Regularidades associadas ao método do passo uniforme

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1 Regularidades associadas ao método do passo uiforme j. i. travassos p.. silva Resumo Nesse artigo, discutimos o comportameto das soluções de um sistema liear módulo relacioado ao método do passo uiforme. Trata-se de um método para costrução de quadrados mágicos de ordem ímpar proposto e aalisado matematicamete por Lehmer [2]. Exploramos aqui o ão preechimeto do quadrado e as regularidades associadas a esse processo. Abstract I this article, we discuss the behavior of solutios of a liear system module related to the uiform step method. It is a method for costructig magic squares of odd order proposed ad aalyzed mathematically by Lehmer [2]. We ivestigate what happes whe the method fails ad we aalyze the regularities associated with this process. 1 Itrodução Segudo Lehmer [2], uma matriz quadrada de ordem preechida com todos os úmeros aturais de 1 até 2, sem repetição, é chamada de quadrado mágico se a soma dos úmeros de qualquer liha ou colua for a mesma. Nesse caso, dizemos que o quadrado é mágico as lihas e mágico as coluas, respectivamete. Há muitas maeiras de gerar quadrados mágicos. Existem vários métodos de costrução. Quadrados de ordem ímpar são costruídos com métodos diferetes dos quadrados de ordem par. No presete trabalho vamos os deter exclusivamete a certos aspectos do método do passo uiforme MPU). Esse método 1 foi aalisado matematicamete por Lehmer [2]. Ele cosiste em atribuir, um de cada vez, ordeadamete, a sequêcia dos úmeros 1, 2, 3,..., 2 às células do quadrado seguido uma regularidade de movimetos para a direita e para cima. Lehmer dividiu sua aálise em várias etapas. Ele ivestigou sob quais hipóteses: a) o método preeche o quadrado; b) as coluas resultam mágicas e c) as lihas resultam mágicas. Ao aalisar o preechimeto do quadrado, Lehmer [2] os istigou a ivestigar o ão preechimeto. Palavras chave: Quadrados Mágicos, Método do Passo Uiforme, ão-preechimeto discete PROFMAT/UERJ, joseichihara@hotmail.com Departameto de Aálise Matemática, IME/UERJ, ues@ime.uerj.br 1 O método do passo uiforme apeas pode ser usado para gerar quadrados mágicos de ordem ímpar. No etato, a discussão do preechimeto do quadrado pelo método, essa restrição ão se faz ecessária. 15

2 16 Caderos do IME Série Matemática Vol ) 2 O método do passo uiforme Cada célula do quadrado de ordem será idetificada por suas coordeadas A, B) que idicam, respectivamete, a colua e a liha que a ela correspodem. As lihas são umeradas de baixo para cima e as coluas, da esquerda para direita. Assim temos a seguite disposição: Figura 1: Coordeadas das células Fote: dados da pesquisa 2.1 Um Exemplo No método do passo uiforme, iicia-se com o 1 sedo atribuído a uma célula qualquer p, q). Em seguida, vem o 2, colocado a célula p + α, q + β) sedo α o deslocameto ou passo para a direita e β o passo para cima. Esses passos serão matidos, por isso, α e β são chamadas de costates do passo uiforme. A saída da matriz é evitada utilizado-se a cogruêcia módulo para determiar as coordeadas de cada célula. Com efeito, ao cosiderarmos A, B) x, y) mod ) se e somete se A x mod ) e B y mod ), os valores para as coordeadas podem ser obtidos de 1 a. Para torar o texto mais leve vamos omitir a escrita do mod ). Ao térmio de cada alocação de úmeros, será ecessário fazer uma quebra de passo através da itrodução de parâmetros a e b) para evitar a sobreposição de úmeros em uma mesma célula. Exemplo 2.1. Seja o quadrado de ordem = 5 costruído pelo método do passo uiforme com os seguites parâmetros: α = 1, β = 1, a = 1, b = 2, p = 2 e q = 3. O 1 é alocado a célula iicial p, q) = 2, 3), escolhida arbitrariamete, prossegue-se colocado 2 a célula situada 1 passo para a direita e um passo para cima, ou seja, 2 + 1, 3 + 1) 3, 4). Da mesma forma, 3 é alocado em 3 + 1, 4 + 1) 4, 5), 4 em 4 + 1, 5 + 1) 5, 1) e 5 em 5 + 1, 1 + 1) 1, 2), Figura 2a).

