Regularidades associadas ao método do passo uniforme
|
|
- Alícia Felgueiras Mangueira
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Regularidades associadas ao método do passo uiforme j. i. travassos p.. silva Resumo Nesse artigo, discutimos o comportameto das soluções de um sistema liear módulo relacioado ao método do passo uiforme. Trata-se de um método para costrução de quadrados mágicos de ordem ímpar proposto e aalisado matematicamete por Lehmer [2]. Exploramos aqui o ão preechimeto do quadrado e as regularidades associadas a esse processo. Abstract I this article, we discuss the behavior of solutios of a liear system module related to the uiform step method. It is a method for costructig magic squares of odd order proposed ad aalyzed mathematically by Lehmer [2]. We ivestigate what happes whe the method fails ad we aalyze the regularities associated with this process. 1 Itrodução Segudo Lehmer [2], uma matriz quadrada de ordem preechida com todos os úmeros aturais de 1 até 2, sem repetição, é chamada de quadrado mágico se a soma dos úmeros de qualquer liha ou colua for a mesma. Nesse caso, dizemos que o quadrado é mágico as lihas e mágico as coluas, respectivamete. Há muitas maeiras de gerar quadrados mágicos. Existem vários métodos de costrução. Quadrados de ordem ímpar são costruídos com métodos diferetes dos quadrados de ordem par. No presete trabalho vamos os deter exclusivamete a certos aspectos do método do passo uiforme MPU). Esse método 1 foi aalisado matematicamete por Lehmer [2]. Ele cosiste em atribuir, um de cada vez, ordeadamete, a sequêcia dos úmeros 1, 2, 3,..., 2 às células do quadrado seguido uma regularidade de movimetos para a direita e para cima. Lehmer dividiu sua aálise em várias etapas. Ele ivestigou sob quais hipóteses: a) o método preeche o quadrado; b) as coluas resultam mágicas e c) as lihas resultam mágicas. Ao aalisar o preechimeto do quadrado, Lehmer [2] os istigou a ivestigar o ão preechimeto. Palavras chave: Quadrados Mágicos, Método do Passo Uiforme, ão-preechimeto discete PROFMAT/UERJ, joseichihara@hotmail.com Departameto de Aálise Matemática, IME/UERJ, ues@ime.uerj.br 1 O método do passo uiforme apeas pode ser usado para gerar quadrados mágicos de ordem ímpar. No etato, a discussão do preechimeto do quadrado pelo método, essa restrição ão se faz ecessária. 15
2 16 Caderos do IME Série Matemática Vol ) 2 O método do passo uiforme Cada célula do quadrado de ordem será idetificada por suas coordeadas A, B) que idicam, respectivamete, a colua e a liha que a ela correspodem. As lihas são umeradas de baixo para cima e as coluas, da esquerda para direita. Assim temos a seguite disposição: Figura 1: Coordeadas das células Fote: dados da pesquisa 2.1 Um Exemplo No método do passo uiforme, iicia-se com o 1 sedo atribuído a uma célula qualquer p, q). Em seguida, vem o 2, colocado a célula p + α, q + β) sedo α o deslocameto ou passo para a direita e β o passo para cima. Esses passos serão matidos, por isso, α e β são chamadas de costates do passo uiforme. A saída da matriz é evitada utilizado-se a cogruêcia módulo para determiar as coordeadas de cada célula. Com efeito, ao cosiderarmos A, B) x, y) mod ) se e somete se A x mod ) e B y mod ), os valores para as coordeadas podem ser obtidos de 1 a. Para torar o texto mais leve vamos omitir a escrita do mod ). Ao térmio de cada alocação de úmeros, será ecessário fazer uma quebra de passo através da itrodução de parâmetros a e b) para evitar a sobreposição de úmeros em uma mesma célula. Exemplo 2.1. Seja o quadrado de ordem = 5 costruído pelo método do passo uiforme com os seguites parâmetros: α = 1, β = 1, a = 1, b = 2, p = 2 e q = 3. O 1 é alocado a célula iicial p, q) = 2, 3), escolhida arbitrariamete, prossegue-se colocado 2 a célula situada 1 passo para a direita e um passo para cima, ou seja, 2 + 1, 3 + 1) 3, 4). Da mesma forma, 3 é alocado em 3 + 1, 4 + 1) 4, 5), 4 em 4 + 1, 5 + 1) 5, 1) e 5 em 5 + 1, 1 + 1) 1, 2), Figura 2a).
3 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 17 A primeira quebra de passo será requerida, ao térmio do 1 ọ ciclo, a iserção de 6. De fato, partido da coordeada p = 2 ao serem somados 5 passos horizotais α = 1 voltaremos à coordeada 2, isto é, mod 5). Da mesma maeira, a partir da coordeada q = 3, acrescetados 5 passos verticais β = 1 volta-se à coordeada 3, ou seja, mod 5). Etão, o método propõe uma quebra de passo que cosiste em deslocar-se a passos para a direita e b passos para cima, isto é, somar a = 1 e b = 2, respectivamete, às coordeadas p = 2 e q = 3. O 2 ọ ciclo, é iiciado, com a primeira quebra de passo itroduzida, permitido que o úmero 6 seja alocado ão mais a célula 2, 3) ocupada pelo 1 mas uma outra célula, com coordeadas 2 + 1, 3 + 2) 3, 5). Os úmeros de 7 até 10 poderão, etão, ser alocados fechado o 2 ọ ciclo, Figura 2b). Esse procedimeto se repete para o 3 ọ ciclo, Figura 2c) e prossegue com o 4 ọ e 5 ọ ciclos até que todos os 25 úmeros teham sido distribuídos, Figura 2d). a) 1 ọ ciclo b) 2 ọ ciclo c) 3 ọ ciclo d) 4 ọ e 5 ọ ciclos Figura 2: Iserção de 1 a 25 pelo MPU Fote: dados da pesquisa 2.2 Cogruêcias associadas O processo descrito o exemplo pode ser resumido as cogruêcias fudametais propostas por Lehmer [2], para determiar as coordeadas A, B) da célula a qual cada úmero x {1,..., 2 } deve ser alocado: [ ] x 1 A p + α x 1) + a [ ] x 1 B q + β x 1) + b mod ) 2.1) mod ) 2.2) ode p, q) são as coordeadas da célula ocupada pelo 1 e [w] represeta a parte iteira do úmero real w. Estas cogruêcias os idicam que as coordeadas A e B de um úmero x o quadrado, pelo método do passo uiforme, depedem dos seis parâmetros α, β, a, b, p e q. No método do passo uiforme, o coeficiete x 1) de α e β é um cotador da quatidade de passos. O coeficiete [ ] x 1 de a e b é um cotador das quebras de passos. De fato, após cada ciclo de alocações), há uma quebra de passo, sedo adicioada uma uidade ao coeficiete de a e b que se matém costate durate os ciclos. Para ossa aálise, será coveiete observar que o teorema da Divisão Euclidiaa garate que um úmero atural x {1, 2, 3,, 2 } pode ser escrito, de maeira úica, a forma x = 1 + w + k 2.3)
