Resolução de Problemas. Carmem S. Comitre Gimenez Nereu Estanislau Burin

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1 Resolução de Problemas Carmem S Comitre Gimeez Nereu Estaislau Buri ª Edição Floriaópolis, 0

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3 Govero Federal Presidete da República: Dilma Vaa Rousseff Miistro de Educação: Ferado Haddad Secretário de Esio a Distâcia: Carlos Eduardo Bielschowky Coordeador da Uiversidade Aberta do Brasil: Celso José da Costa Uiversidade Federal de Sata Cataria Reitor: Alvaro Toubes Prata Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva Secretário de Educação a Distâcia: Cícero Barbosa Pró-Reitora de Esio de Graduação: Yara Maria Rauh Müller Pró-Reitora de Pesquisa e Extesão: Débora Peres Meezes Pró-Reitor de Pós-Graduação: Maria Lúcia de Barros Camargo Pró-Reitor de Desevolvimeto Humao e Social: Luiz Herique Vieira Silva Pró-Reitor de Ifra-Estrutura: João Batista Furtuoso Pró-Reitor de Assutos Estudatis: Cláudio José Amate Cetro de Ciêcias da Educação: Wilso Schmidt Cetro de Ciêcias Físicas e Matemáticas: Tarciso Atôio Gradi Cetro de Filosofia e Ciêcias Humaas: Roselae Neckel Curso de Liceciatura em Matemática a Modalidade à Distâcia Coordeação de Curso: Neri Tereziha Both Carvalho Coordeação de Tutoria: Jae Crippa Coordeação Pedagógica/CED: Roseli Ze Cery Coordeação de Ambietes Virtuais/CFM: Nereu Estaislau Buri Comissão Editorial Atôio Carlos Gardel Leitão Albertia Zatelli Elisa Zuko Toma Igor Mozolevski Luiz Augusto Saeger Roberto Corrêa da Silva Ruy Coimbra Charão

4 Laboratório de Novas Tecologias - LANTEC/CED Coordeação Pedagógica Coordeação Geral: Adrea Lapa, Roseli Ze Cery Núcleo de Formação: Nilza Godoy Gomes, Maria Bazzo de Espídola Núcleo de Pesquisa e Avaliação: Daiela Karie Ramos Núcleo de Criação e Desevolvimeto de Materiais Desig Gráfico Coordeação: Laura Martis Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Projeto Gráfico Origial: Diogo Herique Ropelato, Marta Cristia Goulart Braga, Natal Aacleto Chicca Juior Redeseho do Projeto Gráfico: Laura Martis Rodrigues, Thiago Rocha Oliveira Diagramação: Gabriel Nietsche, Kallai Maciel Boelli, Talita Ávila Nues Ilustrações: Kallai Maciel Boelli, Laura Martis Rodrigues, Felipe Oliveira Gall, Gabriela Dal Toé Fortua, Thiago Rocha Oliveira, Flaviza Righeto, Rafael de Queiroz Oliveira, Karia Silveira Capa: Gustavo de Melo Apocalypse Desig Istrucioal Coordeação: Elizadro Maurício Brick Desig Istrucioal: Gislaie Teixeira Borges Guérios Revisão do Desig Istrucioal: Jaquelie Luiza Horbach Revisão Gramatical: Mira Saidy, Helle Melo Pereira, Daiela Piatola Copyright 0, Uiversidade Federal de Sata Cataria/CFM/CED/UFSC Nehuma parte deste material poderá ser reproduzida, trasmitida e gravada, por qualquer meio eletrôico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordeação Acadêmica do Curso de Liceciatura em Matemática a Modalidade à Distâcia Ficha Catalográfica G49r Gimeez, Carmem S Comitre Resolução de problemas / Carmem S Comitre Gimeez, Nereu Estaislau Buri ed Floriaópolis : UFSC/EAD/CED/ CFM, 0 83 p : il ; grafs, tabs Iclui bibliografia UFSC Liceciatura em Matemática a Modalidade a Distâcia ISBN Matemática I Buri, Nereu E II Título CDU 5 Catalogação a fote pela Biblioteca Uiversitária da UFSC

5 Sumário Apresetação 9 Cojutos e Fuções Cojutos 3 Exercícios propostos 3 Exercícios resolvidos 6 Fuções 0 Exercícios propostos 0 Exercícios resolvidos Tarefa 4 Poliômios e Equações 7 Poliômios 9 Igualdade de poliômios 9 Raiz de um poliômio 30 3 Operações com poliômios 3 Adição 33 Subtração 33 Multiplicação 34 Divisão (algoritmo da divisão para poliômios) 34 Exercícios resolvidos 38 Exercícios propostos 39 Equações poliomiais 40 Exercícios resolvidos 4 Exercícios propostos 4 3 Sequêcias Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas 43 3 Sequêcias 45 3 Progressão aritmética 46 3 Expressão do termo geral 47 3 Propriedades de uma PA Classificação Soma dos termos 48 Exercícios resolvidos Progressão geométrica 5 33 Expressão do termo geral 5 33 Propriedades de uma PG 5

6 333 Classificação Soma dos termos 53 Exercícios resolvidos 54 Exercícios propostos 55 4 Trigoometria 57 4 Relações fudametais e fórmulas 59 4 Relações fudametais e fórmulas para valores x a primeira determiação positiva 59 4 Relações apresetadas em 60 Exercícios resolvidos6 4 Equações trigoométricas fudametais 63 Exercícios resolvidos 66 Exercícios propostos 67 Tarefa 69 5 Geometria 7 5 Geometria plaa 73 Problemas resolvidos 73 Problemas propostos 76 5 Geometria espacial 77 Problemas resolvidos 77 Problemas propostos 80 6 Fuções Expoecial e Logarítmica 83 6 Equações e iequações expoeciais 85 Exercícios resolvidos 86 6 Fução expoecial 87 Exercício resolvido Logaritmo 90 Exercícios resolvidos 9 64 Fução logarítmica 9 Exercício resolvido 93 Exercícios propostos 93 Tarefa 94 7 Matrizes e Sistemas Lieares 95 7 Matrizes 97 7 Adição 97 7 Multiplicação por escalar Multiplicação de matrizes 98

7 Tarefa Matriz iversa Matriz trasposta Matriz simétrica Matriz atissimétrica Matriz triagular superior Matriz triagular iferior Matriz potêcia 00 7 Outros tipos de matrizes0 7 Operações elemetares0 73 Determiate0 74 Matrizes escaloadas (ou matrizes escadas) matrizes equivaletes Matriz a forma caôica 04 Exercícios resolvidos 04 Exercícios propostos 08 7 Sistemas de equações lieares 09 7 Sistemas equivaletes0 7 Cojuto solução de sistemas lieares 73 Regra de Cramer Exercícios resolvidos 74 Resolução por escaloameto4 Exercícios resolvidos4 73 Sistemas ão lieares7 Exercícios propostos8 8 Aálise Combiatória e Probabilidade 8 O pricípio fudametal da cotagem 3 Exercícios resolvidos 3 Exercícios propostos 7 8 O triâgulo de Pascal 8 83 O biômio de Newto 30 Exercícios resolvidos 30 Exercícios propostos3 84 Probabilidade3 84 Experimeto aleatório3 84 Espaço amostral3 843 Eveto3 844 Probabilidade3 845 Probabilidade codicioal 34 Exercícios resolvidos 35 Exercícios propostos 36

