Espectros de Resposta de Movimentos Sísmicos Consistentes com Histórias de Deslocamentos Velocidades e Acelerações. Mário Rouxinol Fragoso 1,

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1 Especros de Resposa de Movimeos Sísmicos Cosisees com Hisórias de Deslocameos Velocidades e Acelerações Mário Rouxiol Fraoso 1, Laboraório Reioal de Eeharia Civil Poa Delada, S. Miuel Açores, Porual Maria João Barros Uiversidade dos Açores, Dep. de Ciêcias Tecolóicas e Desevolvimeo Poa Delada, S. Miuel Açores, Porual RESUMO Apresea-se ese rabalho uma formulação que permie o cálculo de especros de resposa de movimeos sísmicos cosisees com as hisórias de deslocameos, velocidades e acelerações, mosrado-se poseriormee a aplicação e a validação da formulação proposa. Evidecia-se, aravés dum esudo realizado, que o recurso aos especros de resposa deermiados pela formulação proposa, coribui de forma decisiva para uma boa avaliação da resposa sísmica de sisemas esruurais flexíveis. 1. INTRODUÇÃO A caracerização das vibrações sísmicas aravés dos seus efeios em osciladores lieares de 1 rau de liberdade (OL1GL), caracerizados, em ermos eéricos, por uma frequêcia ou período próprios (f ou T ) e aida por um coeficiee de amorecimeo viscoso (ξ), coduz à deermiação dos especros de resposa dos movimeos sísmicos. Nese coexo, um especro de resposa defiido em ermos de deslocameos (S d,t), velocidades (S v,t) ou acelerações (S a,t), defie a resposa máxima que ocorre em sisemas lieares de 1 rau de liberdade, quado soliciados, a sua base, por uma deermiada compoee dum sismo. Cosiui uma práica corree em eeharia sísmica uilizar-se o cálculo dos especros de resposa de movimeos sísmicos, apeas as hisórias de acelerações ocorridas o solo, ão se uilizado a iformação relaiva às hisórias de deslocameos e de velocidades do movimeo. Ver-se-á, o decorrer dese rabalho, que esa práica ão é adequada, quado 1 Douor em Eeharia Civil, Direcor do Serviço de Esruuras e Maeriais de Cosrução do LREC, Professor Auxiliar Covidado da Uiversidade dos Açores Douora em Eeharia Civil, Professora Auxiliar da Uiversidade dos Açores Auor para quem a correspodêcia deverá ser eviada mario.as.fraoso@azores.ov.p Número, 5 Eeharia Civil UM 3

2 aplicada a uma deermiada classe de sisemas esruurais e, em paricular, quado os especros a uilizar as aálises sísmicas de esruuras são os especros de deslocameo relaivo. De faco, os especros de resposa calculados os ermos aeriormee referidos, a eeralidade dos casos, apreseam a bada das baixas frequêcias (zoa de períodos elevados), valores ão especáveis, uma vez que à medida que os valores dos períodos edem para ifiio, os valores especrais ão edem para os valores de pico ocorridos as hisórias emporais do movimeo sísmico. Cosidere-se, a íulo de exemplo, as hisórias de acelerações e de deslocameos referees à compoee N-S do sismo de Norhride Sylmar Couy Hospial, Califória, ocorrido em 17 de Jaeiro de 1994, adquiridas juo de NISEE Naioal Iformaio Service for Earhquake Eieeri, Berkeley, Califória Fiura 1. Acelerações, (cm/s ) 75 Pico = cm/s Tempo, (s) Deslocameos, (cm) Pico = cm Tempo, (s) Fiura 1 - Hisórias de acelerações e de deslocameos da compoee N-S do sismo de Norhride Sylmar Couy Hospial, ocorrido em 17 de Jaeiro de Efecuado-se, pela via clássica Chopra (1995), o cálculo do especro de resposa de deslocameo, cosiderado-se para o efeio codições iiciais de movimeo