5 Análise Não-Linear pelos Métodos de Galerkin-Urabe e Balanço Harmônico

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1 álise Não-Liear pelos Méodos de Galerki-Urabe e Balaço Harmôico expressão (.7) obida o Capíulo para a fução de Larae é uilizada essa seção para a obeção das equações difereciais de movimeo uilizadas a aálise ão-liear da colua. fução de Larae (.7) é da forma: L ( w w x w xx w x ) dxd (.) L 0 Obeiva-se ecorar uma fução w(x) para os deslocameos rasversais. Ereao as ferrameas do cálculo variacioal ão forecem esa fução direamee mas sim a equação diferecial ão-liear que a fução deve saisfazer. equação diferecial ão-liear ecorada ão em solução aalíica e porao deve-se procurar uma meodoloia que foreça uma solução aproximada. Para iso uiliza-se ese capíulo o méodo de Riz para discreizar a colua o espaço e a seuir obém-se usado-se as ferrameas do cálculo variacioal as equações de movimeo que por sua vez são resolvidas pelo méodo de Galerki-Urabe como pode ser viso em Urabe (966) e Bouc (97) ou pelo méodo do Balaço Harmôico de acordo com Leipolz (970) e Meirovic (97). O méodo de Riz como descrio aeriormee o capíulo cosise em subsiuir o fucioal de eeria uma fução de aproximação para a deflexão da colua usualmee a forma de séries que devem respeiar as codições de cooro forçadas do problema f a (.) ode a são cosaes que muliplicam as fuções e é o úmero de coordeadas adoadas para a descrição do campo de deslocameos com a precisão ecessária.

2 7 Supodo-se uma colua esbela eerrada aé uma cera alura H pode-se dividir esa em duas coluas uma eerrada e oura deseerrada. Loo pode-se escrever um fucioal para cada sub-colua. Para a sub-colua deseerrada emse um fucioal com a expressão para os deslocameos rasversais w (x) e para a sub-colua eerrada em-se um fucioal com a expressão para os deslocameos rasversais w (x). soma desses fucioais em um fucioal úico vai permiir uma discreização coveiee do fucioal em quesão. Usado-se separação de variáveis o campo de deslocameos da colua pode ser descrio pela seuie fução defiida por pares w (x) w(x) w(x) 0 w w (x)c (); (x)c (); x H (.) H x L ode w (x) e w (x) são as expressões para os deslocameos em fução do eixo x e c () é a ampliude do deslocameo em fução do empo que se quer efeivamee deermiar. escola adequada das fuções de ierpolação é um passo essecial esse ipo de problema. qui se uiliza para w i (x) as soluções aalíicas obidas o capíulo para os modos de vibração da colua. ssim são aedidas modo a modo odas as codições de cooro e coiuidade. Com esa escola coseue-se ober com um úmero pequeo de modos uma solução basae precisa para o problema ão-liear. Subsiuido as equações (.) a fução de Larae e ierado ao loo do espaço obém-se um fucioal da forma F( c c ) d; (.4) ode c () é a derivada de c () com relação ao empo. aplicação das écicas do cálculo variacioal leva à obeção do sisema de equações: F c d d F c c 0 d (.)

3 76 ode a expressão de Euler-Larae dero dos colcees é uma equação diferecial ão-liear de seuda ordem. Ressala-se que equações difereciais lieares podem ser resolvidas mediae écicas aalíicas como a ieração ou aravés do desevolvimeo em séries erado uma expressão exaa para a solução. Para as equações ão-lieares eses méodos ão se aplicam. O surimeo de uma equação diferecial ãoliear de ª ordem obida a parir da equação de Euler-Larae para a deermiação da fução c() ora ecessária a discussão de uma oura abordaem a qual deomia-se aproximada. Buscado ober uma solução aproximada foram usados dois méodos de resolução: o méodo de Galerki- Urabe e o méodo do Balaço Harmôico. Como a colua apresea pouca ão-liearidade uma aproximação cosiderado apeas um modo em (.) foi aqui adoada... Méodo de Galerki-Urabe O méodo de Galerki-Urabe ada mais é que uma adapação do méodo de Galerki para sisemas diâmicos forecedo soluções aproximadas para sisemas sob vibração livre e forçada. difereça básica do méodo de Galerki é que o caso do empo deve-se ierar a equação diferecial muliplicada pela fução de poderação ao loo de um período de empo caracerísico do sisema. No caso de sisemas sob vibrações livres ou caras armôicas adoa-se =0 e =/. O méodo cosidera c () como uma fução que pode ser escria em uma série do ipo: c ( ) (.6) ode cada é a ampliude da fução. Se c a expressão (.) pode ser subsiuído por c c (.7) em-se equações ierais da forma