8 9 Geometria Aalítica 39 Exercícios resolvidos4 Exercícios propostos48 0 Números Complexos 5 A ecessidade de ampliação do cojuto 53 Exercício resolvido 54 0 Represetação geométrica de um úmero complexo 55 0 Igualdade de úmeros complexos Operações com úmeros complexos Cojugado de um úmero complexo57 Tarefas57 05 Divisão de úmeros complexos Argumeto e módulo de um úmero complexo 59 Exercício resolvido 59 Exercícios resolvidos60 07 Forma expoecial (ou de Euler) de um úmero complexo6 Tarefa6 Exercícios resolvidos 63 Exercícios propostos 64 Coletâea de Problemas 67 Referêcias 83

9 Apresetação A disciplia Resolução de Problemas tem sua explicação o próprio ome: aqui vamos resolver problemas A experiêcia os mostra que muitos estudates ficam idecisos diate de um problema, apesar de cohecerem o coteúdo Nosso objetivo é que esta disciplia fucioe como um laboratório de resolução de problemas relativos a coteúdos do esio fudametal e médio, ampliado a discussão sobre estratégias já iiciadas a disciplia de Problemas, Sistematização e Represetação A maioria dos coteúdos que aparece este texto já foi objeto de trabalho em uidades de disciplias ateriores, outros foram cotemplados com uma disciplia iteira, outros aida serão tratados em disciplias posteriores Em cada um destes três casos faremos um tipo de abordagem do coteúdo (sempre através de problemas), mas osso ituito é trabalhar a resolução em si mesma: as estratégias, o coteúdo evolvido, a orgaização do raciocíio É importate que você teha em mãos o material das seguites disciplias: Problemas, Sistematização e Represetação, Fudametos de Matemática I, Fudametos de Matemática II, Geometria I, Geometria II, Geometria Aalítica e Itrodução ao Cálculo No iício de cada capítulo idicaremos o material a ser cosultado Carmem S Comitre Gimeez Nereu Estaislau Buri

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11 Capítulo Cojutos e Fuções

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13 Capítulo Cojutos e Fuções Neste capítulo, iremos desevolver a habilidade de utilizar cojutos e fuções para resolver problemas, além de aalisar, elaborar e resolver exercícios sobre cojutos e fuções Teha em mãos o material destas disciplias para tirar suas dúvidas sobre as resoluções Os problemas deste capítulo tratam de cojutos como uma liguagem dos cojutos uméricos,, e (suas operações e propriedades) e de fuções Estes coteúdos foram estudados as disciplias de Itrodução ao Cálculo e Fudametos de Matemática I Apresetamos em cada tópico um cojuto de exercícios propostos, em seguida algus exercícios resolvidos e fializamos com uma tarefa de elaboração de exercícios Cojutos Exercícios propostos ) Cosidere os seguites cojutos: A = {,, {, } }, B = {{}, }, C = {, { }, { } } Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F) e justifique a) A B= { } b) B C = {{}} c) B C = A B d) B A e) A P( A) = {{, }}, com P( A ) o cojuto das partes de A ) Sedo A e B cojutos quaisquer, classifique as afirmações a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F) e justifique

14 4 a) A B B b) A B A B c) A B= B B= d) A B= A B= 3) Determie o meor úmero atural x de modo que 3 60x=, com * 4) Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F) e justifique a) Todo iteiro par pode ser expresso a forma +, b) Todo iteiro ímpar pode ser expresso a forma 9, c) Se é um iteiro ímpar, etão também é ímpar 5) Sejam a, b, c úmeros reais quaisquer Classifique em verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações abaixo e justifique a) a > b a > b b) a > b ac > bc c) d) e) a = b a = b a + b a c c c = + a+ b a b 6) Dados dois úmeros x e y reais positivos, chama-se média x+ y aritmética de x e y o úmero real e chama-se média geométrica de x e y o úmero real xy Mostre que a média geométrica é meor do que a média aritmética ou igual a ela para quaisquer x e y reais positivos 7) Em um grupo de joves, 0 pessoas dizem que costumam ler livros, 0 costumam assistir à TV, 50 costumam daçar Aotações um pouco desordeadas idicam que 60 cos-

15 5 tumam ler e assistir à TV, 70 ler e daçar, 50 assistir à TV e daçar 0 pessoas aproveitam de todos os três prazeres Afial, quatas pessoas deram os depoimetos? Quatas usam apeas um tipo de diversão? 8) Em certa comuidade, há idivíduos de três raças: braca, egra e amarela Sabedo que 70 são bracos, 350 são ão egros e 50% são amarelos, perguta-se: a) Quatos idivíduos têm a comuidade? b) Quatos são os idivíduos amarelos? 9) Dê exemplo de cojutos A com elemetos, B com 3 elemetos e C com 4 elemetos, de modo que ( A B) C teha 4 elemetos 0) Em um cojuto de potos do espaço, a distâcia etre dois potos quaisquer é igual a Qual o úmero máximo de potos que pode haver este cojuto? ) No cojuto {0, 00, 0 00,, } cada elemeto é um úmero formado pelo algarismo as extremidades e por algarismos 0 etre eles Algus destes elemetos são úmeros primos e outros são compostos Sobre a quatidade de úmeros compostos podemos afirmar que: a) é igual a b) é igual a 4 c) é meor do que 3 d) é maior do que 4 e meor do que e) é igual a 3 ) Esboce, sombreado a área apropriada, cada um dos seguites subcojutos de : a) { x / 3< x } { y / < y< 4} b) { x / x < 3 } { y / y 3} c) { x / x= 7 } { t / t }

16 6 Exercícios resolvidos ) Em uma uiversidade, são lidos apeas os jorais A e B 80% dos aluos dessa uiversidade lêem o joral A e 60% lêem o joral B Sabedo-se que todo aluo é leitor de pelo meos um dos dois jorais, qual o percetual de aluos que lêem ambos os jorais? Resolução: Supoha que a uiversidade teha 00 aluos, 80 deles lêem o joral A e 60 lêem o joral B Etão, temos 40 aluos que lêem os dois jorais, pois 00 = Resposta: Logo, a porcetagem de aluos que lêem os dois jorais é 40% Observação Outra opção de resolução é cosiderar o cojuto S de todos os aluos como a uião do cojuto K dos aluos que lêem o joral A com o cojuto M dos aluos que lêem o joral B, ou seja, S = K M Chamado o úmero de elemetos de S, temos que: i) o úmero de elemetos de K é Este tipo de procedimeto a resolução pode ser utilizado para problemas que solicitam a resposta em porcetagem (sem dados sobre as quatidades) e a quatidade mais coveiete a ser cosiderada é 00 ii) o úmero de elemetos de M é iii) chamado x o úmero de aluos que lêem os dois jorais, isto é, o úmero de elemetos da itersecção K M, e lembrado o resultado sobre o úmero de elemetos de uma uião, temos que: x= = x = x 00 Resposta: Logo, o úmero de aluos que lêem os dois jorais correspode a 40, isto é, 40% 00

17 7 ) Qual o cojuto dos valores assumidos pela expressão a b c abc em que a, b, c variam o cojuto a b c abc dos úmeros reais ão ulos? Resolução: Note que, se x é um úmero real ão ulo, etão x é x positivo ou egativo Se x é positivo, etão = e se x é egativo, etão = Assim, temos que fazer as possíveis combia- x x x ções positivo/egativo para os três úmeros a, b, c i) Se todos são positivos, cada parcela da soma a + b + c + abc a b c abc é e teremos o valor da soma igual a 4 ii) Se todos são egativos, cada parcela da soma é e teremos o valor da soma igual a 4 iii) Se somete um deles for egativo, por exemplo a, e os outros forem positivos, teremos o valor da soma igual a ( ) ( ) = 0 Se cosiderássemos somete b egativo ou somete c egativo, teríamos o mesmo valor!) iv) Se exatamete dois deles são egativos e o outro positivo, por exemplo a e b egativos e c positivo, teremos o valor da soma igual a ( ) + ( ) + + = 0 Resposta: Podemos etão cocluir que o cojuto dos possíveis 4,0, 4 valores é { } 3) Sejam X um cojuto ão vazio, A e B subcojutos de X, c c A = { x X / x A} e B = { x X / x B} Assiale as seteças corretas a) c c A B= A B B A 3 b) Se X =, A= { x X / x = 0} e etão A= B B x X x = { / = 0}, c) A = A e A B= A ( A B) d) c A B A B