com valor ulo e um coeficiee de amorecimeo viscoso (ξ) para os OL1GL de 5. %, obém-se a cofiuração especral que se mosra a Fiura. Observado esa fiura verifica-se que o deslocameo especral correspodee à frequêcia de. Hz (T=5 s), apresea o valor de 19.1 cm, valor ese que, relaivamee ao valor especável (valor de pico vd. Fiura 1) que seria de 15. cm, apresea um erro de +5.7 %. Ese faco ecora-se relacioado com as écicas uméricas associadas à correcção e ao processameo de reisos sísmicos Coverse e Brady ( 199) obedo-se, após processameo e como resulado fial, hisórias de deslocameos e de velocidades do movimeo sísmico ão compaíveis com as hisórias de acelerações que lhes deram oriem, embora aquelas hisórias, obidas por ieração e por dupla ieração, respecivamee, das hisórias de acelerações, possam cosiuir reraos basae fiéis dos feómeos associados aos movimeos sísmicos reisados os locais. Cosiuido os especros de resposa os isrumeos de represeação das vibrações sísmicas que maior divulação e maior uilização êm ido o dimesioameo e a aálise 4 Eeharia Civil UM Número, 5

3 das esruuras aos sismos, uma icorreca uilização deses isrumeos de cálculo a avaliação da resposa sísmica de esruuras, poderá coduzir a erros rosseiros quado em causa esão sisemas esruurais muio flexíveis como, por exemplo, poes suspesas, edifícios muio alos, sisemas esruurais com isolameo da base Naeim e Kelly (1999) e esruuras fudadas em erreos muio brados Fraoso (1991). Desl. Especrais, S d (cm) ξ = 5. % 19.1 cm Períodos, T (s) Fiura - Especro de resposa de deslocameo da compoee N-S do sismo de Norhride Sylmar Couy Hospial, ocorrido em 17 de Jaeiro de Nese coexo, apresea-se ese rabalho uma formulação que permie o cálculo de especros de resposa de movimeos sísmicos cosisees com hisórias de deslocameos, velocidades e acelerações, mosrado-se poseriormee a aplicação e a validação da formulação proposa.. FORMULAÇÃO DO CÁLCULO DE ESPECTROS DE RESPOSTA COM COMPATIBILIDADE DAS HISTÓRIAS DO MOVIMENTO SÍSMICO.1. Equações de Equilíbrio Diâmico de Osciladores Lieares de 1 Grau de Liberdade Cosidere-se o OL1GL represeado a Fiura 3, sujeio a movimeos da base defiidos por u (). Os parâmeros que caracerizam mecaicamee o oscilador ecoram-se defiidos a fiura, sedo m, c e k, respecivamee, a massa, o amorecimeo viscoso e a riidez elásica do oscilador. Os deslocameos oais (u ()) que ocorrem a massa do oscilador ao loo do empo, são cosiuídos pela soma dos deslocameos do solo (u ()) com os deslocameos relaivos da massa do oscilador (u()), ou seja u ( ) = u ( ) u( ) (1) + Derivado a eq. (1) uma e duas vezes em ordem ao empo, obém-se, respecivamee, as velocidades oais ( u& ( ) ) e as acelerações oais ( u&& ( ) ) o oscilador, defiidas pelas expressões u& ( ) = u& ( ) + u& ( ) () Número, 5 Eeharia Civil UM 5

4 u& ( ) = u&& ( ) + u& ( ) (3) m u u k/ c k/ u Fiura 3 - Oscilador liear de 1 rau de liberdade sujeio a movimeos a base. Em cada isae de empo, a força de iércia do sisema ( f i ( ) ) é erada pela aceleração oal da massa equao que a força de amorecimeo ( f a ( )) e a força de resiuição elásica ( f r ( ) ) são oriiadas, respecivamee, pela velocidade relaiva e pelo deslocameo relaivo do oscilador Fraoso (). Nesas circusâcias em-se que f ( ) = mu& ( ) = m( u&& ( ) + u& ( )) (4) i f f a r = c u& ( ) = c ( u& ( ) u& ( )) (5) = k u( ) = k ( u ( ) u ( )) (6) O equilíbrio diâmico do sisema, em cada isae de