META: Apresentar o conceito de módulo de números racionais e sua representação

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1 Racioais META: Apresetar o coceito de ódulo de úeros racioais e sua represetação decial. OBJETIVOS: Ao fi da aula os aluos deverão ser capazes de: Idetificar a fora decial de u úeros racioal. Idetificar o iteiros ais próxio de u racioal. PRÉ-REQUISITOS Núeros Racioais, iteiros e idução fiita.

2 Racioais. Itrodução Prezado Aluo, esta aula estudareos o porquê de u úero decial fiito ou periódico ser u úero racioal e o porquê de u úero racioal ser fiito ou periódico. Ates apresetareos a você alguas propriedades odulares dos úeros racioais e a fução aior iteiro... Valor Absoluto de u Núero Racioal Defiios a co a Q coo: a, sea 0 a = a, sea <0 Propriedades: (a) a a a (b) a + b a + b (c) ab = a b (d) Se a 0,etão a = a As deostrações são deixadas coo exercício (basta seguir o que foi feito co os úeros iteiros) Questões. Mostre que (a ) =(a ) = a,paratodoa Q e Z. 2. Se a, b Q + etão ab Q Mostre que = Seja K u corpo. Ua aplicação bijetora f : K K éu autoorfiso de K se f(x + y) =f(x) +f(y) e f(xy) = f(x)f(y), paratodox, y K. Mostre, através das seguites etapas que o úico autoorfiso de Q é a idetidade: 96

3 Mateática para o Esio Fudaetal (a) f() = Soluções: (b) f( a) = f(a) (c) f() =, paratodo Z. (d) f ( ) = para todo N (e) f ( ) = para todo Z eparatodo Z. Para =teos que (a ) = a ( ) = a. Supohaos o resultado válido para e proveos que o eso é válido para +: a (+) = a + =a ( ) = a ( ) a.( ) = a ().a. = a ()+( ). = a (+) =(a ) +. (a ) = a,paratodo, Z. Etão(a ) ( )=a. = a. 2. toe a = s e b = t. Etão s > 0, t > 0. Seja s,,, t Z +. Seja s,,, t Z Seja s, Z + e, t Z Seja s, Z e, t Z + 3. (a) (Exercício) ab = s t > 0. ab = s t > 0. ab = s t > 0. ab = s t > 0. (b) Coo f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0), pela lei do cacelaeto, f(0) = 0. Assi, para todo a Q f( a)+f(a) =f(( a)+a) =f(0) = 0 97

4 Racioais (c) (Exercício) (d) = f() = f ( ) ( = f ) = f ( ) = ) = f ( ) f ( ) = f ( ) f ( (e) Aditido >0, o que sepre é possível, f ( ) = f ( ) ( = f() f ) = =...2 A Fução Maior Iteiro Defiição.. Seja a Q. Deotaos por [a] oaioriteiro eor ou igual a a. istoé, [a] =ax{ Z; a} A fução f : Q Z defiida por f(a) =[a] é chaada fução aior iteiro. Exeplo.. [5/4] = ; [8] = 8; [ /2] =. Proposição.9. Seja a, b Q. Etão (a) [a] a<[a]+ (b) a b [a] [b] (c) [a + ] =[a]+, paratodo Z (d) [a]+[b] [a + b] [a]+[b]+ Deostração. (a) Fica coo exercício. (b) Supoha a b e [a] > [b]. Assi [b] + [a]. Por (a), [b]+>b>[b]. b<[b]+ [a] a, ou seja b<a,oqueé ua cotradição. Logo [a] [b]. 98

5 Mateática para o Esio Fudaetal (c) Do ite (a), 0 a [a] <. Seja a = a [a]. Assi a =[a]+a.noteque [a + ] =[[a]+ + a ]=[a]+. (d) Faça a = a [a] e b = b [b] e c = a + b [a + b]. Noteque 0 a <, 0 b < e 0 c<. a+b =[a]+[b]+(a +b ), ode 0 a + b < 2. [a + b] =[[a] +[b] +(a + b )] = [a]+[b]+[a + b ],as[a + b ]=0ou [a + b ]=. Logo [a + b] [a] +[b] +. Coo 0 a + b < 2, teos que [a + b ] 0. Logo [a + b] [a] +[b]. Portato,[a] +[b] [a + b] [a]+[b]+. Exercício.. Seja q u iteiro positivo o qual é quociete da divisão de por ( >0). Mostre que q = [ ]. Solução: Teos = q + r, ode0 r<. Logo = q + r = q + r = q + r. Logo [ ] =[q + r [ r ] ]=q + Mas, 0 r <. Assi [ [ r ] =0,eportatoq = ]. Exercício.2. O expoete de u úero prio p que aparece e! é [ ] [ ] + p p Solução: Se p>, teos que! ão possui fatores de p, logo o expoete é zero. as <p r para todo r N. Assi [ ] [ ] + p p =0 [ ] Se p, o quociete da divisão de por p é p. Etão p é divisor de u dos seguites fatores de!: [ ] p, 2p, 3p,..., p p 99