18 8 Resolução: Vamos aalisar cada seteça (a) Temos aqui duas equivalêcias; veja um diagrama da situação a figura Observado o diagrama, somos levados a acreditar que a seteça é correta Para fazer a prova das duas equivalêcias, mostraremos que () () (3) c c A B= A B B A A B= Provar estas três implicações é equivalete a provar as duas equivalêcias A B X Figura ) c A B= A B Hipótese: A B= Tese: A B c Seja x A Por hipótese, temos que ão há elemetos comus aos cojutos A e B Logo, podemos cocluir que x B Como x X c c e x B, temos que x B Assim, A B ) c c A B B A Hipótese: A B c Tese: B A c c c Seja x B Etão, x B Como por hipótese A B, podemos cocluir que x A Assim, como x X e x A, temos que c c x A Logo, B A 3) c B A A B= Hipótese: B A c Tese: A B= Supohamos que A B Etão, existe um elemeto x que pertece aos dois cojutos, isto é, x A e x B Mas, se x B c c e por hipótese B A, podemos cocluir que x A, mas x A Isto é uma cotradição, pois x A Logo, A B= Cocluímos etão que a primeira seteça é correta

19 9 (b) Se X =, A x X x 3 = { / = 0} e, etão A B = Vamos descrever os cojutos A e B ( A e B são subcojutos de ); resolvedo as equações x = 0 e x = 0, temos 3 A = {} e B = {, } Logo, A ão é igual a B e a seguda seteça ão é correta (c) A = A e A B= A ( A B) Você sabe provar? Veja o capítulo de Itrodução ao Cálculo Temos aqui duas seteças uidas pelo coectivo e A seteça será correta se ambas as seteças o forem A primeira, é correta Quato à seguda, vamos desevolver o membro direito da igualdade utilizado os resultados já cohecidos : Se E, F e K são subcojutos de U, etão: i) c E F = E F ii) ( E F) c = E c F c iii) E ( F K) = ( E F) ( E K) Etão, A ( A B) = A ( A B) c = A ( A c B c ) = = ( A A c ) ( A B c ) = ( A B c ) = A B Assim, podemos cocluir que a terceira seteça é correta (d) c A B A B c A B= A B Logo, a quarta seteça é i- Como já sabemos, correta Resposta: Portato, os ites a e c são corretos, e os ites b e d são icorretos 4) Determie o subcojuto de que é solução da equação x + y + xy = 0 Resolução: Vamos procurar os pares de úmeros iteiros ( x, y ) que satisfazem a equação Fatorado o membro esquerdo da igualdade, temos: x+ y+ xy = x+ y( + x) = x+ ( ) + y( + x) = = ( x+ ) + y( x+ ) = ( x+ )( y+ )

20 0 Note que, a seguda passagem, adicioamos 0=, o que ão altera a expressão Etão, podemos escrever: ( x+ ) ( y+ ) = 0 ( x+ ) ( y+ ) = Temos agora um produto de dois úmeros iteiros cujo resultado é Fatorado, obtemos = Faremos uma tabela com os possíveis valores iteiros de x + e y + : x + y + x y (x,y) 0 0 (0, 0) (, ) 0 0 (0, 0) (, ) 0 0 (0, 0) (, ) Resposta: Logo, o cojuto solução em é: S = {(0,0),(, ),(0,0),(, ),(0,0),(, )} Fuções Exercícios propostos 3) Sejam V = {( P, Q) / P e Q são vértices distitos de um hexágoo regular} e f uma fução que associa a cada par ( P, Q) V a distâcia de P a Q Qual o úmero de elemetos do cojuto imagem de f? 4) Seja f a fução que a cada úmero real x associa o meor dos úmeros ( x + ) ou ( x + 5) Qual o valor máximo de f( x )? 5) Qual a fução que represeta o valor a ser pago após um descoto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria? 6) Seja F : uma fução satisfazedo as seguites propriedades: a) F (0) =

21 b) F( x+ y) = F( x) F( y), x, y c) 0 < F( ) < Determie o valor da expressão F(0) + F() + F() + F(3) + + F(9) 7) Seja f : uma fução defiida por f( x) = a 3 bk, com a e b costates reais Sabedo que f (0) = 900 e, calcule k tal que f( k ) = 00 8) Se o poto (,3) k k pertece ao gráfico da fução f( x) = x x+ k, quais os possíveis valores de k? 9) Qual o maior úmero real cuja soma com o próprio quadrado é igual ao próprio cubo? 0) Para produzir um objeto, uma firma gasta R$,0 por uidade Além disso, há uma despesa fixa de R$4000,00, idepedete da quatidade produzida O preço de veda é R$,00 por uidade Qual é o úmero míimo de uidades que deve ser vedido, a partir do qual a firma começa a ter lucro? ) Supoha que o úmero f( x ) de fucioários ecessários para distribuir, em um dia, cotas de luz para x por ceto de moradores uma determiada cidade seja dado por 300x f( x) = Se o úmero de fucioários ecessários 50 x para distribuir as cotas de luz, em um dia, foi 75, qual a porcetagem dos moradores que as receberam? ) Uma fução poliomial de primeiro grau f é tal que f ( ) = 5 e f (3) = 3 Qual o valor de f (0)? 3) A loja Cotiete de materiais de costrução vede areia grossa por 8 coroas o metro cúbico A sua cocorrete, Ilhabela, vede o mesmo tipo de areia grossa por 6 coroas o metro cúbico, mas acresceta a taxa de 5 coroas para cada camihão de areia trasportada Sabedo que a capacidade do camihão é de 5 metros cúbicos de areia grossa (ou uma

22 carrada de areia), avalie quado é mais vatajoso ecomedar a Ilhabela a etrega de x metros cúbicos de areia, com x < 5 4) Determie a fução quadrática cuja úica raiz é e que 3 corta o eixo y o poto (0, 5) Exercícios resolvidos 5) Seja f uma fução defiida para todo úmero real x, satisfazedo as seguites codições: i) f (3) = ; ii) f( x+ 3) = f( x) f(3), x Determie o valor de f ( 3 ) Resolução: Pela codição (ii), temos que f(3) = f(0 + 3) = f(0) f(3), isto é, f(3) = f(0) f(3) Como f (3) = 0, pela codição (i), pela lei do cacelameto, temos f (0) = Assim, = f(0) = f(3 + ( 3)) = f(3) f( 3) = f( 3), ou seja, f ( 3) =, o que os dá Resposta: O valor de f ( 3 ) é f ( 3) = 6) Quais os valores de a e de b para que o gráfico da fução f ( x) = ax + bx coteha os potos (, ) e ( 3, )? Resolução: Para que os potos (, ) e ( 3, ) perteçam ao gráfico da fução f ( x) = ax + bx, devemos ter f ( ) = e f ( 3) =, isto é, f( ) = a ( ) + b ( ) = e f(3) = a (3) + b (3) = Temos etão duas equações: () 4a b = e () 9a 3b = Isolado a a equação (), temos equação (), temos: + b a = e, substituido a