empo, é eão defiido pela expressão f ( ) + f ( ) + f ( ) = (7) i a Com base as eq. (4) a (6), o equilíbrio diâmico do OL1GL defiido pela eq. (7), pode ser escrio em ermos de coordeadas oais e em ermos de coordeadas relaivas, obedo-se, respecivamee, as expressões r mu& ( ) + c u& ( ) + k u ( ) = cu& ( ) k u ( ) (8) + mu& ( ) + cu& ( ) + k u ( ) = mu&& ( ) (9) Acerca das equações de equilíbrio diâmico expressas aeriormee, impora saliear alus aspecos o âmbio da resposa de OL1GL, omeadamee que: a) Qualquer uma das equações eq. (8) ou eq. (9), pode ser uilizada o cálculo da resposa de OL1GL. Equao que a eq. (8) para ser uilizada ecessia das hisórias de velocidades e de deslocameos do solo, u ( ) e u ( ) respecivamee, a eq. (9) & 6 Eeharia Civil UM Número, 5

5 ecessia apeas da hisória de acelerações do solo && ( ), devedo-se o eao cohecer as codições iiciais do movimeo, associadas a qualquer uma das equações, para uma correca uilização das mesmas. b) Pelo faco das hisórias de acelerações cosiuírem, a eeralidade dos casos, a iformação dispoível após a ocorrêcia dum sismo, cojuamee com o faco da eq. (9) ser uma equação formulada em ermos de coordeadas relaivas, faz com que esa equação seja a equação mais uilizada o cálculo da resposa de OL1GL, assumido-se, em eral, valores ulos para as codições iiciais do movimeo. c) Se as hisórias de deslocameos, de velocidades e de acelerações do movimeo sísmico, ão forem hisórias cosisees ere si, a resposa dum oscilador obida aravés da eq. (8), pode ser diferee da resposa do mesmo oscilador obida pela eq. (9). As ories desas difereças foram já apoadas a secção 1 dese rabalho. d) Para osciladores muio flexíveis, caracerizados por frequêcias próprias baixas a muio baixas, as resposas são coroladas pelas velocidades e pelos deslocameos que ocorrem o solo. Nesas circusâcias, o cálculo da resposa dese ipo de oscilador, deve-se uilizar a eq. (8). e) Para osciladores ão flexíveis (osciladores ríidos a muio ríidos), a resposa é essecialmee deermiada pelas acelerações que ocorrem o solo. Nesas circusâcias, deve-se uilizar a eq. (9)... Equação de Equilíbrio Diâmico de Osciladores Lieares de 1 Grau de Liberdade Sujeios a Hisórias de Deslocameos, de Velocidades e de Acelerações a Base Para corariar a alíea c) e saisfazer as exiêcias expressas pelas alíeas d) e e) da sub-secção.1., é desejável ober-se uma úica equação de movimeo que permia o cálculo da resposa de OL1GL. A cocreização dese coceio exie, por um lado, a uilização cojua das eq. (8) e (9) e, por ouro lado, exie a irodução dum parâmero Q que desempehe as seuies fuções: se a riidez do oscilador apresear um valor relaivamee baixo, o parâmero Q acivará o uso da eq. (8); caso corário, coduzirá ao uso da eq. (9). Nese coexo, o parâmero Q em de evideciar a imporâcia que a riidez do oscilador em relaivamee ao movimeo do solo e, ao mesmo empo, em de impor esa imporâcia relaivamee ao uso da eq. (8). Sabedo-se que em OL1GL a riidez e a frequêcia própria relacioam-se pela expressão u k ω = (1) m a imporâcia relaiva de dois sisemas, com diferees frequêcias e, cosequeemee, com riidez difereciada, pode ser avaliada aravés duma relação de quociees, o que coduz a que o parâmero Q, com as fuções aeriormee apreseadas, seja defiido pela expressão ω Q = ω (11) em que ω represea a frequêcia de vibração do solo, ou seja, a frequêcia do movimeo sísmico. Número, 5 Eeharia Civil UM 7

