Sobre Pombos e Gavetas

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1 Sobre Pombos e Gavetas Viícius Barbosa de Paiva viicius.paiva@ifmg.edu.br Istituto Federal de Mias Gerais - Campus Avaçado Piumhi, Piumhi, MG, Brazil Marcelo Oliveira Veloso veloso@ufsj.edu.br Uiversidade Federal de São João del-rei, Ouro Braco, MG, Brazil Resumo Neste trabalho estudamos o Pricípio das Gavetas de Dirichlet, também cohecido como Pricípio da Casa dos Pombos. Apresetamos três versões deste pricípio e suas aplicações em problemas geométricos e aritméticos. Além disso, apresetamos uma prova da ifiitude dos úmeros primos utilizado o Pricípio das Gavetas de Dirichlet. Palavras-chave Pricípio das Gavetas de Dirichlet, Geometria, Matemática Discreta. 1 Itrodução Se todos os potos do plao forem pitados, cada um com uma detre 2 cores, seria possível ecotrarmos dois potos cuja distâcia etre eles é de exatamete 10 cm? O que acotece se distribuirmos 12 bombos para 9 criaças? É possível afirmar que em determiada sala de aula existem aluos que asceram o mesmo dia da semaa? E o mesmo dia do ao? Neste texto pretede-se abordar questões desta atureza utilizado o Pricípio das Gavetas de Dirichlet, também cohecido como Pricípio da Casa dos Pombos, que diz: "Se distribuirmos objetos em m gavetas com > m, etão pelo meos uma gaveta terá mais que um objeto". Acredita-se que o matemático alemão Joha Peter Gustav Lejeue Dirichlet teha utilizado este pricípio pela primeira vez em 1834, a forma de ocupação de gavetas. O euciado é de fácil etedimeto. Cotudo é uma ferrameta de grade utilidade a solução desde problemas elemetares a questões mais elaboradas. A técica para aplicar o Pricípio das Gavetas é idetificar "objetos", "gavetas" e a "regra" utilizada para distribuir os objetos essas gavetas. Ao logo do texto explicitamos, os diversos exemplos, estas três etapas. Também verificamos que o cojuto dos úmeros primos é ifiito, Teorema 4.1, utilizado o Pricípio da Casa dos Pombos. O texto está orgaizado da seguite maeira: Na seguda seção relembramos algus coceitos que serão utilizados esta discussão. A terceira seção apreseta três versões do Pricípio das Gavetas e exemplos de sua aplicação, sempre ressaltado a importâcia da escolha "ideal" dos objetos e das gavetas. As seções quatro e cico foram dedicadas aos problemas relacioados a aritmética e geometria, respectivamete. 2 Coceitos Básicos Nesta seção listamos os pricipais coceitos utilizados ao logo do texto. As pricipais referêcias desta seção são [1] e [3] ode o leitor ecotrará as respectivas demostrações. c 2016 by Periódicos UFOP Revista de Matemática de Ouro Preto 1(1):

2 Dados dois úmeros iteiros a e b, com a 0, dizemos que a divide b (a b) se existir um iteiro c tal que b = ac. Se a ão divide b, escrevemos a b. É usual dizer que a é um divisor de b, ou b é divisível por a, ou aida b é um múltiplo de a quado a b. Um úmero iteiro é chamado de primo se > 1 e se possui apeas dois divisores positivos e 1. Se > 1 ão é primo dizemos que é composto. Vejamos algumas propriedades da divisão dos iteiros: Teorema 2.1. Sejam a, d, m e úmeros iteiros. Etão: 1. 1 a, a a e a 0; 2. d ad a; 3. ad a e a 0 d ; 4. d d m; 5. a b e b c a c. Demostração. Veja (1 e 5) o livro [3]: uidade 1 - págia 3 e (2) o livro [1] - págia 3. Teorema 2.2 (Algoritmo da Divisão). Sejam a e b úmeros iteiros com b > 0. Etão existem dois, úicos, úmeros iteiros q e r tais que: a = b q + r, com 0 r < b Demostração. Veja a demostração do algoritmo o livro [1] págia 5. Dado dois iteiros a, b ão simultaeamete ulos. Um iteiro d > 0 é dito o máximo divisor comum de a e b se, e somete se i) d a e d b, ii) c iteiro tal que c a e c b implica que c d. O iteiro d é deotado por mdc(a, b). Observe que o segudo item garate a uicidade do mdc(a, b). De fato: supoha que d = mdc(a, b) e d 1 = mdc(a, b). Segue do segudo item que d d 1 e d 1 d e assim d = d 1. É usual dizer que a e b são coprimos, ou primos etre si, quado mdc(a, b) = 1. O próximo resultado eleca algumas propriedades do máximo divisor comum. Teorema 2.3. Sejam a e b úmeros iteiros. Etão: 1. mdc(a, b) = mdc(b, a) = mdc( a, b) = mdc(a, b) = mdc( a, b); 2. mdc(1, a) = 1; 3. mdc(0, a) = a ; 4. mdc(a, a) = a ; 5. a b mdc(a, b) = a. 2 Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1

