Matemática Ensino Fundamental II

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1 FORMAÇÃO DE PROFESSORES Cadero Bimestral II Matemática Esio Fudametal II

2 O programa Ação Educação da Fudação Vale tem como objetivo cotribuir para o desevolvimeto humao os territórios ode atua, apoiado os muicípios em ações que cotribuam para fometar a justiça social e promover a iclusão o mercado de trabalho da forma mais equâime possível. Diretora Fudação Vale Isis Pagy Gerete - geral de Educação Fudação Vale Joaquim Atôio Goçalves Equipe de Educação Fudação Vale Adreia Prestes Aa Cláudia Eutrópio B. d Adrea Cláudia Costa Lília Neves Apoio editorial Departameto de Comuicação Corporativa Vale Parceiro Comuidade Educativa CEDAC Projeto Gráfico e Diagramação Crama Desig Ivetum Desig

3 Matemática Cadero Bimestral II Possíveis obstáculos a compreesão de úmeros racioais e iteiros egativos Professor(a) Iiciamos, o primeiro Cadero Bimestral, uma discussão acerca da importâcia da resolução de problemas como estratégia didática e a iteração etre pares. Esses temas servirão de alicerces em todos os caderos. Cotiuaremos privilegiado a troca de experiêcias etre os participates, tato os ecotros preseciais quato as atividades virtuais, com o ituito de valorizar o cohecimeto e a experiêcia que cada um possui, além de proporcioar aquisição de ovos cohecimetos a sua área de atuação. Ao logo deste cadero, teremos como tema cetral algus obstáculos presetes a compreesão dos úmeros racioais e dos iteiros egativos. Espera-se desevolver e/ou ampliar as seguites competêcias docetes este bimestre: Recohecer a importâcia da formação apoiada a prática docete, o cohecimeto de pesquisas educacioais e de documetos oficiais e a troca de experiêcias etre seus pares. Recohecer a prática docete de matemática como uma possibilidade de criação e reflexão de ovos cohecimetos que poderão ser modificados cotiuamete. Compreeder a importâcia da resolução de problemas como estratégia de esio a matemática. Desevolver estratégias de esio que privilegiem a criatividade e a autoomia do pesameto matemático dos educados, por meio da resolução de problemas e com mais êfase os coceitos que as técicas. Neste ecotro, você participará de situações as quais abordaremos os seguites coteúdos: 1

4 Formação de Professores Neste ecotro, você participará de situações as quais abordaremos os seguites coteúdos: Resultados da Prova Brasil de aluos do 9 o ao em 2007 e Formas de orgaização dos aluos a resolução de problemas: trabalho idividual, trabalho em pequeos grupos, trabalho coletivo. O recurso à resolução de problemas. Diferetes tipos de obstáculos presetes a matemática. 2

5 Matemática Cadero Bimestral II Ecotro presecial Duração: 4h Para iício de coversa Duração: 40mi O que já vivemos... Nesta primeira etapa, vamos socializar, em dois mometos, o desevolvimeto da atividade Aplicação Prática realizada o bimestre aterior. Para isso, retome o registro da atividade realizada por você. Mometo 1 1. Em pequeos grupos, cada professor deverá compartilhar sua vivêcia em sala de aula, relatado as dificuldades ou facilidades que teve durate o desevolvimeto da atividade Aplicação Prática com seus aluos. Desta forma, discuta com seus colegas as seguites questões: Houve ecessidade de replaejar a atividade? Como foi a preparação do ambiete para a realização da atividade pelos aluos? Como ocorreu a iteração etre pares durate a realização do problema proposto? Após essa atividade, você propôs ovos problemas? Cote-os como têm sido suas aulas. Mometo 2 1. Cada grupo deverá socializar com os demais participates as discussões realizadas em cada subgrupo, apresetado os pricipais gahos ou dificuldades observadas a realização da Aplicação Prática. Atividade de cotextualização Duração: 30mi O primeiro Cadero Bimestral apreseta o resultado da Prova Brasil de 2009 de uma determiada escola. Agora, a proposta é verificar e aalisar os resultados acioais. Compare as duas últimas edições desse sistema de avaliação, relacioados o quadro a seguir. Ao Escolas Muicipais 237,58 239,19 Escolas Estaduais 241,63 242,87 Quadro 1: Média acioal em matemática os aos fiais Esio Fudametal. Fote: Iep 3