4 18 Caderos do IME Série Matemática Vol ) com 0 w, k 1. Mais precisamete, k é o quociete da divisão de x 1 por, [ ] x 1 k = 2.4) e, w é o resto dessa divisão, w x 1 mod ). 2.5) O coceito de cogruêcia módulo foi utilizado para formalizar matematicamete o procedimeto idicado pelo método do passo uiforme. Foi possível estabelecer uma relação algébrica etre cada úmero x e as coordeadas da célula que será ocupada por ele. 3 O método preeche o quadrado? Nesta seção, apresetamos o resultado de Lehmer [2] para preechimeto do quadrado pelo método do passo uiforme. Lehmer [2] estabelece o seguite resultado Teorema 3.1 Lehmer [2, p. 530]). Dados α, β, a e b todos primos com, uma codição ecessária e suficiete para que o método do passo uiforme preecha o quadrado é que αb βa seja primo com. O método do passo uiforme garate que ehum úmero 1 x 2 caia fora do quadrado. Sedo assim, a úica maeira do quadrado ão ser preechido pelo método é existirem dois úmeros x 1 e x 2 que teham as mesmas coordeadas A, B). A prova de Lehmer [2] explora esse fato. Sejam x 1 e x 2 dois úmeros do cojuto {1, 2, 3,..., 2 }. Vamos deotar respectivamete por A 1, B 1 ) e por A 2, B 2 ) suas coordeadas dadas por 2.1) e 2.2). Se x 1 e x 2 estão em uma mesma célula, temos A 1 A 2 mod ) e B 1 B 2 mod ). Isto é, [ ] [ ]) x1 1 x2 1 α x 1 x 2 ) + a 0 mod ) [ ] [ ]) x1 1 x2 1 β x 1 x 2 ) + b 0 mod ) Utilizado propriedades de cogruêcia 2 em 3.6)-3.7), Lehmer deduz o sistema 3.8)-3.9), associado à codição de dois úmeros x 1 e x 2 ocuparem a mesma célula, pelo método do passo uiforme. 3.6) 3.7) {[ x1 1 ] x 1 x 2 ) 0 mod ) [ ]} x2 1 0 mod ) 3.8) 3.9) ode = αb βa. A proposição Se o quadrado preeche, etão αb βa é primo com. é equivalete à sua cotrapositiva Se αb βa ão é primo com, etão o quadrado ão preeche. Lehmer toma a cotrapositiva. 2 Veja Proposições e em Hefez [1, pp ]
5 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 19 Essecialmete, ele quer exibir dois úmeros x 1 e x 2 que satisfazem 3.8) 3.9), que ocupem a mesma célula, isto é, que também satisfaçam 3.6)-3.7). Para provar que a codição de primalidade de αb βa e é ecessária, Lehmer parte do sistema 3.8)-3.9) e argumeta da seguite maeira: Se 3 o mdcαb βa, ) =, etão [ ] [ ] x1 1 x2 1 mod ) ) e x 1 x 2 mod. Se cosideramos etão x2 = x 1 + ) a última cogruêcia se verifica. Substitua esse valor de x 2 a outra cogruêcia e obteha [ ] [ x1 1 x1 1 + ] mod ). Como é um iteiro, a cogruêcia claramete se verifica. Dois valores de x que difiram por serão alocados pelo passo uiforme a mesma célua e o quadrado ão será preechido. 2 Lehmer [2, p. 531]). Lehmer [2], assume que os parâmetros α, β, a, b do método do passo uiforme sejam todos primos com e aida que o mdcαb βa, ) = 1. Lehmer [2] exibe dois úmeros x 2 x 1 = 2 que satistazem ao sistema equivalete a 3.8) 3.9) 4 x 1 x 2 mod ) [ ] [ ] x1 1 x2 1 mod ) 3.10) 3.11) e afirma que vão cair a mesma célula e por isto o quadrado ão será preechido. Essa afirmação é equivocada. satisfazem 3.6)-3.7) Veremos mais adiate que se x 1 e x 2 tais que, x 1 x 2 = 2 A possibilidade de haver dois úmeros x 1 e x 2 que satisfaçam as cogruêcias do sistema 3.10) 3.11) mas ão ocupem a mesma célula do quadrado os istigou a eteder como se cofigura o ão preechimeto pelo método do passo uiforme. ão O fato de Lehmer [2] ter pesado que soluções ão triviais de 3.8)-3.9) são também soluções de 3.6)-3.7), ou seja, ocupam a mesma célula, os levou a fazer uma aálise da relação etre esses sistemas. [ ] [ ] 3 tradução livre de: If however ad αb βa) have a commo divisor the we have x1 1 x2 1 mod ) ad ) x 1 x 2 mod. If the we put x2 = x 1 + ) [ ] [ ] this last cogruece is satisfied. Put this value of x2 i the other cogruece ad we have x1 1 x1 1 mod + ) ad sice is a iteger the cogruece is clearly satisfied. Two values of x which differ by 2 will the fall i the same cell by this rule for fillig the square ad the square will therefore ot be filled. 4 A Proposição [1, p. 114] garate a equivalêcia dos sistemas 3.8) 3.9) e 3.10) 3.11)
6 20 Caderos do IME Série Matemática Vol ) 3.1 O poto crucial o camiho da volta O poto crucial a prova da codição ecessária ecotra-se a passagem, de 3.6)-3.7) para 3.8)-3.9), ode as equações lieares foram multiplicadas pelos parâmetros α, β, a e b presumidamete primos. Logo, essa passagem ão haveria gaho em perda de soluções, portato haveria uma equivalêcia. No etato, voltado, de 3.8)-3.9) para 3.6)-3.7) observamos algo que os surpreedeu. Vamos, adotar aqui, a otação com w s e k s. O sistema 3.8)-3.9) pode ser reescrito como αb βa)w 1 w 2 ) 0 mod ) 3.12) αb βa)k 1 k 2 ) 0 mod ) e é equivalete a b[αw 1 w 2 ) + ak 1 k 2 )] a[βw 1 w 2 ) + bk 1 k 2 )] 0 mod ) α[βw 1 w 2 ) + bk 1 k 2 )] β[αw 1 w 2 ) ak 1 k 2 ) 0 mod ) 3.13) 3.14) 3.15) Multiplicado 3.14) por α e 3.15) por a e somado, vamos obter: αb βa)[αw 1 w 2 ) + ak 1 k 2 )] 0 mod ) Multiplicado 3.14) por β e 3.15) por b e somado, vamos obter: αb βa)[βw 1 w 2 ) + bk 1 k 2 )] 0 mod ) Portato, sob as hipóeteses de α, β, a e b serem primos com, o sistema 3.12)-3.13) é equivalete a: { αb βa)[αw1 w 2 ) + ak 1 k 2 )] 0 mod ) αb βa)[βw 1 w 2 ) + bk 1 k 2 )] 0 mod ) Se αb βa for primo com etão: { αw1 w 2 ) + ak 1 k 2 ) 0 mod ) βw 1 w 2 ) + bk 1 k 2 ) 0 mod ) Portato, o que impede a equivalêcia etre os sistemas 3.6)-3.7) e 3.8)-3.9) é apeas, a ão primalidade, do determiate αb βa com. Veremos que a codição ecessária e suficiete do preechimeto do quadrado pelo método do passo uiforme depede uicamete da primalidade do determiate e ão exige a primalidade dos parâmetros com diferetemete do que havia estabelecido [2]. Afirmamos que é possivel haver dois úmeros x 1 e x 2 que satisfaçam as cogruêcias do sistema 3.10) 3.11) mas ão ocupem a mesma célula do quadrado. Compreeder essa afirmação exigiu o etedimeto de como se cofigura o ão preechimeto pelo método do passo uiforme. Como cosequêcia dessa ivestigação, deduzimos e idetificamos várias regularidades associadas ao ão preechimeto do quadrado pelo método do passo uiforme.
7 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto Se o método preeche, αb βa é primo com? Para compreeder o equívoco de Lehmer, é ecessário aalisar cuidadosamete o sistema 3.10) 3.11). Por 2.4), a equação 3.11) pode ser reescrita: k 1 k 2 mod De acordo com 2.3), a equação 3.10) pode ser escrita: 1 + w 1 + k w 2 + k 2 mod ) w 1 + k 1 ) w 2 + k 2 ) mod ) w 1 w 2 mod ) ) O sistema 3.10) 3.11) pode, etão, ser reescrito: w 1 w 2 mod ) k 1 k 2 mod ) 3.16) 3.17) Seja S I o subcojuto de {1,..., 2 } tal que para todo x 1, x 2 S I, tehamos x 1, x 2 é solução de 3.10) 3.11). Como queremos ivestigar úmeros x 1, x 2 {1, 2,..., 2 } que ocupam a mesma célula o quadrado, estamos iteressados em determiar os elemetos x j de S I. Por 2.3), podemos represetá-los a forma x j = 1 + w j + k j {1, 2,..., 2 }, j = 1, 2. Vamos os referir a tais elemetos como soluções de iteresse do sistema 3.10) 3.11). A cada solução de iteresse x j do sistema 3.10) 3.11), podemos associar uma solução de iteresse w j, k j ) do sistema 3.16) 3.17). A coordeada w j será chamdade de solução de iteresse de 3.16) e k j, de solução de iteresse de 3.17). Obviamete, duas soluções de iteresse w 1 e w 2 de 3.16) deixam o mesmo resto w a divisão por. De um modo geral, duas soluções de iteresse w 1 e w 2 de 3.16) são dadas por w j = w + l j, j = 1, 2, 3.18) para algum w tal que 0 w 1. Como w j é tal que 0 w j 1, temos 0 l j 1. Aalogamete, duas soluções de iteresse k 1 e k 2 de 3.17) são dadas por com 0 t j 1 e para algum k tal que 0 k 1. k j = k + t j, j = 1, 2, 3.19) Portato, as soluções de iteresse do sistema 3.10) 3.11) podem ser agrupadas em fução dos pares w, k ). Para cada w e k pertecetes ao cojuto de resíduos 5 módulo, 3.18) e 3.19) os mostram 5 w, k { 0, 1, 2,, 1}.
