O CONHECIMENTO DO INFINITO PARTINDO DO FINITO ATRAVÉS DAS CONSTRUÇÕES DE PIRÂMIDES

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1 age8 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 O CONHECIMENTO DO INFINITO ARTINDO DO FINITO ATRAVÉS DAS CONSTRUÇÕES DE IRÂMIDES José Floriao Veloso Filho Faculdades Guaiaás Resumo *Atoio Chávez Zea Uiversidade Camilo Castelo Braco Resumo Nos últimos aos, a sociedade brasileira vem dedicado algus mometos à educação escolar, realizado debates, semiários, cogressos etc, ode a temática predomiate recai sobre a educação formal realizada as istituições escolares e o papel desempehado pelas orgaizações educativas esse processo formativo. Com base este pesameto, resolvemos escrever este artigo com o ituito de expressar ossas ideias a respeito destas preocupações educacioais. ara isso, escolhemos a matemática e a pedagogia como refereciais demostrativos de ossas cocepções educacioais. Nesta perspectiva, procuraremos escrever este trabalho sobre o que deomiaremos de Superpirâmides, um tipo especial de sólidos, com volume fiito, porém com área ifiita. O estudo das Superpirâmides pode ser desevolvido com aluos com aluos do primeiro semestre de graduação em liceciatura Matemática, visado uma reflexão mais profuda para estes que serão futuros educadores da educação básica em osso país. alavras chave: superpirâmide, geometria, educação matemática KNOWLEDGE OF THE INFINITE FROM FINITE USING CONSTRUCTION OF YRAMIDS Abstract I recet years, the Brazilia society have devoted a few momets to school educatio, holdig discussios, semiars, cofereces etc, where the predomiat theme is o formal educatio coducted i schools ad the role played by educatioal orgaizatios i this formative process. Based o this thought we decided to write this article i order to express our ideas about these educatioal cocers. For this, we chose mathematics ad pedagogy as bechmarks demostratig our educatioal cocepts. I this perspective, we will try to write i this paper, about what we shall call Super pyramids, a special type of solid, with fiite volume, but with ifiite area. The study of Super pyramids ca be developed with studets from first semester udergraduate degree i mathematics, seekig a deeper reflectio for those who will be future teachers of basic educatio i our coutry. Keywords: super piramid, geometry, mathematics educatio Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00

2 age8 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 Itrodução No estudo do Cálculo Diferecial tradicioal se estuda duas ferrametas importates a Matemática: itegração de fuções e o coceito de séries ifiitas. Mediate a itegração, podemos calcular áreas e volumes de sólidos. Quado itroduzimos a idéia de séries ifiitas, o estudate fica cofuso, pois ão há exemplos cocretos de aplicação coceitual. Da ecessidade de buscar exemplos, asceu a idéia de sólidos de um tipo especial; as Superpirâmides. As Superpirâmides são sólidas que tem volume fiito e área ifiita. Tal sólido seria um objeto matemático ideal para explicar estes tópicos do Cálculo, pois aqui o estudate pode visualizar algus exemplos de aplicações cocretas. Quado chegamos a este pesameto achamos que tudo estava esclarecido. No etato, foi este mometo que ovas ideias acabaram suscitado, pricipalmete em fução do biômio fiito-ifiito. Assim, procuraremos explaar estas ovas ideias da maeira mais clara e objetiva possível. A escola brasileira vem ao logo do tempo cocebedo o cohecimeto como algo mecâico, ode o apredido ão possui ehuma relação com a estrutura do que foi esiado, ou seja, cohecimeto desevolvido mecaicamete. A idéia do fiito e do ifiito pode ser visto como uma alterativa a ruptura deste paradigma educacioal cristalizado em ossa sociedade, criado, assim a possibilidade do ilimitado. Nesta perspectiva a cotribuição da matemática é muito valiosa, sedo este caso específico, além da utilização do raciocíio lógico uma reflexão do papel da escola equato istituição formativa, bem como, maturar a idéia a respeito da escola que queremos. ara ós esse pesameto a respeito do ifiito costruído uma base sólida fiita os remete ao aluo empreededor, que toma decisões, atitudes, escolhedo ovos camihos e, ão se coformado com o saber sabido ou seja, pré-estabelecido, segmetado e catequético. Novas atitudes exigem ovos procedimetos. A formação de liceciados em matemática deve pressupor uma ova filosofia de educação, ode a formação deve ser de totalidade e ão fragmetada, assetada em cohecimetos compartimetados. O aprofudameto de cohecimetos faz despertar ideias, pesametos um movimeto costate de relações e abstrações idispesáveis a orgaização da estrutura cogitiva humaa. O objetivo de estudo, o caso Superpirâmides servirá como poto de acoragem para o cohecimeto abstrato, isso é, a idéia do ifiito. A descoberta possibilita a criação do ovo Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00

