MAT302 - Cálculo 2. INTEGRAIS Integral Indefinida pág Bibliografia: Cálculo volume I, 5 edição. James Stewart Prof.

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1 MAT - Cálculo Biliografia: Cálculo volume I, 5 edição. James Sewar Prof. Valdecir Boega INTEGRAIS Iegral Idefiida pág. 4 Aé aqui, osso prolema ásico era: ecorar a derivada de uma fução dada. A parir de agora, esudaremos o prolema iverso: ecorar uma fução cuja derivada é dada. Eemplo: Qual é a fução cuja derivada é a fução F? f, pois d. A fução F é chamada uma aiderivada de F. Defiição: Uma aiderivada da fução f é uma fução F al que F f em odo poo ode f é defiida. Oservação: Saemos que F é uma aiderivada de F, assim como: G e H 5. Na verdade, qualquer fução do ipo J C é aiderivada de F. Teorema: Se F f em odo poo do iervalo aero I, eão oda aiderivada G, de f em I, em a forma ode C é uma cosae. G FC Assim, uma úica fução em muias aiderivadas. O cojuo de odas as aiderivadas da fução F é chamada iegral idefiida (ou aidiferecial) de f com relação a e deoada por f. f FC A operação de aidifereciação, assim como a difereciação, é liear: cf cf (ode c é uma cosae) fg f g e

2 A iegração e a difereciação são operações iversas uma da oura. Ese fao os permie oer fórmulas de iegração direamee das fórmulas de difereciação. FÓRMULAS: C (se ) si cos C audu l secu C C sec ac coudu l siu C e e C csc coc secudu l secu au C lc seca secc cscudu l cscu cou C cos sic cscco cscc RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: si cos a sec co csc sec cos csc si a si cos co cos si LISTA DE EXERCÍCIOS : Calcule a iegral de: 5u/ du 46 d 54 6y y dy 7 d / si cos 4 si cos d 55cos 4si 7 cos si 84csccosec 9csc 5secad co a d g 4cos cos d

3 Resposas: ) C u 5/ C / C / C 5 4 C 6 y6 4 y4 C 7 C C 9 5 5/ / C 5 5/ C 5C 5 5/ 8 / 8 / C 4 4/ / C 4 cos sic 55si4cos C 6secC 7cscC 84cscaC 9co5secC co a C sec 4si C Iegração por Susiuição: Traalharemos algumas écicas para iegrar fuções composas. Essas écicas evolvem uma susiuição. O uso da susiuição a iegração pode ser comparado ao uso da Regra da Cadeia a difereciação. Iiciaremos recordado a Regra da Cadeia da difereciação. Seja a fução y fg com y fu e u g fuções difereciáveis. Para calcular y devemos uilizar a Regra da Cadeia e oeremos: y d fg f g. g f u. u Eemplo: Derive a fução composa y : Seja u. Eão y u. Uilizado a Regra da Cadeia, oemos: y u.u u... Teorema: Sejam f e g duas fuções ais que fgeg são coíuas em um iervalo I. Se F é uma aiderivada de f em I, eão: fgg Fg C E. : Calcule e cos si. Resp.:e cos C E. : Calcule cos. Resp.: E. : Calcule. Resp.: l C E. 4: Calcule e. Resp.: e C E. 5: Calcule e. Resp.: e C E. 6: Calcule d Resp.: 6 C

4 LISTA DE EXERCÍCIOS : Calcule a iegral de: ) 4 ) csc d 5) ) 5r dr 4) r sec r dr 6) secacossec ) 4 5) 4 si cos 7) 4) 6 6) d 8) 4 5) 7) si cos 9) 5 6) sds s 7) ) cos 4 si 4 8) 4. 8) si cosd ) cos si d ) sec d )co5csc5 ) si cos 9) ) 4 4 ) 4 ) /4 5 ) ss ds 4) l ) si ) / d 5) l ) cos 4 d 4) / d 6) d Resposas ) ) 4 5 5r ) 4 4) 4 4 C ) co C 5) / 4 / C 4) ar C 6) sisecc C 5) 4 cos C 8 7 C 6) 7) - l C / C 8) l 4C 5) 4 C 7) cos / C 9) 5 l 5 C 6) 7) 8) s C 8) si4 C ) l si C C 9) 4 si C 4 ) l cos 5C 5 5 C ) 9) ) 4 8 a C ) l si l cos C ) C ) 4l 4 C 4 7 9/ /4 C ) 7 s s 5 8 s 4) l l C ) cos C ) 56 7/ 4/ C 5) ) 6 si4 C 4) 5 l C 5/ C 6) l C 4

5 Somaório: Traalhamos o capíulo aerior com o coceio de iegral idefiida ou aidiferecial. A parir dese momeo raalharemos com um ovo prolema: Como ecorar a área de uma região o plao. Essas duas oções esão relacioadas pelo Teorema Fudameal do Cálculo. O cálculo da área de uma região evolve a oação de somaório, que é uma forma areviada de escrever somas de muios ermos. Esa oação uiliza a lera grega maiúscula sigma. Defiição; A soma de emos a, a,..., a é deoada por ai a a...a i ode i é o ídice do somaório, a i é o i-ésimo ermo da soma e e são, respecivamee, os limies superior e iferior do somaório. Eemplos: 4 ) i 4 i 5 ) j 4 5 j ) i f i f f...f Oservações: ) Os limies superior e iferior do somaório em que ser cosaes. ) O limie iferior ão precisa ser. Pode ser qualquer valor ieiro meor ou igual ao limie superior. ) Qualquer variável ( i, j ou k) pode ser usada como ídice do somaório. Área de uma região plaa: Defiição: Seja uma fução coíua, ão-egaiva y f. Esudaremos a região A limiada iferiormee pelo eio, à esquerda pela rea a, à direia pela rea e superiormee pela curva y f. Podemos ear a aproimação da área A omado reâgulos iscrios ou circuscrios. A somaória das áreas de cada reâgulo pode ser usada como uma aproimação para a área desejada. A alura de cada reâgulo é o valor da fução f para algum poo ao logo da ase do reâgulo. Escolhemos para a ase de cada reâgulo. A área será aproimadamee igual à somaória: S f f...f S f i i quado usamos reâgulos com ase e i como um poo ao logo da ase do i-ésimo reâgulo. 5

