APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (IV ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

2 Ídice 4 4 Defiição e exemplos 4 Subespaços4 4 Cojutos geradores 7 44 Depedêcia e idepedêcia liear 45 Base e dimesão8

3 4 Espaço vectoriais 4 Defiição e exemplos ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL As operações de soma e multiplicação por um escalar são usadas em diversos cotextos a matemática, idepedetemete destes, essas operações obedecem, em geral, ao mesmo cojuto de regras aritméticas Assim, uma teoria geral de sistemas matemáticos evolvedo estas duas operações vai ter aplicação em diversas áreas da matemática Sistemas matemáticos deste tipo são chamados espaços vectoriais ou espaços lieares Neste capítuloamos defiir espaços vectoriais e desevolver parte da sua teoria geral Defiição: Seja E um cojuto arbitrário ão vazio ode estão defiidas duas operações, a adição e a multiplicação por escalares Se os seguites axiomas se verificam para todos os elemetos u e w de E e todos os escalares λ e γ, etão E é um espaço vectorial e os seus elemetos são chamados vectores I Adição é uma regra que associa a cada par de elemetos u e v de E um úico elemeto u + v de E, de maeira a que se verifiquem os seguites axiomas: I Comutatividade da adição: u + v v + u; I Associatividade da adição: u + ( v + w) ( u + v) + w ; I Elemeto eutro: 0 E, chamado vector ulo de E : u E, u u u ; I4 Elemeto simétrico: u E, ( u ) E, chamado simétrico de u: u + ( u) ( u) + u 0 II Multiplicação por escalares é uma regra que associa a cada escalar λ e cada elemeto u de E um úico elemeto λu de E, chamado escalar múltiplo de u, que verifica os seguite axiomas: II Distributividade em relação à adição em E: λ( u + v) λu + λv ; II Distributividade em relação à adição de escalares: ( λ + γ ) u λu + γ u ; II Associatividade da multiplicação por escalares: λ( γ u) ( λγ ) u ; II4 Elemeto idetidade: u u, u E, sedo o elemeto uidade dos escalares Repare-se que: I Sigifica que, se u e v pertecem a E, etão u + v pertece a E (fechado para a adição); II Sigifica que, se λ é um escalar arbitrário e u um qualquer elemeto de E, etão λu pertece a E (fechado para a multiplicação por escalares) / 6

4 Obs: Deve ter-se em cota que a defiição de espaço vectorial ão especifica quer a atureza dos elemetos (vectores) que formam o cojuto E quer as operações etre estes vectores Qualquer tipo de objecto pode ser um vector, e as operações de adição e multiplicação por escalares podem ão ter qualquer relação ou semelhaça com as operações stadard dos vectores em O que é exigido é que os axiomas do espaço vectorial sejam satisfeitos (os axiomas ão se provam, eles são simplesmete as regras do jogo ) Algus autores utilizam a otação e para adição de vectores e multiplicação por escalares para se distiguir estas operações da adição e multiplicação de úmeros reais; ão se utilizará esta coveção De um modo geral, depededo da aplicação, os escalares podem ser tomados de qualquer sistema umérico o qual, falado iformalmete, se possa somar, subtrair, multiplicar e dividir de acordo com as leis habituais da aritmética Em álgebra abstracta, um sistema desses é cohecido como um corpo Portato, existem uma ifiidade de espaços vectoriais Apeas estudaremos os espaços vectoriais sobre os úmeros reais, ou seja, quado os escalares são úmeros reais Assim, omitimos a palavra real, quado os referimos a espaços vectoriais, assumiremos que estamos a trabalhar com o sistema dos úmeros reais Exemplo (espaços vectoriais): Em cada caso, devemos especificar um cojuto ão vazio E, bem como as operações de adição e multiplicação por escalares, e devem verificar-se os respectivos axiomas Só assim E, com as operações especificadas, pode ser chamado um espaço vectorial i) O cojuto E represeta o espaço de todos os -uplos ordeados de úmeros reais, {( x, x,, x ) : x, i,,, } i Ode, represeta o cojuto dos úmeros reais e, o cojuto dos úmeros aturais Para cada,,, o cojuto E, muido das operações usuais de adição x + y ( x + y, x + y,, x + y) e multiplicação escalar λ x ( λx, λx,, λx ), com x ( x, x,, x ), y ( y, y,, y ) e λ, é um espaço vectorial real com dimesões De um modo geral, os elemetos ( x,, x ) de, têm duas iterpretações geométricas Podem ser iterpretados como potos, este caso, x,, x são as coordeadas do poto, ou podem ser iterpretados como vectores, este caso, x,, x são as compoetes escalares do vector Esta / 6

5 distição é pouco importate em termos matemáticos, chamaremos aos elemetos de potos ou vectores depededo da situação Por exemplo, em : Figura Coordeadas ( x0, y0, z 0) Figura Compoetes ( x0, y0, z 0) Na bibliografia, por se tratar de uma coveção comum, os potos aparecem represetados por letras miúsculas a egrito ou por letras maiúsculas, equato os vectores, também, por letras miúsculas a egrito ou com uma seta por cima Neste texto, para, represetam-se os potos por letra maiúscula, a origem por O 0 (0,0,,0), e os vectores com uma seta por cima m ii) O cojuto E de todas matrizes reais ( m ) é um espaço vectorial ( ou ( ) ( ) ) se a M m adição de vectores é defiida como sedo a adição de matrizes e a multiplicação escalar de vectores é defiida como sedo a multiplicação de matrizes por escalares Seja A a a a a a a a a a m m ( ) podem cosiderar-se vectores de pelas lihas da matriz idetidade uma matriz ( ) de elemetos de, as várias lihas de A, da forma a i ij j j a e, sedo os vectores, e j, represetados m é o espaço vectorial de todas as matrizes reais ( m ), portato, a matriz A ( m ) pode ser cosiderada um vector de m ; / 6

