ALGUMAS CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS E CONCEITUAIS SOBRE A RAIZ QUADRADA DE DOIS

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1 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS E CONCEITUAIS SOBRE A RAIZ QUADRADA DE DOIS Ricardo Fajardo Uiversidade Federal de Sata Maria rfaj@sail.ufs.br Resuo: Este artigo surgiu da iteção de coetar sobre o por quê de alguas regras de ateática, e particular, =. O eso equadra-se o objetivo específico do eveto: cotribuir para a qualificação teórico-prática de profissioais e educação. Nele, avegaos ora a apredizage da sala de aula, ora e coteúdos e coceitos ais forais de Mateática. Sugerios alguas atividades que evolve o úero para sere eecutadas a sala de aula que visa auiliar o aluo o seu processo de apredizage. As atividades são apresetadas ua orde específica. No etato, a orde ideal fica a critério de cada professor. É acoselhável que o professor eecute a atividade copleete ates de apresetá-la à classe. Soete desta fora, ele poderá ediar as dificuldades do aluo, que se apresetare. Alé do ais, a sua eecução prévia proporcioará que o professor ivestigue todos os detalhes. Iicialete, sugerios u problea otivador e, após, forulaos o problea ateático ideal, jutaete co alguas discussões que achaos relevates. Após, co o auílio do Teorea de Pitágoras, itroduzios a plausibilidade da defiição para. Chaaos a ateção para a uicidade do úero. Não provaos a eistêcia do eso. Este fato pode ser ecotrado a literatura e geral. Mostraos a sua localização geoétrica e a sugerios coo ua atividade a ser utilizada a sala de aula. Apresetaos ua atividade que odela a fução raiz quadrada a partir de ua ocorrêcia atural e tabé trabalhaos co atividade de fiação de coceitos evolvedo tal fução. Fialete, apresetaos ua arguetação ateática para eplicar a regra geral, ( ) a a a = =. Palavras-chave: regra, raiz quadrada, práticas, coceitos. = ; de aeira ais Itrodução: O presete artigo equadra-se o objetivo específico do eveto que é cotribuir para a qualificação teórico-prática de profissioais e educação, e particular, a Educação Mateática. Discutios vários coceitos ateáticos avegado ora a prática da sala de aula, ora a teoria do coteúdo, pois acreditaos que abas são esseciais para que u professor da escola básica teha autocofiaça e êito o seu trabalho. As atividades são apresetadas ua orde específica. No etato, a orde ideal fica a critério de cada professor. É acoselhável que o professor eecute a atividade copleete ates de

2 apresetá-la à classe. Soete desta fora, ele poderá ediar as dificuldades do aluo, que se apresetare. Alé do ais, a sua eecução prévia proporcioará que o professor ivestigue todos os detalhes. Desevolvieto: O professor de ateática etra a sala ao iiciar o período e escreve a lousa: Radiação = =, 44 Os aluos parece perpleos. U coeta: eu já ão etedo be essa poteciação, o que será essa radiação? Aida, outro replica: para que serve isso? ; e assi por diate. Nos defrotaos co vários desafios, pois se ão otivaros o aluo, coo ele irá se iteressar pela ateática? Ubirata D Abrósio (D AMBROSIO, 996, p.98) diz que praticaete tudo o que se ota a realidade dá oportuidade de ser tratado criticaete coo u istrueto ateático. Coo u eeplo teos os jorais, que todos os dias traze uitos assutos que pode ser eplorados ateaticaete. Co esta refleão e ates de icluiros u problea otivador perate os aluos, sugerios a seguite atividade. Iicialete, preparaos o aterial. Toaos u papel quadriculado e cosideraos o coprieto de dois quadrados coo a uidade de edida e questão. Co base essa uidade vaos costruir três tiras de papel se arcas edido, respectivaete, ua uidade e eia (o coprieto de três quadrados), duas uidades (o coprieto de quatro quadrados) e uidades. Para esta últia, o papel quadriculado costrua u triâgulo retâgulo co catetos edido ua uidade (dois quadrados) cada u. Logo, ao foraros ua tira do coprieto da hipoteusa, teos que a sua edida será uidades.