8 22 Caderos do IME Série Matemática Vol ) que há 2 soluções de iteresse w j, k j ) do sistema 3.16) 3.17). Além disso, sedo x 1 e x 2 duas soluções do sistema 3.10) 3.11), por 3.18) e 3.19), temos x j = 1 + w + k + l j + t j 2, j = 1, ) para algum l j e t j pertecetes ao cojuto de resíduos 6 módulo. 4 Como ocorre o ão preechimeto? Vimos que as soluções de iteresse do sistema 3.10) 3.11) são úmeros da forma x = x + l + t 2, 0 l, t 1, sedo x = 1 + w + k, com 0 w, k 1. Fixados w e k, estes úmeros podem ser dispostos em lihas e coluas, Figura 3, formado uma matriz Mw, k ). Figura 3: Matriz Mw, k ) Fote: O autor, Mais precisamete, para 0 w, k 1, temos Mw, k ) = m t+1,l+1 ), m t+1,l+1 = x tl = x + l + t 2, 0 l, t ) ) 2 Segue que o cojuto de soluções de iteresse do sistema 3.10) 3.11) será costituído por matrizes, cada uma defiida por um w e um k tais que 0 w, k 1, tedo cada uma 2 úmeros. A este poto, somos capazes de dado um úmero qualquer 1 x 2 idetificar a qual Mw, k ) ele pertece, e quais serão os outros úmeros desta mesma matriz. 6 l j, t j {0, 1, 2,, 1}.
9 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 23 Por que é importate saber quais são os úmeros de uma Mw, k )? Porque são úmeros de uma Mw, k ) que vão ocupar uma mesma célula, ocasioado, o ão preechimeto do quadrado. Exemplo 4.1. Seja o quadrado de ordem = 15 costruído pelo método do passo uiforme com os seguites α a parâmetros: α = 2, β = 1, a = 11 e b = 4. Observe que determiate = 3 e mdc, αb βa) = β b ) ) = 3. Assim, teremos = = 25 matrizes Mw, k ), 3 3, Figura 5a), págia 23), cada 3 uma com 2 = 3 2 = 9 elemetos, Figura 5b), a págia 23. Nessas codições, em qual Mw, k ) vai cair o úmero, digamos, 133? Desta forma, o úmero 133 está em M2, 3). 133 = 1 + w + 15 k k = 8 e w = 12 k k mod ) k 8 3 mod 5) w w mod ) w 12 2 mod 5) Figura 4: Estrutura das matrizes do exemplo 4.1. a) 25 matrizes Mw, k ), 3 3 b) Mw, k ), 3 3 Fote: O autor, Coordeadas dos elemetos de M w, k ) Um elemeto geérico de Mw, k ) tem a forma x = 1 + w + k + l + t 2.
10 24 Caderos do IME Série Matemática Vol ) Vamos calcular as suas coordeadas A e B. Para isso retomamos a equação 2.1). Substituido a expressão de x, vamos obter a seguite cogruêcia módulo : A p + α w + k + l ) + t 2 + a w + k + l + t 2 mod ) Temos: Portato, ambos podem ser elimiados. α k 0 mod ) e α t 2 A p + α w + l ) + a 0 mod ) w + k + l + t 2 mod ). O termo multiplicado por a pode ser decomposto: A p + α w + l ) + a w + l [ ] k t mod ). E, cosiderado que: w + l = 0, [ ] k = k e uma vez que w = w + l e 0 w 1. t 2 = [ ] t = t, uma vez que, a cogruêcia se reduz a: A p + αw + a k + l α + t a mod ) 4.22) Aalogamete, segue de 2.2) que a coordeada B de x é dada por B q + βw + b k + l β + t b mod ) 4.23)
11 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 25 Exemplo 4.2. Seja o quadrado de ordem = 15 costruído pelo método do passo uiforme com os seguites parâmetros: α = 2, β = 1, a = 11 e b = 4. Quais são as coordeadas A, B), de cada elemeto da matriz M2, 3)? Obs.: p e q são as coordeadas da célula iicial, ode é alocado o 1. A Figura 10 mostra os resultados obtidos quado usamos 4.22) e 4.23). Verificamos que os úmeros 48, 133 e 203 vão ocupar a célula do quadrado de coordeadas p + 7, q + 14); 53, 123 e 208; a célula de coordeadas p + 2, q + 4) e 58, 128 e 198 irão cair a célula de coordeadas p + 12, q + 9), cofirmado que dois valores de x que correspodam a soluções de iteresse do sistema 3.10) 3.11) podem ão ocupar a mesma célula. Com relação à afirmação de Lehmer: que dois valores de x que diferem de 2 vão ocupar a mesma célula, a Figura 10, oferece vários pares de valores de x que a cotradizem, por exemplo, 53 e 128, que diferem de 152 mas ocupam células diferetes. 3 Figura 5: M2, 3) do Ex Fote: O autor, As coordeadas A e B. O elemeto x 00 se localiza a 1 ạ liha e a 1 ạ colua de Mw, k ). Etão, fazedo l = 0 e t = 0, temos: x 00 = 1 + w + k + 0 β + 0 b = 1 + w + k = x Vamos deotar suas coordeadas por A e B. Temos A p + αw + ak mod ) B q + βw + bk mod )
12 26 Caderos do IME Série Matemática Vol ) Etão, as cogruêcias 4.22) e 4.23) podem ser reescritas: A A + l α + t a B B + l β + t b mod ) 4.24) mod ) 4.25) As coordeadas detro de uma matriz Mw, k ) depedem de A, B ) que são as coordeadas do elemeto x 00. A partir destas coordeadas todas as outras coordeadas dos demais elemetos da matriz são obtidas somado-se l α + t a e l β + t b respectivamete a A e a B. Ou seja todas são obtidas regularmete a partir de A, B ). 4.3 Regularidade das coordeadas A e B etre matrizes. Seja x = 1 + w + k + l + t2. Note que a difereça etre úmeros, localizados a mesma liha e colua, mas em matrizes vizihas Mw ± 1, k ) será de 1. E, em matrizes vizihas da forma Mw, k ± 1), a difereça será de como mostram as figuras 7a) e 7c). Sejam A, B) as coordeadas do elemeto x localizado a t ạ liha e l ạ colua de Mw, k ). A coordeada A w ±1,k de um elemeto a mesma posição, mas localizado em uma matriz viziha Mw ± 1, k ), será determiada por: A w ±1,k p + αw ± 1) + ak + l α + t a mod ) A w ±1,k p + αw + ak + l α + t a ) ± α mod ) A w ±1,k A ± α mod ) Aalogamete B w ±1,k B ± β mod ) Portato, a partir das coordeadas A, B) de x, podemos determiar as coordeadas de um elemeto localizado a mesma posição, em uma matriz viziha à esquerda ou à direita Mw ±1, k ), simplesmete, somado ±α à coordeada A e ±β à coordeada B, Figura 7b) A coordeada A w,k ±1 de um elemeto a mesma posição, mas localizado em uma matriz viziha Mw, k ± 1), será determiada por: A w,k ±1 p + αw + ak ± 1) + l α + t a mod ) A w,k ±1 p + αw + ak + l α + t a ) ± a mod ) A w,k ±1 A ± a mod )
13 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 27 Aalogamete B w,k ±1 B ± b mod ) Portato, a partir das coordeadas A, B) de x, podemos determiar as coordeadas de um elemeto localizado a mesma posição, em uma matriz viziha acima ou abaixo Mw ± 1, k ), simplesmete, somado ±a à coordeada A e ±b à coordeada B, Figura 7d). Figura 6: Regularidades. a) Elemetos de mesma posição, em matrizes vizihas, à esquerda e à direita b) Coordeadas de mesma posição, em matrizes vizihas, à esquerda e à direita c) Elemetos de mesma d) Coordeadas de mesma posição, posição, em matrizes vizihas, acima e abaixo em matrizes vizihas, acima e abaixo Fote: O autor, Observação 4.1 A possibilidade de α ser múltiplo de ). A úica possibilidade de termos duas coordeadas A, B) iguais em matrizes vizihas seria se β também fosse múltiplo de, pois teríamos α 0 mod ) e β 0 mod ). Mas, esse problema é aparete, pois em caso dos dois serem múltiplos de etão o determiate também seria múltiplo de e o máximo divisor comum =. Nesse caso, ) 2 a quatidade de matrizes é dada por = 1. Etão, teríamos apeas uma úica matriz que seria a M0, 0). É iteiramete aáloga, a possibilidade de a ou b serem múltiplos de.