6 é o espaço vectorial de todas as matrizes reais ( ) (as matrizes liha), portato, a A [ a a a ] pode ser cosiderada um vector de matriz ( ) ; m é o espaço vectorial de todas as matrizes reais ( m ) (as matrizes coluas) portato, a matriz A( ) [ ] T m a a am pode ser cosiderada um vector de Exemplo (um cojuto que ão é um espaço vectorial): Seja m u ( u, u ) E, para v ( v ), defie-se a adição e multiplicação escalar do seguite modo: u + v ( u + v, u + v ) (adição stadard de ) e ku ( ku,0), k (ão é a multiplicação escalar stadard de ) Assim, há valores de u para os quais ão se verifica o axioma II4 da defiição de espaço vectorial Por exemplo, seja u ( u, u ) tal que u 0, etão u ( u, u ) ( u,0) ( u,0) u Assim, E ão é um espaço vectorial com as operações defiidas e 4 Subespaços Dado um espaço vectorial E, é muitas vezes possível formar um outro espaço vectorial usado um subcojuto S de E e as operações de E Como E é um espaço vectorial, as operações de soma e multiplicação por um escalar produzem sempre um outro vector em E Para um ovo sistema, usado um subcojuto S de E, ser um espaço vectorial, o cojuto S tem que ser fechado em relação às operações de soma e multiplicação por um escalar Por outras palavras, a soma de dois elemetos de S tem que ser sempre um elemeto de S e a multiplicação de um elemeto de S por um escalar tem que pertecer sempre a S Defiição: Um subcojuto ão vazio S de um espaço vectorial E, é um subespaço vectorial de E se ele próprio formar um espaço vectorial relativamete às duas operações adição e multiplicação escalar defiidas para os elemetos de E Desta defiição resulta que, operado elemetos de S com operações de E obtemos elemetos de S Assim, um subespaço de E, é um subcojuto S que é fechado em relação às operações de E Dode, para verificarmos se um subcojuto de um espaço vectorial é subespaço ão é ecessário a verificação dos oito axiomas, além dos dois que defiem a soma e a multiplicação por escalares Teorema: Seja E um espaço vectorial Um subcojuto S, de E é um subespaço vectorial de E se, e só se, satisfaz as seguites codições: (a) Se u S ( u + v ) S (fechado para a adição); (b) Se λ é um escalar arbitrário e u S, etão λu S (fechado para a multiplicação escalar); 4/ 6

7 Obs: Como os axiomas do espaço vectorial são válidos para o ovo sistema matemático formado pelo subespaço vectorial, todo o subespaço de um espaço vectorial é ele mesmo um espaço vectorial Se S é um subespaço de um espaço vectorial E, etão S cotém o vector ulo de E Exemplo: Mostre que o cojuto S A a a { : }, forma um subespaço de Resolução: O cojuto S e S (S é um subcojuto ão vazio de a b matrizes A, B S, etão A b c e d e B e f ) Sejam as a + d b + e a + d b + e i) A + B S b e c + f ( b + e) c + f ; αa αb ii) Para α em α A S α b αc, porque a αb a Exemplo4: Verifique se o cojuto W {( x, y) : x 0 y 0} é um subespaço de Resolução: Os potos de W estão o primeiro quadrate, logo, W é um subcojuto de O cojuto W ão é um, uma vez, que ão é fechado relativamete subespaço de à multiplicação escalar Por exemplo, u (,) está em W, ( ) u (, ) ão está (pertece ao terceiro quadrate) Figura - W ão é subespaço de Obs: Se E é um espaço vectorial, etão E é um subespaço dele mesmo O cojuto formado apeas pelo vector ulo é também um subespaço de E Assim, qualquer espaço vectorial ão ulo E tem pelo meos dois subespaços O próprio E e o cojuto {0} costituído apeas pelo vector ulo em E chamado o subespaço ulo (os chamados subespaços triviais) Os subespaços de são: i) {0} (subespaço trivial); ii) as rectas que passam a origem; iii) Os subespaços de são: i) {0} (subespaço trivial); ii) as rectas que passam a origem; iii) os plaos que passam a origem; iv) Obs4: O cojuto ão é um subespaço de, pois ão é um subcojuto de 5/ 6

8 Algus subespaços de, são: T i) O cojuto das matrizes ( ) simétricas, E { A M : A A} ; T ii) O cojuto das matrizes ( ) ati-simétricas, E { A M : A A} ; iii) O cojuto das matrizes ( ) triagulares (superiores, iferiores e diagoais) Uma vez que estes cojutos são fechados relativamete à soma e à multiplicação escalar Teorema: Seja E um espaço vectorial (i) A itersecção de dois (ou mais) subespaços de E é aida um subespaço de E; (ii) A reuião de dois subespaços de E só é um subespaço de E, se um deles cotiver o outro Exemplo5: Prove que cojuto defiido por S {( x, x,, x ) : a x + a x + + a x 0}, ode ( a, a,, a ) é um subespaço de Resolução: Vamos provar que S é fechado para a adição e para a multiplicação por escalares i) Se X ( x, x,, x ) e Y ( y, y,, y ) pertecem a S, etão a x + a x + + a x 0 e a y + a y + + a y 0, dode X + Y ( x + y, x + y,, x + y ) também pertece a S, pois a ( x + y ) + a ( x + y ) + + a ( x + y ) ( a x + a x + + a x ) + ( a y + a y + + a y ) ii) Se X ( x, x,, x ) S e α, etão α X α( x, x,, x ) S, pois a ( α x ) + a ( α x ) + a ( α x ) α( a x + a x + + a x ) α 0 0 Por i) e ii) prova-se que S é um subespaço de Por outro lado, supoha que o cojuto S {( x, x,, x ) : a x + a x + + a x c}, é um subespaço de Se S é um subespaço e X, ode c é um úmero real fixo S, etão 0X O também pertece a S, ou seja, o subespaço tem que coter a origem Substituido O (0, 0,, 0) a equação que defie o cojuto, obtemos a 0 + a a 0 c c 0 Se ( a, a,, a ) (0,0,,0) etão S é chamado um hiperplao de Para os hiperplaos são plaos, e para os hiperplaos são rectas Defiição: Se AX B é um sistema de equações lieares, etão o vector X que satisfaz esta equação é chamado um vector solução do sistema Teorema: Seja AX 0 um sistema liear homogéeo com m equações e icógitas, etão o cojuto dos vectores solução de AX 0 forma um espaço vectorial, chamado o espaço solução do sistema homogéeo, que é um subespaço de 6/ 6