6 a f 6 Eemplo: Calcule a área aaio da fução y de à. ( ) ( ) ( ) R = = 5 = Oservação: Quao meor escolhermos a largura, melhor será a aproimação da área so a curva. Quado, o úmero de ermos da somaória de aproimação S aumea. De fao, quado, e a somaória S se aproima da área eaa A so a curva. Ese processo pode ser simolizado por: lim S A. No eemplo aerior, R = (... ) = (... ) = ( + )( + ) = 6 ( + )( + ) R = 6 ( + )( + ) = 6 lim R ( + )( + ) = lim = lim 6 = lim = 6 = A Iegral Defiida: A área defiida acima é chamada a iegral de f o iervaloa,, a qual é idicada com o símolo

7 Por defiição: a f lim i f i. Quado ese limie eise, dizemos que a fução f é iegrável o iervaloa,. Noa: Toda fução coíua um iervalo fechado é iegrável esse iervalo. A iegral o iervalo a, é lida como iegral de a aé e esses úmeros a e são chamados os limies de iegração (iferior e superior, respecivamee), a fução f é chamada iegrado. O símolo de iegral é devido a Leiiz, uma aiga grafia da lera S de soma, usado para lemrar que esamos raalhado com o limie de uma seqüêcia de somas (soma de Riema). Oservação: Dada uma fução f : Oserve que quado f o reâgulo esá acima do eio e quado f o reâgulo esá aaio do eio. A soma de Riema é a soma das áreas, cosiderado os siais dos reâgulos, iso é, se o reâgulo esá para cima do eio a soma das áreas é posiiva e se o reâgulo esá para aio do eio, a soma das áreas é egaiva. Iso sugere que a a f será a soma das áreas dos reâgulos acima do eio, mais a soma das áreas dos reâgulos aaio do eio (A acima A aaio ). Por eemplo, f. f, pois a soma das áreas dos reâgulos que esão aaio do eio é 4 e a soma das áreas dos reâgulos que esão acima do eio é. Porao, A acima A aaio 4. Noe que f ão represea a área da região limiada pela curva, pelo eio e pelas reas e. Para que a iegral represee a área, a fução f deverá verificar as seguies codições: ) f é coíua o iervalo fechadoa, ; ) f é ão-egaiva o iervalo fechadoa,. Aí sim, a área da região limiada pelo gráfico da fução f, o eio dos e as reas vericais a e é dada por Área a f Aeção: ) Quado f, a Área a f. ) É imporae oar que, a iegral defiida é um úmero e a iegral idefiida é uma família de fuções. Eercício: Calcule e cosrua os gráficos das fuções evolvidas: 7

8 ( ) = A A = ( ) ( ) =.5 Iegrais Pariculares: a a f, para f defiida em a. a f a f, para f iegrável ema,. Propriedades da Iegral Defiida: ) a f a c fc f, para f iegrável os rês iervalos fechados deermiados por a, e c. ) a kf ka f, para f iegrável ema, e k. ) a fg a fa g, para f e g iegráveis ema,. 4) a f, para f iegrável e ão-egaiva o iervalo fechadoa,. 5) a f a g, para f e g iegráveis o iervalo fechadoa, e f g para odo ema,. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO: Pare : Seja f coíua o iervalo fechado a, e F uma fução al que F f para odo a,. Eão, F a fd Eemplo : Ache a derivada da fução F d. Eemplo : Ache a derivada da fução F d. Pare : Seja f coíua o iervalo fechado a, e F uma fução al que F f para odo a,. Eão, f Fa FFa a E. : Calcule. Resposa: 5 4 E. : Calcule 6. Resposa:6 8

9 LISTA DE EXERCÍCIOS : Calcule a iegral de: ) / 5 R.: / 5) si R.: 9) R.: 9/ ) z z dz R.: /6 6) d R.: /97 ) R.: 56/5 ) y 5 R.: 4/ 7) y y y 4 dy R.: ) R.: 5/6 4) w 4 w 5 dw R.: -8 8) wdw w /4 R.: 4/5 ) sicos R.: ) Lisa de eercícios 5. págia 4 eercícios 9 ao. Use o eorema fudameal do cálculo, pare, para calcular a iegral, ou eplique por que ela ão eise. Resposas ÁREAS DE REGIÕES PLANAS: CÁLCULO DE ÁREAS POR INTEGRAÇÃO EM : Seja uma região um plao y, limiada em cima pela fução y f, emaio pela curva y g e que se eseda desde a aé. Se as iegrais de f e g de a aé eisem eão a área da região é A a fg 9

10 E. : Calcule a área limiada pelas paráolas y e e y e pelas rea vericais e. ( ) A = e = e = e = e.5 E. : Calcule a área limiada pelas paráolas y e y. ( ) ( ) A = = = = = E. : Ache a área da região delimiada pelos gráficos das fuções y se e y cos de aé. π A = cos si = A + A π 4 π ( cos si ) ( ) si cos π 4 π 4 π [ si cos ] [ cos si ] = + = + + π 4 = = E. 4: Ache a área da região delimiada pelos gráficos das fuções y e y de aé : Resposa: u.a. E. 5: Calcule a área limiada pelas paráolas y e y e pela rea verical : Resposa: 6 u.a. E. 6: Ache a área da região delimiada pelos gráficos das fuções y 6 e y de aé : Resposa: u.a. CÁLCULO DE ÁREAS POR INTEGRAÇÃO EM y :

11 Seja uma região limiada à direia pela curva My e à esquerda pela curva Ny de y c emaio aé y d em cima. A área da região é A c d MyNydy ou A c d r l dy E. : Trace a região limiada pela paráola y 6epela rea y,calcule a área: ( ) A = dy R ( ) ( ) ( 4) y y = + + 4y L = y + y dy = y + y + dy ( ) = (64) = 8 E. : Trace a região limiada pela paráola y e pelas reas y,y e y, calcule a área: Resposa: 8 u.a. E. : Trace a região limiada pela paráola y e pelas reas y 4, y e y, calcule a área: Resposa: u.a. LISTA DE EXERCÍCIOS 4: ) Ache a área da região limiada por: a) y, eio, e. R.: 5 ) y 6, eio. R.: 5/6 c) y 65, eio. R.: / d) y, y 8. R.: 7 e) 4 y, 4 4y. R.: / f) y y, yy. R.: / ) A área da região limiada pelos gráficos de y e y ão pode ser calculada uilizado-se apeas a iegral. Eplique por quê. Em seguida use um argumeo de simeria para escrever uma só iegral que represee a área em quesão. ) Uilize iegração para calcular a área do riâgulo cujos vérices são,,4, e4,4. R.: 8. 4) Ache, por iegração, a área do riâgulo edo vérices,4,, e,. R.:9/ 5) Deermie a área da região limiada pelos gráficos das equações y e e y, e. Resposa:,5 u.a. 6) Ache a área da região delimiada pelos gráficos das fuções y e y 4 de aé : Resposa: 4 u.a. 7) Ache a área da região delimiada pelos gráficos das fuções y e y de aé 4 : 4 Resposa: u.a.