3 age8 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 e este pode ser fasciate a medida em que provoca votades e desejos de ir adiate, um cotíuo icessate. A Superpirâmide, o cohecimeto e o pesameto são ifiitos. Assim, devemos pesar a escola que queremos, cocebedo-a equato istituição provocadora, desafiadora e trasformadora, ode professores e aluos uma dimesão horizotal possam aparecer como agetes deste processo de mudaça. Diate do exposto, explicitamos ossas cocepções em relação aos coceitos de fiito e ifiito, trasportados para a pedagogia que idealizamos. A sociedade de cosumo exige a formação de especialistas, ode para apreder o ovo é ecessário que se esqueça do que foi apredido o passado. Será essa a escola que queremos? ara efeito de ilustração e reflexão elaboramos este trabalho dois tipos de Superpirâmides que serão de fudametal importâcia para a relevâcia desta ossa cotribuição o campo da educação brasileira. ara o estudo das Superpirâmides utilizamos algumas propriedades básicas da geometria elemetar e das séries ifiitas. Superpirâmide de base triagular Costrução Cosideremos um triâgulo equilátero de vértices ABC e comprimeto do lado igual uma uidade, como a figura. A B Figura : Triâgulo C Sejam os potos médios M, M e M dos lados do triâgulo equilátero AB, BC e AC respectivamete, sobre estes potos médios, costruímos outro triâgulo equilátero de vértices M M M, cujo comprimeto do lado será, assim: Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00

4 age84 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 A M M B M Figura : Triâgulo eqüilátero M M M, formado pelos potos médios dos lados do triâgulo ABC. C Agora, sobre os potos médios dos lados dos triâgulos equiláteros: AM M, BM M e M M C costruímos ovos triâgulos equiláteros, veja figura. A N N M M N 9 N N 7 N 8 N 4 B N 6 M Figura : Triâgulos eqüiláteros formados pela divisão dos potos médios dos triâgulos AM M, BM M e M M C. N 5 C Observe que o triâgulo equilátero M M M ão foi dividido. Este processo repete-se para cada triâgulo equilátero a ser formado, ver figura 4 (a). Em cada triâgulo ciza formado como a figura, costrói-se uma pirâmide que tem por base esse triâgulo equilátero, ver figura 4 (b). Chamaremos essa pirâmide formada por. Etão, se sobre cada Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00

5 age85 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 triâgulo equilátero ciza costruímos pirâmides da mesma altura, teremos um cojuto ifiito de pirâmides, este cojuto de pirâmides de pirâmides. mesma altura,,, formam uma sequêcia ifiita Defiimos a Superpirâmide de base triagular como a uião ifiita das pirâmides da,,,. h b Figura 4: (a) Superpirâmide de base triagular. (b) -ésima irâmide,. Costrução da -ésima pirâmide Deotemos por como a -ésima pirâmide costruída sobre um -ésimo triâgulo equilátero ciza, ode é o úmero de divisões do lado do triâgulo equilátero, etão pela própria costrução podemos afirmar que esta pirâmide tem uma base triagular cujo comprimeto do lado da base é teham altura igual a. b e supohamos que as três faces laterais triagulares Cálculo do volume e área lateral da -ésima pirâmide, Ates de determiar o volume a área da -ésima pirâmide, iremos a determiar algus cálculos importates como: área da base e altura da pirâmide. Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00

6 age86 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 Área da base da -ésima pirâmide, B Deotaremos por B a área da base da -ésima pirâmide e aplicado a fórmula para determiar a área de um triâgulo equilátero, sabedo que o lado da base é, obtemos que a área da base será: B B. 4 Altura da -ésima pirâmide, h Observa-se que a costrução da -ésima pirâmide de base triagular, formou-se um triâgulo retâgulo, veja figura 5, ode h é a altura de -ésima pirâmide, é a altura da face lateral da -ésima pirâmide e represeta a apótema da base. h Figura 5: Triâgulo retâgulo formado pela altura da face, altura e a apótema da base da -ésima pirâmide. Etão, utilizado o teorema de itágoras determiamos a altura h, assim: h h Volume da -ésima pirâmide, V( ) Sabemos que o volume de uma pirâmide pode ser determiado pela seguite fórmula: Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00