9 Obs5: O cojuto solução (espaço solução) de um sistema liear homogéeo com m equações e icógitas pode ser visto como a itersecção de m subespaços de passam pela origem, que são hiperplaos que Exemplo6: Cosidere os seguites sistemas lieares x 0 x 0 x x 0 a) 4 6 y 0 b) 7 8 y 0 c) 7 8 y 0 d) y z z 0 4 z z 0 Como cada um destes sistemas homogéeo tem três icógitas, pelo teorema aterior os cojutos solução formam subespaços de Geometricamete, isto sigifica que cada espaço solução deverá ser, a origem, uma recta que passa a origem, um plao que passa a origem, ou todo o Resolução: a) As soluções deste sistema são, x s t, y s e z t, dode x y z x y z 0 Esta é a equação de um plao que passa a origem, tedo como vector ormal (,, ) b) As soluções são, x 5t, y t e z t, as equações paramétricas de uma recta que passa a origem, paralela ao vector v ( 5,,) c) A solução é x y z 0, portato, o espaço solução é a origem, ou seja, { O } d) As soluções são, x r, y s e z t, ode r, s e t tomam valores arbitrários, portato o espaço solução é todo o 4 Cojuto geradores Nesta secçãoamos mostrar que um cojuto de vectores V { v, } gera um determiado espaço vectorial E se cada vector de E pode ser expresso como uma combiação liear dos vectores de V De um modo geral, pode existir mais de uma maeira de escrever um vector de E como combiação liear dos vectores do cojuto gerador Defiição4: Seja V { v, } um cojuto de vectores de um espaço vectorial E, todo o vector u que se possa exprimir a forma u λv + λv + + λv com λi (ão todos ulos) diz-se uma combiação liear dos vectores v, Obs5: Caso, a equação aterior reduz-se a u λv, ou seja, u é uma combiação liear de um úico vector v se for um escalar múltiplo de v 7/ 6

10 Exemplo7: Mostre que qualquer vector de pode ser escrito como combiação liear dos vectores a forma e (,,0), e (0,,,0),, e (0,,) Resolução: Os vectores de são do tipo u ( u,, u ), para serem combiação liear dos vectores e, e,, e devem ser escrito a forma u u e + u e + u e u (,,0) + u (0,,,0) + + u (0,,) ( u,, u ), o que ( u,, u ) é uma combiação liear dos vectores e, e,, e Defiição5: Seja V { v, } um cojuto de vectores do espaço vectorial E, etão o cojuto W de todas as combiações lieares dos vectores de V é chamado cojuto gerado por v, ou por V, diz-se que os vectores v, geram W ou que V é o cojuto de geradores de W Para idicar que W é o cojuto gerado pelos vectores de V escrevemos W ger( V ) ou W < V > Exemplo8: Verifique se os vectores v (,,) (, 0,) e v (,, ) geram Resolução: Queremos verificar W ger( V ), com V { v }, ou seja, devemos determiar se um vector arbitrário u ( u, u, u ) de pode ser expresso como uma combiação liear dos vectores v, v e v, isto é, u λv + λv + λv Escrevedo esta equação em termos das suas compoetes vem ( u, u, u ) λ (,,) + λ (,0,) + λ (,,) ( u, u, u ) ( λ + λ + λ, λ + λ,λ + λ + λ ) λ + λ + λ u λ + λ u λ + λ + λ u Como o sistema tem três equações para três icógitas, o problema reduz-se etão a determiar se este sistema é possível e determiado para todos os valores de u, u e u, isto acotece se, e só se, o determiate da matriz A, dos coeficietes do sistema, for diferete de zero Como A 0, os vectores v, v e v ão geram Exercício: Resolva o sistema do exemplo aterior Se V { v, } é um cojuto de vectores do espaço vectorial E, etão algus vectores de E podem escrever-se como combiação liear de v, e outros ão O seguite teorema mostra que um cojuto W ger( V ) forma um subespaço de E 8/ 6

11 Teorema4: Se v, são vectores de um espaço vectorial E, e W é o cojuto de todas as combiações lieares de v,, ou seja, W ger{ v, }, etão: (a) W é um subespaço de E; (b) W é o meor subespaço de E que cotém v, o setido de qualquer outro subespaço de E que coteha v, deve coter W Obs6: Este teorema diz que, como o subespaço W ger( V ) é o meor subespaço de E que cotém V, se G for um subespaço de E que cotém V, etão ecessariamete ger( V ) G Tedo em cota o teorema4 e a defiição5, podemos dizer que sedo V { v, } um subcojuto ão vazio de um espaço vectorial E, o cojuto W ger( V ) é um subespaço de E chamado espaço gerado por V Quado W E diz-se que V é o cojuto de geradores de E (os vectores v, geram E ou costituem um sistema de geradores do espaço) Obs7: Se o cojuto de geradores de um espaço vectorial E tem um úmero fiito de elemetos dizemos que o espaço vectorial é fiitamete gerado O coceito de subespaço gerado por um cojuto pode apresetar-se para cojutos ão ecessariamete fiitos Teorema5: Se V { v, } e W { w, w,, w k } são dois cojutos de vectores de um espaço vectorial E, etão ger( V ) ger( W ) se, e só se, cada vector de V for uma combiação liear dos vectores de W e se cada vector de W for uma combiação liear dos vectores de V Exemplo9: Cosidere o sistema liear homogéeo AX 0, ode 0 A 5 Ecotre um cojuto de vectores que gere o subespaço solução do sistema homogéeo Resolução: A matriz do sistema é equivalete x x x x, dode AX 0, x x4 x ou seja, o cojuto solução de AX 0 é S {( x, x, x, x4} ( x x, x, x, x ) : x, x } 9/ 6

12 Qualquer elemeto de S pode ser escrito como uma soma de vectores, sedo um vector para cada parâmetro e cada vector depede apeas de um parâmetro, obtedo-se ( x x, x, x, x ) ( x, x,0,0) + ( x,0, x, x ) x (,,0,0) + x (,0,,) Portato, X (,, 0, 0) e X (, 0,,) geram S, isto é, S ger( X, X ) Exemplo0: Ecotre um cojuto costituído pelos vectores v (,, 0) v (, 0,) ou v 4 (,,) que gere (0,,), Resolução: Comecemos por verificar se ger( V ) com 4 V { v } Para isso, devemos mostrar que é o cojuto de todas as combiações lieares de v e v Os elemetos de 4 são do tipo ( a, b, c ), queremos verificar se estes se podem escrever como combiação liear dos vectores de V, ou seja, temos que resolver o sistema λ + λ + λ4 a λ (,,0) + λ (0,,) + λ (,0,) + λ4(,,) ( a, b, c) λ + λ + λ4 b λ + λ + λ4 c A matriz ampliada do sistema é a + b c λ λ4 a+ b c 0 a 0 0 λ + λ + λ4 a a + b + c a+ b+ c λ λ4 0 b 0 0, dode λ + λ + λ4 b, a b+ c 0 c a b c λ λ λ4 c λ λ4 portato e v 4 geram, ou seja, qualquer vector de pode ser escrito como combiação liear destes vectores Repare-se que o sistema é possível e idetermiado (porquê?) Vamos agora verificar se o cojuto V { v } gera Por um ladoerifica-se que o determiate cujas coluas são v, v e v é diferete de zero, por outro, λ + λ a λ λ v + λ v + λ v ( a, b, c) λ (,,0) + λ (0,,) + λ (,0,) ( a, b, c) λ + λ b λ λ + λ c λ coclui-se que V gera Por exemplo, se a+ b c a+ b+ c + λ + + ( a, b, c) (,, ) λ, + λ 0 a b+ c 0/ 6