12 8) Trace a região limiada pela paráola 4Yy e pelas reas e y, calcule a área: Resposa: u.a. 9) Ache a área da região delimiada pelos gráficos das fuções y e y de y aé y : 4 Resposa: u.a. ) Ache a área da região delimiada pelos gráficos das fuções y e y de y aé y : 9 Resposa: u.a. ) Calcule as áreas das regiões aaio. a) Limiada pela rea y, pelo eio e pelas reas 5 e. R.: 44 ) Limiada pela curva y 4, pelo eio e pelas reas e. R.: 5/ c) Limiada pela curva y, pelo eio e pelas reas e. R.: 5/6 d) Limiada pela curva y 4, pelo eio e pelas reas e. R.: /4 VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO: MÉTODO DOS DISCOS (CILINDROS): Supohamos que a pare superior de uma região R seja uma fução y f e a pare iferior, a rea y L, de a aé. Eão, o sólido gerado pela roação da região R em oro da rea y L em volume: V a A a fl E. : Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela fução y, girado em oro da rea y para aé : V = = A( ) π π = π = E. : Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela fução y, girado em oro do eio y para y aé y 8 V = = 8 8 A( y) dy π y dy π = π 5 y = 5

13 E. : Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela fução y, girado em oro da rea y para aé : Resposa: 6 u.v. 7 E. 4: A região delimiada pelo eio, pelo gráfico da fução y e pelas reas e gira em oro do eio. Deermie o volume do sólido resulae: Resposa: 56 u.v. 5 E. 5: A região delimiada pelo eio y e pelos gráficos de y, y e y 8 gira em oro do eio y. Deermie o volume do sólido resulae: Resposa: 9 u.v. 5 MÉTODO DOS ANÉIS: Supohamos que a pare de cima de uma região R seja y f e a pare de aio seja y g de a aé, eão o volume do sólido gerado pela roação da região R em oro da rea horizoal y L é V a A a R r ode R é o raio eerior da seção em e r é o raio ierior da seção em. E. 6: A região delimiada pelos gráficos de y e y e pelas reas vericais e, gira em oro do eio. Deermie o volume do sólido resulae: V = A( ) 4 = π ( ) 5 = π 5 π = 5 E. 7: A região delimiada pelos gráficos de y y. Deermie o volume do sólido resulae: e y e pelas reas vericais e, gira em oro do eio E. 8: A região delimiada pelos gráficos de y. Deermie o volume do sólido resulae: V = A( ) ( ) = π ( ) 4 ( 5 4 ) = π + 5 8π = π = 5 5 e y e pelas reas vericais e, gira em oro do eio

14 V = A( y) dy ( ) ( ) = π y y + + dy ( ) = π y y y dy 4y y y π = π = E. 9: Dado o riâgulo delimiado pelas reas y e y de aé 4. Calcule o volume do sólido 4 4 gerado pela roação dese riâgulo em oro do eio horizoal y. Resposa: 6 u.v. E. : A região delimiada pelos gráficos de y e y e pelas reas vericais e, gira em oro do eio. Deermie o volume do sólido resulae: Resposa: 79 u.v. LISTA DE EXERCÍCIOS 5: ) Calcule o volume do sólido gerado pela roação da região delimiada pelos gráficos de y e y e pelas reas vericais e, girado em oro da rea y. Resposa: 5 u.v ) A região do primeiro quadrae delimiada pelos gráficos de y 8 e y, gira em oro do eio y. Deermie o volume do sólido resulae: Resposa: 5 5 u.v. ) A região delimiada pelos gráficos de y e y, gira em oro do eio y. Deermie o volume do sólido resulae: Resposa: 64 5 u.v. 4) A região delimiada pelos gráficos de y e y, gira em oro do eio y. Deermie o volume do sólido resulae: Resposa: 7 5 u.v. 5) A região delimiada pelos gráficos de y e y 4, gira em oro do eio. Deermie o volume do sólido resulae: Resposa: 6 u.v. 6) Esaeleça uma iegral que permia achar o volume do sólido gerado pela revolução da fução y 4 o primeiro quadrae, girado em oro da rea: a) y Resp.: 64 u.v. ) y 5 Resp.: 48 u.v. c) 7 Resp.: 6 u.v. d) 4 Resp.: 8 u.v. 4

15 Comprimeo de arco L = lim i = P P i i P P = ( ) + ( y y ) i i i i i i = ( ) + ( y ) i f ( ) f ( ) = f '( )( ) * i i i i i y = f i * '( i ) P P = ( ) + ( y ) i i i f * = ( ) + '( i ) * i = + f '( ) ( ) * f '( ) i (sice ) = + > L = lim i = P P i i * lim '( i ) i = = + f a [ ] + f '( ) Eercício: Calcule o comprimeo da curva marcada o gráfico. y dy = = 4 4 dy 9 L + = + 4 L = u 4 = = ( ) u du ( 8 ) = Fução Comprimeo de curva Eemplo: Se f ⅛l, eão 5