7 age87 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 Volume B h, ode B é área da base e h é a altura da -ésima pirâmide. Assim, V ( ). h ela costrução sabemos que a altura da -ésima pirâmide é meor que, isto é, etão podemos afirmar que, h V( ). Isto é, V( ). Área Lateral da -ésima pirâmide, A ( ) L Calculamos a área lateral da -ésima pirâmide como sedo a soma das áreas das faces laterais ou simplesmete como três vezes a área de uma face triagular lateral, assim: AL( ) ( base altura) ( b ) ( ). ortato a área lateral da -ésima pirâmide será: AL( ). ela a costrução, observamos que temos uma pirâmide, três pirâmides, ove pirâmides e assim sucessivamete, portato de uma forma geral para partições teremos em total, N pirâmides. Como dito ateriormete a Superpirâmide de base triagular será a uião de todas essas pirâmides costruídas,,,,... que deotamos por,. rovaremos que este sólido assim omeado tem volume fiito e área ifiita, para isto iremos a determiar seu volume e área respectivamete. Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00

8 age88 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 Cálculo do volume e a área da Superpirâmide de base triagular, Cálculo do Volume, Vol O volume de será a soma de todos os volumes das pirâmides,,,,..., assim, Vol N. V ( ), ode N é o úmero de pirâmides,,,., isto é, N e V( ) é o volume da -ésima pirâmide. Etão substituido obtemos: Vol ( )( v ) ortato o volume da Superpirâmide será: 4. Vol Isto prova que a Superpirâmide de base triagular tem volume fiito. Cálculo da Área, A A área da Superpirâmide de base triagular será a soma de todas as áreas laterais das pirâmides,,,,... Desta maeira deotaremos a área lateral da Superpirâmide como: A N AL( ), ode N é o úmero de pirâmides,,,, isto é K área lateral da -ésima pirâmide. Etão substituido os valores respectivos obtemos, A é e L( ) A ( )( ) Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00

9 age89 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 Observe que a série tem área lateral ifiita. é uma série divergete, portato, isto prova que a Superpirâmide Superpirâmide de base quadrada Costrução Cosideremos um quadrado cujo comprimeto do lado seja uidade de medida, como mostra a figura 6. Figura 6: Quadrado de uidade de lado O quadrado mostrado a figura 6 será dividido em ove quadrados iguais, veja figura 7. Nomeamos com os quadrados que deixaremos fixos e com os outros quadrados que sobram, faremos ovamete a mesma divisão. Figura7: Quadrado dividido em 9 quadrados iguais. Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00

10 age90 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 Etão, em cada um dos quadrados formado os quatros catos, aqueles que sobraram da figura aterior, dividimos ovamete em ove quadrados iguais, deixamos fixos os que omeamos com e com os quadrados que sobram faremos ovamete a mesmas divisões como o caso aterior, veja a figura 8, e assim sucessivamete, cotiuamos com este processo de divisão dos quadrados formados os catos de cada quadrado. Figura 8: Divisão em quadrados iguais dos quadrados situados os catos dos quadrados formados. Sobre cada um dos quadrados omeados com,,..., costruiremos pirâmides cuja base será esses quadradihos omeados, obtedo uma pirâmide de base quadragular para cada um desses quadrados omeados, jutado todas essas pirâmides de base quadragular obtemos uma sequêcia ifiita de pirâmides de base quadragular, que omearemos por,,,,... A uião dessas pirâmides de base quadragular, chamaremos de Superpirâmide de base quadrada. h b Figura 9: (a) A Superpirâmide de base quadragular. (b) -ésima irâmide,. Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00