13 dode ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL λv + λv + λv ( a, b, c) (,, 0) + (0,,) + 0 (, 0,) (,, ) Prova-se que o cojuto V { v } ão gera formado por dois destes vectores (exercício!) O mesmo acotecedo com qualquer cojuto Coclusão: Verificámos que dois cojutos fiitos de vectores geram o espaço vectorial seja, é fiitamete gerado Em particularimos que os cojutos 4, ou V { v } e V { v } geram, mas que o cojuto V { v } ão gera Teorema6: Se os vectores v, geram o espaço vectorial E e se um desses vectores pode ser escrito como uma combiação liear dos outros vectores, etão esses vectores geram E Exercício: No exemplo0imos que V { v 4} e V { v } geram Verifique se algum vector de V { v 4} se pode escrever como combiação liear dos restates vectores De facto, dado um espaço vectorial E, é desejável ecotrar um cojuto gerador de E com tão poucos elemetos quato possível, a que chamamos cojuto gerador míimo Por míimo, queremos dizer um cojuto gerador sem elemetos desecessários, isto é, todos os elemetos o cojuto são ecessários para se gerar o espaço vectorial Para se ver como ecotrar um cojuto gerador míimo, é preciso cosiderar como os vectores o cojuto depedem us dos outros Vamos etão itroduzir os coceitos de depedêcia e idepedêcia liear Esses coceitos simples vão dar-os a chave para eteder a estrutura dos espaços vectoriais 44 Depedêcia e idepedêcia liear Na secção ateriorimos que um cojuto de vectores V { v, } gera um determiado espaço vectorial E se todos os vectores de E se podem exprimir como combiação liear dos vectores de V De um modo geral, podem existir várias maeiras de exprimir um vector de E como combiação dos vectores do espaço gerador Nesta secção, olhamos mais de perto a estrutura de um espaço vectorial, estudamos codições sob as quais cada vector de E pode ser expresso como combiação liear dos vectores do espaço gerador de uma úica maeira Cojutos geradores com esta propriedade desempeham um papel fudametal o estudo dos espaços vectoriais / 6

14 Defiição6: Um cojuto V { v, } ão vazio de um espaço vectorial E, diz-se liearmete idepedete (LI) se λivi 0 λ λ λ 0 ( λ i ) Caso cotrário, ou seja, se i existe pelo meos um λi 0 tal que i λ v i i 0, o cojuto diz-se liearmete depedete (LD) Exemplo: Estude a depedêcia liear do cojuto V { v } com v (,,0,), v (,,5, ) e v (7,,5,8) Resolução: Tedo em cota a defiição aterior, λ + λ + 7λ 0 λ + λ λ 0 λv + λv + λv 0 λ (,, 0, ) + λ(,,5, ) + λ (7,,5,8) (0, 0, 0) 5λ + 5λ 0 λ λ + 8λ 0 Temos que resolver um sistema homogéeo, da defiição resulta que cojuto V é LI se o sistema homogéeo associado for possível e determiado, ou seja, tiver apeas a solução trivial, AX 0 X 0 Este estudo pode ser feito através da codesação da matriz A do sistema Provase que r( A) < (exercício!) logo o sistema é possível e idetermiado Portato, existem escalares λi 0 tais que λv + λv + λv 0 (combiação liear), o cojuto V { v } é liearmete depedete Teorema7: Um cojuto de vectores V { v, m } de é liearmete idepedete se, e só se, o sistema de equações lieares represetado por AX 0, ode A é a matriz ( m ) cujas coluas são os vectores v,, tem uicamete a solução 0 m X Obs8: Caso a matriz A seja ( ) o teorema aterior diz que o cojuto V { v, } de liearmete idepedete se, e só se, A 0 é Como vimos, para verificar se um cojuto de vectores é ou ão LI em um sistema homogéeo de equações lieares Assim, um cojuto de vectores, um cojuto de como mais do que três vectores, e um cojuto de, precisamos resolver com mais do que dois com mais de vectores, são sempre LD Pois, estes casos, o problema de verificar se eles são ou ão LI leva a um sistema homogéeo com mais icógitas do que equações, que tem sempre solução ão trivial / 6

15 O próximo teorema mostra que um cojuto LI em Teorema8: Seja V { v, r } um cojuto de vectores de cotém quato muito vectores Se r >, etão V é LD Do exemploerificamos que o termo liearmete depedete sugere que os vectores depedem us dos outros de alguma maeira O teorema seguite mostra que esse é de facto o caso Teorema9: Um cojuto V { v, }, ( ), pertecete a um espaço vectorial E, diz-se: (i) Liearmete idepedete se, e só se, qualquer vector de V ão se puder exprimir como combiação liear dos restates vectores de V O vector v é LI se v 0 ; (ii) Liearmete depedete se, e só se, pelo meos um dos vectores de V puder ser expresso como combiação liear dos restates vectores Obs9: Também se diz que o primeiro caso os vectores formam um sistema livre ou idepedete e o segudo um sistema ligado ou depedete Exemplo: Verifique se os vectores do cojuto V { v } com v (,,0,), v (,,5, ) e v (7,,5,8) se podem escrever como combiação liear us dos outros Resolução: Como vimos o exemplo, o cojuto V { v } com v (,,0,), v (,,5, ) e v (7,,5,8) é liearmete depedete Assim, tedo em cota este último teorema pelo meos um destes vectores pode exprimir-se como combiação liear dos restates dois Para além disso, dados vectores v,, é possível escrever um dos vectores como combiação liear dos outros vectores se, e só se, existirem λ, λ,, λ, em todos ulos, tais que λv + λv + + λv 0 (se o cojuto dos vectores v, for LD) Codesado a matriz do sistema homogéeo idicado o exemploem , dode λ + λ + 7λ 0 λ + λ λ 0 λ λ λ + λ λ 0 5λ + 5λ 0 λ λ 5λ + 5λ λ λ λ + 8λ 0 λ v + λ v + λ v 0 λ v λ v + λ v 0 λ ( v v + v ) 0 Assim, e, se λ obtemos v + v v 0 Aqui, cada um dos três vectores pode exprimir-se como combiação liear dos restates dois, pois, de v + v v 0 vem v + v, v v + v e v v + v / 6