3 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 17 A primeira quebra de passo será requerida, ao térmio do 1 ọ ciclo, a iserção de 6. De fato, partido da coordeada p = 2 ao serem somados 5 passos horizotais α = 1 voltaremos à coordeada 2, isto é, mod 5). Da mesma maeira, a partir da coordeada q = 3, acrescetados 5 passos verticais β = 1 volta-se à coordeada 3, ou seja, mod 5). Etão, o método propõe uma quebra de passo que cosiste em deslocar-se a passos para a direita e b passos para cima, isto é, somar a = 1 e b = 2, respectivamete, às coordeadas p = 2 e q = 3. O 2 ọ ciclo, é iiciado, com a primeira quebra de passo itroduzida, permitido que o úmero 6 seja alocado ão mais a célula 2, 3) ocupada pelo 1 mas uma outra célula, com coordeadas 2 + 1, 3 + 2) 3, 5). Os úmeros de 7 até 10 poderão, etão, ser alocados fechado o 2 ọ ciclo, Figura 2b). Esse procedimeto se repete para o 3 ọ ciclo, Figura 2c) e prossegue com o 4 ọ e 5 ọ ciclos até que todos os 25 úmeros teham sido distribuídos, Figura 2d). a) 1 ọ ciclo b) 2 ọ ciclo c) 3 ọ ciclo d) 4 ọ e 5 ọ ciclos Figura 2: Iserção de 1 a 25 pelo MPU Fote: dados da pesquisa 2.2 Cogruêcias associadas O processo descrito o exemplo pode ser resumido as cogruêcias fudametais propostas por Lehmer [2], para determiar as coordeadas A, B) da célula a qual cada úmero x {1,..., 2 } deve ser alocado: [ ] x 1 A p + α x 1) + a [ ] x 1 B q + β x 1) + b mod ) 2.1) mod ) 2.2) ode p, q) são as coordeadas da célula ocupada pelo 1 e [w] represeta a parte iteira do úmero real w. Estas cogruêcias os idicam que as coordeadas A e B de um úmero x o quadrado, pelo método do passo uiforme, depedem dos seis parâmetros α, β, a, b, p e q. No método do passo uiforme, o coeficiete x 1) de α e β é um cotador da quatidade de passos. O coeficiete [ ] x 1 de a e b é um cotador das quebras de passos. De fato, após cada ciclo de alocações), há uma quebra de passo, sedo adicioada uma uidade ao coeficiete de a e b que se matém costate durate os ciclos. Para ossa aálise, será coveiete observar que o teorema da Divisão Euclidiaa garate que um úmero atural x {1, 2, 3,, 2 } pode ser escrito, de maeira úica, a forma x = 1 + w + k 2.3)

4 18 Caderos do IME Série Matemática Vol ) com 0 w, k 1. Mais precisamete, k é o quociete da divisão de x 1 por, [ ] x 1 k = 2.4) e, w é o resto dessa divisão, w x 1 mod ). 2.5) O coceito de cogruêcia módulo foi utilizado para formalizar matematicamete o procedimeto idicado pelo método do passo uiforme. Foi possível estabelecer uma relação algébrica etre cada úmero x e as coordeadas da célula que será ocupada por ele. 3 O método preeche o quadrado? Nesta seção, apresetamos o resultado de Lehmer [2] para preechimeto do quadrado pelo método do passo uiforme. Lehmer [2] estabelece o seguite resultado Teorema 3.1 Lehmer [2, p. 530]). Dados α, β, a e b todos primos com, uma codição ecessária e suficiete para que o método do passo uiforme preecha o quadrado é que αb βa seja primo com. O método do passo uiforme garate que ehum úmero 1 x 2 caia fora do quadrado. Sedo assim, a úica maeira do quadrado ão ser preechido pelo método é existirem dois úmeros x 1 e x 2 que teham as mesmas coordeadas A, B). A prova de Lehmer [2] explora esse fato. Sejam x 1 e x 2 dois úmeros do cojuto {1, 2, 3,..., 2 }. Vamos deotar respectivamete por A 1, B 1 ) e por A 2, B 2 ) suas coordeadas dadas por 2.1) e 2.2). Se x 1 e x 2 estão em uma mesma célula, temos A 1 A 2 mod ) e B 1 B 2 mod ). Isto é, [ ] [ ]) x1 1 x2 1 α x 1 x 2 ) + a 0 mod ) [ ] [ ]) x1 1 x2 1 β x 1 x 2 ) + b 0 mod ) Utilizado propriedades de cogruêcia 2 em 3.6)-3.7), Lehmer deduz o sistema 3.8)-3.9), associado à codição de dois úmeros x 1 e x 2 ocuparem a mesma célula, pelo método do passo uiforme. 3.6) 3.7) {[ x1 1 ] x 1 x 2 ) 0 mod ) [ ]} x2 1 0 mod ) 3.8) 3.9) ode = αb βa. A proposição Se o quadrado preeche, etão αb βa é primo com. é equivalete à sua cotrapositiva Se αb βa ão é primo com, etão o quadrado ão preeche. Lehmer toma a cotrapositiva. 2 Veja Proposições e em Hefez [1, pp ]