14 28 Caderos do IME Série Matemática Vol ) 4.4 Regularidade das coordeadas A e B ao logo de uma liha de Mw, k ). Seja A tl, B tl ) as coordeadas do elemeto x tl localizado a liha t e colua l de Mw, k ). As coordeadas de um elemeto viziho, localizado a mesma liha, x t,l+1 ou x t,l 1, serão determiadas por: A t,l±1 A + l α + t a ) B t,l±1 B + l β + t b ± α A t,l ± α ) ± β B t,l ± β mod ) mod ) Portato, a partir das coordeadas A, B) de x, podemos determiar as coordeadas dos elemetos vizihos em uma mesma liha, simplesmete, somado ± α à coordeada A e ±β à coordeada B. 4.5 Regularidade das coordeadas A e B ao logo de uma colua de Mw, k ) Seja A tl, B tl ) as coordeadas do elemeto x t,l localizado a liha t e colua l de Mw, k ). As coordeadas de um elemeto viziho, localizado a mesma colua, x t+1,l ou x t 1,l, serão determiadas por: A t±1,l A + l α + t a ) ± α A t,l ± a B t±1,l B + l β + t b ) ± β B t,l ± b mod ) mod ) Portato, a partir das coordeadas A, B) de x, podemos determiar as coordeadas dos elemetos vizihos em uma mesma colua somado ± a à coordeada A e ±b à coordeada B. As figuras 8a) e 8b) mostram os vizihos de um elemeto geérico, x, em uma Mw, k ), assim como suas respectivas coordeadas. Figura 7: Regularidades. a) Elemetos vizihos de x b) Coordeadas vizihas de A, B) Fote: O autor, Até este poto, vimos que as soluções de iteresse do sistema 3.10) 3.11) são úmeros da forma x = 1 + w + k + l + t 2 e podem ser orgaizados em matrizes Mw, k ). São os úmeros
15 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 29 que estão em uma mesma matriz Mw, k ) que vão compartilhar células, causado o ão preechimeto do quadrado pelo método do passo uiforme. Também observamos um padrão: à medida em que os movemos, horizotalmete, para a direita ou esquerda, em Mw, k ), os elemetos variam de ± e suas, respectivas coordeadas, variam de de ± α e ± β. Se o movimeto for, verticalmete, para cima ou para baixo, os elemetos variam de ± 2 e suas, respectivas coordeadas, são acrescidas de ±a e ±b. Exemplo 4.3. Seja o quadrado costruído pelo método do passo uiforme defiido pelos parâmetros = 15, α = 4, β = 5, a = 1 e b = 2. Aplicado as regularidades da matriz Mw, k ), vamos determiar quais são os úmeros, com suas respectivas coordeadas, que estão a mesma matriz que 102. Temos α a = αb βa = = 3 β b e = mdc15, 3) = 3. Vamos idetificar em qual matriz Mw, k ) está 102. Etão, 102 está em M1, 1). 102 = 1 + w + 15 k k = 6 e w = 11 k k mod ) k 6 1 mod 5) w w mod ) w 11 1 mod 5) O elemeto x 00 que está a 1 ạ liha e 1 ạ colua de M1, 1) é dado por Suas coordeadas são: x 00 = x = 1 + w + k = = 17 A 00 = A p + αw + ak p p + 5 mod 15) B 00 = B q + βw + bk q q + 7 mod 15) Etão, a partir de x 00 = 17, A 00 = p + 5 e B 00 = q + 7, podemos determiar, respectivamete, x 01, A 01 e B 01 : x 01 = = 22 A 01 p + 5) + 5 p + 10 mod 15) B 01 q + 7) + 10 q + 2 mod 15) A partir de x 01 = 22, A 01 = p + 10 e B 01 = q + 2, podemos determiar, respectivamete, x 02, A 02 e B 02 : x 02 = = 27 A 02 p + 10) + 5 p mod 15) B 02 q + 2) + 10 q + 12 mod 15)
16 30 Caderos do IME Série Matemática Vol ) Assim, a 1 ạ liha foi cocluída. Cotiuado, de x 00 = 17, A 00 = p + 5 e B 00 = q + 7, podemos determiar, respectivamete, x 10, A 10 e B 10 : x 10 = = 92 A 10 p + 5) + 5 p + 10 mod 15) B 10 q + 7) + 10 q + 2 mod 15) De x 10 = 92, A 10 = p + 10 e B 10 = q + 2, podemos determiar, respectivamete, x 11, A 11 e B 11 : x 11 = = 97 A 11 p + 10) + 5 p mod 15) B 11 q + 2) + 10 q + 12 mod 15) De x 11 = 97, A 11 = p e B 11 = q + 12, podemos determiar, respectivamete, x 12, A 12 e B 12 : x 12 = = 102 A 12 p + 5 p + 5 mod 15) Assim, a 2 ạ liha foi cocluída. B 12 q + 12) + 10 q + 7 mod 15) De x 10 = 92, A 10 = p + 10 e B 10 = q + 2, podemos determiar, respectivamete, x 20, A 20 e B 20 : x 20 = = 167 A 20 p + 10) + 5 p mod 15) B 20 q + 2) + 10 q + 12 mod 15) De x 20 = 167, A 20 = p e B 20 = q + 12, podemos determiar, respectivamete, x 21, A 21 e B 21 : x 21 = = 172 A 21 p + 5 p + 5 mod 15) B 21 q + 12) + 10 q + 7 mod 15) De x 21 = 172, A 21 = p + 5 e B 21 = q + 7, podemos determiar, respectivamete, x 22, A 22 e B 22 : x 22 = = 177 A 22 p + 5) + 5 p + 10 mod 15) Os resultados obtidos estão a Figura 8. B 22 q + 7) + 10 q + 2 mod 15) Figura 8: Elemetos e suas coordeadas, da matriz M1, 1), do Exemplo 4.3. Fote: O autor, 2014.
17 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto Padrão dos úmeros em Mw, k ) que ocupam uma mesma célula o quadrado Vimos que ter o mesmo valor para w e o mesmo valor para k é codição ecessária, mas ão suficiete para que dois úmeros ocupem a mesma célula do quadrado. Sejam x 1 = x t1,l 1 e x 2 = x t2,l 2 dois elemetos em uma matriz M w, k ). Suas coordeadas são dadas respectivamete por 4.24) e 4.25) A 1 A α + l 1 + t a 1 B 1 B β + l 1 + t b 1 A 2 A α + l 2 + t a 2 B 2 B + l 2 β + t 2 b mod ) mod ) mod ) mod ) Vamos assumir que x 1 e x 2 teham coordeadas iguais, A 1 A 2 e B 1 B 2, temos: αl 1 l 2 ) at 2 t 1 ) mod ) 4.26) βl 1 l 2 ) bt 2 t 1 ) mod ) 4.27) Vamos agora rediscutir o exemplo dos dois úmeros que diferem por 2, citado por Lehmer. Até o fim dessa subseção, tal como [2], admitiremos que os parâmetros α, β, a e b são primos com. Veremos que dois úmeros com essa relação, embora em uma mesma Mw, k ), ão caem uma mesma célula A, B). Vamos aalisar o sistema 4.26)-4.27) tedo em vista aalisar o erro cometido por Lehmer sob uma ova perspectiva. Segue do fato dos parâmetros α, β, a e b serem primos com que o sistema 4.26) 4.27) é equivalete a αl 1 l 2 ) at 2 t 1 ) mod ) 4.28) αb βa)t 2 t 1 ) 0 mod ) 4.29) Observe que quaisquer iteiros t 1, t 2 satisfazem a 4.29). Cosequetemete, basta resolver 4.28). Cosidere 4.28). Se l 1 = l 2 etão 0 at 2 t 1 ) mod ) mas a é primo com ) etão t 1 t 2 mod ) mas 0 t 1) etão t 1 = t 2 Por outro lado, se t 1 = t 2 etão αl 1 l 2 ) 0 mod ) mas α é primo com )
18 32 Caderos do IME Série Matemática Vol ) etão l 1 l 2 mod ) mas 0 l 1) etão l 1 = l 2 Portato, podemos euciar o seguite: Teorema 4.1. Dados α, β, a e b todos primos com. Se dois elemetos distitos x 1 = x t1,l 1 = x +l 1 +t 2 1 e x 2 = x t2,l 2 = x +l 2 +t 2 2 da matriz Mw, k ) ocupam a mesma célula do quadrado, etão l 1 l 2 e t 1 t 2. Isso sigifica que dois úmeros que estão em uma mesma colua l da matriz Mw, k ) ão podem ocupar uma mesma célula do quadrado, Figura 9a). Da mesma forma, dois úmeros que estão em uma mesma liha t da matriz Mw, k ) ão ocupam uma mesma célula do quadrado, Figura 2. Note que dois úmeros que diferem por 2 sempre pertecem a uma mesma colua. Portato, ão podem ocupar uma mesma célula do quadrado. a) x 1 e x 2 em uma mesma colua de Mw, k ) tem coordeadas diferetes. b) x 1 e x 2 em uma mesma liha de Mw, k ) tem coordeadas diferetes. Figura 9: Coordeadas de x 1 e x 2 Fote: O autor, Substituido os coeficietes de 4.28) pelos restos a divisão por, obtemos um sistema equivalete a 4.28) 4.29) α l 1 l 2 ) + a t 1 t 2 ) 0 mod ) 4.30) αb βa)t 2 t 1 ) 0 mod ) 4.31) Note que a hipótese de primalidade os diz que α 0 e a 0. A equação de cogruêcia liear com duas variáveis 4.30), tem solução, pois, mdcα, a, ) = 1 0. Mais aida, a equação 4.30) tem mdcα, a, ) 2 1 = 1 = soluções veja Theorem 36, Sivaramakrisha [3, p. 124]).