16 Obs0: ) A depedêcia liear é uma propriedade do cojuto e ão de cada vector idividualmete Cotudo, por um abuso de liguagem, é usual dizer-se que os vectores são LD ou LI; ) Subcojutos de cojutos LI são LI, e, portato, um cojuto que coteha um subcojuto LD é também LD; ) Um subcojuto V ão vazio de um espaço vectorial é LI se, e só se, qualquer subcojuto de V fiito é LI; 4) Qualquer cojuto fiito de vectores que coteha o vector ulo é LD; 5) Um cojuto com exactamete dois vectores é LI se, e só se, qualquer um dos vectores ão for um escalar múltiplo do outro Exemplo: Verifique se o cojuto das matrizes M 0, 0 M e 0 M 0 é liearmete idepedete o espaço das matrizes 0 0 Resolução: A equação matricial λ M + λm + λm 0 0 é equivalete ao sistema de equações lieares λ + λ 0 λ λ + λ 0 λ λ + λ 0 λ λ + λ 0 M são liearmete idepedetes 0 0, como este sistema tem apeas solução trivial, M, M e 0 Os coceitos de depedêcia e idepedêcia liear dão-os a chave para eteder a estrutura dos espaços vectoriais Vejamos o seguite exemplo Exemplo4: Estude a depedêcia liear do cojuto V { v 4} de v (0,,) (, 0,) e v 4 (,,), com v (,,0), Resolução: Para estudar a depedêcia liear do cojuto V { v 4} de, basta ter em ateção o teorema8; seja V { v 4} um cojuto de vectores de, como r 4 >, etão V é LD Vimos, o exemplo0, que este cojuto gera Se resolvesse-mos a equação λv + λv + λv + λ4v4 (0, 0, 0, 0), bastava verificar que a matriz associada ao sistema homogéeo é ( 4), logo o sistema é possível e idetermiado ( r( A ) ) e assim, o cojuto V { v 4} é liearmete depedete 4/ 6

17 Estudemos, agora, a depedêcia liear do cojuto V { v } de Aqui ão podemos utilizar o teorema8 (porquê?), λ + λ 0 λv + λv + λv (0, 0, 0) λ (,, 0) + λ (0,,) + λ(, 0,) (0, 0, 0) λ + λ 0 λ + λ 0 A matriz do sistema é 0 A 0, como A 0, o sistema é possível e determiado, 0 admitido como solução úica a solução trivial, λ λ λ 0, logo V { v } é LI Como vimos o exemplo0 este cojuto gera, sedo LI diz-se um cojuto gerador míimo O cojuto V { v } ão gera mas é LI (exercício!) Teorema0: Sejam u, u,, u m vectores que geram um espaço vectorial E e V { v, } um cojuto LI Etão tem-se, ecessariamete, m Por outras palavras, um espaço vectorial, um cojuto gerador uca pode ter meos elemetos do que um cojuto LI Obs: Pelo que foi dito, se V { v, } é um cojuto gerador míimo, etão, V é LI Em cotrapartida, se V é LI e gera E, etão V é um cojuto gerador míimo para E Com veremos a próxima secção, um cojuto gerador míimo diz-se uma base do espaço vectorial Iterpretação geométrica de depedêcia liear em e Um cojuto formado por dois vectores { u }, com u ( u, u ) e v ( v ), é LD em se, e só se, a equação λu + λv 0 λ ( u, u ) + λ ( v ) (0,0) possui solução ão trivial Se isto acotece, etão os escalares λ, λ ão são ambos ulos Se, por exemplo, λ 0, temos λ λ u v, se λ 0 u Ou seja, se { u} é LD, etão um dos vectores é escalar λ λ múltiplo do outro Reciprocamete, se um vector é escalar múltiplo do outro, digamos u λv, etão u λv 0 e assim eles são LD Portato, podemos dizer que um cojuto de dois vectores é LD em se, e só se, um dos vectores é escalar múltiplo do outro Logo, se os dois vectores forem colocados a origem vão estar cotidos sobre a mesma recta 5/ 6

18 Figura4 Dois vectores LD em Aalogamete, o cojuto { u }, com u ( u, u, u ) Figura5 Dois vectores LI em e v v v v (,, ), é LI em se, e só se, os vectores u e v ão pertecem à mesma recta que cotém a origem o espaço tridimesioal Como a origem e esses dois vectores ão são colieares, determiam um plao Se outro vector w pertece a esse plao, etão pode ser escrito como combiação liear de u e v e, portato, o cojuto de vectores { u, w} é LD Se w ão pertece a esse plao, o cojuto é LI Por outro lado, um cojuto formado por três vectores ão ulos { v } é LD em se, e só se, a equação λv + λv + λv 0 λ, λ, λ, possui solução ão trivial Se isso acotece um, dos escalares λ, λ ou λ, é diferete de zero Se λ 0, temos λ λ v v v, ou seja, o λ λ vector v é combiação liear de v e v De forma semelhate, se λ 0, o vector v é combiação liear de v e v, e se λ 0 o vector v é combiação liear de v e v Assim, se o cojuto { v } é LD, etão um dos vectores é combiação liear dos outros dois, ou seja, um deles é uma soma de escalares múltiplos dos outros dois Reciprocamete, se um vector é combiação liear dos outros dois etão { v } é LD Portato, podemos dizer que { v } é LD se, e só se, um deles se pode escrever como combiação liear dos outros dois Logo se os três vectores forem colocados a origem vão estar cotidos o mesmo plao Cosequetemete, em se um cojuto de três vectores ão ulos { v } é LD, etão, ou os três vectores são paralelos, ou dois deles são paralelos, ou os três são complaares (são paralelos a um mesmo plao) 6/ 6

