1ª Lista de Exercícios Números Naturais e o PIF

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1 Álgebra I Prof. Robso Rodrigues http: robsomat@uol.com.br 1ª Lista de Exercícios Números Naturais e o PIF Questão 01. (Cocurso Professor de Matemática SP 001) Segudo o Pricípio das Gavetas de Dirichelet, se tivermos mais de objetos para distribuirmos em, o máximo, gavetas, pelos meos dois objetos ficarão a mesma gaveta. Com base esse pricípio lógico, se tivermos um grupo de 49 pessoas, podemos afirmar que ecessariamete teremos: a) exatamete cico pessoas ascidas em um mesmo mês. b) pelo meos uma pessoa ascida em cada mês do ao. c) pelo meos quatro pessoas ascidas em Novembro. d) exatamete quatro pessoas ascidas em um mesmo mês. e) pelo meos cico pessoas ascidas em um mesmo mês. Questão 0. Quatos potos de coordeadas aturais há o segmeto de reta 7 y x, 0 x 100? 6 a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 Questão 03. (Provão 98) Uma das afirmativas abaixo sobre úmeros aturais é FALSA. Qual é ela? a) Dado um úmero primo, existe sempre um úmero primo maior do que ele. b) Se dois úmeros ão primos são primos etre si, um deles é ímpar. c) Um úmero primo é sempre ímpar. d) O produto de três úmeros aturais cosecutivos é múltiplo de seis. e) A soma de três úmeros aturais cosecutivos é um múltiplo de três. Questão 04. Mostre que o produto de dois úmeros ímpares é ímpar. Questão 05. Prove que o quadrado de um úmero atural a é par se, e somete se, a é par. Questão 06. Prove, usado o Pricípio da Idução: a) = ( + 1), N * ( 1) b) =, N * c) = ( 1)( 1), N * 6 d) ( 1) =, N *

2 Álgebra I Prof. Robso Rodrigues 3( 1) e) =, N * f) f() = 3 + é múltiplo de 3, N * g)! >, 4, N * h) d x dx 1 x, N * i) (1 + r) 1 + r, N * e r > 0 (Desigualdade de Beroulli) j) i (i!) ( 1)! 1 k) ( i 1) 3 ( 1) ( 1)( ) l) i (i 1) 3 m) f() = + + é divisível por, N ) = +1, N * o) , N * ( 1) 1 Questão 07. Utilizado o pricípio da idução fiita prove que a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por: a + aq + aq + aq aq -1 = a(q 1), q 1 e N q *. 1 Questão 08. Utilizado a relação demostrada o item aterior, calcule a soma dos dez primeiros termos da seqüêcia umérica cujo termo geral é dado por a =. 1 1 Questão 09. Cosidere a matriz A = 0 1 a) Calcule A, A 3, A 4 e A 8. b) O que você pode cojeturar sobre A, para N *? c) Utilizado o pricípio da idução fiita, procure demostrar a proposição aterior.

3 Álgebra I Prof. Robso Rodrigues da Silva A próxima questão é baseada uma leda chamada a Torre de Haoi Após a criação do mudo, em um mosteiro escodido a Ídia, o Grade Criador colocou uma placa de broze e ela fixou três bastões cobertos de diamates. Em um dos bastões, em ordem decrescete de tamaho, colocou 64 discos de ouro. E assim disse aos moges: trasfiram essa pilha de discos para outro bastão, movedo, iiterruptamete, um disco de cada vez e uca permitido que um disco meor fique abaixo de um disco maior. Quado termiarem essa tarefa e os 64 discos estiverem em outro bastão, este templo se reduzirá a pó e com um estrodo de trovões o mudo acabará. Dizem os sábios que o mudo foi criado há 4 bilhões de aos aproximadamete e os moges, desde a criação, estão movedo os discos a razão de um disco por segudo. Será que veremos o mudo acabar? É muito difícil imagiar os movimetos com uma pilha de 64 discos. Imagiemos uma pilha com um disco, depois com dois discos, três discos e assim sucessivamete. Verifique que para 3 discos você ecessitará de o míimo 7 movimetos. Fazedo uma tabela com o úmero de discos e o úmero míimo M de movimetos, temos: M

4 Álgebra I Prof. Robso Rodrigues Questão 10. Completado a tabela aterior tete descobrir o valor de M 64, pois M 64 segudos após a criação do mudo ele acabará e já se passaram 4 bilhões de aos! Questão 11. Observado a tabela aterior será que podemos cojeturar que o úmero míimo de movimetos para mover discos é 1, ou seja, será que M = 1? Tete provar isso utilizado o pricípio da idução. Observação: Os bastões com 7, 8 ou 9 discos costituem um briquedo cohecido como Torre de Haoi, ivetado pelo matemático fracês Edouard Lucas ( ) e já vedido como briquedo em Questão 1. (ENADE_008) Cosidere a sequêcia umérica defiida por Usado o pricípio de idução fiita, mostre que a < a para todo 1 e a. Para isso, resolva o que se pede os ites a seguir. a) Escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demostrada. b) Prove que a.(a 1) 0 para todo a. c) Mostre que a a para todo a. d) Supodo que a a, prove que a +1 a e) Mostre que a +1 a. f) A partir dos passos ateriores, coclua a prova por idução.

5 Álgebra I Prof. Robso Rodrigues da Silva Questão 13. (ENADE_011) a) escreva a hipótese e tese da propriedade a ser demostrada; b) mostre que s, para todo a > 0; c) prove que s <, para todo 0 < a < ; d) mostre que 0 < s < ; e) supoha que a < e prove que a +1 < ; f) coclua a prova por idução.