5 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 19 Essecialmete, ele quer exibir dois úmeros x 1 e x 2 que satisfazem 3.8) 3.9), que ocupem a mesma célula, isto é, que também satisfaçam 3.6)-3.7). Para provar que a codição de primalidade de αb βa e é ecessária, Lehmer parte do sistema 3.8)-3.9) e argumeta da seguite maeira: Se 3 o mdcαb βa, ) =, etão [ ] [ ] x1 1 x2 1 mod ) ) e x 1 x 2 mod. Se cosideramos etão x2 = x 1 + ) a última cogruêcia se verifica. Substitua esse valor de x 2 a outra cogruêcia e obteha [ ] [ x1 1 x1 1 + ] mod ). Como é um iteiro, a cogruêcia claramete se verifica. Dois valores de x que difiram por serão alocados pelo passo uiforme a mesma célua e o quadrado ão será preechido. 2 Lehmer [2, p. 531]). Lehmer [2], assume que os parâmetros α, β, a, b do método do passo uiforme sejam todos primos com e aida que o mdcαb βa, ) = 1. Lehmer [2] exibe dois úmeros x 2 x 1 = 2 que satistazem ao sistema equivalete a 3.8) 3.9) 4 x 1 x 2 mod ) [ ] [ ] x1 1 x2 1 mod ) 3.10) 3.11) e afirma que vão cair a mesma célula e por isto o quadrado ão será preechido. Essa afirmação é equivocada. satisfazem 3.6)-3.7) Veremos mais adiate que se x 1 e x 2 tais que, x 1 x 2 = 2 A possibilidade de haver dois úmeros x 1 e x 2 que satisfaçam as cogruêcias do sistema 3.10) 3.11) mas ão ocupem a mesma célula do quadrado os istigou a eteder como se cofigura o ão preechimeto pelo método do passo uiforme. ão O fato de Lehmer [2] ter pesado que soluções ão triviais de 3.8)-3.9) são também soluções de 3.6)-3.7), ou seja, ocupam a mesma célula, os levou a fazer uma aálise da relação etre esses sistemas. [ ] [ ] 3 tradução livre de: If however ad αb βa) have a commo divisor the we have x1 1 x2 1 mod ) ad ) x 1 x 2 mod. If the we put x2 = x 1 + ) [ ] [ ] this last cogruece is satisfied. Put this value of x2 i the other cogruece ad we have x1 1 x1 1 mod + ) ad sice is a iteger the cogruece is clearly satisfied. Two values of x which differ by 2 will the fall i the same cell by this rule for fillig the square ad the square will therefore ot be filled. 4 A Proposição [1, p. 114] garate a equivalêcia dos sistemas 3.8) 3.9) e 3.10) 3.11)

6 20 Caderos do IME Série Matemática Vol ) 3.1 O poto crucial o camiho da volta O poto crucial a prova da codição ecessária ecotra-se a passagem, de 3.6)-3.7) para 3.8)-3.9), ode as equações lieares foram multiplicadas pelos parâmetros α, β, a e b presumidamete primos. Logo, essa passagem ão haveria gaho em perda de soluções, portato haveria uma equivalêcia. No etato, voltado, de 3.8)-3.9) para 3.6)-3.7) observamos algo que os surpreedeu. Vamos, adotar aqui, a otação com w s e k s. O sistema 3.8)-3.9) pode ser reescrito como αb βa)w 1 w 2 ) 0 mod ) 3.12) αb βa)k 1 k 2 ) 0 mod ) e é equivalete a b[αw 1 w 2 ) + ak 1 k 2 )] a[βw 1 w 2 ) + bk 1 k 2 )] 0 mod ) α[βw 1 w 2 ) + bk 1 k 2 )] β[αw 1 w 2 ) ak 1 k 2 ) 0 mod ) 3.13) 3.14) 3.15) Multiplicado 3.14) por α e 3.15) por a e somado, vamos obter: αb βa)[αw 1 w 2 ) + ak 1 k 2 )] 0 mod ) Multiplicado 3.14) por β e 3.15) por b e somado, vamos obter: αb βa)[βw 1 w 2 ) + bk 1 k 2 )] 0 mod ) Portato, sob as hipóeteses de α, β, a e b serem primos com, o sistema 3.12)-3.13) é equivalete a: { αb βa)[αw1 w 2 ) + ak 1 k 2 )] 0 mod ) αb βa)[βw 1 w 2 ) + bk 1 k 2 )] 0 mod ) Se αb βa for primo com etão: { αw1 w 2 ) + ak 1 k 2 ) 0 mod ) βw 1 w 2 ) + bk 1 k 2 ) 0 mod ) Portato, o que impede a equivalêcia etre os sistemas 3.6)-3.7) e 3.8)-3.9) é apeas, a ão primalidade, do determiate αb βa com. Veremos que a codição ecessária e suficiete do preechimeto do quadrado pelo método do passo uiforme depede uicamete da primalidade do determiate e ão exige a primalidade dos parâmetros com diferetemete do que havia estabelecido [2]. Afirmamos que é possivel haver dois úmeros x 1 e x 2 que satisfaçam as cogruêcias do sistema 3.10) 3.11) mas ão ocupem a mesma célula do quadrado. Compreeder essa afirmação exigiu o etedimeto de como se cofigura o ão preechimeto pelo método do passo uiforme. Como cosequêcia dessa ivestigação, deduzimos e idetificamos várias regularidades associadas ao ão preechimeto do quadrado pelo método do passo uiforme.