19 Resumido: Em Em ou, um cojuto de dois vectores é LI se, e só se, os vectores ão pertecem a uma mesma recta cotedo a origem (ehum dos vectores é escalar múltiplo do outro);, um cojuto de três vectores é LI se, e só se, os vectores ão pertecerem ao mesmo plao que cotém a origem (ehum dos vectores é combiação liear dos outros dois) Exemplo5: Estude a depedêcia liear do cojuto V { u }, em que u (,0,) e v (0,,) Resolução: O cojuto V { u } é LI, pois um vector ão é escalar múltiplo do outro Exemplo6: Estude a depedêcia liear do cojuto costituído pelos vectores v (,,5), v (,6, ) e v (,, ) de Resolução: Como o cojuto V de equação vectorial obtemos o sistema liear tem três vectores, pode ser LD ou LI Desevolvedo a λ + λ + λ 0 λv + λv + λv (0, 0, 0) λ (,,5) + λ (, 6, ) + λ (,, ) (0, 0, 0) λ + 6λ λ 0 5λ λ λ 0 O cojuto V é liearmete idepedete se o sistema homogéeo tiver solução trivial, caso cotrário é liearmete depedete A matriz do sistema é A , assim, o sistema é possível e determiado, têm solução trivial, o cojuto dos vectores V { v } é LI Obviamete, A 0 (porquê?) Sigifica que, ehum dos vectores se pode escrever como combiação liear dos outros dois Geometricamete, como o cojuto V { v } é LI, um dos vectores ão pertece ao mesmo plao formado pelos outros dois, ou, os três vectores quado posicioados com os seus potos iiciais a origem ão pertecem ao mesmo plao 7/ 6

20 45 Base e dimesão Usualmete pesamos uma recta como tedo uma dimesão, um plao como sedo bidimesioal e o espaço, que os evolve, como sedo tri-dimesioal Vamos, tetar esta secção, torar esta oção ituitiva de dimesão mais precisa Vimos que, um espaço vectorial E, um cojuto de geradores pode ser LI ou LD Se o cojuto de geradores for LD, etão existe um vector o cojuto que se pode escrever como combiação liear de outros elemetos do cojuto Assim, esse elemeto ão é ecessário para gerar o espaço E Portato, um cojuto de geradores LD cotém vectores que ão são ecessários para gerar E Por outro lado, mostrámos que um cojuto gerador para um espaço vectorial é míimo se for LI Os elemetos de um cojuto gerador míimo formam peças básicas para a costrução de todo o espaço vectorial e, por causa disso dizemos que formam uma base para o espaço vectorial Vimos, o exemplo4, que o cojuto V { v }, com v (,,0) (0,,) e v (, 0,) é um cojuto gerador míimo de Uma vez que, V gera e é liearmete idepedete Defiição7: Um cojuto de vectores V { v, } de um espaço vectorial E, é uma base { v, } de E sse: i) V gera o espaço E; ii) V é liearmete idepedete Exemplo7: Verifique que o cojuto { A, A, A, A } forma uma base para A 0 0 0, A 0 0 0, A e A Resolução: Devemos provar que { A, A, A, A } é LI e gera o espaço i) O cojuto { A, A, A, A } de é liearmete idepedetes, pois 0 0 0, ode λ λ 0 0 λ A + λ A + λ A + λ4 A 0 λ λ λ 0 λ λ ; a a ii) Se A, como A a a vem A a A + a A + aa + a A, ou seja, toda a matriz A ( ) pode escrever-se como combiação liear destas matrizes, logo { A, A, A, A }, gera Por i) e ii), A, A, A, A formam uma base para, a base caóica 8/ 6

21 Exemplo8: Verifique que os vectores e (,,0), e (0,,,0),, e (0,,), costituem uma base para o espaço vectorial Resolução: i) Qualquer vector de, pode ser escrito como combiação liear de e, e,, e u ( u,, u ) u (,,0) + + u (0,,) ue + + ue e, e,, e ii) O cojuto dos vectores e (,,0), e (0,,,0),, e (0,,) é LI Por i) e ii), V { e, e,, e } costitui um base para, desigada por base caóica de O coceito de base de um espaço vectorial é de extrema importâcia Os vectores de uma base costituem um espaço vectorial que geeraliza o coceito de sistema de coordeadas em O teorema seguite ajuda-os a perceber porquê e Teorema: Seja E um espaço vectorial, e V { v, } uma base para E Etão qualquer vector de E pode exprimir-se de um só modo como combiação liear dos vectores v i s de V De facto, qualquer vector de um espaço vectorial fiitamete gerado pode ser represetado como uma combiação úica dos elemetos de uma base V { v, } do espaço (a combiação liear ão é úica sse V for LD) Por outras palavras, as bases são bos sistemas de coordeadas para represetar vectores de um espaço vectorial Compoetes de um vector relativamete a uma determiada base: Seja V { v, } uma base de um espaço vectorial E, cada u E, pode ser escrito como combiação liear de v,, ou seja, u λ v + λ v + + λ v (exprime u em termos da base V), etão os escalares λ, λ,, λ chamam-se compoetes ou coordeadas de v relativamete à base { v, } Dado um espaço vectorial E, se cohecermos uma base de E, qualquer vector de E fica cohecido se cohecermos as suas compoetes relativamete a essa base Exemplo9: Em os vectores da base caóica são e (, 0) e e (0,) Note-se que, u (, ) e e, uma vez que u e e (,0) (0,) (,0) + (0, ) (, ) Aos úmeros u e u dá-se o ome de compoetes do vector em relação à base caóica { e, e} Geeralizado, as compoetes de v ( v, ) em relação à base caóica de são v,, v 9/ 6

22 Obs: Note-se que as compoetes de um vector, relativamete a uma base de um espaço vectorial, depedem ão só da base mas também da ordem como os vectores da base são escritos; uma mudaça a ordem dos vectores da base resulta uma mudaça correspodete a ordem das etradas das compoetes do vector Para ão sobrecarregar a exposição, ão estaremos sempre a repetir isso, e falaremos de uma base simplesmete como um cojuto Mudaça de base: Uma base de um espaço vectorial, E, é chamada caóica por ser a mais atural para se represetar vectores de E Embora essas bases caóicas pareçam ser as mais simples e aturais para se usar, em muitas aplicações, elas ão são as bases mais apropriadas De facto, a chave a resolução de muitos problemas aplicados é mudar da base caóica para uma base que é de alguma forma, mais atural para a aplicação em questão Uma vez resolvido o problema a ova base, é fácil voltar a represetar a solução e, termos da base caóica Por exemplo: Pelo teorema, qualquer vector v ( v ) de pode ser represetado de maeira úica como uma combiação liear dos vectores de qualquer base de Por um lado, v ( v ) ve + ve, ode os escalares v e v são as compoetes de v em relação à base caóica { e, e } {(,0),(0,)} Por outro lado λu + λu, ode os escalares λ e λ são as compoetes de v em relação à base { u, u} (ordeamos os elemetos da base de modo que u seja o primeiro vector da base e u seja o segudo) Uma vez decididos a trabalhar com uma ova base temos o problema de ecotrar as coordeadas em relação a essa ova base Supohamos, por exemplo, que, em vez, de usarmos a base caóica { e, e} para, queríamos usar uma base diferete, por exemplo, { u, u} com u (, ) e u (,) Isto equivale a querer obter as compoetes de um vector de em relação aos dois sistemas de coordeadas, para issoamos cosiderar os dois problemas seguites: i) Ecotrar compoetes do vector λu + λu em relação à base { e, e } ii) Ecotrar as compoetes do vector v ve + ve em relação à base { u, u }; Comecemos por resolver o problema i), para mudar a base { u, u} para a base { e, e}, precisamos exprimir os elemetos da base atiga u e u, em termos dos elemetos da ova base, e e e De u e + e e u e + e em λu + λu λ e + λe + λe + λe ( λ + λ ) e + ( λ + λ ) e, o vector de compoetes λu + λu em relação a { e, e } é 0/ 6