6 Formação de Professores 1. Idividualmete, aalise os dados apresetados o quadro 1. Eles apresetam a média da escala de desempeho acioal das escolas muicipais e estaduais. Cosulte o documeto Descrição dos íveis da escala de desempeho em matemática o Esio Fudametal Saeb 5 o e 9 o aos do Esio Fudametal presete o fim do Cadero Bimestral I; Relacioe cada média ao seu respectivo ível de escala de desempeho de matemática; Observe as competêcias/habilidades que ão foram alcaçadas pelos aluos ao térmio do Esio Fudametal. 2. Aida o documeto Descrição dos íveis da escala de desempeho em matemática, em quais íveis aparecem exemplos de habilidades relacioadas aos úmeros iteiros? E aos úmeros racioais? O ível em que se ecotra a média acioal cotempla esses cohecimetos matemáticos? Leia os seguites fragmetos extraídos dos Parâmetros Curriculares Nacioais, acerca das orietações didáticas para o bloco de coteúdos Números e operações. Embora o estudo dos úmeros e das operações seja um tema importate os currículos do Esio Fudametal, costata-se, com frequêcia, que muitos aluos chegam ao fial desse curso com um cohecimeto isuficiete dos úmeros, de como eles são utilizados e sem ter desevolvido uma ampla compreesão dos diferetes sigificados das operações. Provavelmete isso ocorre em fução de uma abordagem iadequada para o tratameto dos úmeros e das operações e à pouca êfase que tradicioalmete é dada a este assuto os terceiro e quarto ciclos. (pág. 95)... o trabalho com as operações, ao logo de todo o Esio Fudametal, os professores costatam que uma das maiores dificuldades dos aluos está em relacioar a situação-problema com a operação que permite obter a resposta. (pág. 95)... a escola, o estudo dos úmeros iteiros costuma ser cercado de dificuldades, e os resultados, o que se refere à sua apredizagem ao logo do Esio Fudametal, têm sido bastate isatisfatórios. (pág. 97) Quato ao tratameto pedagógico dado a esse coteúdo, a êfase a memorização de regras para efetuar cálculos, geralmete descotextualizados, costuma ser a tôica da abordagem dada aos úmeros iteiros o terceiro e o quarto ciclos. (pág. 98) Parâmetros Curriculares Nacioais Matemática. Brasília: MEC/SEF, Discuta com seus colegas de grupo as suas reflexões e respostas, procurado relacioar com os trechos destacados dos PCN. Como tem sido a abordagem dos úmeros iteiros as suas aulas? E a dos úmeros racioais? 4

7 Matemática Cadero Bimestral II É possível costruir cohecimetos relacioados a esses cojutos uméricos, sem privilegiar a memorização das regras de siais? Como? De que maeira os aluos costroem sigificados para esses cojutos? Para pesar O artigo 32 da LDB (9394/96) dispõe dos objetivos do Esio Fudametal. Etre eles estão a formação de atitudes e valores, bem como o fortalecimeto dos vículos familiares, dos laços de solidariedade humaa e de tolerâcia recíproca em que se asseta a vida social. Assim, as aulas de matemática podem cotribuir também a aquisição e/ou ampliação desses objetivos, uma vez que a evolução desta área do cohecimeto se deu a partir dos problemas e ecessidades da humaidade, como, por exemplo, o surgimeto dos úmeros egativos pelos gregos e chieses a atiguidade. Para isso, é essecial que o professor coheça a realidade e os aseios dos seus aluos. A prática em questão Duração: 2h40mi Mometo 1 Obstáculos O trabalho a ser desevolvido este mometo proporcioará, por meio da vivêcia de situações-problema em cojuto com os colegas, a reflexão sobre a prática docete, especificamete o que diz respeito a certos obstáculos o processo de esio e apredizagem o cotexto dos úmeros racioais. 1. Idividualmete, resolva as duas situações-problema a seguir e, em seguida, respoda às questões cotidas o Para refletir. Registre, por escrito, todas as respostas e procedimetos utilizados. Situação-problema 1. Tetado resolver certa situação-problema, um aluo percebeu que deveria resolver as operações idicadas os ites a seguir, e assim o fez. Por que as operações foram resolvidas icorretamete? a) = b) x = 5 20 c) = d) 8 1 = 4 2 5