6 A obeção de adequados valores de ω ão cosiui uma arefa fácil, uma vez que ão é possível idividualizar, para um deermiado movimeo sísmico, a sua frequêcia fudameal. Várias proposas êm sido feias ese âmbio, salieado-se, por exemplo, as proposas de Kaai (1957) e de Tajimi (196), baseadas em aálises efecuadas sobre 367 sismos, cujos valores, publicados por Kramer (1996), ecoram-se expressos a Tabela 1. Tabela 1 - Frequêcias de vibração de alus ipos de erreos, seudo Kaai e Tajimi. Tipo de Movimeo Tipo de Terreo Freq. do Movimeo ω (rad/s) Horizoal Aluviões 18.4 Aluviões sobre Rocha.9 Rocha 7. Verical Aluviões 6. Aluviões sobre Rocha 9.1 Rocha 38.8 Se for assumido que o valor de ω correspode à frequêcia de vibração de uma oda harmóica equivalee o solo, admiido-se que esa oda correspode ao movimeo mais siificaivo que ocorre o solo Kramer (1996), a quaificação de ω pode ser esimada aravés do cohecimeo prévio dos valores de pico do movimeo sísmico, omeadamee aravés dos valores da aceleração máxima (a max ) e da velocidade máxima (v max ), resulado eão a frequêcia do movimeo do solo o valor quaificado pela expressão a v ω = max (1) max Saliea-se que a eq. (1) deverá ser usada de forma cuidadosa, aededo ao faco de exisirem movimeos sísmicos com fore vículo a processos de bada lara, equao que ouros movimeos apreseam-se com caracerísicas associadas a processos de bada esreia. Nese coexo, suere-se que a aplicação da eq. (1) seja complemeada com aálises especrais dos movimeos, de modo a cofroar-se os valores obidos pela eq. (1) com os valores das frequêcias predomiaes dos movimeos obidos por aálises especrais. Reomado a eq. (8), dividido-a por m e muliplicado-a por Q, ao mesmo empo que se sabe que c = ξω (13) m k = ω (14) m obém-se a equação u&& ( ) Q + ξω u& ( ) Q + ω u ( ) Q = ξω u& ( ) Q + ω u ( ) Q (15) expressão esa que raduz a equação do movimeo de OL1GL em coordeadas oais, afecada do parâmero Q que, à medida que ede para zero, aula por compleo a eq.(15). 8 Eeharia Civil UM Número, 5

7 Um procedimeo idêico pode ser realizado em relação à eq. (9), iso é, dividido-a por m e edo em coa as eq.(13) e (14), obém-se u& ( ) + ξω u& ( ) + ω u( ) = u& ( ) (16) expressão que raduz a equação do movimeo de OL1GL em coordeadas relaivas. Somado as eq. (15) e (16), obém-se a expressão com u && && & & = ( ) + u ( ) Q + ξω ( u( ) + u ( ) Q ) + ω ( u( ) + u ( ) Q ) pef. p ef. = ξω u& ( ) Q + ω u ( ) Q u& ( ) (17) (18) A eq. (17), cojuamee com a eq. (18), raduz a equação de equilíbrio diâmico de OL1GL sujeios a um movimeo a base defiido pelas hisórias de deslocameos, velocidades e acelerações, pelo que a resposas dos osciladores deermiadas pela eq. (17), apresearão valores cosisees em relação aos movimeos da base..3. Resolução das Equações de Movimeo de Osciladores Lieares de 1 Grau de Liberdade Sujeios a Hisórias de Deslocameos, de Velocidades e de Acelerações a Base Efecuado-se uma rasformação de coordeadas do ipo e subsiuido as eq. (19) a (1) a eq. (17), obém-se & x = u&& ( ) + u& ( ) Q (19) x& = u&( ) + u& ( ) Q () x = u( ) + u ( ) Q (1) && x + ξω x& + ω x = p ef. () A eq. () represea uma equação diferecial de seuda ordem que esabelece a equação do movimeo de OL1GL a sua forma covecioal. Assumido-se que o movimeo da base dum oscilador ecora-se discreizado um cojuo de poos do ipo ( i,y i ) com i=,1,,...