3 Corte ua tira ao logo da hipoteusa Tira de papel edido três quadrados Tira de papel edido quatro quadrados Figura A atividade cosiste e apresetar aos aluos papel quadriculado (o eso usado para produzir as tiras de papel), as três tiras de edidas coo eeplificado acia e propor que ivestigue sobre a possibilidade de usar essas réguas para edir o coprieto e a altura do papel quadriculado. No fial da atividade icluir ua discussão geral sobre as possíveis relações etre as tiras de papel e o papel quadriculado, questioaetos tais coo: coo vocês acha que estas tiras de edidas fora costruídas?, se vocês usare ua régua para edir as tiras qual será o resultado?, vocês cosegue pesar ua aeira de costruir ua tira de papel co ua edida diferete das ateriores que pode ser usada para deteriar as diesões do papel quadriculado? Após essa atividade poderíaos icluir u problea otivador tal coo: u terreo o forato de u triâgulo retâgulo possui as seguites edidas, cofore a figura abaio. Figura Se desejaos cercá-lo, quatos etros de cerca precisaríaos aproiadaete? [] Neste oeto, seria iportate salietar que, a realidade, ão seria possível ter u triâgulo retâgulo perfeito. Basta observar a atureza a sua volta. Mas si, trabalhaos co ua aproiação, que os possibilita efetuar cálculos. No osso caso, a fora e questão é ais parecida co u triâgulo retâgulo, visto que desejaos trabalhar co a quatidade. A partir do problea prático, chegaos ao problea ideal: u triâgulo retâgulo perfeito, cujos catetos ede quilôetro (.000 etros) cada u. Acabaos de forular u odelo ateático.

4 Para respoder a ossa perguta [] acia, tora-se ecessário calcular o coprieto do terceiro lado do triâgulo. Logo, utilizaos o Teorea de Pitágoras: = + = + = Figura 3 É esta siples epressão que se ecotra a defiição de. Defiição : U úero que ultiplicado por si eso resulta é represetado por. Ou seja, [] = =. Mais tarde fareos uso desta oção co a fialidade de avaçar o osso etedieto e cocluiros que =. Ates de prosseguiros, salietaos algus aspectos coceituais. Quado cosideraos a lei fudaetal da divisão: para cada dois úeros dados a e b eiste sepre u terceiro, c, tal que se verifique b c = a ; veos que deste euciado ropeos a barreira dos úeros iteiros e peetraos o cojuto dos úeros racioais. De fora aáloga, observaos que a descoberta do Teorea de Pitágoras possibilitou o ropieto da froteira dos racioais e a evetual iersão o udos dos úeros irracioais. A prova da eistêcia de requer o uso da Propriedade do Supreo e poder ser ecotrada e, por eeplo, BARTLE, 976, p. 40. A prova da irracioalidade de poder ser ecotrada e COURANT & ROBBINS, 000, p. 7. Do poto de vista geoétrico, podeos ecarar os úeros e coo coprietos de segetos de retas, respectivaete, os itervalos [0,] e [0, ]. Desta fora, ão eiste úeros iteiros

5 positivos e tais que: =. Ou seja, os segetos [0,] e [0, ] ão são coesuráveis. Não é possível ter-se a igualdade =, para e úeros iteiros. Cofore o deseho abaio teos ua costrução geoétrica para a sua posição a reta real., assi coo Figura 4 O círculo acia está cetrado e 0 e te raio (a diagoal do quadrado de lado edido ua uidade). Logo, co relação ao segeto horizotal, o círculo possui duas iterseções co a reta real, a saber e. Co relação a uicidade da defiição, veos que se e y satisfizere [], etão: = e y = = = y = y y = 0 ( + y)( y) = 0 + y = 0 ou y = 0 = y ou = y [3] teos soete duas possibilidades, a saber, o valor e o seu oposto. Portato, se cosideraros a parte pricipal da raiz quadrada de dois, a resposta será úica, o que cocorda co a costrução a figura 4. Retoraos, agora, à sala de aula, e cosideraos outras atividades para estudar e eplorar o úero. Ua atividade seria a sua localização a reta real através do uso de régua e copasso, cofore ilustra a figura 5 acia. Outra atividade seria a utilização da

6 calculadora para estiar a. Os Parâetros Curriculares Nacioais do Terceiro e Quatro Ciclos do Esio Fudaetal idica esse setido:... a calculadora pode ser u eficiete recurso por possibilitar a costrução e aálise de estratégias que auilia a cosolidação dos sigificados das operações e o recohecieto e aplicação de suas propriedades.... A calculadora tabé é u recurso iteressate para que o aluo aperfeiçoe e potecialize sua capacidade de estiar. As ovas tecologias estão cada vez ais presetes o osso viver diário. Não parece viável coviveros a sala de aula co o lápis, o papel, o cálculo etal e estiativas se icluir a calculadora que, queiraos ou ão, afeta o cotidiao de todos. A calculadora é u recurso útil para coparar resultados e fazer estiativas que, de outra fora, se toraria trabalhosos. Co base esta proposta, podeos forular atividades que objetive estiar a. Foraos grupos copostos de três ou quatro aluos. Atividade : Ecotre os valores que falta a tabela abaio. Após, escreva ua regra para a tabela que eplica coo é possível ecotrar o valor de saída a partir do valor de etrada. Epresse a regra ua seteça copleta e ais clara possível. Etrada Saída = = = 4 4 =? 9 = = 5?? 49 = 7 Tabela Salietaos que, ebora já tehaos itroduzido o úero co o problea otivador da figura e fizeos setido da defiição, para os aluos este coceito deve ser aida ais trabalhado. A atividade, proposta acia, potua a busca de u padrão que efoca a defiição. Coo ão se ecotra a tabela, o aluo deveria questioar por que ão está a tabela. Se tal perguta ão vier à toa, etão o professor deverá pergutá-la e procurar salietar que a colua da direita teos soete úeros iteiros à direita do sial de igualdade. Este questioaeto os leva à próia atividade. Atividade : Ecotre as epressões que falta a tabela abaio. Após, escreva ua regra para a tabela que eplica coo é possível ecotrar o valor de saída a partir do valor de etrada. Epresse a regra ua seteça copleta e ais clara possível.