7 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto Se o método preeche, αb βa é primo com? Para compreeder o equívoco de Lehmer, é ecessário aalisar cuidadosamete o sistema 3.10) 3.11). Por 2.4), a equação 3.11) pode ser reescrita: k 1 k 2 mod De acordo com 2.3), a equação 3.10) pode ser escrita: 1 + w 1 + k w 2 + k 2 mod ) w 1 + k 1 ) w 2 + k 2 ) mod ) w 1 w 2 mod ) ) O sistema 3.10) 3.11) pode, etão, ser reescrito: w 1 w 2 mod ) k 1 k 2 mod ) 3.16) 3.17) Seja S I o subcojuto de {1,..., 2 } tal que para todo x 1, x 2 S I, tehamos x 1, x 2 é solução de 3.10) 3.11). Como queremos ivestigar úmeros x 1, x 2 {1, 2,..., 2 } que ocupam a mesma célula o quadrado, estamos iteressados em determiar os elemetos x j de S I. Por 2.3), podemos represetá-los a forma x j = 1 + w j + k j {1, 2,..., 2 }, j = 1, 2. Vamos os referir a tais elemetos como soluções de iteresse do sistema 3.10) 3.11). A cada solução de iteresse x j do sistema 3.10) 3.11), podemos associar uma solução de iteresse w j, k j ) do sistema 3.16) 3.17). A coordeada w j será chamdade de solução de iteresse de 3.16) e k j, de solução de iteresse de 3.17). Obviamete, duas soluções de iteresse w 1 e w 2 de 3.16) deixam o mesmo resto w a divisão por. De um modo geral, duas soluções de iteresse w 1 e w 2 de 3.16) são dadas por w j = w + l j, j = 1, 2, 3.18) para algum w tal que 0 w 1. Como w j é tal que 0 w j 1, temos 0 l j 1. Aalogamete, duas soluções de iteresse k 1 e k 2 de 3.17) são dadas por com 0 t j 1 e para algum k tal que 0 k 1. k j = k + t j, j = 1, 2, 3.19) Portato, as soluções de iteresse do sistema 3.10) 3.11) podem ser agrupadas em fução dos pares w, k ). Para cada w e k pertecetes ao cojuto de resíduos 5 módulo, 3.18) e 3.19) os mostram 5 w, k { 0, 1, 2,, 1}.

8 22 Caderos do IME Série Matemática Vol ) que há 2 soluções de iteresse w j, k j ) do sistema 3.16) 3.17). Além disso, sedo x 1 e x 2 duas soluções do sistema 3.10) 3.11), por 3.18) e 3.19), temos x j = 1 + w + k + l j + t j 2, j = 1, ) para algum l j e t j pertecetes ao cojuto de resíduos 6 módulo. 4 Como ocorre o ão preechimeto? Vimos que as soluções de iteresse do sistema 3.10) 3.11) são úmeros da forma x = x + l + t 2, 0 l, t 1, sedo x = 1 + w + k, com 0 w, k 1. Fixados w e k, estes úmeros podem ser dispostos em lihas e coluas, Figura 3, formado uma matriz Mw, k ). Figura 3: Matriz Mw, k ) Fote: O autor, Mais precisamete, para 0 w, k 1, temos Mw, k ) = m t+1,l+1 ), m t+1,l+1 = x tl = x + l + t 2, 0 l, t ) ) 2 Segue que o cojuto de soluções de iteresse do sistema 3.10) 3.11) será costituído por matrizes, cada uma defiida por um w e um k tais que 0 w, k 1, tedo cada uma 2 úmeros. A este poto, somos capazes de dado um úmero qualquer 1 x 2 idetificar a qual Mw, k ) ele pertece, e quais serão os outros úmeros desta mesma matriz. 6 l j, t j {0, 1, 2,, 1}.

9 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 23 Por que é importate saber quais são os úmeros de uma Mw, k )? Porque são úmeros de uma Mw, k ) que vão ocupar uma mesma célula, ocasioado, o ão preechimeto do quadrado. Exemplo 4.1. Seja o quadrado de ordem = 15 costruído pelo método do passo uiforme com os seguites α a parâmetros: α = 2, β = 1, a = 11 e b = 4. Observe que determiate = 3 e mdc, αb βa) = β b ) ) = 3. Assim, teremos = = 25 matrizes Mw, k ), 3 3, Figura 5a), págia 23), cada 3 uma com 2 = 3 2 = 9 elemetos, Figura 5b), a págia 23. Nessas codições, em qual Mw, k ) vai cair o úmero, digamos, 133? Desta forma, o úmero 133 está em M2, 3). 133 = 1 + w + 15 k k = 8 e w = 12 k k mod ) k 8 3 mod 5) w w mod ) w 12 2 mod 5) Figura 4: Estrutura das matrizes do exemplo 4.1. a) 25 matrizes Mw, k ), 3 3 b) Mw, k ), 3 3 Fote: O autor, Coordeadas dos elemetos de M w, k ) Um elemeto geérico de Mw, k ) tem a forma x = 1 + w + k + l + t 2.