8 Formação de Professores Para refletir Esse tipo de resposta é recorrete etre seus aluos? A que você atribui esse tipo de erro? Como você abordaria cada um desses erros, supodo que fossem cometidos por seus aluos? Situação-problema 2. Represete os seguites úmeros racioais a reta umerada: 6, , ,05 6,5 5,99 5, Para refletir Você imagia que seus aluos teriam dificuldade para resolver esse problema? Que tipo de dificuldade? Supodo que eles ecotrem dificuldade, como você abordaria a questão em sala de aula? 2. Agora o trabalho será realizado em pequeos grupos, de três a cico professores (idepedetemete da série em que lecioam). Cada participate deverá compartilhar com o grupo suas respostas e reflexões acerca das questões cotidas o item aterior. Mesmo que algus participates ão teham coseguido resolver ou respoder algo, ou teham cosiderado fáceis as questões, é importate que compartilhem suas reflexões e seus registros com os colegas. Após compartilharem todas as respostas e reflexões, em coseso, o grupo deve escolher uma resposta a cada uma das questões cotidas o Para refletir e socializá-las com o grade grupo, a terceira etapa. Observação: em vez de escolherem uma resposta, podem elaborar uma resposta ova, baseada em toda a discussão feita o grupo. 6

9 Matemática Cadero Bimestral II 3. Agora a reflexão será coletiva: um participate de cada subgrupo deve apresetar as respostas (que julgaram mais adequadas) dadas às questões cotidas o Para refletir. Deve, aida, justificar e fudametar as respostas cosiderado as experiêcias que os professores do grupo têm em sala de aula. Todos os participates cosideraram comus os erros da questão 1, o cotexto das operações com úmeros racioais? Por que imagiaram que certos aluos cometem esses erros? Os motivos são comus? E quato à abordagem que fariam? As ideias são comus? Há uma úica forma de abordar a questão? Foram utilizadas estratégias diferetes? Quatas? Cosiderado a questão 2, os professores, em geral, imagiaram que seus aluos ecotrariam dificuldades para resolver o problema? Os tipos de dificuldade que surgiram foram comus? E quato à abordagem? As ideias são comus? Há uma úica forma de abordar a questão? Foram utilizadas estratégias diferetes? Quatas? 4. Nesta etapa fial (do Mometo 1), fudametaremos a reflexão feita ateriormete, tomado como base um trecho dos Parâmetros Curriculares Nacioais - Terceiro e quarto ciclos do Esio Fudametal - Matemática. Trata-se de orietações didáticas que pretedem cotribuir para a reflexão a respeito de como esiar, abordado aspectos ligados às codições em que se costituem os cohecimetos matemáticos, particularmete sobre os úmeros racioais. Orgaize-se com seus colegas de grupo (os pequeos grupos formados ateriormete) para ler de maeira compartilhada o trecho abaixo. Procure refletir sobre as questões discutidas coletivamete, tetado perceber relações etre a discussão e a leitura. Números racioais Embora as represetações fracioárias e decimais dos úmeros racioais sejam coteúdos desevolvidos os ciclos iiciais, o que se costata é que os aluos chegam ao terceiro ciclo sem compreeder os diferetes sigificados associados a esse tipo de úmero e tampouco os procedimetos de cálculo, em especial os que evolvem os racioais a forma decimal. Uma explicação para as dificuldades ecotradas possivelmete deve-se ao fato de que a apredizagem dos úmeros racioais supõe rupturas com ideias costruídas para os úmeros aturais. Ao trabalhar com os úmeros racioais, os aluos acabam tedo de efretar vários obstáculos: Todos os participates cosideraram comus os erros da questão 1, o cotexto das operações com úmeros racioais? A comparação etre racioais: acostumados com a relação 3 > 2, terão de compreeder uma desigualdade que lhes parece cotraditória, ou seja, 1/3 < 1/2. Se o tamaho da escrita umérica, o caso dos aturais, é um bom idicador da ordem de gradeza (8.345 > 83), a comparação etre 2,3 e 2,125 já ão obedece ao mesmo critério. 7

