CONTANDO E PENSANDO MATEMATICAMENTE: UM TRABALHO DE INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA. GT 03 Educação Matemática no Ensino Médio e Ensino Superior

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1 CONTANDO E PENSANDO MATEMATICAMENTE: UM TRABALHO DE INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA GT 03 Educação Matemática o Esio Médio e Esio Superior Liliae R. Refatti, UNIFRA, liliaerefatti@hotmail.com Adriaa B. Fortes, UNIFRA, adriaawfortes@pop.com.br Roseliae G. Forgiarii, UNIFRA, aefguedes@hotmail.com Vailde Bisogi, UNIFRA, vailde@uifra.br Resumo: O presete trabalho descreve os resultados de uma experiêcia de esio realizada com um grupo de estudates que fazem parte do Curso de Mestrado Profissioalizate de Esio de Física e de Matemática que são professores em formação cotiuada. O trabalho foi desevolvido a disciplia de Álgebra durate o segudo semestre de 010, utilizado-se a metodologia de ivestigação matemática. O objetivo do trabalho ivestigativo foi estabelecer uma ivestigação etre a álgebra e a geometria para o desevolvimeto do pesameto recursivo. Os dados foram coletados a partir das observações do desevolvimeto do trabalho em sala de aula e das produções dos aluos. Da aálise dos dados coletados é possível iferir que a metodologia de ivestigação permitiu que os aluos costruíssem diferetes estratégias ao resolverem as atividades, ecotrassem regularidades e propusessem ovas situações, permitido assim o desevolvimeto do pesameto recursivo. Palavras-chave: Ivestigação matemática; Relação etre álgebra e geometria; Pesameto recursivo. Itrodução Para alcaçar resultados satisfatórios juto aos aluos e desmistificar a ideia de que a matemática é chata ou icompreesível é ecessária a utilização de artifícios metodológicos para costrução de coceitos. Há uma maior abertura das discussões sobre as atividades propostas em sala de aula com a possível costrução de cohecimetos é um camiho para o processo esio/apredizagem. Nesse caso, as aulas que evolvem a ivestigação e a ação podem auxiliar os aluos uma vez que esse tipo de atividades motiva os aluos a buscarem respostas, uma vez que tem como base a costrução do cohecimeto. Cocordamos com Pote que afirma, Ivestigar ão represeta obrigatoriamete trabalhar com problemas difíceis. Sigifica, pelo cotrário, trabalhar com questões que os

2 iterpelam e que se apresetam o iício de modo cofuso, mas que procuramos clarificar e estudar de modo orgaizado (PONTE, 003, p.9). Na atividade proposta, percebemos que os aluos fizeram uma orgaização dos dados apresetados e o levatameto de cojecturas, equato ós, que propusemos a atividade, os toramos mediadoras detro do grupo. Assim, foi possível perceber que essa metodologia de ivestigação vai também ao ecotro dos Parâmetros Curriculares Nacioais (1997, p.51), uma vez que afirmam que a matemática deve desevolver o educado a capacidade de... comuicar-se matematicamete, ou seja, descrever, represetar e apresetar resultados com precisão e argumetar sobre cojecturas, fazedo uso de liguagem oral e estabelecedo relações etre elas e diferetes represetações matemáticas. A Metodologia de Ivestigação Durate o desevolvimeto do trabalho optou-se pela metodologia de ivestigação matemática por se tratar de um trabalho em que seria fudametal a participação ativa dos aluos o desevolvimeto das atividades. A utilização da metodologia de ivestigação em sala de aula trasforma o ambiete, pois esta o professor passa a ser o mediador do cohecimeto equato que os aluos passam ser resposáveis pela descoberta e costrução dos coceitos do coteúdo estudado. De acordo com Pote (009) Uma ivestigação matemática desevolve-se usualmete em toro de um ou mais problemas. Pode mesmo dizer-se que o primeiro grade passo de qualquer ivestigação é idetificar claramete o problema a resolver. Por isso, ão é de admirar que, em Matemática exista uma relação estreita etre problemas e ivestigação (PONTE, 009, p. 16). Nas atividades de cuho ivestigativo o objetivo é explorar todos os camihos que surgem como iteressates a partir de uma dada situação sedo desta forma um processo divergete, pois se sabe o poto de partida, mas em sempre se cosegue prever exatamete o poto de chegada. Sedo assim é fudametal que o professor esteja preparado para lidar com os variados tipos de situações que este trabalho pode propiciar.