23 3 + b 9 + 3b = + b 9 + 3b = 9 ( + b) + 6 b = 9 ( + b) + 6 b= b+ 6b= 4 5b = 4 9 5b = 5 5 b = 5 b = 3 + b Ecotrado o valor b, e sabedo que a =, determiamos a: a = = = = 6 3 Como verificar se a sua resposta está correta? Resposta: Para a = e 3 f( x) = x + x 3 3 b =, o gráfico da fução 3 cotém os potos (-,) e (3,) 7) Seja f : dada por f( + ) = Qual o valor de f( )? Resolução: Vamos observar o que faz a fução f a cada úmero iteiro + ; ela associa o úmero iteiro, ou seja, f( + ) = = ( + ) Na reta, isso sigifica que a cada úmero iteiro k, f associa o úmero iteiro que está duas uidades à esquerda de k : f( k) = k Assim, f( ) = ( ) = 3 Resposta: O valor de f( ) é 3

24 4 8) Seja f uma fução poliomial decrescete de primeiro grau tal que f ( 3) = 5 e f( f ( ) ) = Qual a abscissa do poto ode f corta o eixo x? Resolução: Pelos dados do problema podemos cocluir que f (x) = ax + b, com a < 0 Dessa forma, temos duas equações: Lembre-se do estudo das fuções afim! () f(3) = a 3 + b= 5 e () f( f()) = a f() + b= Como f() = a+ b= a+ b, e substituido a seguda equação, podemos escrever: () 3a+ b= 5 e () a( a+ b) + b=, isto é, a ab b + + = Isolado b a primeira equação e substituido a seguda, temos: b= 5 3a e a a a a + (5 3 ) + (5 3 ) = a a a a = 0 a + a+ 4= 0 ou a a 4= 0 Resolvedo a equação do segudo grau, obtemos as raízes a = e a = Como o valor de a é egativo (pois f é decrescete), devemos ter a = Cosequetemete, b = 5 3 ( ) = = 8 e a fução é dada por f( x) = ( ) x+ 8 x+ 8 A abscissa do poto ode f corta o eixo x é a raiz da fução, isto é, o valor de x para o qual f( x ) = 0 Assim, se x + 8= 0, teremos x = 8 Resposta: f corta o eixo das abscissas o potos x = 8 Tarefa I) Elabore cico exercícios sobre cojutos, que cotemplem: a) operações (uião, itersecção, difereça); b) úmero de elemetos de um cojuto; c) iclusão de cojutos; d) cojutos uméricos

25 5 II) Elabore cico exercícios sobre fuções, que cotemplem: a) fução afim e/ou fução quadrática; b) coceito de fução; c) fução defiida por mais de uma seteça; d) gráfico de fução; e) fução iversa

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27 Capítulo Poliômios e Equações

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29 Capítulo Poliômios e Equações Desevolveremos, este capítulo, a habilidade de utilizar poliômios e equações para resolver problemas, além de aalisar, elaborar e resolver exercícios sobre poliômios e equações Assuto já estudado a disciplia de Itrodução ao Cálculo Neste capítulo, trataremos de poliômios, um tipo especial de fução Apresetamos iicialmete uma série de resultados sobre poliômios, que irão auxiliar os seus estudos O assuto equações será tratado em seguida Cotudo, daremos mais êfase às equações poliomiais Poliômios Um poliômio é uma fução do tipo px ( ) = ax+ a x + + ax+ ax+ a com a0, a, a,, a úmeros reais e ; a0, a, a,, a são os coeficietes do poliômio p( x ) O maior valor de para o qual a é diferete de zero é chamado de grau do poliômio; este caso, a é chamado o coeficiete domiate do poliômio Para o poliômio ulo p( x) 0 (com todos os coeficietes iguais a zero), ão está defiido grau Os poliômios de grau zero são costates diferetes de zero Deotamos o grau do poliômio p( x ) por p Igualdade de poliômios Dois poliômios são iguais quado m px ( ) = ax+ a x + + ax+ ax+ a e m qx ( ) = bx + b x + + bx + bx+ b m = e m- m- 0 a = b, a = b,, a = b, a = b, a = b m - m- 0 0

30 30 Assim, dois poliômios são iguais quado têm o mesmo grau e seus termos correspodetes são iguais Raiz de um poliômio Dizemos que k é raiz do poliômio px ( ) = ax+ a x + + ax+ ax+ a quado p( k ) = 0, ou seja, quado pk ( ) = ak + a k + + ak + ak+ a = Um poliômio de grau tem exatamete raízes complexas Evetualmete, essas raízes também podem ser reais, uma vez que (ou seja, o cojuto dos úmeros reais é subcojuto do cojuto dos úmeros complexos) Esse resultado é cohecido como Teorema Fudametal da Álgebra, que foi provado por Gauss Uma cosequêcia desse teorema os diz que um poliômio pode ser fatorado como px ( ) = ax+ a x + + ax+ ax+ a p( x) = a ( x-x )( x-x ) ( x-x ), em que x, x,, x são as raízes complexas (ou evetualmete reais) do poliômio Essas raízes ão são ecessariamete distitas Exemplos: 4 ) p( x) = x possui quatro raízes iguais, x x x3 x4 0 = = = = Diz-se, este caso, que zero é uma raiz de multiplicidade 4 q( x) = x -x iguais 5 3 ) possui cico raízes reais, mas três delas são De fato, x - x = 0 implica x ( x - ) = 0 e daí obtemos as raízes x =, x =-, x = x = x = 0 Zero é uma raiz de multiplicidade Teorema Se um poliômio px ( ) = ax+ a x + + ax+ ax+ a com a0, a, a,, a úmeros iteiros possui uma raiz racioal c d, etão e d a Lê-se: c divide a 0 ou c é divisor de a 0, já visto a disciplia de Fudametos da Matemática I

31 3 Demostração: Seja p c = 0 Tomado c d d em sua forma irredutível, temos - c c c c c p = a + a- + + a + a + a0 = 0 d d d d d Somado o oposto de a 0 em ambos os membros, obtemos - c c c c a + a- + + a + a =-a0 d d d d Multiplicado ambos os membros por d, a c + a c d + a c d + + a c d + a cd =- a d Colocado c em evidêcia, c( a c + a c d + + a cd + a d ) =- a d Como a0, a, a,, a são úmeros iteiros, pela defiição de divi- sibilidade teremos que c - a0d Como c ão é um divisor de (pois c d é irredutível), temos que c a 0 d Por outro lado, se - c c c c a + a- + + a + a + a0 = 0, d d d d podemos escrever - c c c c a =- a- + + a + a + a0 d d d d Multiplicado ambos os membros por d, teremos ac =- a- c d + + ac d + acd + a0d Colocado d em evidêcia o membro da direita, ac =- d a-c + + ac d + acd + a0d Assim, - d a c, ou seja, d a c Como d ão é um divisor de c (pois c d é irredutível), devemos ter d a

32 3 Exemplos: 3) O poliômio 5 p( x) = x + 3x - 3 admite raiz racioal? Resolução: Se p( x ) admite uma raiz racioal c d (irredutível), etão c - 3 e d Logo, as possibilidades para o umerador c são, -, 3 e - 3 e para o deomiador d são e - As possíveis raízes racioais seriam etão - 3, -, ou 3 Vamos verificar: 5 p( - 3) =- ( 3) + 3( -3) - 3 = p( - ) = (- ) + 3( -) - 3 =- 0 5 p () = () + 3() - 3 = 0 5 p (3) = (3) + 3(3) - 3 = 67 0 Logo, p( x ) ão admite raízes racioais 4) Mostre que 5 é um úmero irracioal Resolução: 5 é raiz do poliômio p( x) = x - 5 Pelo teorema, suas possíveis raízes racioais são - 5, -, ou 5 Vamos verificar: p() = - 5 =-4 0 p( - ) = ( -) - 5 =-4 0 p(5) = 5-5 = 0 0 p( - 5) = (-5) - 5 = 0 0 Logo, esse poliômio ão admite raízes racioais Como deve ser irracioal 5 é raiz, 3 Operações com poliômios Faremos a seguir algus exemplos de adição, subtração e multiplicação de poliômios Esses algoritmos são bastate parecidos com os algoritmos das operações em Em osso estudo, essas operações estão defiidas para poliômios com coeficietes reais

