7 Estimação de Parâmetros Desconhecidos e a Questão dos Diagnósticos

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1 7 Esimação de Parâmeros Descohecidos e a Quesão dos Diagósicos Nese capíulo, são apreseadas e discuidas as expressões referees às fuções de log verossimilhaça dos modelos em EE lieares (codicioalmee) Gaussiaos e ambém da fução de log verossimilhaça aproximada relaiva aos modelos em EE ão lieares ambém Gaussiaos (iso é, com erros Gaussiaos) abordados via algum filro ão liear aproximado. Uma vez defiido um modelo em EE liear (ou ão liear, mas com raameo aproximado), e coseqüeemee suas respecivas fuções de log verossimilhaça (ou de log verossimilhaça aproximada, para modelos em EE ão lieares com raameo aproximado), ora-se possível a esimação de parâmeros descohecidos, quaidades esas que, praicamee, sempre se fazem presees em siuações práicas coexualizadas o âmbio de uma aálise esaísica, por máxima verossimilhaça (ou máxima verossimilhaça aproximada). Nauralmee, as esimaivas associadas a ese méodo são obidas via maximização das fuções de log verossimilhaça adoadas, procedimeo que, em geral, exige e obriga o uso de méodos uméricos. Também são discuidos algus aspecos de esimação de máxima quasi verossimilhaça, ecologia geralmee adequada, pricipalmee, quado há idícios de violação do pressuposo de ormalidade (codicioal) do modelo proposo, por pare dos dados dispoíveis ao ajuse. Ao fial, algus procedimeos de diagósicos são apreseados, como, por exemplo, gráficos e eses para resíduos, além de algumas referêcias adicioais sobre ese ópico.

2 Fução de Log Verossimilhaça para Modelos Lieares Supoha-se que eseja dispoível uma série emporal de amaho (ão ecessariamee já observada 1 ) de um processo esocásico Y p-variado seguido um modelo em EE liear (codicioalmee) Gaussiao, do ipo discuido o capíulo 2. Deoe-se o veor de parâmeros descohecidos do modelo por ψ, seu espaço paramérico por Θ e fução de log verossimilhaça referee à série dispoível e a ao veor ψ por log L(ψ), sedo que L é a fução de verossimilhaça, cuja expressão aalíica geérica, avaliada em ψ, é usualmee dada por =2 L(ψ) p(y,...,y ) = p(y ) p(y Y,...,Y ). Será discuido mais adiae que a avaliação umérica desa úlima expressão depede suciamee de quaidades associadas às recursões de Kalma discuidas o capíulo 3 e de qual iicialização das mesmas esaria sedo adoada Iicialização Não Difusa Quado o modelo em EE promove meios para que se esabeleçam as quaidades iiciais a 1 E(α 1 ) e P 1 V(α 1 ), como é o caso de odos os modelos esacioários 2 [cf. Durbi e Koopma (2001a), págias 111 e 112, para busca desas quaidades iiciais de modelos ARMA esacioários em forma de espaço de EE], eão, sob ormalidade, ão é difícil deduzir que a log verossimilhaça assumirá a forma específica p 1-1 log L(ψ) = - log(2π) - ( log F + υ 'F υ), (7.1) 2 2 =1 1 No eao, a série há de ser observada o momeo do cômpuo das esimaivas. 2 Nese coexo de modelagem em EE liear, uma codição ecessária e suficiee para esacioariedade é que o modelo seja empo ivariae e que a mariz T eha odos os seus auovalores perecees ao círculo uiário [vide Aderso e Moore (1979) e Harvey (1989)].