3 Demostração. Veja a demostração o livro [3]: uidade 5 - págias 2 e 3. Para provar a existêcia do máximo divisor comum de dois iteiros ão egativos, Euclides utiliza, essecialmete, o resultado abaixo que é cohecido como Lema de Euclides. Lema 2.1 (Lema de Euclides). Sejam a, b, q e r úmeros iteiros. Se a = b q + r etão mdc(a, b) = mdc(b, r). Demostração. Seja d = mdc(a, b) e d 1 = mdc(b, r). Como d = mdc(a, b) temos que d a e d b e etão d (a bq), ou seja, d r. Portato d d 1, pois d 1 = mdc(b, r). De maeira aáloga temos que d 1 d. Portato, d = d 1 e temos o resultado. Exemplo 2.1. Dados m e iteiros positivos e distitos, temos que: De fato, supoha que m > e observe que mdc(2 2m + 1, ) = m 1 = (2 2m 1 + 1)(2 2m 2 + 1) ( )(2 2 1). Assim 2 2m + 1 = ( ) q + 2 e portato pelo Lema de Euclides mdc(2 2m + 1, ) = mdc( , 2) = 1. Teorema 2.4. Sejam a, b e c úmeros iteiros. Se a b c e mdc(a, b) = 1 etão a c. Demostração. Veja a demostração do teorema o livro [3]: uidade 6 - págia 4. Dado um úmero real x vamos deotar por x o maior iteiro que é meor ou igual a x, ou seja, x = max{ Z x}. A fução : R Z é chamada de maior iteiro ou fução piso. As pricipais propriedades da fução maior iteiro seguem abaixo. Teorema 2.5. Sejam x, y úmeros reais e m um úmero iteiro. Etão: 1. x x < x + 1; 2. se x < y etão x y ; 3. x + y x + y x + y + 1; x x 4. se m > 0 etão =. m m Demostração. Vamos verificar o item 3. Os demais deixamos a cargo do leitor. Sejam x = + α e y = p + β ode e p são iteiros e 0 α, β < 1. Logo, x + y = + p = + p + α + p + β = x + y = + p + α + β + p + 1 = x + y + 1 Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1 3

4 Dado um úmero real x vamos deotar por x o meor iteiro que é maior ou igual a x, ou seja, x = mi{ Z x}. A fução : R Z é chamada de fução meor iteiro ou fução teto. Teorema 2.6. Sejam x, y úmeros reais e m um úmero iteiro. Etão: 1. x 1 < x x ; 2. se x < y etão x y ; 3. x + y 1 x + y x + y ; x x 4. se m > 0 etão =. m m Demostração. Vamos verificar o item 4. Os demais ficam a cargo do leitor. Seja x = α, ode é iteiro e 0 α < 1. Sabemos, do algoritmo da divisão, que existem q e r tais que = m.q + r, 0 r < m. Portato, x q.m + r α = = q + m r α = q m m pois 0 r α < m, uma vez que 0 α < 1 e 0 r < m. Mas, x q.m + r = = = q + m m r = q m m verificado o resultado. 3 Pricípio de Dirichlet e Geeralizações Nesta seção vamos apresetar três versões do Pricípio de Dirichlet, ou Pricípio da casa dos Pombos, e vários exemplos de suas aplicações. Figura 1: Cômoda. Pricípio das Gavetas 3.1. Se colocamos +1 objetos em gavetas, etão haverá pelo meos uma gaveta com dois ou mais objetos. 4 Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1

5 Demostração. Se ao distribuímos + 1 objetos em gavetas e cada uma delas cotiver, o máximo, um objeto, o úmero total de objetos assim distribuídos será o máximo, o que é uma cotradição. Note que + 1 é o úmero míimo de objetos que satisfaz o Pricípio das Gavetas 3.1, e, claramete, o resultado é válido para todo iteiro l + 1. Veremos que o Pricípio das Gavetas de Dirichlet os auxiliará a resolução de exercícios de Combiatória, Teoria dos Números e Geometria, detre outros. Vejamos, os exemplos abaixo, como aplicar o Pricípio das Gavetas 3.1. Exemplo 3.1. Em um cojuto de 8 pessoas podemos afirmar que: pelo meos duas asceram o mesmo dia da semaa. Idetificado as gavetas e os objetos. Objetos: As oito pessoas; Gavetas: Os sete dias da semaa; Regra: Cada pessoa está associada ao dia da semaa que asceu. Temos 8 objetos (pessoas) para serem distribuídos em 7 gavetas (dias da semaa). Pelo Pricípio das Gavetas 3.1, temos que, pelo meos uma gaveta irá coter ao meos dois objetos, ou seja, o míimo 2 pessoas asceram o mesmo dia da semaa. Exemplo 3.2. Marcam-se cico potos (A, B, C, D, E) sobre um quadrado de lado 2. Mostre que, pelo meos, 2 destes potos estão a uma distâcia meor ou igual a 2. Nosso desafio em cada exercício é determiar quem são as gavetas e quem são os objetos. Se a escolha ão for bem sucedida acarretará em complicações. Por exemplo, se escolhermos as gavetas como sedo os quatro triâgulos da figura 2. Figura 2: Quadrado. Aplicado o Pricípio das Gavetas 3.1 temos que ao meos uma gaveta coterá 2 potos, como mostra figura 3. Nesse caso, podemos obter uma distâcia etre os potos A e B maior que 2. Logo, a escolha das gavetas ão foi adequado para o osso problema. Mas, se dividirmos o quadrado origial em 4 quadrados de lado 1, figura 4. Vamos obter Objetos: Os cico potos (A, B, C, D, E); Gavetas: Os quatro quadrados de lado 1; Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1 5