10 24 Caderos do IME Série Matemática Vol ) Vamos calcular as suas coordeadas A e B. Para isso retomamos a equação 2.1). Substituido a expressão de x, vamos obter a seguite cogruêcia módulo : A p + α w + k + l ) + t 2 + a w + k + l + t 2 mod ) Temos: Portato, ambos podem ser elimiados. α k 0 mod ) e α t 2 A p + α w + l ) + a 0 mod ) w + k + l + t 2 mod ). O termo multiplicado por a pode ser decomposto: A p + α w + l ) + a w + l [ ] k t mod ). E, cosiderado que: w + l = 0, [ ] k = k e uma vez que w = w + l e 0 w 1. t 2 = [ ] t = t, uma vez que, a cogruêcia se reduz a: A p + αw + a k + l α + t a mod ) 4.22) Aalogamete, segue de 2.2) que a coordeada B de x é dada por B q + βw + b k + l β + t b mod ) 4.23)

11 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 25 Exemplo 4.2. Seja o quadrado de ordem = 15 costruído pelo método do passo uiforme com os seguites parâmetros: α = 2, β = 1, a = 11 e b = 4. Quais são as coordeadas A, B), de cada elemeto da matriz M2, 3)? Obs.: p e q são as coordeadas da célula iicial, ode é alocado o 1. A Figura 10 mostra os resultados obtidos quado usamos 4.22) e 4.23). Verificamos que os úmeros 48, 133 e 203 vão ocupar a célula do quadrado de coordeadas p + 7, q + 14); 53, 123 e 208; a célula de coordeadas p + 2, q + 4) e 58, 128 e 198 irão cair a célula de coordeadas p + 12, q + 9), cofirmado que dois valores de x que correspodam a soluções de iteresse do sistema 3.10) 3.11) podem ão ocupar a mesma célula. Com relação à afirmação de Lehmer: que dois valores de x que diferem de 2 vão ocupar a mesma célula, a Figura 10, oferece vários pares de valores de x que a cotradizem, por exemplo, 53 e 128, que diferem de 152 mas ocupam células diferetes. 3 Figura 5: M2, 3) do Ex Fote: O autor, As coordeadas A e B. O elemeto x 00 se localiza a 1 ạ liha e a 1 ạ colua de Mw, k ). Etão, fazedo l = 0 e t = 0, temos: x 00 = 1 + w + k + 0 β + 0 b = 1 + w + k = x Vamos deotar suas coordeadas por A e B. Temos A p + αw + ak mod ) B q + βw + bk mod )

12 26 Caderos do IME Série Matemática Vol ) Etão, as cogruêcias 4.22) e 4.23) podem ser reescritas: A A + l α + t a B B + l β + t b mod ) 4.24) mod ) 4.25) As coordeadas detro de uma matriz Mw, k ) depedem de A, B ) que são as coordeadas do elemeto x 00. A partir destas coordeadas todas as outras coordeadas dos demais elemetos da matriz são obtidas somado-se l α + t a e l β + t b respectivamete a A e a B. Ou seja todas são obtidas regularmete a partir de A, B ). 4.3 Regularidade das coordeadas A e B etre matrizes. Seja x = 1 + w + k + l + t2. Note que a difereça etre úmeros, localizados a mesma liha e colua, mas em matrizes vizihas Mw ± 1, k ) será de 1. E, em matrizes vizihas da forma Mw, k ± 1), a difereça será de como mostram as figuras 7a) e 7c). Sejam A, B) as coordeadas do elemeto x localizado a t ạ liha e l ạ colua de Mw, k ). A coordeada A w ±1,k de um elemeto a mesma posição, mas localizado em uma matriz viziha Mw ± 1, k ), será determiada por: A w ±1,k p + αw ± 1) + ak + l α + t a mod ) A w ±1,k p + αw + ak + l α + t a ) ± α mod ) A w ±1,k A ± α mod ) Aalogamete B w ±1,k B ± β mod ) Portato, a partir das coordeadas A, B) de x, podemos determiar as coordeadas de um elemeto localizado a mesma posição, em uma matriz viziha à esquerda ou à direita Mw ±1, k ), simplesmete, somado ±α à coordeada A e ±β à coordeada B, Figura 7b) A coordeada A w,k ±1 de um elemeto a mesma posição, mas localizado em uma matriz viziha Mw, k ± 1), será determiada por: A w,k ±1 p + αw + ak ± 1) + l α + t a mod ) A w,k ±1 p + αw + ak + l α + t a ) ± a mod ) A w,k ±1 A ± a mod )