11 age9 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 Costrução da -ésima pirâmide Cosideremos como a -ésima pirâmide costruída sobre um -ésimo quadrado omeado pela letra, ode é o úmero de divisões do lado do quadrado. Seguido a costrução aterior podemos afirmar que esta pirâmide tem uma base quadrada cujo comprimeto do lado é b teham uma altura igual a. e cosideremos que as quatro faces triagulares laterais Volume e área lateral da pirâmide de base quadragular, Cálculo do Volume, Vol O volume de uma pirâmide pode ser calculado pela seguite fórmula, ode, B é área da base e h é a altura da pirâmide. Etão substituido os valores correspodetes obtemos, Vol( ) b h. Lembrado que a altura da pirâmide é meor que a altura da face, isto é, h. Obtemos que, Vol( ) h Vol( ). Etão o volume da -ésima pirâmide será meor ou igual a. Vol B h, Cálculo da Área lateral, A L Sabemos que a área lateral de um sólido regular é quatro vezes a área de a face triagular, isto é, AL 4 base altura ode, base é a base do triâgulo que é o lado da base da pirâmide e altura é a altura da face lateral da pirâmide. Substituido valores obtemos: AL( ) 4 base altura 4 ortato, a área lateral da -ésima pirâmide será: AL( ). Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00

12 age9 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 Da a costrução, ver figura 9 (a), observe que temos cico pirâmides, vite pirâmides e teremos oiteta pirâmides e assim sucessivamete, etão estabelecedo uma forma geral, teremos (5 4 ) pirâmides para. Como o caso aterior a Superpirâmide de base quadragular será a uião de todas as pirâmides costruídas de bases quadradas,,,,... que deotaremos por,. rovaremos que este sólido assim omeado tem volume fiito e área ifiita, para isto iremos a determiar seu volume e área respectivamete. Volume e a área da Superpirâmide, Cálculo do Volume Assim: O volume de será a soma de todas os volumes das pirâmides ( ), ode N é o úmero de pirâmides V N Vol ésima pirâmide. ( ) 5 4 ( ), como Vol( ) V N Vol Vol V (5 4 ) , para. e Vol( ) é o volume da -, obtemos que, V. ortato, o volume da Superpirâmide de base quadragular é, Isto prova que a Superpirâmide de base quadragular tem volume fiito. Cálculo da Área pirâmides A área da Superpirâmide de base quadragular será a soma de todas as áreas das, para, isto é, A N AL ( ), ode N é o úmero de pirâmides e A ( ) é a área lateral da -ésima pirâmide. L Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00

13 age9 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 Substituido valores, obtemos: 0 4 L( ) 54 A N A ortato a área da Superpirâmide de base quadragular será, A, como a série é uma série divergete, cocluímos que este sólido tem área ifiita. Isto prova ossa afirmação aterior. Coclusões Assim como os sólidos estudados, o estudate pode criar outros tipos de sólidos utilizado simplesmete um cohecimeto matemático básico. Observe que todo sólido limitado tem volume fiito, mas ão ecessariamete superfície fiita. Tedo estudado sólidos com volume fiito e superfície ifiita, os estudates podem fazer um estudo de sólidos que teham volume ifiito e superfície ifiita. A partir destes cohecimetos matemáticos o aluo pode desevolver outras formas de abstração o campo das ciêcias. De posse destas ideias os aluos ampliaram sua percepção a respeito do mudo em que vive. Referêcias Bibliográficas ARANHA, Maria Lucia de Arruda (006). Historia da Educação e da edagogia: Geral e Brasil. Ed. Editora Modera, São aulo. BOCK, Aa Mercês Bahia. (00). sicologia: Uma itrodução ao estudo de sicologia. Ed. Reformulado e ampliado. Editora Saraiva, São aulo. GEORGE,B.T. (00). Cálculo. Vol. e, Makro Books São aulo. GUIDORIZZI, H.L. (00). Cálculo. Vol. 4. LTC. Rio de Jaeiro. MCKIM, JAMES. (98). The problem of Galaxa: Ifiite: Area versus Fiite Volume. Mathematics Teacher 74, p , April. Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00

14 age94 ISSN José Floriao Veloso Filho & Atoio Chávez Zea 00 RADO, TIBOR. (94). What Is the Area of a Surface? America Mathematical Mothly 50, p. 9-4, March. SIMMONS, G. F. (987). Cálculo com Geometria Aalítica Vol. e, Makro Books São aulo. Recebido em: /05/00 Aceito em: 0/07/00 *Edereço para correspodêcia: Rua Carolia Foseca, 584 Itaquera, São aulo-s. CE: Foe: 05-7 Uiversidade Camilo Castelo Braco. atoioime@hotmail.com Brazilia Educatioal Techology: Research ad Learig v.,., p. 8-94, set/dez 00