6 Figura 3: Possíveis gavetas. Figura 4: Objetos as gavetas. Regra: Cada poto está associado a um quadrado (Caso um poto esteja a froteira etre dois ou mais quadrados, "ele pode escolher"a qual deles quer pertecer). Pelo Pricípio das Gavetas 3.1, ao distribuirmos os 5 potos (A, B, C, D, E) detro dos 4 quadrados de lado 1, teremos pelo meos dois potos detro de um mesmo quadrado. Sabemos que a maior distâcia etre dois potos cotidos o iterior de um quadrado é igual a sua diagoal (l 2). Portato, como os quadrados possuem lado 1, temos que o maior comprimeto etre estes dois potos será 2. Exemplo 3.3. Em um ao, ão bissexto, em qualquer cojuto com 366 pessoas existem pelo meos duas que asceram o mesmo dia. Objetos: As pessoas; Gavetas: Os dias do ao (365 dias, esse caso); Regra: Cada pessoa está associada ao dia do seu ascimeto. Temos 366 objetos (pessoas) para serem distribuídos em 365 gavetas (dias do ao). Pelo Pricípio das Gavetas 3.1, temos que, pelo meos uma das gavetas irá coter pelo meos dois objetos, ou seja, pelo meos 2 pessoas vão ascer o mesmo dia do ao. O Pricípio das Gavetas 3.1 garate que em qualquer grupo de 366 pessoas, em um ao ão bissexto, pelo meos duas asceram o mesmo dia do ao. Um fato curioso é que em um grupo de apeas 23 pessoas existe a chace de pelo meos duas ascerem o mesmo dia do ao, e esta, é maior que 50%. Ou seja, o referido grupo, é mais provável ter duas pessoas com o mesmo aiversário do que todas aiversariarem em dias diferetes. Idicamos a leitura do texto O paradoxo gêmeo e o velho e bom logaritmo a seção 2.5 do livro [5] - págia 36. Exemplo 3.4. Vejamos que em um grupo de pessoas há sempre duas que cohecem exatamete o mesmo úmero de pessoas esse grupo.(cohecer é uma relação simétrica, ou seja, se a cohece b, b cohece a.) 6 Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1

7 Detro desse grupo de pessoas, qualquer uma delas pode cohecer o míimo 0 (quado ão se cohece iguém - peetra") e o máximo ( 1) pessoas (quado se cohece todo mudo). Objetos: As pessoas; Gavetas: Número de pessoas que cada idivíduo pode cohecer (de 0 a ( 1), esse caso); Regra: Cada pessoa está associada ao úmero de pessoas que ela cohece. Idetifique cada gaveta pelo úmero de pessoas que cada idivíduo pode cohecer. Note que uma das gavetas 0 e ( 1) permaecerá desocupada, pois estas possibilidades ão podem ocorrer simultaeamete. Portato, temos objetos para serem distribuídas em ( 1) gavetas. Segue do Pricípio das Gavetas 3.1 que pelo meos uma gaveta cotém pelo meos dois objetos. Ou seja, existem pelo meos duas pessoas que cohecem o mesmo úmero de pessoas. O próximo exemplo estava proposto a seção de exercícios do livro [2] págia 159. Exemplo 3.5. Um certo livreiro vede pelo meos um livro por dia. Sabedo que o livreiro vedeu 463 livros durate 305 dias cosecutivos, mostre que em algum período de dias cosecutivos o livreiro vedeu exatamete 144 livros. Seja S K o total de livros vedidos até o K-ésimo dia iclusive. Sabemos que o livreiro vede pelo meos um livro por dia e que durate 305 dias vedeu um total de 463 livros. Logo: 1 S 1 < S 2 < S 3 <... < S 305 = 463 O úmero de livros vedidos do dia q ao dia p (iclusive) é S p S q 1. Nossa iteção é mostrar que existem termos a sequêcia S cuja difereça é 144. Com esse ituito defiimos a seguite sequêcia T k = S k + 144, ode k = 1, Note que 145 T 1 < T 2 < T 3 <... < T 305 = 607. Agora estamos em codições de defiirmos ossas gavetas e objetos: Objetos: S 1, S 2, S 3, S 305, T 1, T 2,..., T 305 ; Gavetas: Os 607 úmeros iteiros de 1 a 607; Regra: Cada úmero S k ou T k, k = 1,..., 305, está associada ao seu valor iteiro. Temos 610 objetos (termos) para serem distribuídos em 607 gavetas. Pelo Pricípio das Gavetas 3.1 pelo meos uma gaveta irá coter pelo meos dois objetos, ou seja, pelo meos 2 termos desse grupo são iguais. Estes úmeros ão podem pertecer à sequêcia S k, pois esta é estritamete crescete, o mesmo vale para à sequêcia T k. Portato, existem S p e T q tais que S p = T q, ou seja: S p = S q Assim S p S q = 144. Portato, etre os dias e q + 1 e p, iclusive, foram vedidos 144 livros. Pricípio das Gavetas 3.2. Se colocamos k + 1 objetos em gavetas, etão haverá pelo meos uma gaveta com k + 1 ou mais objetos. Demostração. Se cada gaveta coter o máximo k objetos, etão teremos.k objetos distribuídos. Como temos k + 1 objetos, etão pelo meos uma gaveta coterá pelo meos k + 1 objetos. Abaixo, segue algus exemplos e sua aplicação. Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1 7