16 + [ f '( ) ] = + = = = + 8 Para a curva, de (, ) aé (, f()) emos: s () = + l 8 l = [ ] s( ) = + f '( ) d = 8 d ] 8 l = + = + l 8 Iegração por pares (Seção 7. pág. 47) Nesa seção aprederemos como iegrar fuções compleas por pares. Cada regra de derivação em oura correspodee de iegração Por eemplo, a Regra de Susiuição para a iegração correspode à Regra da Cadeia para a derivação. Aquela que correspode à Regra do Produo para a derivação é chamada iegração por pares. A Regrado Produo afirma que se f e g são fuções deriváveis, eão d [ f ( ) g ( )] = f ( ) g '( ) + g ( ) f '( ) [ ] f ( ) g '( ) + g( ) f '( ) = f ( ) g( ) f ( ) g '( ) + g ( ) f '( ) = f ( ) g ( ) f ( ) g '( ) = f ( ) g( ) g( ) f '( ) Seja u f e v g. Eão, as difereciais são du f e dv g Assim, pela Regra da susiuição, a fórmula da iegração por pares ora-se u dv = uv v du 6

17 Eemplo. Ecorese } u dv v } u v } du si = si = ( cos ) ( cos ) = cos + cos = cos + si + C É ieressae verificar a resposa, derivado-a. Se fizermos isso, oeremos se, como esperado. Se ivéssemos escolhido u si e dv, eão du cos e v /, eríamos si = (si ) cos Emora isso seja verdadeiro, cos é uma iegral mais difícil que a aerior. OBSERVAÇÃO Em geral, ao decidir sore uma escolha para u e dv, geralmee eamos escolher u como uma fução que se ora mais simples quado derivada. ou ao meos ão mais complicada. Coao que dv possa ser proamee iegrada para forecer v. Eemplo. Calcule l Não emos muias escolhas para u e dv. Seja u l, dv. Eão, du, v. Iegrado por pares, emos: l = l = l = l + C A iegração por pares é eficaz esse eemplo porque a derivada da fuçãof l é mais simples que f. Eemplo. Calcule e d. Noe que se ora mais simples quado derivada. Equao, e permaece ialerada. u = dv = e d du = d v = e e d = e e d A iegral que oivemos, e d, É mais simples que a iegral origial, mas aida ão é óvia. Porao, usamos iegração por pares mais uma vez. Escolhedo u, dv e d e du d, v e. e d = e e d e e + C Susiuido a equação origial, emos e d e e d = = e ( e e + C) = + e e e C ode C C. Eemplo 4: Calcule e se. Teamos escolher u e e dv si. Eão du e e v cos. 7

18 e si = e cos + e cos Mas e cos ão é mais simples que a iegral origial. Teamos iegrar ovamee. Desa vez usaremos u e e dv cos, eão, du e e v se, e e cos = e si e si Susiuido a equação origial emos e si = e cos + e si e si Somado e se, os dois lados da equação oemos: e si = e cos + e si Dividido oda equação por dois: e si = e (si cos ) + C INTEGRAIS DEFINIDAS a udv uv a a vdu LISTA DE EXERCÍCIOS 6: Calcule a iegral de: ) e. Resp.: e e C ) e R.: e 4 C ) e R.: e C 4) e R.: C 4e 5) e R.: e 66C 6) l. Resp.: l 9 C 7) l R.: lc 8)l R.: l lc 9) l R.: l C ) e cos. Resp.: 5 e cos 5 e sic 8

19 Resolva os eercícios umero ao da seção 7. págia 476 do livro eo. Calcule as iegrais Resposas dos eercícios ímpares Iegral Trigoomérica 7. (pág. 478) Eemplo: Calcule cos A simples susiuição u cos ão ajuda, porque assim emos du se? Logo, para iegrar poêcias de cosseo, ecessiamos de um faor era se. Aalogamee, uma poêcia de seo precisa de um faor era cos. Dessa forma, podemos separar um faor cosseo e coverer o faor cos resae em uma epressão evolvedo o seo usado a ideidade se cos : cos cos.cos se cos. Podemos eão calcular a iegral susiuido u se, de modo que, du cos e = cos cos cos = ( si )cos = ( u ) du = u u + C = si + si C Eemplo : Calcule se 5 cos Poderíamos coverer cos para se. Mas ficaríamos com uma epressão em ermos de se sem um faor era cos. Em vez disso, separamos um úico faor de seo e reescrevemos o faor si 4 resae em ermos de cos. Eão, emos: 5 si cos = (si ) cos si ( cos ) cos si = Susiuido u cos, os emos du si. Assim 9

20 5 si cos = (si ) cos si = = ( cos ) cos si ( u ) u ( du) u u u = ( u u + u ) du = + + C 5 7 = cos + cos cos + C Nos eemplos aeriores, uma poêcia ímpar de seo ou cosseo os permiiu separar um úico faor e coverer a poêcia par remaescee. Se um iegrado coém poêcias pares ao para seo como para cosseo, essa esraégia falha.nesse caso, podemos aproveiar as ideidades dos âgulos-meade. se cos e cos cos. Eemplo : Calcule se. Se escrevermos si cos, a iegral ão é mais simples de calcular. Usado a fórmula do âgulo-meade para si, emos: π π si = ( cos ) [ ( si ) ] = = ( π si π ) ( si ) = π π Oserve que mealmee fizemos a susiuição u quado iegramos cos. Eemplo 4. Calcule se 4 4 si = (si ) usado: cos = = + 4 cos = ( + cos 4 ) ( cos cos ) [ ] ( cos cos 4) ( si si 4) C si = cos + ( + cos 4 ) 4 4 = + 4 = Podemos usar uma esraégia semelhae para avaliar iegrais da forma a m sec. Caso seja par, como d a sec, podemos separar um faor sec. Em seguida, coverer o resae usado a ideidade sec a e usar u a. Eemplo 5: Calcule a 6 sec 4.