3 66 a qual se oa a depedêcia de quaidades proveiees das recursões de Kalma, a saber, as iovações υ = Y Z a e a sua mariz de covariâcias F 3, para odo (a 1 e P 1 já são iicialmee dispoíveis!). Logo, para que se cosrua a fução de verossimilhaça avaliada em ψ, deve-se passar o Filro de Kalma aos dados uma vez com as marizes do sisema avaliadas em ψ. Para ao, uilizam-se as equações de previsão dadas em (3.2) combiadas às de aualização dadas em (3.3), ou aleraivamee o Filro de Kalma 2 em 1, cujas expressões esão em (3.4). Harvey (1989) popularizou a expressão de (7.1) pelo ome de decomposição pelo erro de previsão Iicialização Difusa Para modelos que demadam iicializações difusas (coforme a Defiição 3.4) como é o caso de modelos em EE com algus ou odos os elemeos do veor de esado seguido processos ão esacioários a expressão para a log verossimilhaça alvez precise de algumas modificações, e esas, por sua vez, depedem de qual ipo de iicialização difusa esaria sedo praicada Iicialização Difusa Aproximada Quado se adoa o procedimeo descrio de iicialização aproximada descrio a subseção desa Disseração, há-de se cojeurar qual o momeo d+1 em que a disribuição do veor de esado passa a ficar própria. Para modelos uivariados (iso é, p = 1), é possível provar [vide Harvey (1989)] que d coicide com o úmero de coordeadas ão esacioárias do veor de esado. Em ouras siuações mais gerais, sem a uilização de recursos como o Filro de Kalma Exao (vide subseção 3.6.2), a busca de d, como já explaado previamee, assume caráer ad hoc. 3 Supõe-se, sem perda de geeralidade, que esa mariz, cuja expressão se ecora o fial da seção 3.1, é iverível. Caso iso ão acoeça, pode-se redefiir o modelo em EE de forma a coorar o problema. Vide Koopma e Durbi (2000) ou o capíulo 6 de Durbi e Koopma (2001a) para maiores dealhes.

4 67 Uma vez esabelecido d, e edo em mee de que as expressões para a iovação e para a sua mariz de variâcia e covariâcia ão esão eoricamee bem defiidos os isaes = 1,..., d, pode-se adoar a seguie fução de log verossimilhaça codicioal dada por (-d)p 1-1 log L(ψ) = - log(2π) - ( log F + υ 'F υ). (7.2) 2 2 =d+1 Observe-se que esa versão da log verossimilhaça faz com que se percam os d primeiros veores de medidas, algo que pode sigificar fala de iformação alvez relevae para o processo de esimação de parâmeros descohecidos, pricipalmee para séries ão ão logas. Além disso, as propagações de erro geradas pela adoção de um κ grade (mas ão ifiio!) podem gerar algum ipo de viés. Koopma, Shephard e Doorik (1999) argumeam que ão há muia difereça em se usar a expressão reproduzida em (7.1), em subsiuição àquela referida em (7.2), uma vez que F -1, em geral, assume valores muio pequeos (ou seja, é próxima da mariz ula) os isaes = 1,..., d, a adoção de κ grade Iicialização Difusa Exaa Lembrado das vaages relaivas ao processo de iicialização difusa via Filro de Kalma Exao, discuidas a subseção 3.6.2, desaca-se aquela que diz respeio à possibilidade de se cosruir uma fução de log verossimilhaça exaa. Com efeio: é possível mosrar, sob esa ecologia de iicialização, que expressões evolvedo os veores iiciais das medidas são deduíveis e podem ser iseridas o somaório de (7.2). Oura vaagem que se observa é a ausêcia de qualquer ipo de viés iduzido por aproximações relaivas à escolha de variâcias iiciais grades (porém ão ifiias ). A expressão para a fução de log verossimilhaça exaa, deomiada usualmee por fução de log verossimilhaça difusa e deduzida o capíulo 7 de Durbi e Koopma (2001a), se resume a

5 68 d p =1 2 =d+1,, (0) -1 (0) *, *,, -1 ( ) log L(ψ) = - log(2π) - ω - log F + υ 'F υ a qual ω = log F, F > 0 = log F + υ 'F υ, F = 0, (7.3) sedo que expressões apropriadas para F,, F e *, (0) υ, referees às recursões do Filro de Kalma Exao, se ecoram o capíulo 5 ambém de Durbi e Koopma (2001a). Observe-se que esa log verossimilhaça exaa, assim como as aeriores dadas em (7.1) e (7.2), são direamee adequadas ao se fazer uso da Meodologia de Dora (vide capíulos 4 e 5), pois a ocasião, embora se rabalhe com um veor de medidas aumeado, aida são ajusados modelos em EE lieares (codicioalmee) Gaussiaos. Em ajuses de modelos em EE lieares a pare aplicada desa Disseração (capíulo 9), a fução de log verossimilhaça a ser adoada é a exaa. 7.2 Fução de Quasi Log Verossimilhaça para Modelos Lieares Se houver idícios de que o modelo ajusado ão for regido por disribuições ormais, as expressões dadas em (7.1), (7.2) e (7.3) aida cosumam ser usadas como represeaes aproximadas da verdadeira fução de log verossimilhaça, em geral descohecida. Nese coexo, ais expressões cosiuem as chamadas fuções de quasi log verossimilhaça, e os esimadores/esimaivas, resulaes de maximização desas, são deomiados esimadores/esimaivas de quasi verossimilhaça.