8 Exemplo 3.6. Mostre que ao distribuirmos 49 presetes a um grupo de 12 criaças, pelo meos uma delas irá receber ao meos 5 presetes. Objetos: Os presetes; Gavetas: As criaças; Regra: Cada criaça está associada a seu presete. Pelo Pricípio das Gavetas 3.2, que se gavetas são ocupadas por k + 1 objetos etão pelo meos uma gaveta deverá coter pelo meos k+1 objetos. Como temos 49 objetos (preetes) e = 12 gavetas, podemos escrever: k + 1 = k + 1 = k = 48 k = 4 Pelo meos uma gaveta, ou seja, pelo meos uma criaça receberá k + 1 presetes. Portato, como k = 4, temos que k + 1 = 5 presetes. Exemplo 3.7. Um estojo cotém 5 caetas vermelhas, 8 caetas azuis, 7 caetas pretas e 4 caetas verdes. Qual o meor úmero de caetas que devemos retirar para que possamos garatir que retiramos 4 de uma mesma cor? Objetos: As caetas; Gavetas: As cores (Vermelha, Azul, Preta e Verde); Regra: Cada caeta está associada a sua cor. Sabemos, pelo Pricípio das Gavetas 3.2, que se gavetas são ocupadas por k +1 objetos etão pelo meos uma gaveta deverá coter pelo meos k + 1 objetos. Como queremos obter 4 objetos (caetas) de uma mesma cor, etão: k + 1 = 4 k = 3 Agora, como temos = 4 gavetas (cores) e k = 3, pelo Pricípio das Gavetas, podemos escrever: k + 1 = = 13 Dessa forma, para termos certeza de que retiramos 4 caetas de uma mesma cor, é ecessário retirar do estojo o míio 13 caetas. 8 Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1

9 Pricípio das Gavetas 3.3. Supoha que distribuímos S = a 1 + a a objetos em gavetas da seguite maeira: Etão S i) existe uma gaveta com o míimo S ii) existe uma gaveta com o máximo Demostração: a 1 objetos a primeira gaveta, a 2 objetos a seguda gaveta,. a objetos a última gaveta objetos. objetos. i) - Queremos mostrar que existe, pelo meos um a i, 1 i, tal que: a i S Supoha que todos os a is sejam meores que, ou seja, S a i 1, para i = 1,...,. S Logo a 1 + a a ( Um absurdo visto que S míimo objetos. 1) e temos que S = a 1 + a a S S 1. S. S, Teorema 2.5. Portato, existe uma gaveta com o ii) Queremos mostrar que existe, pelo meos um a i, 1 i, tal que: a i S Vamos supor que todos os a is sejam maiores que, ou seja, S Etão ( S S + 1 a i para i = 1,...,. + 1) a 1 + a a e assim S + 1 a 1 + a a Logo S 1. Um absurdo visto que S S S uma gaveta com o máximo objetos. = S. S., Teorema 2.6. Portato, existe Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1 9

