REVISÃO: ANÁLISE DE TENSÕES

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1 REVISÃO: ANÁLISE DE ENSÕES Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

2 ESADO DE ENSÃO EM UM PONO O estado gera de tesão e u oto de u coro e equiíbrio ode ser reresetado or 6 cooetes: O eso estado de tesão é reresetado or u cojuto diferete de cooetes se os eios são rotacioados. Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

3 PROJEÇÕES DE ENSÃO NUM PLANO QUALQUER Seja u ao quaquer ABC defiido u etraedro coo ostrado a figura. Direção ora ao ao Cosseos diretores: cos(,) = cos(,) = cos(,) = Nu ao quaquer, dado eos cosseos diretores,,, as rojeções da tesão são obtidas a artir dos 6 cooetes iiciais Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

4 Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista PROJEÇÕES DE ENSÃO NUM PLANO QUALQUER Equações de Cauch a Fora Matricia: A tesão o ao ABC é escrita coo: k j i Escrevedo o equiíbrio do tetraedro e : da da da da Ficaos co: (Aaogaete ara as outras direções)

5 COMPONENES DA ENSÃO NUM PLANO QUALQUER A tesão u ao da ode ser escrita tabé e teros de seus cooetes ora e cisahate. = + + (rojeção do vetor a direção ) = A tesão cisahate o ao quaquer será cosiderada e teros de suas duas cooetes a direção de vetores utuaete eredicuares. Assi, cosidere u sistea de coordeadas, ode coicide co a direação de e e estão cotidos o ao obíquo. Os sisteas e se reacioa or eio do cojuto de cosseos diretores. A tesão é reescrita coo A tesão e são obtidas faedo as rojeções de, e as direções e. Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

6 Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista COMPONENES DA ENSÃO NUM PLANO QUALQUER ' ' ' ' ' Eeo: ' ' '

7 EQUAÇÕES DE RANSFORMAÇÃO DA ENSÃO As eressões ara e são obtidas de aeira aáoga. Por eeo, faça a direção coicidir co o eio, escreva ovas eressões ara as rojeções e a artir deas obteha a tesão que será etão o vaor de coo segue: Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

8 Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista ENSÕES PRINCIPAIS E OS INVARIANES DE ENSÃO Deostra-se, ara o estado triaia de tesão, que eiste aos utuaete eredicuares os quais a tesão cisahate é ua. Nestes aos, a tesão ora te vaores etreos, que são deoiados tesões riciais e deotados or e Votado ao tetraedro, suoha que o ao iciado da seja u ao ricia, isto é, a tesão coeta este ao terá a esa direção do vetor ora. Vaos chaá-a de. Lebrado as equações de Cauch: Ficaos co o seguite sistea iear hoogêeo:

9 Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista ENSÕES PRINCIPAIS E OS INVARIANES DE ENSÃO Essas equações fora u sistea iear hoogêeo e,, que adite soução diferete da trivia soete se o seu deteriate for uo. Iguaado a ero o deteriate da atri icoeta e desevovedo, ve: I I I cujas raíes forece os vaores das tesões riciais,, Substituido essas tesões (ua de cada ve) o sistea de equações e usado a reação etre os cosseos diretores, deteria-se os cojutos de cosseos diretores, corresodetes às direções riciais.

10 Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista ENSÕES PRINCIPAIS E OS INVARIANES DE ENSÃO I I I Os vaores de,,, as souções da equação, ão deede do sistea de coordeadas, ou seja, a equação forece as esas raíes quaquer que seja o sistea de eios,,. Cosequeteete, seus coeficietes deve ser sere os esos: são os Ivariates do Estado de esão. I I I

11 Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista Resuo: esões Priciais e os Ivariates da esão I I I I I I

12 A EQUAÇÃO CÚBICA I I I Métodos de resoução: - etativa e erro - Método Nuérico - Regra de Carda Giroao Cardao (5-576) Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

13 O MÉODO DE CARDAN As raíes da fução (tesões riciais) são dadas or: Ode as costates são deteriadas coo: Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

