σ e cos e se Porao, em-se as soluções reais, b b a e e cos e se b a ( θ ) i ( θ ) y y a e cos e e a θ se ( θ ) porao emos ovamee as mesmas soluções. b Eemplo. Dada a equação diferecial Deermie a solução geral desa equação. y 4y y Solução. Seja y( ) e. Eão: Subsiuido a equação dada, em-se: y ( ) e, y ( ) e. ( 4 ) e Calculado a equação caracerísica 4, em-se: porao e

39 Desa forma, em-se que i e i e ( ) i é uma solução com valores compleos da equação dada. Mas, ( i) ( i ) ( ) i ( ) e e cos se e cos e se Nese caso, em-se que as soluções da equação homogêea são: Além disso,, e cos( ) e e se( ) y y ( ) ( ) e cos e se W y y ( ) ( ) e ( ) ( ) e cos e se se e cos 4 4, cos( ) se ( ) cos ( ) 4 4 e cos( ) se ( ) e se ( ) e cos ( ) e se ( ) e W y y e e Eão, obemos que o wroskiao é ão ulo, Segue que 4 W y, y e e cos( ) e se ( ) y c c é a solução geral da equação diferecial requerida. Após o esudo das equações lieares de seguda ordem homogêeas, passa-se ao esudo das equações lieares de seguda ordem ão-homogêeas. Cosiderado ay by cy k como uma equação liear de seguda ordem ão-homogêea, com coeficiees cosaes. Para ober a solução dessa equação, em virude da sua liearidade, pode-se somar à equação geral da solução homogêea, uma solução paricular da equação diferecial complea.

40 Méodo da Variação dos Parâmeros ou Cosaes. Sejam y ( ) e y ( ) soluções da equação homogêea, com seguie epressão é a solução geral da equação homogêea. ( ) c y ( ) c y ( ) Y W y, y, eão a Parido dessa equação, será ecorada uma solução paricular da equação complea da forma Calculado a derivada primeira µ ( ) y ( ) µ ( ) y ( ) ϕ ( ) ( ) y ( ) ( ) y ( ) ( ) y ( ) ( ) y ( ) µ ( ) y ( ) µ ( ) y ( ) µ ( ) y ( ) µ ( ) y ( ) ϕ µ µ µ µ e a derivada seguda de ϕ ( ) em-se: Percebe-se que ( ) ( ) y ( ) ( ) y ( ) ( ) y ( ) ( ) y ( ) ϕ µ µ µ µ ( ) y ( ) ( ) y ( ) ( ) y ( ) ( ) y ( ) µ µ µ µ ( ) y ( ) ( ) y ( ) µ µ desa forma, a derivada seguda de ϕ ( ), ão se ecorará as derivadas segudas das fuções µ e µ. Para ecorar essas derivadas, modifica-se um pouco a equação ay by cy k. dividido a equação dada por pela cosae a, em-se: b ode α, a a b c y y y k y y h a a a a logo α β c a a β e h( ) k( ) Subsiuido ϕ ( ) a equação y ( ) α y ( ) β y ( ) h( ) ( ) y ( ) ( ) y ( ) µ µ, em-se: e uilizado a codição 4

41 agrupado [ ] µ y µ y µ y µ y α µ y µ y β µ y µ y h µ y µ y µ y α y β y µ y α y β y h Pelo fao de y e y soluções da equação homogêea, emos, y y Desa forma, µ y µ y h ϕ µ µ é solução da equação diferecial dado se resolvemos µ µ y y Muliplicado (..7) por y e (..8) por y em-se: (..7) µ y µ y h (..8) µ µ (..9) y y y y µ y y µ y y h y (..) Fazedo (..9) meos (..), em-se: Agrupado coveieemee emos µ y y µ y y µ y y µ y y hy µ µ µ µ y y y y y y y y hy µ y y y y hy Mas, ao se muliplicar (..7) por y e (..8) por y em-se: Fazedo (..) meos (..), em-se: Agrupado apropriadamee oberemos µ µ (..) y y y y µ y y µ y y h y (..) µ y y µ y y µ y y µ y y hy µ µ µ µ y y y y y y y y hy Segue eão que: µ y y y y hy 5

42 Eão, após iegração hy µ e µ hy y y y y y y y y hy µ d e µ hy ' ' ' ' y y y y y y y y d Eemplo. Ecore a solução geral de y y Solução. A equação homogêea, associada é dada por y y Esa equação homogêea em a seguie equação caracerísica: Ecorado as raízes de, em-se: e Desa forma, a solução da equação homogêea será: Y ( ) c e c e Nese caso, subsiuido as cosaes por fuções, emos, ϕ ( ) µ ( ) e µ ( ) e Calculado a derivada primeira de ϕ ( ), em-se: ϕ µ e µ e µ e µ e Impodo a codição µ e µ e e calculado a seguda derivada, obemos Subsiuido ϕ ( ) e ( ) Agrupado ϕ µ e µ e µ e µ e ϕ a equação dada, em-se: 6 µ e µ e µ e µ e µ e µ e µ e µ e µ e µ e µ e µ e e elimiado ermos semelhaes com sial oposo, µ e µ e Eão, o sisema que falaa resolver esa dado por,