10 Uma cosequêcia direta desta demostração é que se M é a média aritmética dos úmeros a 1, a 2,..., a, etão ao meos um dos úmeros é maior ou igual a M, e, ao meos um dos úmeros é meor ou igual a M. Exemplo 3.8. Em um restaurate, há 16 amigos setados em toro de uma mesa circular para uma cofraterização. Um garçom serve a cada um deles, sem pergutar a sua preferêcia, um suco. Algus desses sucos são de laraja e outros de abacaxi. Sabedo que 8 desses amigos preferem suco de laraja e os outros 8 preferem suco de abacaxi, mostre que, sem mexer os amigos e fazedo apeas rotações a mesa (por exemplo setido horário), é possível fazer com que pelo meos 8 amigos teham suas preferêcias respeitadas. A mesa pode assumir 16 posições diferetes. Seja a i, i = 1,..., 16, o úmero de amigos cuja preferêcia é atedida com a mesa a posição i. Portato, temos: Objetos: O úmero total de preferêcias atedidas pela mesa em cada posição i, (a 1 + a a 16 ); Gavetas: As 16 posições distitas que a mesa pode assumir; Regra: Cada úmero de amigos cuja preferêcia é atedida está associado com a mesa a posição i. Mas cada suco é colocado, sucessivamete, em frete a cada um dos amigos e sabemos que existem exatamete 8 amigos que preferem cada sabor, ou seja, cada suco atede a exatamete 8 amigos. Visto que o garçom serviu 16 sucos, podemos cocluir que o total de preferêcias atedidas será 128. Assim, temos: a 1 + a a 16 = 128 a 1 + a a Logo, pelo Pricípio das Gavetas 3.3, podemos cocluir que pelo meos um a i, i = 1,..., 16, será igual a 8, o míimo. Ou seja, há uma determiada posição da mesa em que pelo meos 8 dos amigos terão suas preferêcias atedidas. Exemplo 3.9. A média de idade do eleco dos 23 jogadores da Seleção Brasileira de futebol campeã da Copa das Cofederações, realizada o Brasil, o ao 2013, era de 26 aos. O que se pode dizer da idade do atleta mais velho do time? Como temos 23 atletas, podemos ter o máximo = 23 idades diferetes (Gavetas). Sabemos que a média de idade da seleção é 26 aos. Portato: Objetos: Cada um dos 23 atletas; Gavetas: As 23 possíveis idades; Regra: Cada atleta está associado a sua idade. = 8 a 1 + a a = 26 Assim, pela cosequêcia do Pricípio das Gavetas 3.3, existe pelo meos um atleta, a i com i = 1,..., 23, que possui idade de pelo meos 26 aos. Exemplo Supohamos que os úmeros de 1 até 12 sejam distribuídos aleatoriamete as posições em toro do círculo da figura abaixo. Mostre que a soma dos elemetos de pelo meos um cojuto de 3 elemetos cosecutivos tem que ser maior ou igual a Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1

11 Figura 5: Círculo. Sabemos que os úmeros de 1 até 12 serão distribuídos, aleatoriamete, as 12 posições (a 1,..., a 12 ) do circulo. Feito a distribuição, os resta fazer os cojutos de 3 elemetos cosecutivos. Começado, por exemplo da 1 a posição e o setido horário, vamos obter 12 cojutos: G 1 = {a 1, a 2, a 3 }, G 2 = {a 2, a 3, a 4 }, G 3 = {a 3, a 4, a 5 }, G 4 = {a 4, a 5, a 6 }, G 5 = {a 5, a 6, a 7 }, G 6 = {a 6, a 7, a 8 }, G 7 = {a 7, a 8, a 9 }, G 8 = {a 8, a 9, a 10 }, G 9 = {a 9, a 10, a 11 }, G 10 = {a 10, a 11, a 12 }, G 11 = {a 11, a 12, a 1 }, G 12 = {a 12, a 1, a 2 } Note que cada posição aparece em 3 cojutos, ou seja, podemos afirmar que todos os úmeros vão repetir exatamete 3 vezes, idepedete da posição que este úmero ocupar. Objetos: A soma dos três úmeros cosecutivos de cada um dos 12 grupos; Gavetas: Os 12 possíveis grupos; Regra: Cada soma dos três úmeros está associada a um determiado grupo. Agora, basta calcular a média da soma dos úmeros dos 12 cojutos: 12 i=1 G i 12 = G 1 + G G = 3(a 1 + a a 12 ) 12 = 3a 1 + 3a a = 3(78) 12 = = 19.5 Pelo Pricípio das Gavetas 3.3, existe pelo meos um G i0 ode i 0 {1,..., 12}, tal que G i0 20. Ou seja, a soma de pelo meos um cojuto de 3 elemetos cosecutivos tem que ser maior ou igual a Aritmética Nesta seção resolvemos algumas questões relativas a Aritmética utilizado o Pricípio das Gavetas de Dirichlet. Em particular, apresetamos uma prova da ifiitude dos úmeros primos. Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1 11

