Elementos de Análise - Verão 2001

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1 Elemetos de Aálise - Verão 00 Lista Thomas Robert Malthus, , foi professor de Ecoomia Política em East Idia College e em seu trabalho trouxe à luz os estudos sobre diâmica populacioal. Um de seus mais importates artigos trata da relação etre as taxas de crescimeto populacioal e da produção de alimetos. Ifelizmete este trabalho se popularizou como um erro apesar ser de cietificamete muito apreciado.. Malthus sugeria que as populações duplicavam a cada 5 aos, equato que a produção de alimetos crescia liearmete. Assim, se um país possui população p 0 e produção de alimetos a 0 em um dado ao, após 5 aos teria população p 0 e produção de alimetos a 0 + α, ode α é uma costate. Como cosequêcia, previa crises. (a) Usado sequêcias explique porque isto é divulgado como um erro (calcule o limite quatidade de alimeto por pessoa ). (b) Com base os valores de 950 a seguir, estime as populações atuais segudo Malthus: Ruada,. milhões; Zaire ou Cogo,. milhões; Nicarágua,. milhão. Os valores reais de 998 são respectivamete: 8, 49 e 4.8 milhões. Há muitos outros países em crise ode as previsões malthusiaas sobre crescimeto populacioal se ecaixam igualmete bem.. Determie os valores de para os quais vale a desigualdade x L < ɛ quado: (a) x = e L = ; + (b) x = ( ) e L = 0; (c) x = e L = 0;

2 ) (d) x = ( ) ( e L =. 3. Verifique os seguites limites: (a) lim = ; + (b) lim = 0; (c) lim 8 ( + ) 4 ( + ) = 0. Sugestão: Provar que lim 8 ( + ) 8 ( ) = Calcule lim e+ e + + e 5. (a) O que podemos dizer sobre a sequêcia (a ) se ela coverge e cada a é iteiro? (b) Ecotre todas as subsequêcias covergetes da sequêcia,,,,,,... (Observe que há ifiitas subsequêcias covergetes, mas apeas dois possíveis valores limites.) (c) Ecotre todas as subsequêcias covergetes da sequêcia,,,, 3,,, 3, 4,,, 3, 4, 5,... (Observe que há ifiitos valores limites possíveis.) 6. (a) Prove que lim a = se a >, fazedo a = + h, ode h > 0. Sugestão: ( + h) + h + ( ) h (b) Prove que lim a = 0 se 0 < a <. ( ) h, para h > 0. (c) Prove que lim a / = se a >, fazedo a / = + h e estimado h. 7. (a) Prove que se 0 < a <, etão a < a <.

3 (b) Prove que a sequêcia,,,... coverge. (c) Ecotre o limite. Sugestão: Se lim a = l etão lim a = l. 8. Dado a > 0, defia idutivamete a sequêcia (x ) podo x = /a e x + = /(a+x ). Seja c o úico úmero positivo tal que c = /(a+c). Prove que x < x 4 < < x < < c < < x 3 < x, e que lim x = c. O úmero c pode ser cosiderado como a soma da fração cotíua a + a+ a+ a Dados k N e a > 0, determie o limite Supodo a > 0 calcule lim! k.a. a.! k.a.! lim e lim. 0. Se uma sequêcia moótoa tem uma subsequêcia covergete, prove que a sequêcia é, ela própria, covergete.. Defia a sequêcia (a ) idutivamete, podo a = a = e a + = a + + a para todo N. Escreva x = a /a + e prove que lim x = c, ode c é o úico úmero positivo tal que /(c + ) = c. O termo a chama-se o -ésimo úmero de Fiboacci e c = ( + 5)/ é o úmero de ouro da Geometria Clássica.. Segue-se um método para obter aproximações da raiz quadrada de qualquer úmero real positivo a com erro arbitrariamete ( pequeo. Cosidere um real x > 0 qualquer e defia x + = x + a x ). 3

4 ( (a) Verifique que se x 0 etão x+ x) a 4a. Coclua que x+ a para todo N. ( (b) Verifique que se x 0 etão x + a 4 x) x. Coclua que a sequêcia x é ão crescete a partir do segudo termo. (c) Prove que lim x = a. (d) Seja e = (x a)/ a o erro relativo a -ésima etapa do cálculo de a. Prove que e + = e /( + e ). Coclua que e 0.0 e e e observe a rapidez de covergêcia do método. 3. Dada uma sequêcia (a ) de úmeros reais, a partir dela podemos formar uma ova sequêcia (s ) ode s = a, s = a + a,..., s = a + a + + a,... Os úmeros s são chamados de somas parciais da série a. A parcela a é o -ésimo termo da série. (a) Prove que se s é covergete etão lim a = 0. (b) Mostre através de um cotra-exemplo que a recíproca é falsa. 4. Dê exemplo de sequêcias x e y tais que e lim x = 0, lim y = lim (x y ) = 5. Dê exemplo de sequêcias x e y tais que lim x = 0, lim y = mas lim (x y ) ão exista. Pode dar um tal exemplo em que x y seja limitado? 6. Para icetivar os clietes a ão movimetarem o diheiro aplicado, dois bacos A e B resolveram laçar ivestimetos em que o fim de cada mês o saldo é multiplicado por uma taxa que depede do tempo 4

5 que o diheiro passou aplicado. No caso do Baco A (BA), o fim do primeiro mês a taxa é ( + a ) ode a = 0., o fim do segudo mês 0 a taxa é ( + a ) com a = 0. e o fim do mês, a taxa é ( + a 0+ ) com a = 0.. No caso do Baco B (BB), a taxa o fial do mês é 0+ ( + b ) ode b = (a) Calcule lim a e lim b. (b) Se precisasse escolher um destes dois bacos para ivestir, qual seria? 7. (Exercício complemetar) Às dez horas da mahã você tem uma ura vazia. Quado falta hora para meio dia, você coloca a ura 0 bolas umeradas de a 0 e retira a úmero 0 (ficam 9 bolas). Quado falta / hora para meio dia, você coloca 0 bolas umeradas de a 0 e retira a úmero 0 (ficam 8). Você cotiua com este procedimeto: quado falta / hora para meio dia, coloca 0 bolas umeradas de 0 9 a 0 e retira a úmero 0 (ficam 9 bolas a ura). Quatas bolas teremos a ura ao meio dia? Quais seus úmeros? Agora vamos tomar outra ura vazia e repetir este procedimeto, mas após colocar as bolas de a 0, em vez de retirarmos a úmero 0 retiramos a úmero, depois de colocar as bolas de a 0, retiramos a em vez da 0, efim, depois de colocar as bolas de 0 9 a 0, em vez de retirarmos a úmero 0 retiramos a úmero. Quatas bolas teremos ao meio dia? Quais são seus úmeros? Por que ão podemos calcular o úmero de bolas a ura ao meio dia como o limite do úmero de bolas colocadas meos o úmero de bolas retiradas? 5