33 33 Adição p x x x x 3 ( ) = q x x x x 4 3 ( ) = Para somar p( x ) e q( x ), fazemos uso das propriedades dos úmeros reais; o poliômio resultate da adição é: 4 3 s( x) = p( x) + q( x) =- 5 x + (3+ 7) x - x + (4+ ) x+ (-8-9) = = x 0x x 6x 7 Podemos também armar a cota, como fazemos com a adição de úmeros iteiros: 4 3 0x + 3x - x + 4x x + 7x + 0x + x x + 0x - x + 6x- 7 Nesse caso, é iteressate completarmos as potêcias de x que faltam com coeficietes zero Note que s max{ p, q} Utilizamos, aqui, a palavra difereça como siôimo de subtração Note que também aqui subtrair é somar o oposto Subtração Dados dois poliômios, p( x ) e q( x ), o poliômio d( x ), que resulta da difereça de p( x ) e q( x ), é dado por d( x) = p( x) - q( x) = p( x) + (- q)( x), ode (- q)( x) é o poliômio cujos coeficietes são os opostos dos coeficietes de q( x ) Veja um exemplo: p x x x x 5 4 ( ) = q x x x x x 5 3 ( ) = (- q)( x) = (- 7) x + (- 3) x + (-) x -(-9) x-( -3)

34 34 Somado p( x ) com (- q)( x), obtemos o poliômio difereça d( x) = [3 + (-7)] x - 8 x + (- 3) x + [5 + (-)] x -(- 9) x+ [ -(- 3)] = = x 8x 3x 4x 9x 4 Como vimos a adição s max{ p, q} Multiplicação Também a multiplicação de dois poliômios usamos o algoritmo da multiplicação de úmeros iteiros Veja o exemplo: p x x x x 3 ( ) = q x ( ) = x - 3 m( x) = p( x) q( x) = ( x - 3x + 5x-6) (x - ) = x (x ) 3 x (x ) 5 x(x ) 6(x ) 3 = = = x -x - x + x + x - x- x + = = x - 6 x + (- + 0) x + (3 -) x - 5x+ 6 = = x - x + x - x - x+ Portato, m( x) = x - 6x + 9x -9x - 5x+ 6 Note que, se p( x ) e q( x ) são poliômios ão ulos, etão m= p+ q Divisão (algoritmo da divisão para poliômios) Dados dois poliômios f( x ) e g( x ) ( g( x ) diferete do poliômio ulo), dividir f( x ) (dividedo) por g( x ) (divisor) é determiar dois poliômios q( x ) (quociete) e r( x ) (resto) de modo que se verifiquem as codições: Lembre-se de que, como acotece o cojuto dos úmeros iteiros, o quociete e o resto são úicos i) f( x) = g( x) q( x) + r( x) ; ii) r < g ou r = 0 Podem ocorrer três situações: ) O dividedo f é o poliômio ulo Nesse caso, q e r são também o poliômio ulo para qualquer g, pois 0= g 0+ 0

35 35 ) f < g Fazedo q = 0 e r = f, temos f( x) = 0 g( x) + f( x), o que satisfaz as codições 3) f g Nesse caso, como determiar os poliômios q( x ) e r( x )? Vamos fazer um exemplo usado o mesmo algoritmo que cohecemos para a divisão de iteiros Dividir f( x) x 3x 6x 4 3 = - + por g( x) = x - 3x+ 5 Temos etão que x x x x x x x 3x 5x 0x 0 x x + x + x + x x x 3x 5 + x x x x x x x x = ( ) ( + ) + (3-5) Assim, o quociete é com r = < g = q x ( ) x = + e o resto é r( x) = 3x- 5, Observação Quado f g, é sempre possível ecotrar poliômios q e r satisfazedo as duas codições Observação Quado a divisão de f por g o resto é o poliômio ulo, etão dizemos que f é divisível por g Teorema do Resto O resto da divisão de um poliômio f( x ) pelo poliômio g( x) = x- a é igual a f( a ) Demostração: Pela seguda codição do Algoritmo da Divisão para poliômios, devemos ter r < g = Logo, o resto r será o poliômio ulo ou terá grau zero (será uma costate) Como f( x) = q( x) ( x- a) + r( x), o valor umérico de f em a é dado por f( a) = q( a) ( a- a) + r( a) = q( a) 0+ r = r, o que demostra o resultado

36 36 Cosequêcias do Teorema do Resto ) ( Teorema D Alembert) a é raiz do poliômio f se, e somete se, f é divisível por x- a Demostração: De fato, se f( a ) = 0, etão, pelo Teorema do Resto, r = f( a) = 0 é o poliômio ulo e f é divisível por x- a Reciprocamete, se f é divisível por x- a, etão o resto r é o poliômio ulo e f( a ) = 0 Logo, a é raiz de f ) Se um poliômio f é divisível por x- a e por x- b, com a b, etão f é divisível pelo produto ( x-a)( x- b) Deixamos a prova como exercício 3) Se um poliômio f tem uma raiz a de multiplicidade, etão f é divisível por ( x- a) Deixamos a prova como exercício Relações etre Coeficietes e Raízes (Relações de Girard) Um poliômio depede uicamete de seus coeficietes e de seu grau; cosequetemete, há uma relação etre seus coeficietes e suas raízes Vamos deduzir essa relação para poliômios de grau e, em seguida, daremos a geeralização para poliômios de grau Cosidere um poliômio de grau, p( x) = ax + bx + c, cujas raízes são x e x Pelo Teorema Fudametal da Álgebra, temos p( x) = a( x-x )( x- x ), ode x e x são as raízes de p( x ) Etão, para todo x, temos a igualdade ax + bx + c = a( x -x )( x - x ) Desevolvedo o membro da direita, obtemos ax bx c ax a( x x) x axx + + = Pela igualdade de poliômios, temos que b b= a( -x- x) =- a( x+ x) x+ x =- e a c c = axx xx = a

37 37 Geeralizado essa ideia, se p( x ) é um poliômio de grau, px ( ) = ax+ a x + + ax+ ax+ a com raízes x, x,, x, obtemos as relações: a S = x+ x + x3+ + x =- a - a S = xx + xx x- x = a - a S3 = xxx 3 + xxx x-x- x =- a -3 Exemplo: 0 = 3 = (- ) a S x x x x a 3 5) Determie as raízes do poliômio p( x) = x + 5x -x- 36, sabedo que uma raiz é igual ao produto das outras duas Resolução: Se a, b, c são as raízes do poliômio e a 3 =,, a = 5,,, a =-,,, a 0 =- 36 são os coeficietes, pelas Relações de Girard temos: a S = a+ b+ c=- =-5 a = + + = =- a3 S ab ac bc S a 3 a0 = abc = (- ) =-( - 36) = 36 a Como a = bc (uma das raízes é igual ao produto das outras duas), substituido em S 3, obtemos abc a a a = = 36 = 6 ou =- 6 i) Se a = 6, de S temos b+ c=- e de S temos 6( b+ c) + 6 =-, ou seja, b+ c=- 3 Isso é uma cotradição, o que sigifica que ão ocorre a = 6 ii) Se a =- 6, de S temos b+ c=, isto é, c= - b Substituido em bc =- 6, obtemos