12 Exemplo 4.1. Mostre que em um cojuto de sete iteiros, ão ecessariamete cosecutivos, existem pelo meos dois que possuem o mesmo resto quado divididos por seis. Sabemos que b = a q + r, com 0 r < a. Sejam os sete úmeros: {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 }, ão ecessariamete cosecutivos. Ao dividí-los por seis, os possíveis restos são da forma {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Objetos: Os sete úmeros; Gavetas: Os seis possíveis restos; Regra: Cada úmero está associado a seu resto. Pelo Pricípio das Gavetas 3.1, ao dividirmos os sete úmeros por seis, teremos pelo meos dois úmeros com o mesmo resto. Exemplo 4.2. Dados 5 ou mais úmeros iteiros existirão, pelo meos dois iteiros cuja difereça é divisível por quatro. Cosidere os quatro cojutos: K 0 = {..., 8, 4, 0, 4, 8, 12...} K 1 = {..., 7, 3, 1, 5, 9, 13...} K 2 = {..., 6, 2, 2, 6, 10, 16...} K 3 = {..., 5, 1, 3, 7, 11, 15...} Observe que cada cojuto K i, com 0 i 3, é formado pelos úmeros que deixam restos: 0, 1, 2 e 3, respectivamete, a divisão por 4. Sejam os cico úmeros iteiros: {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 }, ão ecessariamete cosecutivos. Cada um desses úmeros, estará associado a exatamete uma classe de K i s, com 0 i 3. Portato, os possíveis restos serão da forma {0, 1, 2, 3}. Objetos: Os cico úmeros; Gavetas: Os quatro possíveis restos (da divisão por 4); Regra: Cada úmero está associado a seu resto. Pelo Pricípio das Gavetas 3.1, pelo meos, dois desses úmeros vão possuir o mesmo resto e, portato, a difereça etre eles será um múltiplo de 4. Note que, o que acabamos de fazer com o úmero 4, pode ser feito com qualquer úmero. Basta cosiderarmos os cojutos: K 0, K 1, K 2,..., K 1, ode em cada K i, com 0 i ( 1), colocamos todos os iteiros que deixam restos i quado divididos por. Sabemos que cada iteiro estará associado a exatamete uma classe de K i s. Agora, basta tomarmos um cojuto de úmeros com m elemetos, m +1, de ode podemos cocluir que, pelo meos, 2 deles estarão a mesma classe K i e portato, a difereça etre eles será divisível por. Exemplo 4.3. Vejamos que 11 divide ifiitos úmeros da forma Pela Divisão Euclidiaa, os possíveis restos de uma divisão por 11 são: r = {0, 1, 2, 3,,4 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Cosidere 12 Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1

13 Objetos: O doze úmeros 91, 9191,..., ; Gavetas: 0, 1,..., 11 (os oze possíveis restos da divisão por 11); Regra: Cada úmero está associado a seu resto da sua divisão por 11. Segue do Pricípio das Gavetas 3.1 que pelo meos dois destes úmeros possuem o mesmo resto. Logo, a difereça etre eles será divisível por 11.Note que esta difereça é da forma = } {{ } 10 }{{} 2k. c b Segue do Teorema 2.4 que 11 ( ), visto que 11 ão divide 10 2k. É claro que cosiderado ifitas sequêcias distitas com 12 úmeros, , garatimos a ifiitude da afirmação. O exemplo abaixo foi retirado do livro [2], págia 151, e mostra que podemos escrever o mdc(a, b) = d como uma combiação liear de a e b. Exemplo 4.4. Sejam os úmeros aturais a e b e o mdc(a, b) = 1. Mostre que existem úmeros iteiros m e tais que: am + b = 1. Se mdc(a, b) = 1, cosidere a sequêcia A = {a, 2a, 3a,..., ba}. Afirmamos que existe algum úmero do cojuto A que deixa resto 1 quado dividido por b. Se isso ão ocorresse, teríamos: Objetos: Os b úmeros do cojuto A; Gavetas: Os b 1 restos diferetes quado divididos por b (0, 2,..., b 1); Regra: Cada úmero da sequêcia está associado a seu resto. Pelo Pricípio das Gavetas 3.1, pelo meos dois deles, digamos ia e ja, com 1 i < j < b, deixarão o mesmo resto quado divididos por b. Logo a difereça etre eles, (j i)a será divisível por b. Mas o mdc(a, b) = 1, etão b (j i), pelo Teorema 2.4, com j i > 0. Como b > j i, temos um absurdo. Assim, algum dos úmeros em A deixa resto 1 quado divididos por b. Digamos que esse úmero seja am. Logo, am 1 é múltiplo de b, ou seja, existe tal que am 1 = b. Verificado o resultado desejado. A ifiitude dos úmeros primos é um resultado clássico da teoria dos úmeros. No próximo teorema ós exibimos uma prova desta afirmação, utilizado o Pricípio das Gavetas. Teorema 4.1. Existem ifiitos úmeros primos. Demostração. Supoha que o cojuto dos úmeros primos é fiito. Seja p 1 < p 2 < < p a ordeação de todos os úmeros primos. Agora cosidere os subcojutos G 1, G 2,..., G dos úmeros iteiros, ode G i é o cojuto dos múltiplos do primo p i, para i = 1,...,. Afirmamos que ão existe ehum cojuto de úmeros iteiros {a 1, a 2,..., a, a +1 } com + 1 elemetos primos etre si dois a dois. De fato, sedo Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1 13