7 Certaete, a seguda atividade tora-se uito trabalhosa se o uso de ua calculadora. O objetivo da esa é trabalhar, ais ua vez, co a defiição e, tabé, copreeder sobre estiativas. É claro que, após esta atividade o aluo, provavelete, desejará usar soete a calculadora. Vios que a raiz quadrada de dois surgiu a partir de u problea real cuja odelage gerou u triâgulo retâgulo ideal. No etato, se produziros ua atividade de aula ode o aluo terá que coletar dados e, após, plotá-los o papel quadriculado, vereos que, depededo da situação, o gráfico aproiado de y = aparece. Etrada Saída = < (,) =,, <,6,6 =,56 <, 6 (,3) =, 69?? <, 5,4, 4 =,96? (, 4) =,988? (, 4) =,064? Tabela Figura 5 Atividade 3: Material: ua garrafa de plástico pela etade, u edidor e cetíetros, algodão e ua seete de feijão. Cola-se o edidor u lado de fora da garrafa. Preecheos o fudo da garrafa co algodão úido e plataos ua seete de feijão ali, cofore a figura 6. Observaos todos os dias e coletaos os dados diariaete ua tabela. Dia 3... Coprieto Tabela 3 Fialete, ao plotaros esses dados u papel quadriculado, vereos que o seu gráfico aproia-se ao gráfico da fução y =. Esta atividade tora-se iteressate pois a fução raiz quadrada surge de ua observação da atureza. Para copletar, seria iteressate

8 desehar o gráfico de y = co a utilização de ua tabela e coparar co o gráfico da tabela Tabela 4 Retoraos, desta vez, ao aspecto coceitual de. Na defiição vios que a quatidade resulta : é o síbolo utilizado para epressar o úero que ultiplicado por si eso = [4]. Por outro lado, ao utilizaros o Pricípio da Idução Fiita, provaos que: + = [5], para e úeros aturais (cosultar COURANT, R. & ROBBINS, H., 000, p. ). Etretato, desejaos que a propriedade [5] cotiue válida eso quado ropeos a barreiro dos aturais e passaos para os racioais positivos. Isto é, estededo a estrutura algébrica se alterar a propriedade, o que acotece? + = = = [6] Ao cofrotaros as epressões [4] e [6], jutaete co [3], soos levados a cocluir que úero real ão-egativo. =! U raciocíio aálogo os leva a cocluir que Utilizaos u raciocíio aálogo ao acia para cocluiros que: ( ) Para tato, fazeos uso da igualdade: para e úeros aturais ( ) = = [7]. = [8], a = a, para a

9 Ora, já sabeos que 3 = [9]. Portato, ( ) ( ) 3 =. Por [8] e [9], teos que ( ) ( ) ( ) = = = = = =. O eso argueto pode ser usado para cocluir que geérica, ( ) ( ) a a a = e, de fora ais = =. Co u raciocíio aálogo, podeos cocluir que = =, sedo a u úero real ão-egativo. Coclusão: Si, eiste regras a Mateática. Mas, essas regras tê ua razão para eistire. No etato, ão quereos iferir que a eplicação que se apreseta acia deveria ser apresetada aos aluos da educação básica. Serve para teros autocofiaça o caso de seros questioados a respeito do assuto. Etretato, a qualidade de educadores, ão deveríaos siplesete repetir essas regras, as procurar atividades que otive a itrodução do coteúdo. Referêcias Bibliográficas: BARTLE, R. G. The Eleets of Real Aalysis. New York: Joh Wiley & Sos, Ic., 976. COURANT, R. & ROBBINS, H. O que é Mateática? Rio de Jaeiro: Editora Ciêcia Modera Ltda., 000. D AMBROSIO, U. Educação Mateática: Da teoria à prática. Capias, SP: Papirus, 996. PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS: Mateática/Secretaria de Educação Fudaetal Terceiro e Quatro Ciclos. Brasília: MEC/SEF, 998.