21 6 4 6 a sec = a sec sec 6 = a ( + a )sec u ( u ) du ( u u ) du = + = u u = + + C 7 9 = a + a + C Aleraivamee ( m ímpar), como d sec seca, podemos separar um faor seca e coverer o resae usado a ideidade aerior e u sec. Eemplo 6: Calcule a 5 sec a sec = a sec sec a θ θ θ θ θ θ dθ 6 = (sec θ ) sec θ secθ aθ dθ = ( u ) u du = ( u u + u ) du 9 7 u u u = + + C 9 7 = sec θ sec θ + sec θ + C

22 LISTA DE EXERCÍCIOS 7: Resolva as iegrais úmero ao 8 da págia 484. Resposas ímpares

23 7.4 Iegração de Fuções Racioais por Frações Parciais Nesa seção mosraremos como iegrar qualquer fução racioal (um quocieede poliômios) epressado-a como uma soma de frações mais simples, chama das frações parciais, que já saemos como iegrar. Para ilusrar o méodo, oserve que, levado as frações / e / a um deomiador comum, oemos: ( + ) ( ) = = + ( )( + ) + 5 = + Se reverermos o procedimeo, veremos como iegrar a fução o lado direio dessa equação: + 5 = + + = l l + + C Para ver como esse méodo de frações parciais fucioa em geral, cosideramos a fução racioal P( ) f ( ) = Q( ) ode P e Q são poliômios. É possível epressar f como uma soma de frações mais simples, desde que o grau de P seja meor que o graude Q. Essa fução racioal é deomiada própria. Se f e impropria, iso e, graup grauq, eao devemos fazer uma eapa prelimiar dividido P por Q (pordivisaode poliomios). Aé o reso R ser oido, com graur grauq. O resulado da divisão é P( ) R( ) f ( ) = = S( ) + Q( ) Q( ) ode S e R são poliômios amém. Eemplo. Ecore + Como o grau do umerador é maior que o grau do deomiador, primeiro devemos fazer a divisão. Isso os permie escrever: + = = l + C A próima eapa é faorar o deomiador Q o máimo possível. É possível demosrar que qualquer poliômio Q pode ser faorado como um produode faores lieares (da forma a) e faores quadráicos irreduíveis (da forma a c, ode 4ac ). Por eemplo, se Q 4 6, poderíamosfaorá-lo como: Q ( ) = ( 4)( + 4) = + + ( )( )( 4) A erceira eapa é epressar a fução racioal própria R/Q como uma soma de frações parciais da forma: A a i ou AB a c. j

24 Um eorema a álgera garae que é sempre possível fazer isso. Eplicamos os dealhes para os quaro casos que ocorrem. CASO O deomiador Q() é um produo de faores lieares disios. Isso sigifica que podemos escrever. Q a a...a k k ode ehum faor é repeido (e ehum faor é múliplo cosae do ouro). Nesse caso o eorema das frações parciais afirma que eisem cosaes A, A,..., Ak alque: R( ) A A Ak = Q( ) a + a + a + Essas cosaes podem ser deermiadas como o eemplo seguie. Eemplo. Calcule + + k k Como o grau do umerador é meor que o grau do deomiador, ão precisamos dividir. Faoramos o deomiador como: / Como o deomiador em rês faores lieares disios. A decomposição em frações parciais do iegrado em a forma: + A B C = + + ( )( + ) + Para deermiar os valores de A, B e C muliplicamos amos os lados dessa equação pelo produo dos deomiadores,, oedo: ABC Epadido o lado direio da Equação e escrevedo-a a forma-padrão para os poliômios, emos: ABC ABCA Isso resula o seguie sisema de equações para A, B e C: ABC A ABC B /5 ABC C / E assim, + + = = l + l + + K CASO Q é um produode faores lieares, e algus dos faores são repeidos. Supoha que o primeiro faor liear a seja repeido r vezes. Iso é, a r ocorre a faoração de Q. Eão, em vez de um úico ermo A /a, usaríamos. A A A a ( a ) ( a ) r r Para ilusrar, poderíamos escrever. 4

25 + A B C D E = ( ) ( ) ( ) Eemplo 4. Ecore A primeira eapa é dividir. O resulado da divisão de poliômios é: = A seguda eapa é faorar o deomiador Q. Como Q, saemos que éum faor e oemos: + = ( )( ) = ( )( )( + ) = + ( ) ( ) Como o faorl iear ocorre duas vezes, a decomposição em frações parciais é: 4 = A + B + C ( ) ( + ) ( ) + Muliplicado pelo míimo deomiador comum,, emos: 4 = A( )( + ) + B( + ) + C( ) = ( A C) ( B C) ( A B C) Agora igualamos os coeficiees: A + C = B C = 4 A + B + C = Resolvedo, oemos: A, B, C-. Assim 5

26 = ( ) = + + l l + + K = + + l + K + CASO Q coém faores quadráicos irreduíveis, ehum dos quais se repee. Se Q em o faor a c, ode 4ac, eão, além das frações parciais, a epressão para R/Q erá um ermo daforma A + B a + + c em que A e B são as cosaes a serem deermiadas. Eemplo 5. Calcule Como 4 4 ão pode ser mais faorado, escrevemos: + 4 A B + C = + ( + 4) + 4 Muliplicado por 4, emos: + 4 = ( + 4) + ( + ) A B C = ( A + B) + C + 4A Igualado os coeficiees, oemos: AB, C, 4A 4. Eão, A, B, e C. Logo + 4 = Para iegrar o segudo ermo, o dividimos em duas pares: =

27 + 4 ( + 4) = = l + l( + 4) a ( / ) + K CASO 4 Q coém faores quadráicos irreduíveis repeidos. Se Q em um faora c r ode 4ac. Eão, em vez de uma úica fração parcial, a soma A + B A + B Ar + Br a + + c ( a + + c) ( a + + c) ocorre a decomposição em frações parciais de R/Q. Cada um dos ermos pode ser iegrado primeiro compleado o quadrado. Eemplo 6. Calcule + ( + ) A forma da decomposição em frações parciais é: = + + ( + ) + ( + ) A B C D E Muliplicado por, emos: + + ( ) ( ) ( ) ( ) = A + + B + C + + D + E A( ) B( ) C( ) D E 4 4 = = ( A + B) + C + ( A + B + D) + ( C + E) + A r A + B = C = A + B + D = C + E = A = Que em a solução A,B,C,D,E.Eão, + ( + ) + = + + ( + ) = ( + ) = l l( + ) a + K ( + ) 7

28 O algorimo de Brio-Ruffii O algorimo de Brio-Rufii é um disposiivo práico para efeuar a divisão de um poliômio f de grau por um poliômio do ipou. Para faciliar represeamos f e o quociee q a forma f a a a...a a em vez de usar a forma padrão. q... Assim, se o reso for idicado por r, em-se a seguie igualdade: f uqr f u... r f u... u r u. Pelo pricipio de ideidade de poliômios: a, u a,..., u a, r u a. O quociee e o reso podem eão ser oidos mediade o disposiivo aaio a a... a a u u... u u a u a... u a r u a Proposição: Seja f um poliômio sore Z. Se um úmero racioal u r s é raiz de f, eão r a (r divide a e s a (s divide a. Corolário : Se um úmero ieiro r é raiz de um poliômio sore Z, eão r é um divisor de a. Corolário : As eveuais é raízes racioais de um poliômio sore Z são úmeros ieiros divisores de a. Eemplo: O poliômio f ão em raízes racioais. De fao, se as ivesse, elas seriam úmeros ieiros divisores de, que são,. como f 4, f, f 8 e f 4, eão f ão em raízes racioais. 8