14 Objetos: a 1, a 2,..., a, a +1 ; Gavetas: G 1, G 2,..., G ; Regra: a i G i se p i é o maior divisor primo de a i. Portato, temos pelo Pricípio das Gavetas 3.1, que para algum 1 j existem a r, a s G j. Ou seja, p j divide a r e a s, e etão mdc(a r, a s ) p j, verificado ossa afirmação. Mas isto é um absurdo! Visto que existem subcojutos ifiitos com elemetos primos etre si, como o Exemplo Geometria Apresetamos agora algus exemplos de como podemos utilizar a aplicação do Pricípio das Gavetas de Dirichlet a Geometria. Exemplo 5.1. Todos os potos de um plao são pitados as cores de azul ou vermelha. Veja que podemos ecotrar dois potos da mesma cor que distam exatamete 10 cm. Como queremos distâcias de exatamete 10 cm, basta imagiarmos um triâgulo equilátero de lado igual a 10 cm. Objetos: três potos (Vértices do Triâgulo Equilátero); Gavetas: duas cores; Regra: Cada poto está associado a sua cor. Pelo Pricípio das Gavetas 3.1, ao pitarmos os 3 potos com uma das 2 cores (Azul ou Vermelha), teremos dois potos da mesma cor que distam exatamete 10 cm pelo fato do triâgulo ser Equilátero. Exemplo 5.2. Na praça de uma cidade, seis criaças se divertem o briquedo gira-gira, figura abaixo. Mostre que, ecessariamete, existem três delas que se cohecem mutuamete ou três delas que ão se cohecem mutuamete. Vamos cosiderar as criaças A, B, C, D, E e F Figura 6: gira-gira. como sedo os vértices de um hexágoo regular. Agora, vamos associar as criaças duas a duas, Figura 7: Hexágoo regular. 14 Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1

15 Figura 8: Criaças associadas duas a duas. através de segmetos de retas. São ( 6 2) = 15 possibilidades. Idetificado as relações por cores: cohecer por Azul e ão cohecer por Vermelha. Observe que cohecer ou ão cohecer é uma relação simétrica (Se A cohece B etão B cohece A). Note que cada criaça está relacioada as outras cico através de cico segmetos de retas. Observemos, por exemplo, a criaça A (O mesmo raciocíio vale para todas as criaças). Objetos: Os cico segmetos de retas; Gavetas: As cores dispoíveis (Azul ou Vermelha); Regra: Cada segmeto está associado a uma das cores. Pelo Pricípio das Gavetas 3.2,.k + 1, como 5 = , temos pelo meos 3 dos 5 segmetos da mesma cor. Vamos supor que estes 3 segmetos (AB, AD, AE) sejam Azuis (caso cotrário o argumeto será aálogo), ver figura. Figura 9: Criaça A cohece três criaças. Agora, se algum dos segmetos BE, BD ou DE (lado do triâgulo BDE) for Azul, etão este segmeto juto aos que se ligam com A, formam um triâgulo Azul, ver figura. Figura 10: Do cotrário, se ehum deles for Azul, etão eles formam um triâgulo de lados a cor Vermelha, o que completa a demostração. Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1 15

16 Figura 11: Três criaças que ão se cohecem mutuamete. Triâgulo a cor Azul idica que as criaças se cohecem e triâgulo a cor Vermelha idica que as criaças ão se cohecem. Exemplo 5.3. Cosidere cico potos reticulados 1, distitos, o plao R 2. Mostre que ao meos um dos segmetos defiidos por esses potos possui um poto reticulado como seu poto médio (veja proposição 24.2 do livro [4] págia 237). Lembre que as coordeadas do poto médio de um segmeto XY é a média aritmética das coordeadas dos potos X e Y. Sejam A(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ), C(x 3, y 3 ), D(x 4, y 4 ) e E(x 5, y 5 ) os potos reticulados e distitos. Podemos formar ( 5 2) = 10 segmetos de retas distitos com extremos esses potos, ver figura. Figura 12: Potos reticulados ligados dois a dois. As coordeadas de um poto reticulado somete assumi valores pares ou ímpares. Assim temos quatro possibilidades: (par, par), (par, ímpar), (ímpar, par) ou (ímpar, ímpar) Objetos: Os cico potos reticulados; Gavetas: Os quatro tipos de paridade; Regra: Cada poto reticulado está associado a sua paridade. 1 Poto Reticulado é todo poto cujas coordeadas são ambas úmeros iteiros. Por exemplo: (0,0), (2,5) e (-1,3) são potos reticulados, mas ( 2, 1) ão é. 16 Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1