3 De acordo com Pote (009, p. 1) a ivestigação matemática abrage quatro mometos: exploração e formulação de questões; cojecturas, testes e reformulação; justificação e avaliação. Porém estes mometos podem ão ocorrer esta ordem. Procedimetos Metodológicos O presete trabalho cosiste em um problema de cotagem sem pré-requisitos em Matemática. As situações apresetadas podem ser usadas em quaisquer íveis de escolaridade. Foi exposto aos aluos slides que cotiham situações evolvedo círculos com as seguites situações problemas: Problema 1: De acordo com a cofiguração abaixo ecotre: Figura 1: Cofiguração de um losago 4 x 4 a) Diferetes formas de cotar os círculos desehados. b) Tomado a cofiguração dada, quatos círculos mais deverão ser acrescetados para obtermos uma cofiguração similar, porém cotedo cico e seis círculos em cada lado? c) Quatos círculos têm uma cofiguração semelhate ao que foi dada, porém com círculos em cada lado?

4 Os aluos observaram a pricípio que tíhamos a seguite sequecia de círculos 4, 3, 4, 3, 4, 3, 4, em seguida ecotramos a seguites cofigurações 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5 e 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6. Com isso foi possível geeralizar a sequecia de círculos, como segue:, 1,, 1,..., 1, cosequetemete o termo geral foi expresso da seguite forma: ( 1) ( 1) + ( 1) + Quado solicitada a geeralização do processo, foi pedido aos aluos uma cotagem evolvedo cico círculos em cada lado sempre matedo a cofiguração origial. Assim uma das soluções foi e 1 (5, 4, 5, 4...), cosecutivamete foi proposto com seis círculos. Esta questão gerou discussão a turma e as orietadoras tiveram que retomar o processo explicado ovamete a proposta, ode a cofiguração origial foram acrescetadas dezesseis bolihas. Etão, os aluos chegaram ao resultado:, 1,, 1,..., 1, ( 1) ( 1) + ( 1) + Primeiramete foi apresetado aos aluos o problema, para que ecotrassem maeiras diferetes de cotar as cofigurações solicitadas. As mesmas bolihas apresetadas os slides foram distribuídas para todos os aluos em papel A4 para que pudessem fazer suas aotações e cotribuições idividualmete. Depois de distribuído o devido material aos aluos, eles questioaram sobre a maeira como poderiam agrupar as bolihas etregues para serem cotadas. O grupo questioou sobre a existêcia regras para realizar a cotagem. A turma mostrou-se evolvida a situação proposta, tetado ecotrar expressões aritméticas ou geométricas da figura acima. Após foi solicitado aos aluos para exporem suas resoluções, com isso criou-se um debate com as costruções geométricas propostas. Numa seguda etapa do trabalho foi proposta várias expressões uméricas e solicitada a figura geométrica correspodete.

5 Sucessões e pesameto recursivo Fazedo uma traslação adequada de algus círculos, a cofiguração do losago o quarto termo da sequêcia se coverte em uma cofiguração quadrada de 5 x 5. Pergutase: Problema : É possível obter uma ova cofiguração quadrada para algum outro termo de uma sequêcia de círculos? Os aluos observaram que essa atividade partia de um problema lúdico de cotagem e estavam se aproximado de um problema relacioado com Teros Pitagóricos. Tedo ( 1) + círculos, e sedo o úmero de círculos em cada lado da figura, etão a perguta feita ateriormete, é equivalete a perguta sobre a existêcia de teros pitagóricos com iteiros cosecutivos correspodetes aos catetos do triâgulo retâgulo. O caso = 4, é particularmete iteressate, pois sedo 5 o úmero correspodete a hipoteusa, se temos três úmeros cosecutivos, ou seja, um caso que satisfaz, ( 1) ( 1) + = +. Buscado a solução a questão, obtemos facilmete que = 0 e = 4. No etato o caso geral aida esta pedete, ou seja, para quais valores de existe um úmero iteiro k tal que, ( 1) + = k. Isto os leva a pesar uma maeira geral de obter teros pitagóricos. (p, q, r) sedo p e q a medida dos catetos do triâgulo retâgulo e r a hipoteusa do mesmo. Uma maeira é a seguite: Para úmeros iteiros positivos arbitrários, a e b. p = a b q = ab r = a + b