4 77 F d F 0 0 d c d c (.) Uma solução comumee adoada para sisemas sob vibração livre ou caras armôicas é c ) se( ) cos( ) (.9) ( Loo adoado a solução acima se obém duas equações: F d F se( ) d 0 0 c d c (.0) F d F cos( ) d 0 0 c d c (.) pós a ieração obêm-se duas equações alébricas ão-lieares com rês icóias: e... Méodo do Balaço Harmôico O méodo do Balaço Harmôico é um méodo aproximado desevolvido primeiramee por Krylov e Boolubov que em como pricipal caracerísica seudo Meirovic (97) a simplicidade de sua aplicação. De acordo com Leipolz (970) ese méodo ambém é camado de méodo da liearização armôica e difere do méodo de liearização que subsiui uma fução ãoliear por uma em séries de Taylor pois reescreve a fução ão liear f[x()] como uma aproximação liear cx(). alisado iicialmee a vibração de uma esaca parcialmee eerrada em-se que a equação diferecial ão-liear de a ordem pode assumir o caso mais eral de vibração forçada amorecida a forma descria a seuir sedo a ampliude c uma variável depedee do empo: c 0 a c bc dc ec se 0 (.) ode a b d e são cosaes arbirárias 0 e são respecivamee a ampliude e a freqüêcia da exciação.

5 7 O méodo cosise a subsiuição da seuie solução eral aproximada a equação (.): cos c( ) se (.) Realizada esa subsiuição em-se uma expressão com ermos em se () cos () bem como poêcias e produos desas fuções. Desa forma ora-se ecessário usar alumas rasformações riooméricas obeivado rasformar as poêcias e produos das fuções riooméricas em uma combiação liear de seos e co-seos. Para isso alumas rasformações são usadas a saber: se( ) se( ) se( ) se() 4 4 se( ) 6 cos( ) cos() se( ) se() 6 cos( ) cos( ) cos() 4 4 (.4) cos( ) cos( ) 4 cos( ) cos() 6 cos(4) cos( ) Complemear a esas rasformações em-se cos() 6 se( )cos() se( ) se() (.) Para que a iualdade presee a equação obida sea respeiada são isolados os ermos que muliplicam especificamee se () e cos () iualado eses a zero obedo-se assim duas equações ão-lieares ode as icóias do problema são e obidas aravés da uilização do méodo de Newo-Rapso. Para o caso mais simples de vibração livre a expressão (.) apresea a seuie forma: ac bc dc 0 c (.6) Nese problema porao adoa-se a solução c( ) se (.7) Uilizado as rasformações dadas pelas equações (.4) (.) e separado desa vez os ermos que muliplicam somee se () obém-se uma

6 79 equação que forece direamee a relação ere freqüêcia e ampliude de vibração... Resolução do Sisema de Equações Não-Lieares por Newo- Rapso Como se em um sisema de duas equações ão-lieares com rês icóias eradas pelo méodo de Galerki-Urabe ou do Balaço Harmôico a resolução pelo méodo de Newo-Rapso é a mais idicada. O méodo cosise em reescrever as equações ão-lieares em séries de Taylor e subsiuir esas as coordeadas de um poo iicial a viziaça da freqüêcia aural. Fazedo iso o méodo idica o icremeo para o ovo passo e desa forma é possível ober um ovo valor para as coordeadas o caso e. Repee-se ese passo aé um que o erro sea iferior a um valor previamee esipulado erado-se para cada freqüêcia um valor para e. Loo cosiderado as duas equações ão-lieares como sedo 0 (.) 0 (.9) Reescrevedo essas equações em séries de Taylor obém-se (.40) (.4) ode 0 0 e 0 0 idicam o valor das expressões de e em um poo iicial. o escrever a forma maricial em-se (.4)

7 0 ode e são iuais a zero e idicam o valor do icremeo a ser somado à cosideração iicial. Loo (.4) (.44) ode é o erro. (.4)