19 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 33 Seja α, a) = mdcα, a) = mdcα, a ). Para 0 k 1, cosidere l 1 l 2 a α, a) k mod ) e t 1 t 2 α k mod ) 4.32) α, a) Note que se 0 k 1 k 2 1, a α, a) k 1 k 2 ) 0 mod ) e ) α k 1 k 2 ) 0 mod ). α, a) Além disso, se l 1, t 1, l 2 e t 2 satisfazem 4.32), temos α l 1 l 2 ) + a t 1 t 2 ) a α α, a) k a α α, a) k + a 0 mod ). Cosequetemete, 4.32) os permite determiar todos os elemetos de uma matriz Mw, k ) que cairão em uma mesma célula do quadrado. Note que os 2 elemetos de Mw, k ) serão desigados a células distitas. Além disso, cada uma dessas células será ocupada exatamete por elemetos de Mw, k ). Exemplo 4.4. Seja o quadrado de ordem = 15 costruído pelo método do passo uiforme com os seguites parâmetros: α = 2, β = 1, a = 11 e b = 4. Vamos usar 4.21), 2.1) e 2.2) para calcular as coordeadas A, B), de cada elemeto da matriz M2, 3). A Figura 10 mostra os resultados obtidos. Verificamos que os úmeros 48, 133 e 203 vão ocupar a célula do quadrado de coordeadas p + 7, q + 14); 53, 123 e 208, a célula de coordeadas p + 2, q + 4) e 58, 128 e 198 irão cair a célula de coordeadas p + 12, q + 9). Com relação à afirmação de Lehmer, a Figura 10, oferece vários pares de valores de x que a cotradizem, por exemplo, 53 e 128, que diferem de 152 mas ocupam células diferetes. 3 Figura 10: Coordeadas dos elemetos de M2, 3) Fote: dados da pesquisa 5 Cosiderações fiais ) 2 Vimos que os úmeros que ocupam uma mesma célula, estão distribuídos em matrizes Mw, k ), com 0 w, k 1, costituída de lihas e coluas. Vimos também que o método do passo
20 34 Caderos do IME Série Matemática Vol ) uiforme, com parâmetros α, β, a e b, primos um a um com, porém com o determiate αb βa tedo um divisor comum,, com, ão preeche o quadrado e caracterizamos os úmeros que vão ocupar uma mesma célula. Mostramos que cohecidas a liha t e a colua l de um úmero em Mw, k ), podemos calcular quais são todos os outros úmeros que serão alocados a mesma célula do quadrado. A arapuca que fez Lehmer tropeçar, se dá, justamete, a passagem do sistema 3.6)-3.7) para 3.8)-3.9). Ele exibiu dois úmeros que satisfazem 3.8)-3.9) e, ao afirmar que eles ocupariam a mesma célula, ele admitiu que eles também satisfariam 3.6)-3.7). Mas isso em sempre se verifica para quaisquer dois úmeros que satisfazem 3.8)-3.9). Mais precisamete, se o mdcαb βa, ) =, com 1, o método ão preeche o quadrado e ão há equivalêcia etre os referidos os sistemas 3.6)-3.7) e 3.8)-3.9). Sempre haverá em 3.8)-3.9) soluções que ão satisfazem 3.6)-3.7). Mostramos que sob a hipótese de primalidade dos parâmetros α, β, a, b com, várias regularidades estão associadas ao ão preechimeto de um quadrado de ordem pelo método do passo uiforme. Referêcias [1] HEFEZ, A. Elemetos de Aritmética. Coleção Textos Uiversitários. SBM, 2005 [2] LEHMER, D.N. O the cogrueces coected with certai magic squares, Tras. Amer. Math. Soc ), o. 3, [3] SIVARAMAKRISHNAN, R. Certai umber-theoretic episodes i algebra, Chapma & Hall/CRC, 2007.
Quadrados mágicos: quando o método falha
Artigo Origial DOI:10.5902/2179460X14642 Ciêcia e Natura, Sata Maria, v. 37 Ed. Especial PROFMAT, 2015, p. 419 425 Revista do Cetro de Ciêcias Naturais e Exatas - UFSM ISSN impressa: 0100-8307 ISSN o-lie:
Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto
Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto
Provas de Matemática Elementar - EAD. Período
Provas de Matemática Elemetar - EAD Período 01. Sérgio de Albuquerque Souza 4 de setembro de 014 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departameto de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio 1 a Prova
DERIVADAS DE FUNÇÕES11
DERIVADAS DE FUNÇÕES11 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 11.1 O cálculo diferecial 11. Difereças 11.3 Taxa de variação média 11.4 Taxa de variação istatâea e potual 11.5 Primeiros exemplos
Números primos, números compostos e o Teorema Fundamental da Aritmética
Polos Olímpicos de Treiameto Curso de Teoria dos Números - Nível 3 Carlos Gustavo Moreira Aula 4 Números primos, úmeros compostos e o Teorema Fudametal da Aritmética 1 O Teorema Fudametal da Aritmética
Material Teórico - Módulo de ESTATÍSTICA. As Diferentes Médias. Primeiro Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo de ESTATÍSTICA As Diferetes Médias Primeiro Ao do Esio Médio Autor: Prof Atoio Camiha Muiz Neto Revisor: Prof Fracisco Bruo Holada Nesta aula, pausamos a discussão de Estatística
Dessa forma, concluímos que n deve ser ímpar e, como 120 é par, então essa sequência não possui termo central.
Resoluções das atividades adicioais Capítulo Grupo A. a) a 9, a 7, a 8, a e a 79. b) a, a, a, a e a.. a) a, a, a, a 8 e a 6. 9 b) a, a 6, a, a 9 e a.. Se a 9 e a k são equidistates dos extremos, etão existe
Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais
Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Números reais 1,, 3, cojuto dos úmeros aturais 0,1,,3, cojuto dos úmeros iteiros p q /p e q cojuto dos úmeros racioais a, a 0 a 1 a a, a e a i 0, 1,, 3, 4,
n ) uma amostra aleatória da variável aleatória X.
- Distribuições amostrais Cosidere uma população de objetos dos quais estamos iteressados em estudar uma determiada característica. Quado dizemos que a população tem distribuição FX ( x ), queremos dizer
Cap. VI Histogramas e Curvas de Distribuição
TLF /11 Capítulo VI Histogramas e curvas de distribuição 6.1. Distribuições e histogramas. 6 6.. Distribuição limite 63 6.3. Sigificado da distribuição limite: frequêcia esperada e probabilidade de um
HEURÍSTICAS E EQUAÇÕES DIOFANTINAS
HEURÍSTICAS E EQUAÇÕES DIOFANTINAS Michelle Crescêcio de Mirada Programa Istitucioal de Iiciação Cietífica e Moitoria da Faculdade de Matemática PROMAT michellemirada_8@hotmail.com Luiz Alberto Dura Salomão
1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos 1) = Capítulo 1
Capítulo. Aritmética e Expressões Algébricas O estudo de cálculo exige muito mais que o cohecimeto de limite, derivada e itegral. Para que o apredizado seja satisfatório o domíio de tópicos de aritmética
AULA Subespaço, Base e Dimensão Subespaço.
Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira TÓPICOS Subespaço. ALA Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar
Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD.
Matemática 0. Um losago do plao cartesiao oxy tem vértices A(0,0), B(,0), C(,) e D(,). A) Determie a equação da reta que cotém a diagoal AC. B) Determie a equação da reta que cotém a diagoal BD. C) Ecotre
Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes
Capítulo Séquêcias e Séries Ifiitas de Termos Costates.. Itrodução Neste capítulo estamos iteressados em aalisar as séries ifiitas de termos costates. Etretato, para eteder as séries ifiitas devemos ates
Sumário. 2 Índice Remissivo 19
i Sumário 1 Estatística Descritiva 1 1.1 Coceitos Básicos.................................... 1 1.1.1 Defiições importates............................. 1 1.2 Tabelas Estatísticas...................................
2. COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES
CAPITULO II COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES Acreditamos que os coceitos de Combiação Liear (CL) e de Depedêcia Liear serão melhor etedidos se forem apresetados a partir de dois vetores
O termo "linear" significa que todas as funções definidas no modelo matemático que descreve o problema devem ser lineares, isto é, se f( x1,x2
MÓDULO 4 - PROBLEMAS DE TRANSPORTE Baseado em Novaes, Atôio Galvão, Métodos de Otimização: aplicações aos trasportes. Edgar Blücher, São Paulo, 978..CONCEITOS BÁSICOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR É uma técica
Medidas, integração, Teorema da Convergência Monótona e o teorema de Riesz-Markov
Medidas, itegração, Teorema da Covergêcia Moótoa e o teorema de Riesz-Markov 28 de Agosto de 2012 1 Defiições de Teoria da Medida Seja (Ω, F, ν) um espaço de medida: isto é, F é σ-álgebra sobre o cojuto
Preliminares 1. 1 lim sup, lim inf. Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales. 8 de março de 2009.
Medida e Itegração. Departameto de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 8 de março de 2009. 1 lim sup, lim if Prelimiares 1 Seja (x ), N, uma seqüêcia de úmeros reais, e l o limite desta
Secção 1. Introdução às equações diferenciais
Secção. Itrodução às equações difereciais (Farlow: Sec..,.) Cosideremos um exemplo simples de um feómeo que pode ser descrito por uma equação diferecial. A velocidade de um corpo é defiida como o espaço
( ) ( ) ( ) (19) O ELITE RESOLVE IME 2010 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS. MATEMÁTICA QUESTÃO 01 Sejam os conjuntos P 1
(9) 5-0 wwwelitecampiascombr O ELITE RESOLVE IME 00 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS MATEMÁTICA QUESTÃO 0 Sejam os cojutos P, P, S e ( P S) P e ( S S) ( P P) Demostre que ( S S ) ( P P ) S tais que ( ) P S P,
Bases e dimensão. Roberto Imbuzeiro Oliveira. 22 de Março de 2012
Bases e dimesão Roberto Imbuzeiro Oliveira 22 de Março de 2012 1 Defiições básicas Nestas otas X é espaço vetorial com mais de um elemeto sobre o corpo F {R, C}. Uma base (ão ecessariamete LI) de X é um
3. Seja C o conjunto dos números complexos. Defina a soma em C por
Eercícios Espaços vetoriais. Cosidere os vetores = (8 ) e = ( -) em. (a) Ecotre o comprimeto de cada vetor. (b) Seja = +. Determie o comprimeto de. Qual a relação etre seu comprimeto e a soma dos comprimetos
S E Q U Ê N C I A S E L I M I T E S. Prof. Benito Frazão Pires. Uma sequência é uma lista ordenada de números
S E Q U Ê N C I A S E L I M I T E S Prof. Beito Frazão Pires Uma sequêcia é uma lista ordeada de úmeros a, a 2,..., a,... ) deomiados termos da sequêcia: a é o primeiro termo, a 2 é o segudo termo e assim
Induzindo a um bom entendimento do Princípio da Indução Finita
Iduzido a um bom etedimeto do Pricípio da Idução Fiita Jamil Ferreira (Apresetado a VI Ecotro Capixaba de Educação Matemática e utilizado como otas de aula para disciplias itrodutórias do curso de matemática)
DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos:
48 DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL LEI DOS GRANDES NÚMEROS Pretede-se estudar o seguite problema: À medida que o úmero de repetições de uma experiêcia cresce, a frequêcia relativa
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA Curso: LEI. Correção do exame da Época Normal - A 2006/2007
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA Curso: LEI Correção do exame da Época Normal - A 2006/2007 Diga, justi cado, se as seguites proposições são verdadeiras
Sequências Reais e Seus Limites
Sequêcias Reais e Seus Limites Sumário. Itrodução....................... 2.2 Sequêcias de Números Reais............ 3.3 Exercícios........................ 8.4 Limites de Sequêcias de Números Reais......
XIX Semana Olímpica de Matemática. Nível U. Algumas Técnicas com Funções Geratrizes. Davi Lopes
XIX Semaa Olímpica de Matemática Nível U Algumas Técicas com Fuções Geratrizes Davi Lopes O projeto da XIX Semaa Olímpica de Matemática foi patrociado por: Algumas Técicas com Fuções Geratrizes Davi Lopes
NOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
R C : cojuto dos úmeros reais : cojuto dos úmeros complexos i : uidade imagiária: i2 = 1 z Re(z) Im(z) det A : módulo do úmero z E C : parte real do úmero z E C : parte imagiária do úmero z E C : determiate
INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP
Nível Avaçado. INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP Vamos abordar esse artigo a aritmética de dois cojutos de iteiros algébricos: os Iteiros de Gauss e os Iteiros
O jogo MAX_MIN - Estatístico
O jogo MAX_MIN - Estatístico José Marcos Lopes Resumo Apresetamos este trabalho um jogo (origial) de treiameto para fortalecer os coceitos de Média, Mediaa, Moda, Desvio Padrão e Desvio Médio da Estatística
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Pato Branco ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO. Prova Parcial 1 Matemática Discreta para Computação 2011
Campus Pato Braco Prova Parcial Matemática Discreta para Computação 20 Aluo(a): Data: 08/04/20. (,5p) Explicar o Paradoxo de Cator. Use como base o seguite: Teorema de Cator: Para qualquer cojuto A, a
Interpolação. Interpolação Polinomial
Iterpolação Iterpolação Poliomial Objetivo Iterpolar uma fução f(x) cosiste em aproximar essa fução por uma outra fução g(x), escolhida etre uma classe de fuções defiidas (aqui, usaremos poliômios). g(x)
Aula 3 : Somatórios & PIF
Aula 3 : Somatórios & PIF Somatório: Somatório é um operador matemático que os permite represetar facilmete somas de um grade úmero de parcelas É represetado pela letra maiúscula do alfabeto grego sigma
Elevando ao quadrado (o que pode criar raízes estranhas),
A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO, Vol. Soluções. Progressões Aritméticas ) O aumeto de um triâgulo causa o aumeto de dois palitos.logo, o úmero de palitos costitui uma progressão aritmética de razão. a a +(
Problemas Sobre Correlacionamento
Capítulo 2 Problemas Sobre Correlacioameto Se caiu, levate e ade como se uca tivesse caído, cosiderado que, a cada vez que você se esforça e se levata de uma queda, suas peras se fortalecem. 2.1. Problemas
BINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma:
07 BINÔMIO DE NEWTON O desevolvimeto da epressão a b é simples, pois eige somete quatro multiplicações e uma soma: a b a b a b a ab ba b a ab b O desevolvimeto de a b é uma tarefa um pouco mais trabalhosa,
Prova Parcial 1 Matemática Discreta para Computação Aluno(a): Data: 18/12/2012
Prova Parcial Aluo(a): Data: 8/2/202. (,5p) Use regras de iferêcia para provar que os argumetos são válidos. (usar os símbolos proposicioais idicados): A Rússia era uma potêcia superior, e ou a Fraça ão
ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS
ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA 9.º ANO VALORES APROXIMADOS DE NÚMEROS REAIS Dado um úmero xe um úmero positivo r, um úmero x como uma aproximação de x com erro iferior a r
MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amada Liz Pacífico Mafrim Perticarrari amada@fcav.uesp.br O PROBLEMA DA ÁREA O PROBLEMA DA ÁREA Ecotre a área da região que está sob a curva y = f x de a até b. S = x, y a x b,
Seqüências e Séries. Notas de Aula 4º Bimestre/2010 1º ano - Matemática Cálculo Diferencial e Integral I Profª Drª Gilcilene Sanchez de Paulo