38 38 b( - b) =-6 b b - + = b 6 0 -b- 6= 0 Resolvedo a equação do segudo grau, temos b = 3 ou b =- Se b = 3, etão c = - 3=- e se b =- temos c = -(- ) = 3 Assim, as raízes do poliômio são 6, 3 e (Verifique!) Exercícios resolvidos ) Mostre que, se a soma dos coeficietes de um poliômio é zero, etão ele é divisível por x - Resolução: Cosideremos um poliômio px ( ) = ax+ a x + + ax+ ax+ a com a a- a a a = 0 Isso sigifica que p() = a + a + + a + a + a = 0, ou seja, é raiz de p( x ) - 0 Resposta: O poliômio é divisível por x - ) 3 Sabedo-se que é raiz dupla do poliômio p( x) = x - 3x+, determie o cojuto dos úmeros reais para os quais está defiida a expressão p( x ) Resolução: Para que a expressão esteja defiida, devemos p( x) ter p( x ) > 0 Iicialmete vamos ecotrar todas as raízes do poliômio Se é raiz dupla, etão p( x ) é divisível por ( x - ) (cosequêcia 3 do Teorema do Resto) Efetuado essa divisão, obtemos p( x) = ( x- ) ( x+ ) Etão, se ( x- ) ( x+ ) = 0, tem-se x = ou x =- Assim, a outra raiz do poliômio é - Devemos excluir do cojuto os úmeros e Vejamos agora quado p( x) = ( x- ) ( x+ ) > 0 Como o primeiro fator é sempre positivo (pois é um quadrado), basta sabermos quado x + > 0 Isso os dá x >-

39 39 Resposta: O cojuto dos úmeros para os quais está defiida a expressão é: A= { x / x> - e x } = ( -, + ) -{} p( x) 3) Sabedo que uma das raízes de calcule todas as outras 3 p( x) = x + 6x -x- 30 é, Resolução: Se uma das raízes é, etão o poliômio é divisível por x - Efetuado essa divisão, temos 3 x x x x x x = ( - )( ) As outras raízes de p( x ) serão as raízes de uma vez que q( x) = x + 8x+ 5, ( x )( x 8x 5) 0 x 0 ou x 8x = - = + + = Como a soma das raízes de q( x ) é - 8 e o produto é 5, cocluímos que as raízes de q( x ) são - 3 e - 5 Resposta: As raízes de p( x ) são, -3 e -5 4) Qual o resto da divisão de g( x) = x+? 000 p( x) = x + x + 56 por Resolução: Pelo Teorema do Resto, como x+ = x-( - ), temos 000 que esse resto é p( - ) = (- ) + (- ) + 56 = = 58 Resposta: O resto da divisão é 58 Exercícios propostos ) Determie os valores de A e B tais que A B = + x - x- x+ ) 3) Qual o úmero de raízes reais do poliômio p( x) = ( x + )( x- ) ( x+ )? Determie o quociete e o resto da divisão de 3 f( x) = x + x + x+ por g( x) = x + 3 4) Cosidere o poliômio valor de a para que: p( x) = 8 x -( a- ) x+ ( a- 7) Qual o

40 40 a) p( x) teha raízes reais e iguais? b) p( x) teha raízes opostas uma da outra? c) p( x) teha uma raiz ula? 5) Determie um poliômio de grau 3 cujas raízes são, e 3 6) Determie um poliômio f de grau tal que f (0) =, f ( ) = 4 e f ( - ) = 0 7) Um poliômio codições: 3 p( x) x ax bx c = satisfaz as seguites (i) p ( ) = 0 ; (ii) p( - x) + p( x) = 0, x Qual o valor de p ()? 6 8) Se p( x) = x - 3x + x - é um poliômio, qual o meor valor de? 9) Se dividirmos um poliômio p( x ) por x -, o resto é 3 e, se dividirmos p( x ) por x +, o resto é 5 Se r( x ) é o resto da divisão de p( x ) por x - 4, qual o valor de r ( )? 0) Qual o valor de m para que o resto da divisão de 3 p( x) = x -x - 4x+ m por x + seja zero? Equações poliomiais Dados dois poliômios, f( x ) e g( x ), chama-se equação poliomial (ou equação algébrica), a seteça aberta f( x) = g( x) Exemplos: 6) 7) 5 3 x x x x x = x x x = 0 Resolver uma equação é determiar todos os valores de x que satisfazem a igualdade f( x) = g( x) Dizemos também que os valores de x que satisfazem a igualdade são as raízes da equação Ao co-

41 4 juto das raízes da equação damos o ome de cojuto solução (ou cojuto verdade) da equação Todos os resultados que estudamos para poliômios serão úteis a resolução das equações poliomiais (por exemplo, as Relações de Girard, raízes múltiplas e outros) Exercícios resolvidos 5) Qual a média aritmética das raízes da equação 3 x x 6x - =? Resolução: 3 x x 6x - = pode ser escrita como 3 x x x x x = 0 ( x 6) = Etão, uma das raízes é zero e as outras duas são as raízes de x -x- 6= 0 Resolvedo essa equação, temos as raízes - e 3 O cojuto solução da equação é S = {0, -, 3} e a média aritmética das raízes é 0 + (- ) + 3 m = = 3 3 Resposta: A média aritmética das raízes é 3 6) Quais os valores de m e reais para os quais a equação 3 x - x + mx + = 0 admite uma raiz de multiplicidade 3? 3 Resolução: O problema os diz que as três raízes da equação são iguais; vamos chamar esse valor de b Se cosideramos o poliômio p( x) = - x + mx +, etão p( x ) tem uma raiz de mul- 3 x 3 tiplicidade 3 Pelas Relações de Girard, Assim, p () = 0 e teremos (-) b+ b+ b= 3b=- = 6 b= 3 p m 3 3 () = = 0

42 m+ 3 = 0 3 6m+ 3= 6 Por outro lado, também pelas Relações de Girard, b m = = m m= Substituido m = 4 em (), temos = 6 3 = =- 3 Resposta: Os valores procurados são m = 4 e Exercícios propostos 8 q =- 3 Você sabe verificar se ecotrou os valores corretos? ) Determie uma raiz real da equação 3 ( ) x = ) Se a e b são, respectivamete, a maior e a meor das raízes 4 de x - 0x + 9 = 0, qual o valor de a- b? 3) Se as raízes da equação x + bx + 7 = 0 são múltiplos positivos de 3, qual o valor de b? 3 4) Determie as raízes da equação x - x + 39x- 8 = 0 sabedo que uma das raízes é a média aritmética das outras duas 5) Resolva a equação raízes são opostas 3 x x x = 0 sabedo que duas 6) Qual o valor de m para que a equação uma raiz de multiplicidade? x 3 + mx - = 0 teha

43 Capítulo 3 Sequêcias Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas

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45 Capítulo 3 Sequêcias Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas Neste capítulo, apresetamos iicialmete a defiição formal de sequêcia, a otação usual e as duas pricipais sequêcias utilizadas, que são a progressão aritmética (PA) e a progressão geométrica (PG) 3 Sequêcias Uma sequêcia é qualquer cojuto ordeado de elemetos Por exemplo, o cojuto dos úmeros primos: (, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, ) Embora essa sequêcia seja muito importate, ela ão possui uma lei de formação, isto é, ão temos uma fórmula que os foreça cada termo desta sequêcia Muitas sequêcias podem ser expressas por uma lei de formação Isso sigifica que podemos obter um termo qualquer da sequêcia a partir de uma expressão que relacioa o valor do termo com sua posição Essa expressão é deomiada termo geral da sequêcia * De modo geral, uma sequêcia é uma fução f : B Isto é, a cada úmero atural ão ulo, associa-se um elemeto do cojuto B O termo geral pode etão ser escrito a = f( ) Notação: ( a ) Em uma sequêcia, deotamos a o primeiro termo, a o segudo termo e assim sucessivamete até a o -ésimo termo Sequêcia Fiita: ( a, a, a3,, a ) Sequêcia Ifiita: ( a, a, a3,, a, )