29 Lisa de Eercícios 8 Eercícios 7 ao da págia 5 seção 7.4 Resolva as seguies iegrais usado frações parciais Resposas 9

30 Iegrais Impróprias A eisêcia da iegral defiida a f ( ) com a fução f sedo Coíua o iervalo fechado [a, ], os foi garaida pelo Teorema fudameal do Cálculo. Ereao, deermiadas aplicações do Cálculo os levam à formulações de iegrais em que a) o iervalo de iegração ão é limiado (ifiio) ou ) o iegrado em uma descoiuidade ifiia em algum poo do iervalo [a, ]; Nosso ojeivo é defiir o coceio de iegrais dese ipo, chamadas de Iegrais Impróprias. Iegrais Impróprias Tipo : iervalos ifiios A área da região S, aaio da curva f() o iervalo [a,8), é calculada pela iegral a S = f ( ) Esa área será fiia ou ifiia? Eemplo : Vejamos um eemplo ilusraivo: Cosidere a iegral. Oserve a figura que a área da iegra é meor que a soma das áreas dos reagulos

31 ode em (*) usamos a soma de uma P.G. = a S, a =, r r =. Logo a área oida pela iegral esá limia por uma área fiia, porao, amém será fiia. Eemplo : A área somreada da figura aaio é dada por: A( ) = = = Oserve que a área A()por maior que seja. Tamém oservamos que a área se aproima de quado. lim A( ) = lim =

32 Assim, dizemos que a área da região ifiia S é iguala e escrevemos: = lim = logo, defiimos a iegral de f() (ão ecessariamee uma fução posiiva) sore um iervalo ifiio como o limie das iegrais sore os iervalos fiios. Defiição : Iegrais impróprias do ipo a) Se eise a f para odo úmero a, eão: a f ( ) = lim f ( ) a ) Se eise f para odo úmero, eão: f ( ) = lim f ( ) c) a parir de a) e ), para um úmero real qualquer a, emos a f ( ) = f ( ) + f ( ) Covergêcia e divergêcia As iegrais improprias: f ( ) a e Figure São dias covergees se o limie correspodee eise (como um úmero fiio), caso corário, são dias divergees. Eemplo : Verifique se a iegral é covergee ou divergee.

33 = lim lim l = = lim(l l) = lim l = Oserve que ese limie ão eise como úmero, porao esa iegral diverge. Oserve que coverge como vimos o eemplo, mas diverge apesar da semelhaça das fuções. Eemplo 4: calcule e Solução: Usado a defiição ) e = lim e Iegrado por pares com u,du,dv e e v e ode lim e e = e e = e + e = lim e = lim e = lim ( e ) = eão e = lim ( e + e ) = + = Eemplo 5: calcule + Solução: Usado a defiição c) escolhedo a

34 = Como a iegral acima pode ser ierpreada como a área represeada a figura: Resolvedo separadamae cada iegral, usado susiuição Trigiomérica = + lim = lim a lim(a a ) = lim a π = Resulado + = + π π = + = π + = lim + = lim a π = π =, porao covergee. lim (a a ) = Iegrais Impróprias do ipo : Iegrado descoíuo Defiicão Supoha que seja uma fução posiiva coíua defiida o iervalo fiio a) [a, ) com uma assíoa verical em ) (a,] com uma assíoa verical em f ( ) = lim f ( ) a ( ) lim ( ) a f = f a + a se eses limies eisirem (como um úmero), a iegral imprópria é dia covergee, caso corário, a iegral é divergee. 4

35 Defiicão c): Se f iver uma descoiuida de em c, ode ac, e as iegrais c a f ( ) f ( ) e forem amas covergees, eão defiimos: c c f ( ) = f ( ) + f ( ) a a c Eemplo 6: calcule 5 f ( ) = / Oservamos que essa iegral é imprópria, porque em uma assíoa verical em. Como a descoiuidade ifiia ocorre o eremo esquerdo de [, 5], usamos a Defiição ): = lim = lim + = lim ( ) + = Porao, a iegral imprópria é covergee. 5 Eemplo 7: calcule Oservamos que essa iegral é imprópria, porque f() em uma assíoa verical. Como a descoiuidade ifiia ocorre o ierior de [, ], usamos a Defiição c) com c: = + ode = lim = lim = lim(l l ) = lim l( ) = 5

36 Oservamos eão que /( ) é divergee, Porao /( ) é divergee, sedo desecessário o calculo de /( ). Oservação: Se ão cosiderarmos as descoíuidades de f() calculado a iegral direamee pelo eorema fudameal do cálculo, eremos um resulado errôeo, por eemplo o eemplo aerior eríamos o seguie resulado: = l = l l = l Iso é errado, porque a iegral é imprópria e deve ser calculada em ermos de limie. Porao, devemos sempre os cerificar se a iegral é imprópria ou ão aes de resolve-la.. Eemplo 8: calcule l Oservamos que essa iegral é imprópria, porque f em uma assíoa verical em, pois lim l = + Como a descoiuidade ifiia ocorre a eremidade esquerda de [, ], usamos a Defiição a) l = lim l + Iegrado por pares, com u l, dv, du /, e v : l = l ] = l l ( ) = l + Para calcular o limie do primeiro ermo, usamos a regra de LHospial da seguie forma l / = lim+ / = lim( ) lim l = lim + + / + = l = lim( l + ) + = + = 6

37 Lisa de Eercícios 9 Eercícios 5 ao 8 da págia 5 seção 7.8 Deermie se cada iegral é covergee ou divergee. Avalie aquelas que são covergees. Resposas 7