-1, em que i correspode ao isae de empo e y i correspode ao movimeo da base (, u& u& ), a resolução da eq. () faz-se aravés de qualquer méodo u, i, i,, i clássico de resolução de equações difereciais, como por exemplo o méodo de Rue-Kua vd. Kelly (1993) ou aravés do méodo proposo por Niam e Jeis (1968), cuja eficácia foi devidamee explorada e comprovada os rabalhos elaborados por Barros (1) e Fraoso (). Obidos, para cada isae de empo i, os valores de resposa do oscilador x i, x& i e & x i, aravés das eq. (19) a (1), em cojuo com as eq.(1) a (3), obém-se a resposa do oscilador em ermos de coordeadas relaivas, aravés das expressões xi u ( i ) u( i ) = (3) 1+ Q Número, 5 Eeharia Civil UM 9

8 .4. Alorimo de Cálculo dos Especros de Resposa x& i u& ( i ) u& ( i ) = 1+ Q (4) && xi u&& ( i ) u& ( i ) = 1+ Q (5) Apesar da obeção dos especros de resposa de movimeos sísmicos exiir um volume cosiderável de cálculo, é o eao cosiuído por um cojuo de procedimeos que, sumariamee, podem ser formulados de acordo com o seuie alorimo: P1) Ober as hisórias de deslocameos u (), de velocidades & () e de acelerações && () do solo, correspodees à compoee do movimeo sísmico acerca do qual se u preede calcular os especros de resposa; P) Seleccioar o coeficiee de amorecimeo viscoso ξ preedido para os especros a calcular; P3) Seleccioar o período iicial T i, o período fial T f e o icremeo de período T a adopar o cálculo dos especros; P4) Para cada oscilador com períodos defiidos por T =T i, T i + T, T i +3 T, T i +4 T... T f, execuar os seuies procedimeos: P4.1) Calcular a resposa do oscilador ao movimeo imposo a base, em ermos de deslocameos u (), velocidades u& (), e acelerações u&( & ) relaivas, uilizado para o efeio a formulação proposa as secções. e.3 e com codições iiciais do movimeo ulas, iso é, x ( ) = x& () = ; P4. Exrair, das resposas calculadas, os valores máximos ocorridos o oscilador, omeadamee os valores u u& e u&, obedo-se os poos especrais, max max max S, ( T, u& a i max Sd, i ( T, umax) S, ( T, u& v i max) ), e ; P4.3 Volar ao passo P4, icremeado o período próprio do oscilador, e repeir os passos P4.1 a P4. aé se verificar T = T f ; P5) Apresear, sob forma ráfica, os valores especrais obidos S d,i, S v,i e S a,i. Poseriormee, os especros podem ser alvo de suavizações, de modo a apresearem aspecos mais eéricos e abraees do movimeo sísmico Fraoso (4). Neses casos aplicam-se sobre os especros écicas uméricas de suavização das curvas especrais, obedo-se assim os especros suavizados. u 3. APLICAÇÃO E VALIDAÇÃO DA FORMULAÇÃO PROPOSTA O NISEE Naioal Iformaio Service for Earhquake Eieeri, sediado em Berkeley Califória, aravés do seu sie a Iere, dispoibiliza um volume cosiderável de iformação associada a sismos ocorridos em diversos locais do mudo. Da iformação dispoibilizada em relação a cada sismo, ecoram-se as hisórias de acelerações e as hisórias de deslocameos e velocidades processadas a parir das primeiras, edo-se seleccioado e aalisado diversos reisos sísmicos apreseado-se apeas ese rabalho, para efeios de aplicação e de validação da formulação proposa o decurso da secção., as compoees N-S dos seuies sismos: 3 Eeharia Civil UM Número, 5