46 46 Note que os cojutos A = {, 4, 6, } e B = { 6, 4,, } são iguais, porém as sequêcias A = (, 4, 6, ) e B = (6, 4,, ) são diferetes, pois para serem iguais teriam que possuir os mesmos termos com a mesma ordem Se pesarmos em uma sequêcia como uma fução, a igualdade de sequêcias é uma igualdade de fuções * Como o domíio é, duas sequêcias ( a ) e ( b ) são iguais * quado a = b para todo 3 Progressão aritmética Chama-se progressão aritmética (PA) à sequêcia de termos que segue um padrão de formação tal que seus termos, a partir do segudo, são origiados pela soma do termo aterior com uma costate r, chamada de razão da progressão Isto é: Ateção: Pesquisar sobre a origem desta deomiação a = a + r,, Exemplos: ) (, 3, 5, 7, 9, ) 3 = 5 3 = 7 5 = 9 7 = Portato, r = ) (6,, 6,, 6, ) 6 = 6 = 6 = 5 Portato, r = 5 3) ( 4,,, 5, ) ( 4) = ( ) = 5 = 3 Portato, r = 3 4) (5, 4, 3,,, 0,, ) 4 5 = 3 4 = = = Portato, r = 5) ,,,,6,, ( 4) = = = 6 = = Portato, 5 r =

47 47 3 Expressão do termo geral Da defiição de PA, temos que: a = a + r a3 = a + r = a+ r+ r = a+ r a4 = a3+ r = a+ r+ r = a+ 3r Seguido com esse processo, para o -ésimo termo obtemos as fórmulas para termos quaisquer: Exemplo: a = a + ( ) r, com a = a + ( k) r, com k * *, k (caso geral) 6) Para determiar a expressão do termo geral da PA ( 5,, 7, 3, ), devemos cohecer o a (primeiro termo) e a razão r Nessa PA, temos a = 5 e r = 6 Etão, o termo geral será a = 5 + ( ) 6 ou a = 6 3 Propriedades de uma PA a) Podemos relacioar três termos cosecutivos de uma PA da a + a+ seguite maeira: a = Isso sigifica que, para quaisquer três termos cosecutivos, o termo cetral é a média aritmética dos outros dois termos b) Em uma PA, a soma dos termos extremos é igual à soma dos termos equidistates a eles Sedo ímpar o úmero de termos da PA, a soma dos extremos é igual a duas vezes o termo médio Exemplos: 3 5 7) Cosidere a PA,,,, e os termos 3 a =, a 3 = e a + a4 + 3 a 4 = Etão, = = = a3

48 48 8) Cosidere a PA com 0 termos (, 4, 6, 8, 0,, 4, 6, 8, 0) Observe que + 0 = = = = 0 + = 9) Para PA com 5 termos ( 3,,, 3, 5), temos também: =, + 3 = A soma dos extremos,, é o dobro do termo cetral (ou médio) a 3 = 33 Classificação Classifica-se uma PA em relação à sua razão r : Caso r > 0, a PA é crescete; Caso r < 0, a PA é decrescete; Caso r = 0, a PA é costate 34 Soma dos termos Cosidere a PA ( a, a,, a, a) A soma dos termos da PA dada é defiida por: S = ( a + a) Exemplo: 0) Cosidere a PA (7, 4,,, 5, 8,, 4) a = 7 e = 8 (7 + ( 4)) A soma de seus termos é S8 = 8 = ( 7) 4 = 8 Observação: Note que a soma dos termos de uma PA idepede de sua razão Teorema A soma dos termos de uma PA ( a, a, a3,, a, a) é ( a + a) dada por S =,

49 49 Demostração : Faremos por idução sobre o úmero de termos da PA (i) Para =, a = a, e a PA tem termo, a, cuja soma é a ou ( a+ a) S = = a Logo, vale para = ( a + a) (ii) HI : S = a+ a + + a + a = Devemos provar que: ( a+ a+ ) S+ = a+ a + + a + a + a+ = ( + ) De fato: ( a + a) a+ a + + a + a + a+ = + a+ [ a + a + ( ) r] [ a + ( ) r] = + a = + a + + ( ) r ( ) r = a + + a+ = a + + a+ r + = a( + ) + r + = a( + ) + r r r = a( + ) + ( + ) = a+ ( + ) a + r a + a + r ( ) ( ) = + = + a + a ( ) + = + = S + Logo, a afirmação é verdadeira para todo Demostração : Seja ( a) uma sequêcia em progressão aritmética de termos Seja S = a+ a + + a + a a soma dos termos dessa PA Lembrado da expressão do termo geral, podemos reescrever essa soma a forma S = a + ( a + r) + ( a + r) + + ( a + ( ) r) ou, equivaletemete, S = a + ( a r) + ( a r) + + ( a ( ) r)

50 50 Agora, se somarmos essas duas equações, observado que existem parcelas o membro direito, obtemos: S = ( a + a ) + ( a + a ) + + ( a + a ), o que os dá a fórmula da soma dos primeiros termos de uma PA S = ( a + a) Exercícios resolvidos ) A soma dos primeiros termos de uma PA é expressa pela fórmula S = Calcule o décimo quito termo dessa PA Resolução: Notemos, primeiramete, que Assim, S a 0 = = = 5 S5 = ( a + a5) 5 = + 70 = 0 +a ( 0 a5) 36 = 0 + a 5 a 5 = 46 Resposta: O décimo quito termo dessa PA vale 46 ) Determie a PA com dez termos sabedo que a soma dos dois primeiros é 5 e a soma dos dois últimos é 53 Resolução: a + a = 5 a + r = 5 a9 + a0 = 53 a + 7r = 53 Dimiuido uma equação da outra, temos 6r = 48 r = 3 Dessa forma, a+ 3= 5 a = 5 3= a = Resposta: A PA é dada por (, 4, 7,0,3,6,9,, 5, 8 )

51 5 33 Progressão geométrica Chama-se progressão geométrica (PG) à sequêcia de termos que segue um padrão de formação tal que seus termos, a partir do segudo, são origiados pelo produto do termo aterior por uma costate q, chamada de razão da progressão Isto é: Exemplo: a = a q com, ) As sequêcias ( 000,800,640, ) e (, 6, 36, ) são progressões geométricas de razão 5 e 6, respectivamete 33 Expressão do termo geral Da defiição de PG, temos que: a = a q a = a q = ( a q) q = a q 3 a = a q = ( a q ) q = a q Seguido com esse processo para o -ésimo termo, obtemos as fórmulas: a = a q com k * a = ak q com, k (caso geral) 33 Propriedades de uma PG a) Podemos relacioar três elemetos cosecutivos de uma PG da seguite maeira: a a a + = ou a a a+ a = Isto é, para quaisquer três termos cosecutivos, o termo cetral é a média geométrica dos outros dois termos

52 5 b) Em uma PG, o produto dos termos extremos é igual ao produto dos termos equidistates a eles Caso o úmero de termos seja ímpar, o produto dos extremos é igual ao quadrado do termo médio 333 Classificação i) Caso q > a) Se os termos forem positivos, a PG é crescete b) Se os termos forem egativos, a PG é decrescete ii) Caso 0< q < a) Se os termos forem positivos, a PG é decrescete b) Se os termos forem egativos, a PG é crescete iii) Caso q < 0, a PG é alterada (termos positivos e egativos) iv) Caso q =, a PG é costate v) Caso q = 0, a PG é dada por ( a, 0, 0, ) Exemplos: ) Supoha que a população de um determiado Estado seja hoje T habitates e que sofre um aumeto de 3% ao ao Determie qual o úmero de habitates dessa população daqui aos Resolução: Sofredo um aumeto de 3% ao ao, o úmero de habitates é 03% do úmero de habitates do ao aterior Portato, a cada ao decorrido o úmero de habitates sofre uma multiplicação por 03, isto é, por,03 00 Resposta: Dessa forma, após aos, o úmero de habitates será igual a T (, 0 3 ) 3) Em uma PG alterada, o quarto termo é igual a 3, e o sexto é 6 Qual o valor da razão dessa PG?