38 SEQÜÊNCIAS E SÉRIES Seqüêcias Seqüêcia é uma fução de N em R, em ouras palavras, uma seqüêcia em R associa a cada úmero aural,,..., um úico e em deermiado elemeo de R. Tradicioalmee, usa-se a oação a ou. Eemplos de seqüêcias: i), /, /,..., /,... ou a / com,,... ii),, /,, /,, /4,,... iii), -,, -,... iv),,, 4,... v) a Defiição : Uma seqüêcia é dia: i) crescee se a a. ii) esriamee crescee se a a. iii) decrescee se a a. iv) esriamee decrescee se a a. v) moóoa se for de um dos ipos acima. Eemplo : Escreva os cico primeiros ermos da seqüêcia e verifique se é moóoa: i) a ii) Defiição : i) Uma seqüêcia a é dia limiada se a M R, para odo N. 8

39 ii) Uma seqüêcia pode ser divergee (para ifiio), oscilae ou coverge para um valor l R. Teorema :Toda seqüêcia moóoa e limiada é covergee. Eemplo : Mosre que a é covergee. Defiição : Uma seqüêcia a coverge para um úmero real L se lim a L. Esa seqüêcia é chamada seqüêcia covergee e podemos deoar por a L. Propriedades dos Limies: Se lima A e lim B, eão valem as propriedades: i) lima lima lim AB ii) lima lima lim AB a iii) lim lima lim A B Eemplo : Calcule o limie de: i) a 5. Resp.: lim 5 6 a 5. ii). Resp.: lim. Teorema : (Tese da razão para seqüêcias) Se uma seqüêcia a de ermos posiivos saisfaz a codição lim a a coverge para zero. L, eão a seqüêcia a Eemplo 4: Use o ese da razão para deermiar se a seqüêcia a p coverge. Teorema :Uma seqüêcia a coverge para L amas as suseqüêcia a (par) e a (ímpar) covergem para L. Eemplo 5: Use o eorema para mosrar que a seqüêcia a coverge. Lisa de Eercícios ) Escreva os primeiros cico ermos das seguies seqüêcias. 9

40 a a, a d a, c a!,, e a, f a.! ) Deermie se as seguies seqüêcias são moóoas. Jusifique: a a 4, a cos, c a, d a, e a se, f a ) Use o eorema para provar que as seguies seqüêcias são covergees. Calcule o seu limie. a a 5, a, c a 4, d a 4. 4) Deermie se as seqüêcias covergem ou divergem e ecore o seu limie. a a, a 4, c a, d a, e a 4, f a 5, g a, h a, i a j a k a l a Solução da Lisa de Eercícios : ) a a,4,8,6, a,,,,, c a!,,9/,9/,7/8,8/4 d a,/4,/9,/6,/5 e a /5,/8,5/,/,9/7 f a,/6!,/ 5,/54 7,/688 9 ) a a 4, a 4, 4 4 a a a é moooa esriamee crescee. a cos,.5459,.8748, ,.6495, ão é moooa (oscila). c a,,,,,,... oscila amém! 4 5 d a,a, a a moóoa esriamee decrescee. e a se,,,,,... moóoa decrescee ou crescee f a, a a a, ou seja,,,,... ) a 5, /, c, d 4. 4

41 4) a lim lim 4 c lim d lim e lim 4 f lim 5 5 g lim h lim i lim j lim k lim e l lim Séries Aqui, serão apreseados os eoremas mais imporaes da eoria de séries com relação à covergêcia. Cosuma-se defiir uma série como uma epressão da forma a a a...a... Uma série pode ser: a Fiia: i a i a a a...a Ifiia: i a i a a a...a... Formalmee, defie-se uma série como: se a é uma seqüêcia, eão a série gerada por a é a seqüêcia S k, defiida por: S a S a a S a S a a a S a S a a...a S a Se S k coverge, chamamos o limie S de soma da série. Os elemeos a são os ermos e os elemeos S são as somas parciais da série. Eemplo 6: Série geomérica: ar aar ar ar..., r. S a S aar S aar ar S aar...ar supodo rs ar ar...ar ar, eão, S rs aar, logo, S ar e: r lim S lim ar r a r, já que lim r Porao: ar é covergee e, aida, ar a desde que r. r Oservação : Se S for ifiio ou simplesmee ão eisir, eão S a é divergee. Eemplo 7: Deermie se as seguies séries são covergees ou divergees: )... S, se é par, se é ímpar lim S ) A série elescópica : logo, é divergee. 4

42 Usado a decomposição em frações parciais,, eão S... lim S lim. ) A série geomérica 6 : S Propriedades das Séries Covergees Teorema 4 (Tese do eésimo ermo): Se a coverge, eão lim a. Oservação : A recíproca ão é verdadeira, mas se lim a, eão a diverge. Eemplo 8: Seja a série harmôica. O limie de é zero, mas a série diverge. Solução:(Jaco Beroulli 7)... eão 4 S S S S S, eão lim lim S lim, porado a série diverge. Oservação : O que há de harmôico sore a série harmôica? Os ermos a série harmôica correspodem aos ós em uma corda virado que produzem múliplos da freqüêcia fudameal. Por eemplo, / produz o harmôico que é o doro da freqüêcia fudameal, / produz uma freqüêcia que é vezes a freqüêcia fudameal e assim por diae. A freqüêcia fudameal é a oa ou a alura do som mais aia que ouvimos quado uma corda é agida. Teorema 5: Criério de Leiiz (75) para séries aleradas Se é uma seqüêcia moóoa decrescee al que lim, eão coverge. Eemplo 9: coverge? Solução: a a a a (seqüêcia moóoa decrescee) e lim a, porao, pelo criério de Leiiz coverge. Lisa de Eercícios ) Mosre que a série coverge e ache a sua soma. ) Mosre que a série cujo eésimo ermo é a diverge, emora lim a. ) Prove que a série diverge. 4) Use o Criério de Leiiz para verificar a covergêcia das seguies séries. a, 5) Mosre que a série!, c 4 l coverge e ecore sua soma. 4