23 v ( λ + λ, λ + λ ) λ (, ) + λ (,), que em otação matricial pode ser escrita a forma λ + λ λ v λ + λ λ Defiido U ( u, u ) e λ ( λ, λ ) [ λ λ ] temos que, para qualquer vector de compoetes λ em relação a { u, u}, para ecotrar o vector de compoetes correspodetes v em relação a { e, e}, basta multiplicar U por λ, ou seja Uλ A matriz U é chamada matriz mudaça de base de { u, u} para { e, e} Para resolver o problema ii), precisamos ecotrar a matriz mudaça de base de { e, e} para { u, u} A matriz U admite iversa, uma vez que as suas coluas são costituídas por vectores LI Temos etão v Uλ U v U Uλ λ U v Assim, dado um vector v ( v ) v e + v e, basta multiplicá-lo por U para se ecotrar o seu vector de compoetes relativamete a { u, u} A matriz U é a matriz mudaça de base de { e, e} para { u, u} Exemplo0: Cosiderado os vectores u (, 4) (,) e w (7, 7) ecotre as coordeadas de w relativamete à base { u} Resolução: Os vectores u (, 4) e v (,) formam um cojuto liearmete idepedete, assim, { u} é uma base de Pelo que foi dito, a matriz mudaça de base de { e, e} para { u} é a iversa de U ( u, u) 4, ou seja, pedido é w u + v 7 λ U v 7 4 7, dode o vector Figura6 Soma de vectores em / 6

24 O vector w (7, 7) pode ser escrito como combiação liear w u + v Assim, o vector de compoetes de w em relação a { u} é (,) Geometricamete, esse vector diz-os como sair da origem e chegar a w (7,7) movedo-os primeiro a direcção de u e depois a direcção de v O vector de compoetes de w em relação à base ordeada { v, u} é (,) Geometricamete, esse vector diz-os como sair da origem e chegar a w (7,7) movedo-os primeiro a direcção de v e depois a direcção de u A defiição de dimesão de um espaço vectorial está relacioada com o úmero de vectores de uma base do espaço Como um espaço vectorial pode ter mais do que uma base é preciso estabelecer que bases diferetes de um mesmo espaço vectorial cotêm o mesmo úmero de vectores O próximo teorema providecia a chave para o coceito de dimesão Teorema: Seja E um espaço vectorial e V { v, } qualquer base para E: (i) Qualquer subcojuto de E com mais do que vectores é liearmete depedete; (ii) Qualquer subcojuto de E com meos do que vectores ão pode gerar E Resulta deste último teorema que, se V { v, } for uma base para um espaço vectorial E, etão todos os subcojutos de E que simultaeamete geram E e são LI deverão ter precisamete vectores Assim, todas as bases de E deverão ter o mesmo úmero de vectores que a base arbitrária V Isto motiva o seguite resultado, um dos mais importates em álgebra liear Teorema: Se um espaço vectorial E tem uma base com vectores, etão todas as bases para E tem exactamete vectores Obs Resulta que, se V { u,, u m } e V { v, } são duas bases de um espaço vectorial E, etão m Todas as bases de um espaço vectorial têm o mesmo úmero de vectores Para se ver como este teorema esta relacioado com o coceito de dimesão, recorde-se que a base caóica de tem vectores Etão o teorema implica que as ifiitas bases de vectores Em particular, todas as bases de vectores, e todas as bases de têm um vector Ituitivamete, têm três vectores, todas as bases de é tridimesioal, têm têm dois (um plao) é bidimesioal, e (uma liha) é uidimesioal Assim, para espaços vectoriais usuais, o úmero de vectores que costituem uma base coicide com a dimesão do espaço vectorial O que sugere a seguite defiição / 6

25 Defiição8: Um espaço vectorial E é chamado de dimesão fiita se tem uma base que cotém um úmero fiito de vectores A dimesão de E, represetada por dim( E ), é o úmero de vectores de uma base de E A dimesão do espaço vectorial ulo, E {0}, é defiida como sedodim( E ) 0 Um espaço vectorial que ão tem uma base fiita é chamado de dimesão ifiita Obs4: Se uma base de E tiver elemetos, dizemos que E tem dimesão, e escrevemos dim( E) (quado E cotém um cojuto com vectores LI os quais se possa expressar liearmete qualquer outro vector de E) Obs5: Como coveção, cosidera-se o cojuto vazio como sedo uma base do espaço vectorial ulo Esta coveção é cosistete com a defiição aterior, uma vez que o cojuto vazio ão tem vectores e o espaço vectorial ulo tem dimesão zero Exemplo: ) Se uma base de E é costituída por ifiitos vectores, diz-se que E tem dimesão ifiita Por exemplo, dim( ) ) dim( ) (porquê?) Em particular, é um espaço vectorial de dimesão e dim( ) ) No plao, os vectores OA e OB ão colieares formam um cojuto LI e ão há três vectores estas codições, logo OA, OB formam uma base e dim( ) 4) Mais geralmete, tem-se dim( M ( ) ( )) m 5) A dimesão do espaço das matrizes ( ) triagulares superiores é m ( + ) (exercício!) A dimesão de um espaço vectorial é o seu úmero mágico Cohecer a dimesão de um espaço vectorial E dá muita iformação sobre E e pode simplificar eormemete o trabalho ecessário em certos tipos de cálculo De um modo geral, para se provar que um cojuto de vectores V v v v {,,, } é uma base de um espaço vectorial E, devemos mostrar que V é liearmete idepedete e que gera E Cotudo, se soubemos que dim( E) (ou seja, { v, } cotém o úmero certo de vectores para uma base), etão é suficiete provar que V é LI ou que gera o espaço a outra codição verificar-se-á automaticamete Isto motiva o seguite teorema Teorema4: Seja E um espaço vectorial com dimesão fiita, dim( E), e S um subcojuto de E com exactamete vectores, etão S é uma base de E se S gerar E ou for liearmete idepedete / 6