13 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 27 Aalogamete B w,k ±1 B ± b mod ) Portato, a partir das coordeadas A, B) de x, podemos determiar as coordeadas de um elemeto localizado a mesma posição, em uma matriz viziha acima ou abaixo Mw ± 1, k ), simplesmete, somado ±a à coordeada A e ±b à coordeada B, Figura 7d). Figura 6: Regularidades. a) Elemetos de mesma posição, em matrizes vizihas, à esquerda e à direita b) Coordeadas de mesma posição, em matrizes vizihas, à esquerda e à direita c) Elemetos de mesma d) Coordeadas de mesma posição, posição, em matrizes vizihas, acima e abaixo em matrizes vizihas, acima e abaixo Fote: O autor, Observação 4.1 A possibilidade de α ser múltiplo de ). A úica possibilidade de termos duas coordeadas A, B) iguais em matrizes vizihas seria se β também fosse múltiplo de, pois teríamos α 0 mod ) e β 0 mod ). Mas, esse problema é aparete, pois em caso dos dois serem múltiplos de etão o determiate também seria múltiplo de e o máximo divisor comum =. Nesse caso, ) 2 a quatidade de matrizes é dada por = 1. Etão, teríamos apeas uma úica matriz que seria a M0, 0). É iteiramete aáloga, a possibilidade de a ou b serem múltiplos de.

14 28 Caderos do IME Série Matemática Vol ) 4.4 Regularidade das coordeadas A e B ao logo de uma liha de Mw, k ). Seja A tl, B tl ) as coordeadas do elemeto x tl localizado a liha t e colua l de Mw, k ). As coordeadas de um elemeto viziho, localizado a mesma liha, x t,l+1 ou x t,l 1, serão determiadas por: A t,l±1 A + l α + t a ) B t,l±1 B + l β + t b ± α A t,l ± α ) ± β B t,l ± β mod ) mod ) Portato, a partir das coordeadas A, B) de x, podemos determiar as coordeadas dos elemetos vizihos em uma mesma liha, simplesmete, somado ± α à coordeada A e ±β à coordeada B. 4.5 Regularidade das coordeadas A e B ao logo de uma colua de Mw, k ) Seja A tl, B tl ) as coordeadas do elemeto x t,l localizado a liha t e colua l de Mw, k ). As coordeadas de um elemeto viziho, localizado a mesma colua, x t+1,l ou x t 1,l, serão determiadas por: A t±1,l A + l α + t a ) ± α A t,l ± a B t±1,l B + l β + t b ) ± β B t,l ± b mod ) mod ) Portato, a partir das coordeadas A, B) de x, podemos determiar as coordeadas dos elemetos vizihos em uma mesma colua somado ± a à coordeada A e ±b à coordeada B. As figuras 8a) e 8b) mostram os vizihos de um elemeto geérico, x, em uma Mw, k ), assim como suas respectivas coordeadas. Figura 7: Regularidades. a) Elemetos vizihos de x b) Coordeadas vizihas de A, B) Fote: O autor, Até este poto, vimos que as soluções de iteresse do sistema 3.10) 3.11) são úmeros da forma x = 1 + w + k + l + t 2 e podem ser orgaizados em matrizes Mw, k ). São os úmeros

15 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 29 que estão em uma mesma matriz Mw, k ) que vão compartilhar células, causado o ão preechimeto do quadrado pelo método do passo uiforme. Também observamos um padrão: à medida em que os movemos, horizotalmete, para a direita ou esquerda, em Mw, k ), os elemetos variam de ± e suas, respectivas coordeadas, variam de de ± α e ± β. Se o movimeto for, verticalmete, para cima ou para baixo, os elemetos variam de ± 2 e suas, respectivas coordeadas, são acrescidas de ±a e ±b. Exemplo 4.3. Seja o quadrado costruído pelo método do passo uiforme defiido pelos parâmetros = 15, α = 4, β = 5, a = 1 e b = 2. Aplicado as regularidades da matriz Mw, k ), vamos determiar quais são os úmeros, com suas respectivas coordeadas, que estão a mesma matriz que 102. Temos α a = αb βa = = 3 β b e = mdc15, 3) = 3. Vamos idetificar em qual matriz Mw, k ) está 102. Etão, 102 está em M1, 1). 102 = 1 + w + 15 k k = 6 e w = 11 k k mod ) k 6 1 mod 5) w w mod ) w 11 1 mod 5) O elemeto x 00 que está a 1 ạ liha e 1 ạ colua de M1, 1) é dado por Suas coordeadas são: x 00 = x = 1 + w + k = = 17 A 00 = A p + αw + ak p p + 5 mod 15) B 00 = B q + βw + bk q q + 7 mod 15) Etão, a partir de x 00 = 17, A 00 = p + 5 e B 00 = q + 7, podemos determiar, respectivamete, x 01, A 01 e B 01 : x 01 = = 22 A 01 p + 5) + 5 p + 10 mod 15) B 01 q + 7) + 10 q + 2 mod 15) A partir de x 01 = 22, A 01 = p + 10 e B 01 = q + 2, podemos determiar, respectivamete, x 02, A 02 e B 02 : x 02 = = 27 A 02 p + 10) + 5 p mod 15) B 02 q + 2) + 10 q + 12 mod 15)