17 Pelo Pricípio das Gavetas 3.1, pelo meos dois desses potos vão ter a mesma paridade. Supohamos que estes potos teham coordeadas (x i, y i ) e (x j, y j ), com 1 i j 5. O poto médio desse segmeto tem coordeadas do tipo: ( x i + x j, y i + y j ). Como x i e x j tem a mesma 2 2 paridade, etão x i + x j é par e, assim x i + x j é iteiro. Aalogamete, y i + y j é iteiro. Na 2 2 figura 17, temos que o poto médio M de BD é reticulado. Exemplo 5.4. Supoha que todos os potos do plao R 2 sejam pitados, cada um com uma detre 2 cores, Vermelha (V) ou Azul (A). Mostre que existem 4 potos de mesma cor que formam os vértices de algum retâgulo. Lembre que um retâgulo é um paralelogramo que possui ao meos um âgulo reto. Queremos que os quatro vértices do retâgulo teham a mesma cor. Como temos dispoíveis apeas duas cores, vamos imagiar, iicialmete, três potos distitos P 1, P 2 e P 3 alihados sobre uma reta r 1 - vertical, ver figura: Figura 13: Três potos alihados. Objetos: Três potos alihados a reta vertical; Gavetas: Duas cores (Vermelha ou Azul); Regra: Cada poto está associado a sua cor. Pelo Pricípio das Gavetas 3.1, pelo meos, 2 destes 3 potos, ecessariamete, terão que assumir a mesma cor. Por exemplo: (V, V, V ), (V, V, A), (V, A, V ), (A, V, V ), (V, A, A), (A, V, A), (A, A, V ) ou (A, A, A) Ecotramos 8 cofigurações de cores. Tome três retas t 1, t 2 e t 3 perpediculares à r 1, passado cada uma, por cada um dos três potos alihados P 1, P 2 e P 3. Agora, para obtermos retâgulos, vamos traçar um feixe de 7 retas, r 2,..., r 8 paralelas e distitas à r 1. A itersecção de cada uma dessas 7 retas: r 2,..., r 8, com as 3 retas: t 1, t 2 e t 3, os forece 3 potos distitos e alihados que pode assumir uma das 8 cofigurações de cores ecotradas. Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1 17

18 Figura 14: Retas paralelas e perpediculares à r 1. Figura 15: Feixes de retas paralelas e perpediculares. Podemos visualizar retâgulos com vértices de mesma cor, mas aida ão é garatido que coseguimos sempre. Para fializar, basta tomarmos uma reta r 9, paralela às retas r 1,..., r 8, e aplicar, ovamete, o Pricípio das Gavetas 3.1 da seguite maeira: Objetos: As ove retas paralelas (r 1,..., r 9 ); Gavetas: As oito cofigurações de potos; Regra: Cada uma das ove retas está relacioada à uma das cofigurações. Pelo Pricípio das Gavetas 3.1, pelo meos, 2 destas 9 retas, ecessariamete, terão que assumir a mesma cofiguração e sabemos que em cada cofiguração, pelo meos, dois potos possuem uma mesma cor, o que os garate que sempre teremos algum retâgulo com vértices de mesma cor. Para melhor visualização, vamos supor que a cofiguração de r 9 seja a mesma de r 5. Vale ressaltar que, por coveiêcia, iiciamos o exercício supodo r 1 sedo uma reta vertical, e isto ão precisa ser obrigatório. Basta termos três potos alihados, em qualquer posição, que defie a ossa reta r 1 e a partir daqui imagiarmos um feixe de ove retas paralelas. Agora tome um outro feixe de três retas paralelas e perpediculares às outras ove. A coclusão é idêtica! 18 Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1

19 Figura 16: Retâgulo com vértices de mesma cor - retas 5 e 9. 6 Coclusão Este trabalho ressalta a importâcia do Pricípio das Gavetas de Dirichlet e a sua utilização em diversos problemas aritméticos e geométricos. Em virtude do seu euciado tão simples e de fácil etedimeto, acreditamos que este assuto deveria ser abordado o Esio Básico, pricipalmete, detro dos descritores: fuções, aálise combiatória, geometria e como técica para questões sobre existêcia. Cotribuido, dessa maeira, para o desevolvimeto lógico dos aluos e despertado-os para ovas questões a matemática. Referêcias [1] J. Plíio de Oliveira Satos. Itrodução à Teoria dos Números [2] K. Irraciel Martis Oliveira & A. José Corcho Ferádez. Iiciação à Matemática: um curso com problemas e soluções. SBM, [3] A. Hefez. Aritmética: Coleção PROFMAT [4] E. R. Scheierma. Matemática Discreta - Uma itrodução [5] L. Lovász & J. Peliká & K. Vesztergombi. Matemática Discreta Revista de Matemática de Ouro Preto Volume 1 19