26 Obs6: Pelo que foi dito, seja E um espaço vectorial com dimesão fiita, dim( E) Etão: (i) Qualquer subcojuto LI de E cotém o máximo vectores (ii) Todo o subcojuto LI de E, com exactamete vectores, gera E, logo, é uma base para E (iii) Todo cojuto gerador de E cotém o míimo vectores (ehum cojuto com meos de vectores pode gerar E); (iv) Qualquer cojuto gerador de E, com exactamete vectores, é LI, logo, é uma base para E Exemplo: Mostre que: (a) os vectores v (,7) e v (5,5) (b) os vectores v (,0, ) (4,0,7) Resolução: forma uma base de e v (,, 4) ; forma uma base de (a) Pelo teorema4, uma base de um espaço vectorial de dimesão é qualquer subcojuto de vectores LI desse espaço Como, qualquer um dos vectores ão é escalar múltiplo do outro, os dois vectores formam um subcojuto LI do espaço bidimesioal, ou seja, uma base para (b) Os vectores v e v formam um cojuto LI o plao XOZ (porquê?) O vector v ão pertece ao plao XOZ, portato, o cojuto { v} é LI Uma vez que dim( ), o teorema4 garate que o cojuto { v} forma um base de ; O teorema seguite mostra que para um espaço vectorial E de dimesão fiita, qualquer cojuto que gera E cotém uma base de E, e que qualquer cojuto liearmete idepedete de E faz parte de alguma base de E Teorema5: Seja V um subcojuto fiito de vectores de um espaço vectorial E de dimesão fiita i) Se V gera E mas ão for uma base (por coter mais de vectores) de E, etão V pode ser reduzido a uma base de E removedo-se apropriadamete vectores de V; iii) Se V for um cojuto liearmete idepedete que ão seja uma base de E, etão V pode ser trasformado uma base de E icluido apropriadamete vectores em V Exemplo: Para explorarmos a iformação do teorema aterioramos cosiderar o exemplo4 ode se cosiderou os vectores v (,,0) (0,,) (, 0,) e v 4 (,,) Vimos que: i) O cojuto V { v 4} de ii) O cojuto V { v } gera, apesar de gerar e é LI (é uma base para iii) O cojuto V { v } apesar de LI ão gera ão é LI (ão é uma base para ); (ão é uma base para ) ); 4/ 6

27 Tedo em cota os potos i) ii) e iii), cocluímos que: Por exemplo, de V { v 4} retira-se o vector v 4, obtedo-se V { v } uma base para (de todo o cojuto de geradores de pode ser extraída uma base de ); Por exemplo, de V { v } iserido o vector v, obtém-se V { v } uma base para De facto, sedo E um espaço vectorial de dimesão fiita, dim( E), o teorema5, garate que: i) Podemos retirar vectores apropriados de qualquer cojuto gerador cotedo mais de vectores (que ão seja uma base para E ) de modo a se obter uma base para E (qualquer cojuto gerador de E pode ser reduzido a uma base para E ) ii) Qualquer subcojuto V de E LI com meos de elemetos (que ão seja uma base para E ) pode ser estedido para formar uma base para E, iserido vectores apropriados em V Prova-se que qualquer subespaço de um espaço vectorial de dimesão fiita tem dimesão fiita Coclui-se esta secção com um teorema que mostra que a dimesão de um subespaço de um espaço vectorial de dimesão fiita E ão pode exceder a dimesão de E e que a úica maeira desse subespaço ter a mesma dimesão de E é o caso em que o subespaço coicide com E A figura7 ilustra esta ideia em Figura7 Dimesão dos subespaços de A figura aterior, ilustra que quato maior for o subespaço, maior é a sua dimesão, ou seja: A origem é 0-dimesioal; A recta que passa pela origem, r, é uidimesioal; O plao que passa pela origem, π, é bidimesioal; é tridimesioal Teorema6: Seja W um subespaço de um espaço vectorial de dimesão fiita E, etão dim( W ) dim( E) (W tem dimesão fiita); para além disso se dim( W ) dim( E), etão W E 5/ 6

28 Exemplo4: Determie a dimesão do subespaço S de v (,,) e v (,,8) gerado pelos vectores v (,, ), Resolução: Os subespaços de são; a origem, uma recta que passa pela origem, um plao que passa pela origem e Como λv + λv + λv ( a, b, c) é um sistema impossível (porquê?), cocluímos que os vectores v e v ão geram, dim( S) Vamos agora estudar depedêcia liear do cojuto V { v } λv + λv + λv (0, 0, 0) Como a matriz A do sistema é ( ), basta estudar o valor de A Sedo A 0, o sistema é possível e idetermiado, dode o cojuto V é liearmete depedete Por este motivo, existem vectores de V que se podem escrever como combiação liear dos restates, Assim, λ λ λ 0 λ λ λv + λv + λv (0, 0, 0) λ + λ + λ 0 λ λ λ + λ + 8λ 0 λ λ v + λ v + λ v (0,0,0) λ v λ v + λ v λ ( v v + v ) (0,0,0), fazedo, λ em v v + v Ou seja, v pertece ao espaço gerado por v e v, dode, o subespaço S de v gerado por e v pode ser represetado pelos vectores v e v Como, qualquer combiação liear de v, v e v pode ser reduzida a uma combiação liear de v e v, λ v + λ v + λ v λ v + λ v + λ (v + v ) ( λ + λ ) v + ( λ + λ ) v, o espaço gerado por V { v } é S ger( V ) { v } Por outro lado, como v v + v v + v v 0, e sedo os três coeficietes diferetes de zero, podemos exprimir cada um dos vectores em fução dos outros dois v v + v e v v + v Temos etão que, S ger { v }, S ger { v } ou S ger { v } subespaço S pode ser gerado por quaisquer dois dos vectores dados, ou seja, o Prova-se que os cojutos { v }, { v } Cocluí-se que, dim( S ) < dim( ) e { v } são LI, ou seja, formam uma base para S Os vectores destes cojutos defiem plaos que passam pela origem 6/ 6