16 30 Caderos do IME Série Matemática Vol ) Assim, a 1 ạ liha foi cocluída. Cotiuado, de x 00 = 17, A 00 = p + 5 e B 00 = q + 7, podemos determiar, respectivamete, x 10, A 10 e B 10 : x 10 = = 92 A 10 p + 5) + 5 p + 10 mod 15) B 10 q + 7) + 10 q + 2 mod 15) De x 10 = 92, A 10 = p + 10 e B 10 = q + 2, podemos determiar, respectivamete, x 11, A 11 e B 11 : x 11 = = 97 A 11 p + 10) + 5 p mod 15) B 11 q + 2) + 10 q + 12 mod 15) De x 11 = 97, A 11 = p e B 11 = q + 12, podemos determiar, respectivamete, x 12, A 12 e B 12 : x 12 = = 102 A 12 p + 5 p + 5 mod 15) Assim, a 2 ạ liha foi cocluída. B 12 q + 12) + 10 q + 7 mod 15) De x 10 = 92, A 10 = p + 10 e B 10 = q + 2, podemos determiar, respectivamete, x 20, A 20 e B 20 : x 20 = = 167 A 20 p + 10) + 5 p mod 15) B 20 q + 2) + 10 q + 12 mod 15) De x 20 = 167, A 20 = p e B 20 = q + 12, podemos determiar, respectivamete, x 21, A 21 e B 21 : x 21 = = 172 A 21 p + 5 p + 5 mod 15) B 21 q + 12) + 10 q + 7 mod 15) De x 21 = 172, A 21 = p + 5 e B 21 = q + 7, podemos determiar, respectivamete, x 22, A 22 e B 22 : x 22 = = 177 A 22 p + 5) + 5 p + 10 mod 15) Os resultados obtidos estão a Figura 8. B 22 q + 7) + 10 q + 2 mod 15) Figura 8: Elemetos e suas coordeadas, da matriz M1, 1), do Exemplo 4.3. Fote: O autor, 2014.

17 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto Padrão dos úmeros em Mw, k ) que ocupam uma mesma célula o quadrado Vimos que ter o mesmo valor para w e o mesmo valor para k é codição ecessária, mas ão suficiete para que dois úmeros ocupem a mesma célula do quadrado. Sejam x 1 = x t1,l 1 e x 2 = x t2,l 2 dois elemetos em uma matriz M w, k ). Suas coordeadas são dadas respectivamete por 4.24) e 4.25) A 1 A α + l 1 + t a 1 B 1 B β + l 1 + t b 1 A 2 A α + l 2 + t a 2 B 2 B + l 2 β + t 2 b mod ) mod ) mod ) mod ) Vamos assumir que x 1 e x 2 teham coordeadas iguais, A 1 A 2 e B 1 B 2, temos: αl 1 l 2 ) at 2 t 1 ) mod ) 4.26) βl 1 l 2 ) bt 2 t 1 ) mod ) 4.27) Vamos agora rediscutir o exemplo dos dois úmeros que diferem por 2, citado por Lehmer. Até o fim dessa subseção, tal como [2], admitiremos que os parâmetros α, β, a e b são primos com. Veremos que dois úmeros com essa relação, embora em uma mesma Mw, k ), ão caem uma mesma célula A, B). Vamos aalisar o sistema 4.26)-4.27) tedo em vista aalisar o erro cometido por Lehmer sob uma ova perspectiva. Segue do fato dos parâmetros α, β, a e b serem primos com que o sistema 4.26) 4.27) é equivalete a αl 1 l 2 ) at 2 t 1 ) mod ) 4.28) αb βa)t 2 t 1 ) 0 mod ) 4.29) Observe que quaisquer iteiros t 1, t 2 satisfazem a 4.29). Cosequetemete, basta resolver 4.28). Cosidere 4.28). Se l 1 = l 2 etão 0 at 2 t 1 ) mod ) mas a é primo com ) etão t 1 t 2 mod ) mas 0 t 1) etão t 1 = t 2 Por outro lado, se t 1 = t 2 etão αl 1 l 2 ) 0 mod ) mas α é primo com )