9 - Sismo de Norhride ocorrido em e reisado o Hospial de Sylmar; - Sismo da Cidade do México ocorrido em e reisado a Esação 1 e; - Sismo do Vale Imperial ocorrido em e reisado em El Cero. As hisórias de acelerações e deslocameos das compoees N-S dos sismos aeriormee mecioados, ecoram-se as Fiuras 1, 4 e 5. Acelerações, (cm/s ) 1 Pico = cm/s Tempo, (s) Deslocameos, (cm) Tempo, (s) Pico = cm Fiura 4 - Hisórias de acelerações e de deslocameos da compoee N-S do sismo da Cidade do México Esação 1, ocorrido em 19 de Seembro de Acelerações, (cm/s ) 4 Pico = cm/s Tempo, (s) Deslocameos, (cm) Pico = 1.86 cm Tempo, (s) Fiura 5 - Hisórias de acelerações e de deslocameos da compoee N-S do sismo do Vale Imperial El Cero, ocorrido em 18 de Maio de 194. Os especros de resposa das compoees dos sismos de esudo, foram calculados aravés de dois méodos, omeadamee: o méodo clássico (MC) apreseado o rabalho de Chopra (1995) que iora as hisórias de velocidades e deslocameos dos reisos sísmicos e; Número, 5 Eeharia Civil UM 31

10 o méodo proposo (MP) a secção. dese rabalho, o qual permie o cálculo dos especros de resposa cosisees com as hisórias de deslocameos, velocidades e acelerações dos movimeos sísmicos. Pelas razões já ivocadas a irodução dese rabalho, serão apeas aalisados os especros de deslocameo relaivo, uma vez que são eses os especros que evideciam, de forma clara, o propósio da formulação apreseada ese rabalho. Nese coexo, as Fiuras 6, 7 e 8 ecoram-se paees os especros de deslocameo relaivo das compoees N-S dos rês sismos de esudo, apreseado-se em cada uma das fiuras referidas as curvas especrais obidas aravés dos dois méodos de cálculo arás mecioados. Na Tabela apresea-se, para cada especro de resposa, os deslocameos especrais associados à frequêcia de. Hz (T =5 s) S d,5, bem como os desvios observados relaivamee aos deslocameos máximos ocorridos as hisórias de deslocameos δ Sd,5. Nesa mesma abela apresea-se ambém as esimaivas dos desvios ocorridos a oalidade das curvas especrais δ Sd, deermiados com base a expressão seuie: 5 Sd, MC Sd, MP δ Sd = 5 x1 % (6) S 5 d, MP 7 Desl. Especrais, S d (cm) 6 ξ = 5. % MC 1 MP Períodos, T (s) Fiura 6 - Sismo de Norhride. Especros de resposa de deslocameo relaivo. Desl. Especrais, S d (cm) 8 7 ξ = 5. % MC MP Períodos, T (s) Fiura 7 - Sismo da Cidade do México. Especros de resposa de deslocameo relaivo. 3 Eeharia Civil UM Número, 5

11 Desl. Especrais, S d (cm) 6 ξ = 5. % 5 4 MC 3 MP Períodos, T (s) Fiura 8 - Sismo de El Cero. Especros de resposa de deslocameo relaivo. Tabela - Resulados das aálises realizadas sobre os especros de resposa Reiso D max (cm) Deslocameos MC Desl. Especral MP Desl. Especral Desvios dos Especros Sísmico S d,5 (cm) δ Sd,5 (%) S d,5 (cm) δ Sd,5 (%) δ Sd (%) Norhride Cid. México El Cero Sobre as Fiuras 6 a 8 e sobre os resulados apreseados a Tabela, ecem-se os seuies comeários: O méodo proposo (MP) para o cálculo dos especros de resposa, o domíio das alas frequêcias (zoa de períodos baixos), produz curvas especrais que coicidem ieiramee com as curvas deermiadas pelo méodo clássico (MC) Chopra (1995). No domíio das baixas frequêcias (zoa de períodos elevados), a formulação proposa ede para o raçado correco dos especros, uma vez que, o limie, os deslocameos especrais coicidem com os valores máximos (valores de pico) ocorridos as hisórias de deslocameos; Relaivamee ao período limie dos especros (T =5 s; f =. Hz), o méodo proposo apresea desvios de deslocameos especrais relaivamee baixos quado comparados com os respecivos valores de pico, siuado-se eses desvios ere.5 e 13.3 %. Aravés do méodo clássico os desvios apreseados são cosiderados basae elevados e ecoram-se