Seqüêcias e Séries Notas de Aula 4º Bimestre/200 º ao - Matemática Cálculo Diferecial e Itegral I Profª Drª Gilcilee Sachez de Paulo Seqüêcias e Séries Para x R, podemos em geral, obter sex, e x, lx, arctgx
2.2. Séries de potências
Capítulo 2 Séries de Potêcias 2.. Itrodução Série de potêcias é uma série ifiita de termos variáveis. Assim, a teoria desevolvida para séries ifiitas de termos costates pode ser estedida para a aálise
Virgílio Mendonça da Costa e Silva
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA VIBRAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS VIBRAÇÕES LIVRES COM AMORTECIMENTO DE SISTEMAS DE GL NOTAS DE AULAS Virgílio Medoça
Gabarito do Simulado da Primeira Fase - Nível Beta
Gabarito do Simulado da Primeira Fase - Nível Beta Questão potos Serão laçados dois dados: um dado azul de 4 faces, umeradas de a 4, e um dado vermelho de 8 faces, umeradas de a 8 a Determie a probabilidade
BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. 1 a Edição
BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 1 a Edição Rio Grade 2017 Uiversidade Federal do Rio Grade - FURG NOTAS DE AULA DE CÁLCULO
CARACTERIZAÇÃO DO CONJUNTO EQUILIBRADOR PARA GRAFOS COM GAP NULO
CARACTERIZAÇÃO DO CONJUNTO EQUILIBRADOR PARA GRAFOS COM GAP NULO Maximiliao Pito Damas Programa de Egeharia de Produção Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro e-mail: maxdamas@hotmailcom Lilia Markezo Núcleo
Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas
Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Sequêcia Ifiitas Defiição 1: Uma sequêcia umérica a 1, a 2, a 3,,a,é uma fução, defiida o cojuto dos úmeros aturais : f : f a Notação: O úmero é chamado de
Soluções dos Exercícios do Capítulo 6
Soluções dos Eercícios do Capítulo 6 1. O poliômio procurado P() a + b + c + d deve satisfazer a idetidade P(+1) P() +, ou seja, a(+1) + b(+1) + c(+1) + d a + b + c + d +, o que é equivalete a (a 1) +
Solução Comentada Prova de Matemática
0 questões. Sejam a, b e c os três meores úmeros iteiros positivos, tais que 5a = 75b = 00c. Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) A soma a b c é igual a 9 ( ) A soma a b c é igual
NOTAÇÕES. denota o segmento que une os pontos A e B. In x denota o logarítmo natural de x. A t denota a matriz transposta da matriz A.
MATEMÁTICA NOTAÇÕES é o cojuto dos úmeros compleos. é o cojuto dos úmeros reais. = {,,, } i deota a uidade imagiária, ou seja, i =. Z é o cojugado do úmero compleo Z Se X é um cojuto, PX) deota o cojuto
ÁLGEBRA. Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores LEEC Ano lectivo de 2002/2003
ÁLGEBRA Liceciatura em Egeharia Electrotécica e de Computadores LEEC Ao lectivo de 00/003 Apotametos para a resolução dos exercícios da aula prática 5 MATRIZES ELIMINAÇÃO GAUSSIANA a) Até se obter a forma
Exercícios de Aprofundamento Matemática Progressão Aritmética e Geométrica
Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e b. (Fuvest 05) Dadas as sequêcias a 4 4, b, c a a e d, b defiidas para valores iteiros positivos de, cosidere as seguites afirmações: I. a
Stela Adami Vayego DEST/UFPR
Resumo 3 Resumo dos dados uméricos por meio de úmeros 1. Medidas de Tedêcia Cetral A tedêcia cetral da distribuição de freqüêcias de uma variável em um cojuto de dados é caracterizada pelo valor típico
CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE
CAPÍTUO IV DESENVOVIMENTOS EM SÉRIE Série de Taylor e de Mac-auri Seja f ) uma fução real de variável real com domíio A e seja a um poto iterior desse domíio Supoha-se que a fução admite derivadas fiitas
( 1,2,4,8,16,32,... ) PG de razão 2 ( 5,5,5,5,5,5,5,... ) PG de razão 1 ( 100,50,25,... ) PG de razão ½ ( 2, 6,18, 54,162,...
Progressões Geométricas Defiição Chama se progressão geométrica PG qualquer seqüêcia de úmeros reais ou complexos, ode cada termo a partir do segudo, é igual ao aterior, multiplicado por uma costate deomiada
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
1 Mat-15/ Cálculo Numérico/ Departameto de Matemática/Prof. Dirceu Melo LISTA DE EXERCÍCIOS INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL A aproximação de fuções por poliômios é uma das ideias mais atigas da aálise umérica,
Matemática E Extensivo V. 1
Extesivo V. 0) a) r b) r c) r / d) r 7 0) A 0) B P.A. 7,,,... r a + ( ). a +. + 69 a 5 P.A. (r, r, r ) r ( r + r) 6r r r r 70 Exercícios 05) a 0 98 a a a 06) E 07) B 08) B 7 0 0; 8? P.A. ( 7, 65, 58,...)
Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais
Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais 2 Séries de úmeros reais Sabemos bem o que sigifica u 1 + u 2 + + u p = p =1 e cohecemos as propriedades desta operação - comutatividade, associatividade,
MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amada Liz Pacífico Mafrim Perticarrari amada@fcav.uesp.br Ecotre a área da região que está sob a curva y = f x de a até b. S = x, y a x b, 0 y f x Isso sigifica que S, ilustrada
AULA Matriz inversa Matriz inversa.
Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira ÓPICOS Matriz iversa. U 6 Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ao 00 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Como a probabilidade do João acertar em cada tetativa é 0,, a probabilidade do João acertar as tetativas é 0, 0, 0, 0,
Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Desenvolvimento Multinomial. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Desevolvimeto Multiomial Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto 1 Desevolvimeto
SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE
começado a eteder CÁLCULO Volume Um - SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE Uma sequêcia ifiita de úmeros () é covergete a um úmero o quado () se tora (ou é sempre) igual a o, ou se tora cada vez mais próima
Universidade Federal Fluminense ICEx Volta Redonda Introdução a Matemática Superior Professora: Marina Sequeiros
3. Poliômios Defiição: Um poliômio ou fução poliomial P, a variável x, é toda expressão do tipo: P(x)=a x + a x +... a x + ax + a0, ode IN, a i, i = 0,,..., são úmeros reais chamados coeficietes e as parcelas
= o logaritmo natural de x.
VI OLIMPÍ IEROMERIN E MTEMÁTI UNIVERSITÁRI 8 E NOVEMRO E 00 PROLEM [5 potos] Seja f ( x) log x 0 = o logaritmo atural de x efia para todo 0 f+ ( x) = f() t dt = lim f() t dt x 0 ε 0 ε Prove que o limite
Cap. 4 - Estimação por Intervalo
Cap. 4 - Estimação por Itervalo Amostragem e iferêcia estatística População: cosiste a totalidade das observações em que estamos iteressados. Nº de observações a população é deomiado tamaho=n. Amostra:
PROVA DE MATEMÁTICA DA UNIFESP VESTIBULAR 2011 RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
PROVA DE MATEMÁTICA DA UNIFESP VESTIBULAR 0 Profa Maria Atôia Gouveia 6 A figura represeta um cabo de aço preso as etremidades de duas hastes de mesma altura h em relação a uma plataforma horizotal A represetação
Transformação de similaridade
Trasformação de similaridade Relembrado bases e represetações, ós dissemos que dada uma base {q, q,..., q} o espaço real - dimesioal, qualquer vetor deste espaço pode ser escrito como:. Ou a forma matricial
A B C A e B A e C B e C A, B e C
2 O ANO EM Matemática I RAPHAEL LIMA Lista 6. Durate o desfile de Caraval das escolas de samba do Rio de Jaeiro em 207, uma empresa especializada em pesquisa de opiião etrevistou 40 foliões sobre qual
Considerações finais
Cosiderações fiais Bases Matemáticas Defiições prelimiares Defiição 1 Dizemos que y é uma cota superior para um cojuto X se, para todo x X é, verdade que y x. Exemplo 1 os úmeros 2, 3, π e quaisquer outros
a = b n Vejamos alguns exemplos que nos permitem observar essas relações. = 4 4² = 16 radical radicando
Caro aluo, Com o objetivo de esclarecer as dúvidas sobre a raiz quadrada, apresetamos este material a defiição de radiciação, o cálculo da raiz quadrada e algumas propriedades de radiciação. Além disso,
CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO
CAP I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0 Itrodução Por método umérico etede-se um método para calcular a solução de um problema realizado apeas uma sequêcia fiita de operações aritméticas A obteção de uma solução
Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,...