14 Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista AS DIREÇÕES PRINCIPAIS Os vaores dos cosseos diretores de ua dada direção ricia ode ser obtidos resovedo-se o sistea de equações, o qua a corresodete tesão ricia é substituída. Erega-se coo equação adicioa a soa dos quadrados dos cosseos diretores. No etato, e ve de resover siutaeaete duas equações ieares e ua equação de seguda orde, é referíve u rocedieto ais sies. O sistea iear é eresso a fora atricia coo:

15 AS DIREÇÕES PRINCIPAIS Os cofatores do deteriate da atri sobre eeetos da rieira iha são: Itroduido a otação: Os cosseos diretores são eressos coo: Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

16 EXEMPLO DE APLICAÇÃO Eeo: U eio de aço é iserido or eio de ajuste forçado e u cubo de ferro fudido. O eio é subetido ao oeto fetor M, ao torque e à força P. Cosidere que e u oto Q do cubo atue o estado de tesão reresetado o eeeto de voue. Cacue as tesões riciais e a orietação dos eios riciais e reação ao sistea de coordeadas origia. esor-tesão: 9 4, 7 6, 45 4, 7 4, 6, 8 6, 45, 8 MPa 8, Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

17 ENSÕES PRINCIPAIS: APLICAÇÃO 9 4, 7 6, 45 esor-tesão: ,,, MPa 6, 45, 8 8, Os ivariates são: I 7, I 7,8 I Resutado e: a 647,5,6MPa b 5,MPa c Do étodo de Carda, teos: R 9,MPa 4,576,6 Q 488,59 78,45 Reordeado:,6 9, 5, Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

18 DIREÇÕES PRINCIPAIS: APLICAÇÃO esor-tesão: 9 4, 7 6, 45 4, 7 4, 6, 8 6, 45, 8 MPa 8,,6 9, 5, Para a rieira tesão ricia segue que: a b c k 4,6,6 4 7, 6,45,8,8 8,,6 4 7, 4,6,6 6,45,8 / a b c,8 8,,6 7,546,99,49,5445 Resutado e:,66,868 Cacuado ara as deais tesões:,66,868,5,69,8,6855,, 784,6,56 Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

19 Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista ENSÕES NUM PLANO OBLÍQUO Cosidere cohecidas as tesões riciais de u dado estado de tesão, e adita que os aos utuaete eredicuares seja os aos riciais. Etão, as eressões ara as rojeções da tesão e u ao quaquer se redue a: Obs.: Podeos escrever etão:

20 Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista ENSÕES NUM PLANO OBLÍQUO A tesão ode ser escrita tabé e teros de suas cooetes ora ao ao e tagecia ao ao (teorea de Pitágoras): = + + Lebrado a eressão da tesão ora: Neste caso ea se redu a: Eadido a eressão de e isoado a tesão cisahate, chegaos a:

21 CÍRCULO DE MOHR PARA RÊS DIMENSÕES PLANOS PARALELOS AOS EIXOS PRINCIPAIS: PLANO DE INCLINAÇÃO ARBIRÁRIA: Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

22 ENSÕES DE CISALHAMENO PRINCIPAIS Eeo: Assi: á MAX,, Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

23 ESADO PLANO RECONSIDERADO RIDIMENSIONAL Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

24 ENSÕES NOS PLANOS OCAÉDRICOS Cosidere u eeeto de tesão orietado as direções riciais. U ao iciado ara o qua os três cosseos diretores seja iguais é deoiado Pao Octaédrico. oct oct Visto que as tesões octaédricas são dadas e fução dos Ivariates, segue que eas tabé ão varia, ou seja, quaquer reresetação de u estado de tesão dará os esos vaores ara as tesões octaédricas. Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

25 Aáise de Deforações: Reações esão-deforação: (Regie Eástico) Círcuo de Mohr das deforações Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista

26 Fadiga dos Materiais Metáicos Prof. Caros Batista