siuados ere 1.4 e 36.5 %. Saliea-se que em relação ao sismo de El Cero, o méodo clássico produz, a bada de baixas frequêcias, um especro de resposa oalmee icosisee com a hisória de deslocameos do sismo, aiido-se ese caso um erro de 36.5 %. Esa cosaação cosiui um facor decisivo a uilização de especros de resposa cosisees com as hisórias dos movimeos sísmicos, uma vez que só aravés dese ipo de especros é que se coseue ober esimaivas credíveis de valores máximos das resposas sísmicas em sisemas esruurais flexíveis; Em ermos lobais, os especros produzidos pelo méodo clássico apreseam desvios demasiado cosideráveis, quado comparados com os especros produzidos pelo méodo proposo, edo-se observado o esudo valores que variam ere 1.8 e 8.9 %. Número, 5 Eeharia Civil UM 33

12 4. CONCLUSÕES Tedo em aeção os assuos focados o decurso dese rabalho, em ermos de coclusões, impora saliear os seuies aspecos: As correcções e os processameos uméricos eralmee uilizados sobre reisos de acelerações de movimeos sísmicos, produzem hisórias de acelerações, de velocidades e de deslocameos ão compaíveis ere si. Nese coexo, desevolveu-se uma formulação que permie o cálculo de especros de resposa cosisees com as hisórias de deslocameos, velocidades e acelerações dos movimeos sísmicos; Em ermos eéricos, a formulação proposa uiliza as hisórias de deslocameos e de velocidades as zoas dos especros correspodees às baixas frequêcias, equao que a bada de alas frequêcias são uilizadas as hisórias de acelerações; A validação da formulação proposa foi demosrada aravés dos resulados obidos o esudo realizado, edo-se evideciado, aravés do esudo, que a avaliação da resposa sísmica de esruuras flexíveis, ais como, por exemplo, edifícios muio alos, poes suspesas, edifícios com isolameo a base e edifícios fudados em erreos muio brados, a uilização de especros de resposa deermiados pelo méodo proposo ese rabalho, coribui, de forma deermiae, para uma boa avaliação das esimaivas dos valores máximos das resposas esruurais. 5. REFERÊNCIAS Barros, M., Comporameo ão liear e hiseréico de solos icoerees. Avaliação da resposa sísmica de aludes, Tese de Douorameo, UAç, P. Delada, (1). Chopra, A., Dyamics of srucures Theory ad applicaios o earhquake eieeri, Preice Hall, Ic., New Jersey, (1995). Coverse, A., Brady, A., BAP: Basic sro-moio acceleroram processi sofware, versio 1., Ope-File Repor 9-96A, Uied Saes Geoloical Survey, Dever, (199). Fraoso, M. Rouxiol, Aálise sísmica de esruuras com ieracção solo-esruura, Disseração de Mesrado, IST, UTL, Lisboa, (1991). Fraoso, M. Rouxiol, Aálise ielásica do comporameo sísmico de esruuras de beão armado, Tese de Douorameo, UAç, P. Delada, (). Fraoso, M. Rouxiol, Modelação de acções sísmicas por especros de poêcia, Rel. 4/4, LREC, P. Delada, (4). Kaai, K., Semi-empirical formula for he seismic charaerisics of he roud, Bullei of he Earhquake Research Isiue, Tokyo Uiversiy, Vol. 35, pp , (1957). Kelly, J., Mechaical Vibraios, McGraw-Hill, Ic.,New York, (1993). Kramer, S., Geoechical earhquake eieeri, Preice Hall, Ic., New Jersey, (1996). Naeim, F., Kelly,J., Desi of seismic isolaed srucures From heory o pracice, Joh Wiley & Sos, Ic., New York, (1999). Tajimi, H., A saisical mehod of deermii he maximum respose of a buildi srucure duri a earhquake, Proceedis of he d World Coferece o Earhquake Eieeri, Tokyo, Vol., pp , (196). 34 Eeharia Civil UM Número, 5