18 32 Caderos do IME Série Matemática Vol ) etão l 1 l 2 mod ) mas 0 l 1) etão l 1 = l 2 Portato, podemos euciar o seguite: Teorema 4.1. Dados α, β, a e b todos primos com. Se dois elemetos distitos x 1 = x t1,l 1 = x +l 1 +t 2 1 e x 2 = x t2,l 2 = x +l 2 +t 2 2 da matriz Mw, k ) ocupam a mesma célula do quadrado, etão l 1 l 2 e t 1 t 2. Isso sigifica que dois úmeros que estão em uma mesma colua l da matriz Mw, k ) ão podem ocupar uma mesma célula do quadrado, Figura 9a). Da mesma forma, dois úmeros que estão em uma mesma liha t da matriz Mw, k ) ão ocupam uma mesma célula do quadrado, Figura 2. Note que dois úmeros que diferem por 2 sempre pertecem a uma mesma colua. Portato, ão podem ocupar uma mesma célula do quadrado. a) x 1 e x 2 em uma mesma colua de Mw, k ) tem coordeadas diferetes. b) x 1 e x 2 em uma mesma liha de Mw, k ) tem coordeadas diferetes. Figura 9: Coordeadas de x 1 e x 2 Fote: O autor, Substituido os coeficietes de 4.28) pelos restos a divisão por, obtemos um sistema equivalete a 4.28) 4.29) α l 1 l 2 ) + a t 1 t 2 ) 0 mod ) 4.30) αb βa)t 2 t 1 ) 0 mod ) 4.31) Note que a hipótese de primalidade os diz que α 0 e a 0. A equação de cogruêcia liear com duas variáveis 4.30), tem solução, pois, mdcα, a, ) = 1 0. Mais aida, a equação 4.30) tem mdcα, a, ) 2 1 = 1 = soluções veja Theorem 36, Sivaramakrisha [3, p. 124]).

19 J.I. Travassos, P.N. Silva Regularidades do ão-preechimeto 33 Seja α, a) = mdcα, a) = mdcα, a ). Para 0 k 1, cosidere l 1 l 2 a α, a) k mod ) e t 1 t 2 α k mod ) 4.32) α, a) Note que se 0 k 1 k 2 1, a α, a) k 1 k 2 ) 0 mod ) e ) α k 1 k 2 ) 0 mod ). α, a) Além disso, se l 1, t 1, l 2 e t 2 satisfazem 4.32), temos α l 1 l 2 ) + a t 1 t 2 ) a α α, a) k a α α, a) k + a 0 mod ). Cosequetemete, 4.32) os permite determiar todos os elemetos de uma matriz Mw, k ) que cairão em uma mesma célula do quadrado. Note que os 2 elemetos de Mw, k ) serão desigados a células distitas. Além disso, cada uma dessas células será ocupada exatamete por elemetos de Mw, k ). Exemplo 4.4. Seja o quadrado de ordem = 15 costruído pelo método do passo uiforme com os seguites parâmetros: α = 2, β = 1, a = 11 e b = 4. Vamos usar 4.21), 2.1) e 2.2) para calcular as coordeadas A, B), de cada elemeto da matriz M2, 3). A Figura 10 mostra os resultados obtidos. Verificamos que os úmeros 48, 133 e 203 vão ocupar a célula do quadrado de coordeadas p + 7, q + 14); 53, 123 e 208, a célula de coordeadas p + 2, q + 4) e 58, 128 e 198 irão cair a célula de coordeadas p + 12, q + 9). Com relação à afirmação de Lehmer, a Figura 10, oferece vários pares de valores de x que a cotradizem, por exemplo, 53 e 128, que diferem de 152 mas ocupam células diferetes. 3 Figura 10: Coordeadas dos elemetos de M2, 3) Fote: dados da pesquisa 5 Cosiderações fiais ) 2 Vimos que os úmeros que ocupam uma mesma célula, estão distribuídos em matrizes Mw, k ), com 0 w, k 1, costituída de lihas e coluas. Vimos também que o método do passo

20 34 Caderos do IME Série Matemática Vol ) uiforme, com parâmetros α, β, a e b, primos um a um com, porém com o determiate αb βa tedo um divisor comum,, com, ão preeche o quadrado e caracterizamos os úmeros que vão ocupar uma mesma célula. Mostramos que cohecidas a liha t e a colua l de um úmero em Mw, k ), podemos calcular quais são todos os outros úmeros que serão alocados a mesma célula do quadrado. A arapuca que fez Lehmer tropeçar, se dá, justamete, a passagem do sistema 3.6)-3.7) para 3.8)-3.9). Ele exibiu dois úmeros que satisfazem 3.8)-3.9) e, ao afirmar que eles ocupariam a mesma célula, ele admitiu que eles também satisfariam 3.6)-3.7). Mas isso em sempre se verifica para quaisquer dois úmeros que satisfazem 3.8)-3.9). Mais precisamete, se o mdcαb βa, ) =, com 1, o método ão preeche o quadrado e ão há equivalêcia etre os referidos os sistemas 3.6)-3.7) e 3.8)-3.9). Sempre haverá em 3.8)-3.9) soluções que ão satisfazem 3.6)-3.7). Mostramos que sob a hipótese de primalidade dos parâmetros α, β, a, b com, várias regularidades estão associadas ao ão preechimeto de um quadrado de ordem pelo método do passo uiforme. Referêcias [1] HEFEZ, A. Elemetos de Aritmética. Coleção Textos Uiversitários. SBM, 2005 [2] LEHMER, D.N. O the cogrueces coected with certai magic squares, Tras. Amer. Math. Soc ), o. 3, [3] SIVARAMAKRISHNAN, R. Certai umber-theoretic episodes i algebra, Chapma & Hall/CRC, 2007.