( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III. Estruturas com Vários Graus de Liberdade. III.1 Equações do Movimento

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1 Crso de iâica das Esrras 5 III. Esrras co Vários Gras de Liberdade III. Eqações do Movieo No exelo de rês gras de liberdade (GLs) logidiais, ara cada a das aríclas, eos: x F x F x F As orças elásicas ode ser eedidas coo: Cobiado as eqações:

2 Crso de iâica das Esrras 6 P K M ode: M é a ariz de assa do sisea esrral, o caso de esrras co assas coceradas é a ariz diagoal (led ass arix); K é a ariz de rigidez, segdo os GLs (coordeadas), sedo idêica à ariz de rigidez do roblea esáico; é o veor de deslocaeos P é o veor de carregaeos Para vibrações aorecidas oderíaos escrever: P K C M Ode C é a ariz de aorecieo do sisea esrral

3 Crso de iâica das Esrras 7 III. Solção da Vibração Livre Não-Aorecida M K Por aalogia co o caso da vibração livre co gra de liberdade, asse-se a solção harôica a ora: o aida: i U cos i ( ) U cos( ) Sbsiido a solção sosa a eqação do ovieo: ode: M U cos( ) K U cos( ) K M U ( M - K) U U (Problea de Aovalor/Aoveor) - é a ariz diâica, igal à M K é o aoveor do rob. valores caracerísicos (oras odais de vibração) é o aovalor do roblea de valores caracerísicos (req. arais) Solção da esrra: U cos( ) ( )... ( ) U C... cos U ( )... C... cos( ) U U odec i e i deede das codições iiciais do ovieo.

4 Crso de iâica das Esrras 8 III. - Obeção das Freqêcias Narais e Foras Modais K M U ( I ) O sisea de eqações da vibração livre ode ser colocado a ora: ( ) ( ) ( ) Para qe o aoveor ão sea lo, o sea, ara qe a solção rivial ão sea a úica solção do sisea de eqações lieares, deve-se garair qe: ( ) ( ) ( ) A eqação acia (oliôio caracerísico) ilica a resolção de a eqação olioial de gra, co solções, ode é o úero de gras de liberdade da esrra: c c... c c O sea, se a esrra e gras de liberdade:. As arizes K e M serão de orde ( x );. Os veores U, e serão de orde ;. Haverá reqêcias arais, corresodees aos aovalores ; 4. Haverá odos arais U reqêcia aral., cada deles corresodees a a Solção érica do roblea de Aovalores/Aoveores aravés do algorio de Jacobi, o ela écica do Sbesaço (Bahe).

5 Crso de iâica das Esrras 9 III.4 Méodo da Serosição Modal A roriedade ais iorae dos odos arais de vibração é a roriedade de orogoalidade (e relação à ariz de assa e rigidez), rória do roblea de aovalores: i M K i i eie-se Mariz Modal coo a ariz obida ela saosição das oras odais:... iz-se qe os odos esão oralizados (e relação à ariz de assa) qado: Logo, se (assa odal) é: M I ode I é a ariz ideidade de orde. U U M Eão o aoveor oralizado ode ser obido: U Fazedo: M I Podedo-se aida osrar qe: K (Mariz Esecral)

6 Crso de iâica das Esrras Cosiderado-se qe a resosa diâica geérica de a esrra ode ser colocada coo a cobiação liear das dierees oras de vibração: O veor de deslocaeos da esrra ode eão ser colocado coo: z z... z z O qe corresode à segie rasoração de coordeadas: Sbsiido a eqação de eqilíbrio: z M K P ( ) M z K z P ( ) ( M z K z ) P ( ) M z K z P ( ) z z P( ) Obé-se sisea de eqações diereciais ordiárias (ª ord) desacoladas: z z z z z z P P P ( ) ( ) ( ) z ( ),...,z ( ) ( ),..., ( ) Solção érica elo algorio de Rge-Ka de 4ª orde, o or Newar.