53 53 Resolução: Temos que a 4 = 3 e a 6 = 6 Dessa forma, = = = =± a6 a4 q 6 3q q q Resposta: Uma vez que a PG é alterada, cocluímos que a razão é q = 334 Soma dos termos Teorema A soma dos termos da PG ( a, a,, a, a), com razão q 0 e q, é: ( a ) q S = q Demostração: Seja a PG fiita com termos dada por ( a, a,, a, a ) A soma de seus termos é dada por S = a + a + + a + a (I) Multiplicado-se ambos os lados dessa equação pela razão q 0 da PG, obtemos: S q = ( a + a + + a + a ) q S q = aq+ a q+ + a q+ a q S q = a + a + + a + a q (II) 3 Subtraido (I) de (II), obtemos: S q S = a q a S ( q ) = a q a S a q a = q Substituido a a q =, ficamos com a fórmula S S a q q a = q ( a ) q = q

54 54 Observação: Por outro lado, seja a PG ifiita ( a, a,, a, ) de razão q Supoha que queiramos calcular a soma de seus ifiitos termos Essa soma faz setido? Note que, se q >, os termos da PG são crescetes e, portato, ão teremos uma soma bem defiida, isto é, ão teremos uma soma fiita Também se q < 0, ão teremos uma soma fiita No etato, se 0< q <, os termos sofrerão decréscimo a cada passo, torado-se úmeros muito próximos a zero Dessa forma, teremos um limite para a soma Seja o úmero de termos A medida que tora-se cada vez maior, o valor de q tora-se um úmero tão pequeo quato se queira, cada vez mais próximo de zero Assim, temos que lim q = 0 e, x portato, a( q ) a lim S = S = lim = x x q q Logo, a fórmula para a soma de ifiitos termos em PG é dada a por S = q Exercícios resolvidos 3) Em uma PG crescete de três termos, o segudo termo é igual à razão Se do terceiro termo subtrairmos 4, os três ovos úmeros, a mesma ordem, formarão uma PA crescete Determie a soma dos termos da PG Resolução: Seja q a razão da PG dada Desde que a = q, a = aq e a3 = aq segue que a PG é dada por ( a, a, a3) = (, q, q ), equato que a PA ( a, q, a 4) = (, q, q 4) 3 Dessa forma, pela lei de formação da PA, temos: q q q q 4 = q 3= 0 Resolvedo a equação do grau, obtemos os possíveis valores para a razão q ' = q ' = 3 Como a PG é crescete, tomamos q = 3 Logo, a PG é dada por (,3,9), e a soma de seus termos é: = 3 Resposta: A soma dos termos da PG é igual a 3

55 55 4) Qual o úmero de termos da PG em que a 3 = 9, q = 3 e S = 093? Resolução: Como a fórmula para a soma depede de a, calculamos este por meio de a 3 : a = a q Portato, 3 9= a 3 a = (3 ) = = 3 3 = = = = = Resposta: O úmero de termos da PG é = 7 Exercícios propostos ) ) Determie a quatidade de múltiplos de 4 compreedidos etre 90 e 00 Determie três úmeros em PA sabedo que sua soma é e que a soma de seus quadrados é 66 3) Em uma PG, a soma do terceiro com o quito termo vale 45, e a soma do quarto com o sexto termo vale 35 Determie a razão dessa PG 4) A soma dos primeiros termos de uma PG é dada pela expressão S = Determie a razão e o primeiro termo dessa PG 5) A soma de três úmeros em progressão aritmética crescete é Se somarmos ao terceiro termo, a ova sequêcia costitui uma progressão geométrica Determie o produto dos três termos da progressão geométrica 6) Quatos úmeros etre 000 e 0000 têm seus algarismos em PA? E em PG?

56 56 7) A soma dos termos de uma PG crescete de três termos positivos é, e a difereça etre os extremos é 5 Determie a razão dessa PG 8) Um químico tem litros de álcool Ele retira 3 litros e os substitui por água Em seguida, retira 3 litros da mistura e os substitui por água ovamete Após efetuar esta operação 5 vezes, aproximadamete quatos litros de álcool sobraram a mistura? Quatas operações são ecessárias para se ter meos que um litro de álcool a mistura? 9) Dadas as sequêcias ( 4 a, 3, a 7 b) e ( a, 3, b ), determie o valor de a+ b sabedo que a primeira sequêcia é uma progressão aritmética decrescete e a seguda é uma progressão geométrica decrescete 0) A soma dos termos de ordem ímpar de uma PG ifiita é 8 3, e a soma dos termos de ordem par é 4 Calcule o termo 3 dessa PG ) Os iteiros de a 000 são escritos ordeadamete em toro de um círculo Partido de, riscamos os úmeros de 5 em 5 O processo cotiua até se atigir um úmero já riscado Quatos úmeros sobraram sem serem riscados? ) Qual a razão da progressão aritmética que se obtém iserido 8 termos etre e 38?

57 Capítulo 4 Trigoometria

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59 Capítulo 4 Trigoometria Iremos, ao logo deste capítulo, aalisar, elaborar e resolver problemas utilizado a trigoometria o triâgulo e as fuções trigoométricas Ateção: teha em mãos os materiais destas disciplias durate o estudo deste capítulo Neste capítulo vamos trabalhar com trigoometria, um assuto que você já estudou as disciplias de Geometria e Itrodução ao Cálculo Iiciaremos com uma relação das pricipais fórmulas da trigoometria, ilustrado sua utilização com algus exercícios resolvidos Em seguida, faremos uma exposição das equações trigoométricas, de exercícios resolvidos e exercícios propostos 4 Relações fudametais e fórmulas 4 Relações fudametais e fórmulas para valores x a primeira determiação positiva se x+ cos x=, x [0, ] se x tg x=, x [0, ] e cos x 3 x, Relações Fudametais cos x cotg x=, x ]0, [ e x se x sec x=, x [0, ] e cos x 3 x, cossec x=, x ]0, [ e x se x

60 60 cotg x=, x ]0, [ e tg x 3 x,, Cosequêcias tg x sec x, x [0, ] + = e cotg x cossec x, x ]0, [ 3 x, + = e x + tg x cos x=, x [0, ] e 3 x, tg x + tg x se x=, x [0, ] e 3 x, 4 Relações apresetadas em cos( a± b) = cos acosb se ase b, a, b Fórmulas da adição se( a± b) = se acosb± cos ase b, a, b tg a± tg b tg( a± b) =, ab,, a + k, tg a tg b b + k, a± b + k, k cotg a cotg b cotg( a+ b) =, ab,, a k, cotg a+ cotg b b k, a+ b k, k cos cos se, a = a a a Fórmulas de multiplicação cos cos, a = a a cos se, a = a a sea = se a cos a, a Fórmulas da divisão a + cos a cos =±, a a cos a se =±, a