6 Propriedades Assióicas dos Esimadores de (Quasi) Máxima Verossimilhaça O esimador de (quasi) máxima verossimilhaça o qual é o veor aleaório defiido por ˆψ argmax log L(ψ) apresea, eveualmee, ψ Θ propriedades assióicas ieressaes, como cosisêcia fore e ormalidade. No eao, há que se posular algumas codições suficiees, em sempre ão direas de serem checadas, para que ais propriedades sejam garaidas. Tal arefa é depedee do modelo em quesão, o que diz respeio a rês faores: a) sua codição de esacioariedade; b) suas caracerísicas empo-ivariaes; e c) de quais marizes do sisema depedem ou ão de elemeos de ψ. Como as aplicações da Disseração ão cocerem iferêcias esaísicas para parâmeros, ão serão, porao, exposos dealhes. O pesquisador mais ieressado é covidado a esudar as seguies referêcias: Paga (1980), Harvey (1989), Ghosh (1989), Waso (1989), Bollerslev e Wooldridge (1992), Hamilo (1994) e Whie (1994). 7.4 Fução de Log Verossimilhaça Aproximada para Modelos Não Lieares Via Traameo Aproximado Supoha-se, agora, que eseja dispoível uma série emporal exraída de um processo esocásico Y p-variado seguido um modelo em EE ão liear discuido a seção 6.1, com veores de erro das equações das medidas e do esado Gaussiaos e idepedees ere si, e com os pressuposos adicioais requeridos pelo filro ão liear aproximado adoado. Deoe-se ovamee por ψ o veor de parâmeros descohecidos e por Θ o respecivo espaço paramérico. Embora seja eoricamee difícil que se esabeleça uma log verossimilhaça correa para ψ e para a série em quesão, aida resa uma aleraiva maemaicamee iformal para a esimação de ψ. Esa cosiui o méodo da máxima verossimilhaça

7 70 aproximada, proposa, por exemplo, em Fuhrer (1992), Taizaki (1996) e Taizaki e Mariao (1996). Em suma, o méodo é muio simples, dado que já se sabe o procedimeo de cosrução de log verossimilhaças codicioais, como aquela descria em (7.2). O que se deve fazer é aproximar as verdadeiras iovações e as respecivas marizes de covariâcias codicioais por expressões derivadas dos filros ão lieares aproximados, gerado uma fução de log verossimilhaça aproximada. Por exemplo, se o Filro de Kalma Esedido for o escolhido para o processo de esimação recursiva do esado, a fução de log verossimilhaça aproximada que se levaaria é dada pela expressão em (7.1) ou (7.2), mas com as seguies expressões: υ % = Y - Z (a ) F ZPZ' & & + H, (7.4) as quais Z &, a e P esão defiidas a subseção Cosruções aálogas para os ouros filros ão lieares aproximados podem ser esabelecidas. A esimaiva resulae da maximização umérica da fução de log verossimilhaça aproximada é chamada de esimaiva de máxima verossimilhaça aproximada. Salieam-se como comeários fiais desa seção os que seguem: Não há uma eoria assióica desevolvida para eses esimadores; e Todos os problemas, exausivamee discuidos o capíulo 6, referees ao filro ão liear adoado, são auomaicamee herdados. Porao, ão se pode dizer que o méodo da máxima verossimilhaça aproximada é bom; porém, se cosiui a úica aleraiva vigee.