Curso Metor www.cursometor.wordpress.com Sucessão ou Sequêcia Defiição Sucessão ou seqüêcia é todo cojuto que cosideramos os elemetos dispostos em certa ordem. jaeiro,fevereiro,...,dezembro Exemplo : Exemplo
( ) III) ESPAÇOS VETORIAIS REAIS. Definição: Denomina-se espaço vetorial sobre os Reais (R) ao conjunto não vazio. 1) Existe uma adição:
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS III) ESPAÇOS VETORIAIS REAIS Defiição: Deomia-se espaço vetorial sobre os Reais (R) ao cojuto ão vazio + : V V V ) Existe uma adição: com as seguites propriedades:
Sumário. 2 Índice Remissivo 17
i Sumário 1 Itrodução à Iferêcia Estatística 1 1.1 Defiições Básicas................................... 1 1.2 Amostragem....................................... 2 1.2.1 Tipos de Amostragem.............................
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão 4 Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para
APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (IV ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Ídice 4 4 Defiição e exemplos 4 Subespaços4 4 Cojutos
1. Revisão Matemática
Se x é um elemeto do cojuto Notação S: x S Especificação de um cojuto : S = xx satisfaz propriedadep Uião de dois cojutos S e T : S T Itersecção de dois cojutos S e T : S T existe ; para todo f : A B sigifica
1. Revisão Matemática
Sequêcias de Escalares Uma sequêcia { } diz-se uma sequêcia de Cauchy se para qualquer (depedete de ε ) tal que : ε > 0 algum K m < ε para todo K e m K Uma sequêcia { } diz-se ser limitada superiormete
Taxas e Índices. Ana Maria Lima de Farias Dirce Uesu Pesco
Taxas e Ídices Aa Maria Lima de Farias Dirce Uesu esco Itrodução Nesse texto apresetaremos coceitos básicos sobre ídices e taxas. Embora existam aplicações em diversos cotextos, essas otas utilizaremos
10 - Medidas de Variabilidade ou de Dispersão
10 - Medidas de Variabilidade ou de Dispersão 10.1 Itrodução Localizado o cetro de uma distribuição de dados, o próximo passo será verificar a dispersão desses dados, buscado uma medida para essa dispersão.
Stela Adami Vayego DEST/UFPR
Resumo 3 Resumo dos dados uméricos por meio de úmeros. Medidas de Tedêcia Cetral A tedêcia cetral da distribuição de freqüêcias de uma variável em um cojuto de dados é caracterizada pelo valor típico dessa
ESCOLA ONLINE DE CIÊNCIAS FORMAIS CURSO DE INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA (3) MÉTODO AXIOMÁTICO E TEORIAS FORMAIS AULA 10 VERDADE DE TARSKI (PARTE 1)
AULA 10 VERDADE DE TARSKI (PARTE 1) Iterpretação Uma iterpretação I de uma liguagem de primeira ordem cosiste em: Um domíio D de iterpretação; Para cada costate idividual, atribuímos como seu sigificado
Séries e aplicações15
Séries e aplicações5 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 5. Sequêcias 5. Séries 5. Séries especiais 5.4 Arquimedes e a quadratura da parábola 5.5 Sobre a Covergêcia de séries 5.6 Séries de Taylor
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM
6 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM Quado se pretede estudar uma determiada população, aalisam-se certas características ou variáveis dessa população. Essas variáveis poderão ser discretas
3.4.2 Cálculo da moda para dados tabulados. 3.4 Moda Cálculo da moda para uma lista Cálculo da moda para distribuição de freqüências
14 Calcular a mediaa do cojuto descrito pela distribuição de freqüêcias a seguir. 8,0 10,0 10 Sabedo-se que é a somatória das, e, portato, = 15+25+16+34+10 = 100, pode-se determiar a posição cetral /2
Resolução do 1 o Teste
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA 1 o SEMESTRE 2015/2016 Resolução do 1 o Teste 21 de ovembro de 2015 Duração: 2 Horas Istruções: Leia atetamete a prova os 15 miutos previstos para esse efeito.
Matemática 5 aula 11 ( ) ( ) COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS REVISÃO. 4a 12ab + 5b 2a 2(2a)(3b) + (3b) (2b)
Matemática 5 aula 11 REVISÃO 1. Seja L a capacidade, em litros, do taque. Por regra de três simples, temos: I. Toreira 1: II. Toreira : 1 L 18 L x 1 x + xl ( x+ ) 1 = = L 1 18 xl ( x+ ) Sabedo que R 1
Cálculo III - SMA 333. Notas de Aula
Cálculo III - SMA 333 Notas de Aula Sumário 1 Itrodução 2 2 Seqüêcias Numéricas 6 2.1 Defiição, Exemplos e Operações........................ 6 2.2 Seqüêcias Limitadas e Ilimitadas........................
binomial seria quase simétrica. Nestas condições será também melhor a aproximação pela distribuição normal.
biomial seria quase simétrica. Nestas codições será também melhor a aproximação pela distribuição ormal. Na prática, quado e p > 7, a distribuição ormal com parâmetros: µ p 99 σ p ( p) costitui uma boa
Capítulo 5. CASO 5: EQUAÇÃO DE POISSON 5.1 MODELO MATEMÁTICO E SOLUÇÃO ANALÍTICA
Capítulo 5. CASO 5: EQUAÇÃO DE POISSON No presete capítulo, é abordado um problema difusivo uidimesioal com absorção de calor (Icropera e DeWitt, 199, o que resulta uma equação de Poisso, que é uma equação
Cálculo II Sucessões de números reais revisões
Ídice 1 Defiição e exemplos Cálculo II Sucessões de úmeros reais revisões Mestrado Itegrado em Egeharia Aeroáutica Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Atóio Beto beto@ubi.pt Departameto de Matemática Uiversidade
Sobre Pombos e Gavetas
Sobre Pombos e Gavetas Viícius Barbosa de Paiva viicius.paiva@ifmg.edu.br Istituto Federal de Mias Gerais - Campus Avaçado Piumhi, Piumhi, MG, Brazil Marcelo Oliveira Veloso veloso@ufsj.edu.br Uiversidade
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 2ª FASE 22 DE JULHO 2016 GRUPO I
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 65) ª FASE DE JULHO 016 GRUPO I 1. Sabe-se que: P ( A B ) 0, 6 P A B P A Logo, 0, + 0, P A B Como P P 0, 6 P A B 1 0,
1.4 Determinantes. determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
1.4 Determiates A teoria dos determiates surgiu quase simultaeamete a Alemaha e o Japão. Ela foi desevolvida por dois matemáticos, Gottfried Wilhelm Leibiz (1642-1716) e Seki Shisuke Kowa (1642-1708),
Conjuntos Infinitos. Teorema (Cantor) Se A é conjunto qualquer, #A #P(A). Mais precisamente, qualquer
Cojutos Ifiitos Teorema (Cator) Se A é cojuto qualquer, #A #P(A). Mais precisamete, qualquer f : A P(A) ão é sobrejetora. Cosequêcia. Existe uma herarquia de cojutos ifiitos. Obs. Existe uma bijeção etre
MATEMÁTICA. Determine o conjunto-solução da equação sen 3 x + cos 3 x =1 sen 2 x cos 2 x. Resolução: Fatorando a equação dada:
MATEMÁTICA 0000 Questão 0 Determie o cojuto-solução da equação se x + cos x = se x cos x Fatorado a equação dada: se x + cos x= se x cos x ( sex + cos x)( se x sexcos x+ cos x) = ( sexcos x) ( x x)( x