6 Observou-se que com a = e b = 1 obtém-se um tero pitagórico (3, 4, 5) e com a = 5 e b = temos o tero pitagórico (1, 0, 9) o qual os diz que o termo 1 0 da sequecia com cofiguração de losago é possível reorgaizar os círculos de modo que teha uma cofiguração quadrada de 9 x 9. Foi revelado que o algoritmo apresetado ão era a melhor forma para buscar teros pitagóricos de termos cosecutivos correspodetes aos catetos. Uma aálise mais geral pode ser feita usado equações de Pell. O problema pode ser aalisado ecotrado-se a sequêcia recursiva dos círculos, assim deotamos C a cofiguração de losago de ordem, ou seja: C = (um úico círculo) C = Como um quadro adicioal de círculos em cada lado. C 1 Com esta defiição pode-se costruir a sequecia Chamamos: Figura : Sequecia recursiva ( C ) ao úmero de círculos de ordem, podemos defiir recursivamete esta sucessão umérica: ( C 1) = 1 ( ) ( ) C = C Logo podemos obter somas de quadrados de iteiros cosecutivos. ( C ) = ( C ) + ( ) = + = ( C ) = ( C ) + ( ) = + + = ( C ) = ( C ) + ( ) = + + = + M

7 ( ) ( ) C = 1 + A professora que miistra a referida disciplia solicitou às orietadoras da atividade que dificultassem as situações a fim de eriquecer o coteúdo exposto. Surgiram assim ideias de fazer agrupametos sempre matedo a simetria utilizado: trapézios e lihas, quadrados e triâgulos, retâgulos e quadrados. Com isso apresetamos a seguite atividade. Problema 3: Coforme a cofiguração de círculos abaixo ecotre: Figura 3: Cofiguração de um losago 5 x 5 a) De que forma podemos cotar a seguite cofiguração de círculos de modo a agrupá-los obtedo triâgulos. b) De que formas podemos agrupar, os círculos de modo a utilizar o cálculo de área de um quadrado, para cotar a quatidade de círculos dada a cofiguração abaixo. c) Utilizado cálculo de área de modo a ecotrar a quatia de círculos dada a cofiguração abaixo, calcule utilizado área de retâgulos. d) Utilizado o cálculo da área de trapézios, quadrado e retâgulos calcule o úmero de círculo que tem-se a cofiguração dada. Coclusão

8 Nosso trabalho mostrou que é possível recorrer a ovas metodologias, como a ivestigação matemática, e aplicá-las em sala de aula, com o objetivo de estimular os aluos para uma participação ativa o cotexto de esio/apredizagem. É claro, que em todos os aluos participaram da mesma forma, etretato a maioria demostrou iteresse e setiu-se desafiado para a busca de respostas. Cotudo, percebemos que foi muito importate trabalharmos com as atividades ivestigativas porque percebemos a possibilidade ão só de criar estratégias, como também, de explicitar formas de resolução, que foram aperfeiçoadas o decorrer do processo, detro do grupo que se evolveu a atividade. Referêcias BRASIL, Secretaria de educação Fudametal. Parâmetros curriculares acioais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997, 14 p. FONSECA, H., BRUNHEIRA, L., & PONTE, J. P. As actividades de ivestigação, o professor e a aula de Matemática. Actas do ProfMat 99. Lisboa: APM, Dispoível em: < MPT).doc>. Acesso em 16 de maio de 010. JURADO, Uldarico Malaspia. Coteo y pesameto matemático. Revista Iberoamericaa de Educação Matemática.. 0, p PONTE, J. P; BROCARDO,J; OLIVEIRA H. Ivestigações matemáticas a sala de aula. Belo Horizote: Autêtica, 009.