43 6) Deermie se as séries aaio covergem ou divergem: a c 4 4 e d 4 e 4 9 f 7 5 7) Mosre que a série 5 4 diverge. 8) A série é covergee? Se sim, ecore sua soma: Solução ) S lim ) S lim coverge diverge ) Série geomérica com razão r, diverge 4) a) a moóoa descrescee e lim Porao, coverge. ) a,!! moóoa descrescee!!! e lim Porao, coverge.! c) a l l l Eão, a a moóoa descrescee e lim l 5) S lim coverge 4 6) pois l é crescee a) coverge para 8 ) coverge para c) coverge para e 4 e 4 d) coverge para e) coverge para f) coverge para ) lim a porao, diverge. 5 8) Série geomérica com S 6. Teses de Covergêcia Teorema 6 (Tese da Iegral): Porao, coverge. Seja f uma fução coíua, posiiva e decrescee, defiida para, e seja a f. Eão amas, a série e a iegral, a e f covergem ou amas divergem. Ilusração: 4

44 = 4 5 = é meor que porao: + = coverge = 4 5 = Eemplo : Mosre que a série Solução: diverge e a série (/ ) é maior que porao: diverge coverge. f ll l, lim l diverge. f lim lim coverge. Oservação 4: O valor ecorado a iegral NÃO é o valor para o qual a série coverge. i) ii) 6 (Euler 76) prolema em aero aida hoje. Eemplo : Mosre que a série coverge. Teorema 7 (Criério da Comparação): Sejam a,. Se eisem c al que a c, eão: a) coverge a coverge ) a diverge diverge Eemplo : Mosre que a série coverge. Eemplo : Mosre que a série diverge. Teorema 8: (Tese da Comparação dos Limies) Sejam a e duas séries de ermos posiivos,com,,,... e lim a L, eão 44

45 a) Se L as séries a e são amas covergees ou amas divergees ) Se L e coverge, eão a amém coverge c) Se L e é divergee, eão a amém é divergee. Eemplo 4: 5 coverge? Eemplo 5: diverge? Corolário (Tese da Razão ou de D Alemer): Se a e se lim a a, eão a é covergee. Eemplo 6: Use o ese da razão para deermiar se Oservação 5: i) Se lim a a ii) Se lim a a a diverge., eão, ão se pode afirmar ada.! coverge: Eemplo 7: Use o ese da razão para deermiar se e covergem ou divergem. Eemplo 8: Use o ese da razão para deermiar se! coverge ou diverge. Teorema 9 (Tese da Raiz ou de Cauchy): Se a e se lim a r eão a série a coverge. Oservação 6: Se r, eão a diverge e se r ada se pode afirmar. Eemplo 9: Use o ese da raiz para deermiar se e covergem ou divergem: Eemplo : Use o ese da raiz para deermiar se Lisa de Eercícios l coverge: ) Use o ese da iegral para deermiar se as seguie séries covergem ou divergem. a p c l Use o ese da comparação para deermiar se as séries ou divergem. e 5 4 covergem Use o ese da comparação dos limies para deermiar se a série coverge ou diverge Use o ese da razão para deermiar se as seguies séries covergem ou divergem. a c! d e! 45

46 5 Use o ese da raiz para deermiar se as seguies séries covergem ou divergem a c d l Resposas ) a) coverge para p e diverge para p ) diverge c) diverge ) covergem ) coverge 4) a) coverge ) coverge c) diverge d) diverge e) ada se pode afirmar 5) a) coverge ) ada se pode afirmar c) ada se pode afirmar d) coverge Séries de Poêcia: Defiição 4: Uma série do ipo a a a... a é chamada série de poêcias com cero em zero. Defiição 5: Uma série do ipo a a a... cero em. a é uma série de poêcias com a, pois séries do ipo a Oservação : É suficiee cosiderar séries de poêcias do ipo ficam reduzidas ao caso aerior mediae a uma mudaça de variável y. Oservação : A série de poêcias a sempre coverge o poo (o cero). Se, a a a a... a a Teorema 8: A série a) coverge somee se ou ) coverge asoluamee R ou c) eise r al que a série coverge asoluamee se r e diverge quado r. Eemplo :! 6... ( + ) a! + lim = lim a! ( ) + = lim + = Eemplo :! eão! coverge somee se. 46

47 a+ ( ) (!) =. a [( + )!] ( ) + ( + ) ( + ) (!) =. + ( + ) (!) + = < for all 4( + ) Eemplo : coverge asoluamee R + a+ ( ) = a + ( ) = as + coverge asoluamee se e diverge quado Eercícios: a ! Oservação : Nada é dio o caso de r. Nese caso, a série pode covergir ou divergir. Oservação : r é chamado raio de covergêcia. Por coveção, caso a) r e ) r. Oservação : O iervalo r,r é chamado iervalo de covergêcia. Dada uma série de poêcias deermiar o raio de covergêcia. a podemos usar o ese da razão ou o ese da raiz para Eemplo 4: Deermie o raio de covergêcia da série Teorema 9: (Fórmula de Taylor e de Maclauri) Se f é difereciável em odas as ordes um iervalo aero I, ode,a I, eão f f a a! fa a f! a a f! a... a f! a... ode f a a! é a série de Taylor de f em a. Além disso, se a, essa série é amém cohecida como série de Maclauri de f. Eemplo 5:Deermie a série de Maclauri de f e f f! ff! f...! f... f e 6... Eemplo 6: f si 47

48 f ( ) = si f () = f '( ) = cos f '() = f ''( ) = si f ''() = f '''( ) = cos f '''() = ( 4) f ( ) = si (4) f () = f '() f ''() f '''() f ()!!! 5 7 = + +! 5! 7! + = ( ) ( + )! = Oserve: T ( ) = T ( ) =! T5 ( ) = + T7 ( ) = +! 5!! 5! 7! Eemplo 7:Calcule o valor aproimado de 7,9 usado uma série de Taylor f f 8 8! f8 8 f! 8 8 f! f! 8... f f 8 8! f8 8 f! 8 8 f! 8 f f / ( ) = = (8) = f '( ) = f '(8) = / f ''( ) = f ''(8) = f '''( ) = 7 5/ / f f '(8) f ''(8) T ( ) = f (8) + ( 8) + ( 8)!! = + ( 8) ( 8) 88 Lisa de Eercícios ) Deermie o raio de covergêcia da série. resp: (-,) Ecore a série de Maclauri para as fuções.(4ou 5 ermos) a f cos. f seh seh ) Calcule o valor aproimado usado uma série de Taylor a).9 ) l. c) 4. 4) Ecore a série de Taylor de ordem para f em a. a) f l a, ) f a, c) f a. Resposa: a) f, ) f 9, c) f. 48