6 Racioais [ ].! =( )..., p é divisor desses p fatores. De aeira [ ] aáloga, desses p fatores, os que são últiplos de p 2 totaliza [ ]. Logo o expoete de p e! é p 2 [ ] [ ] + p p Exeplo.2. Qual o expoete de 3 e 20!? [ ] [ ] =6+2=8..3 Represetação Decial Seja o racioal positivo a b, b>, a Z. Teos a = q 0 b + r 0, 0 r 0 <b Assi, r 0 = q b + r, 0 r <b Coo r 0 <b,teosr 0 < b. Logo q <. Se r =0,etão r 0 = q b a = q 0b + q b a b = q 0 + q. Assi escreveos a b = q 0,q e chaareos q 0,q de represetação decial de a b Se r 0, r = q 2 b + r 2, 0 r 2 <b se r 2 =0, teos que r = q 2b r 0 = q b+ q 2 2 b a = q 0b+ q b b+ q 2b 2 a b = q 0+ q + q 2 2 Assi escreveos Se r 2 0, repete-se o processo. a b = q 0,q q 2 0

7 Mateática para o Esio Fudaetal Se r 2 = r, teos que a b = q 0,q q 2 q 2 q 2,... (Dízia periódica siples). Os restos são eleetos do cojuto {0,, 2,..., b }. De odo que rb deve ser algu r,..., r b, digaos r c. A represetação este caso é a b = q 0,q q 2...q b q c+ q c+2...q b q c+ q c+2... Logo cada racioal pode ser expresso coo u decial exato ou periódico. Exeplo.3. (a) 5 4 =, 25. (b) 3 8 =0, 375 (c) 6 =, 83 (d) 85 7 =3, OBS.. Note que todo decial exato é u úero racioal ( por exeplo, a b = q 0,q = q 0 + q ) Teorea.. Cada decial periódico é u úero racioal Deostração. Cosidere o decial periódico x, yzdefdef... = x, yz +0, 00def +0, 00000def +... Teos que x, yz é u úero racioal e 0, 00def +0, 00000def +... é a soa de ua PG ode a =0, 00def e r =0, 00 Assi A = a r 0, 00def 0, 00def = = 0, 00 0, 999 = def Logo A é racioal. Cocluíos assi que x, yzdef é racioal.

8 Racioais.2 Coclusão Desta aula cocluíos que todo úeros racioais e úeros deciais (fiitos ou periódicos) são equivaletes. E os deciais ãoperiódicos? Até a proxia aula. RESUMO Represetação decial Todo decial exato é u úero racioal Todo decial periódico é u úeros racioal Todo racioal é u úero periódico (exato ou fiito). PRÓXIMA Na próxia aula iiciareos a saga da costrução dos úeros reais via cortes de Dedekid. ATIVIDADES ATIV... Dados a, b Q ostre que: (a) a a a (b) a + b a + b (c) ab = a b (d) Se a 0,etão a = a 2

9 Mateática para o Esio Fudaetal ATIV..2. Mostre que 00! teria e 249 zeros ATIV..3. Ecotre a represetação decial dos seguites úeros racioais: (a) 5 33 (b) 5 (c) (d) 9 ATIV..4. Se a, b Q +,etão[a][b] [ab] LEITURA COMPLEMENTAR LIMA, Elo L., Aálise a Reta Vol., IMPA, Projeto Euclides, 5.ed., Rio de Jaeiro, DOMINGUES, H. Fudaetos de Aritética, Atual Editora, São Paulo, 200. LIPSCHUTZ, S. Teoria dos Cojutos - Coleção Schau 3