8 Diagósicos Aes que se omem decisões com base em um modelo em EE ajusado (ou qualquer ouro modelo esaísico), deve-se verificar se ese seria uma aproximação razoável para o verdadeiro mecaismo probabilísico gerador dos dados dispoíveis para aálise. A esa arefa, dá-se o ome de diagósicos, os quais, sob o efoque freqüeisa, se caracerizam, basicamee, pela aálise gráfica e/ou iferecial de resíduos e pelo poder prediivo do modelo ajusado (iso é, se as expressões maemáicas esimadas coseguem reproduzir relaivamee bem os dados) Aálise de Resíduos No coexo de espaço de esado, a aálise de resíduos se resume à aálise da série emporal das iovações padroizadas p 1/2 υ (F ) 1 υ, a qual F 1/2 é qualquer mariz posiiva defiida, al que 1/2 1/2 F =(F )(F ), = 1,..., 4. Esas devem apresear propriedades como: (1) média cosae e aproximadamee ula; (2) homocedasicidade icodicioal com variâcia próxima de 1; (3) ausêcia de correlação serial; e, de preferêcia (mas ão idispesavelmee), (4) aspeco Gaussiao. Todas esas propriedades podem ser ivesigadas por procedimeos gráficos e descriivos, ais como os seguies a serem usados a ordem abaixo 5 : 1) plo da série o empo; 2) fução de auocorrelação (ão parcial e parcial); 3) fução de desidade especral suavizada; 4 Como F é mariz simérica ão egaiva, eão a exisêcia de F 1/2 é assegurada pelo Teorema da Decomposição da Raiz Quadrada [cf. Kubrusly (2001), Teorema 5.85]. 5 Esa ordem apreseada ão é obrigaória de ser praicada; mas é recomedável pelo fao de ser correa. Ouras possibilidades seriam eveualmee lícias, desde que ão rasgridam ehuma lógica esaísica. Por exemplo, ão seria razoável checar ormalidade ou se calcular a variâcia amosral de uma série, aes que se esabeleça sua codição de esacioariedade.

9 72 4) média e variâcia amosrais; 5) hisograma; e 6) QQ plo com base a disribuição ormal. Oura forma de se realizar ese ipo de aálise é caracerizada pela práica iesiva de eses de hipóese de especificações, de modo que se chequem os pressuposos em quesão. Ciam-se, já disposos em uma ordem idicada para realização, os seguies eses 6 : 1) Teses radicioais de heerocedasicidade, como o de Whie e o do Muliplicador de Lagrage; 2) Teses de auo-correlação serial, como o de Ljug-Box e o do Muliplicador de Lagrage; 3) Teses de média e de variâcia baseados o Teorema Ceral do Limie para Processos Depedees; e 4) Teses de ormalidade, como o de Jarque e Bera e o de Aderso e Darlig. Por já esarem muio bem esabelecidos a lieraura esaísica, eses procedimeos (gráficos, medidas descriivas e eses de hipóese) ão serão descrios pormeorizadamee esa Disseração embora sejam eveualmee praicados o capíulo 9. O pesquisador ieressado o assuo é covidado a esudar referêcias-padrões sobre aálise de séries emporais; ciam-se Hamilo (1994) e Brockwell e Davis (1996) como exemplos. No eao, ambém são idicados exos que já direcioam a discussão sobre eses e ouros procedimeos para a perspeciva da modelagem em EE, como Harvey (1989), de Jog e Pezer (1998) e Durbi e Koopma (2001a). 6 O mesmo coeúdo da oa aerior.

10 Aálise do Poder Prediivo O poder prediivo de um modelo em EE ajusado pode ser checado aravés da comparação de valores reais dos dados (o coexo presee, eses são as observações das medidas) com os valores previsos dos mesmos. Ese procedimeo pode ser realizado aravés da abordagem dero da amosra (i sample) ou da abordagem fora da amosra (ou of sample). Idique-se por Y, = 1,...,, a série relaiva a j-ésima coordeada do veor de medidas, e por,j Ŷ,j/-1 o correspodee previso um passo à free, sedo, obviamee, que j = 1,..., p. Para se checar a proximidade ere esas duas séries, as maeiras mais aurais seriam aravés de: - Gráfico simulâeo das séries o empo em um mesmo gráfico; - Diagrama de dispersão ere as duas séries; e - Cálculo de medidas descriivas, como: 1 - d,j,j/-1 MAPE = 100 % =d+1 Y - Y ˆ Y,j 1 ˆ 2,j,j/-1 =d+1 MSE = (Y - Y ) (7.5) - d 2 2 PseudoR = Corr(Y ˆ,j,Y,j/-1). Para modelos adequados aos dados, espera-se que os procedimeos acima idiquem aderêcia relaivamee saisfaória ere observados e previsos (Scaer plo com poos em oro do gráfico da fução ideidade, Pseudo R 2 próximo de 1 ec.).