10 Formação de Professores Se, ao multiplicar um úmero atural por outro atural (sedo este diferete de 0 ou 1) a expectativa é a de ecotrar um úmero maior que ambos, ao multiplicar 10 por 1/2 se surpreederão ao ver que o resultado é meor do que 10. Se a sequêcia dos úmeros aturais permite estabelecer sucessor e atecessor, para os racioais isso ão faz setido, uma vez que etre dois úmeros racioais quaisquer é sempre possível ecotrar outro racioal; assim, o aluo deverá perceber que etre 0,8 e 0,9 estão úmeros como 0,81, 0,815 ou 0,87. Parâmetros Curriculares Nacioais Matemática. Brasília: MEC/SEF, pp O texto aborda questões que foram discutidas coletivamete? Cite algus exemplos. Uma das questões discutidas foi sobre os motivos que levariam os aluos a cometer os tipos de erros presetes o problema. Existe relação etre esses motivos, elecados pelos professores a discussão, e os obstáculos que os aluos acabam efretado ao trabalhar com os úmeros racioais, citados o texto? Muitas vezes, ecaramos os erros dos aluos como cosequêcia da falta de pré-requisitos, como um problema itríseco a sua persoalidade (afiidade ou ão com a área do cohecimeto) ou um problema de atureza eurológica, por exemplo. Porém, existem pesquisas que afirmam que certos obstáculos, como os estudados ateriormete, são ieretes ao próprio processo de formação do idivíduo ou mesmo a questões didáticas. 5. Agora, aida com os colegas, leia o texto a seguir, buscado cohecer algus tipos de obstáculos. Grife as ideias que julgar iteressates e/ou evetuais dúvidas que surgirem e compartilhe com o grupo. Durate a partilha, procure relacioar essas ideias com a leitura do texto dos PCN, sobre os úmeros racioais, e com a discussão feita sobre as situações-problema. 8 Erros e obstáculos caracterizado os obstáculos Um campo de pesquisa bastate fértil é o da costrução do cohecimeto, sobretudo por parte das criaças. Em que codições adquirem cohecimetos? Um fator de extrema relevâcia esse cotexto é a questão do erro, que pode ser etedido como fote para costrução do cohecimeto. Buscado explorar o papel do erro o processo de apredizagem, pode-se pesar em obstáculos que podem ser de diversas aturezas: Obstáculos epistemológicos são aqueles ieretes ao saber, cujo papel foi decisivo a história da costrução do cohecimeto como, por exemplo, a dificuldade ecotrada pelos gregos, aida ates de Cristo, em aceitar a irracioalidade, algo descohecido até etão. Os úmeros irracioais (aida ão defiidos assim pelos gregos) estavam presetes em estudos geométricos e aritméticos, e os icomodavam. Um episódio clássico trata da diagoal do

11 Matemática Cadero Bimestral II quadrado que, o caso, tedo a uidade como medida do lado, os remeteria à raiz quadrada de dois (irracioal). Os geômetras gregos faziam comparações etre medidas e cosideravam, assim, razões etre dois iteiros (úmeros racioais) o que, obviamete, ão coseguiam fazê-lo com a diagoal do quadrado. Para eles, medidas como essa eram cosideradas icomesuráveis, equato que os racioais (também aida ão defiidos assim pelos gregos) eram cosiderados como medidas mesuráveis. Embora estudados pelos gregos atigos, somete muito mais tarde por volta dos séculos XVI a XIX, como idicam algus historiadores a comuidade matemática formalmete defiiu e distiguiu o que hoje assumimos como úmeros racioais e irracioais. Obstáculos didáticos são aqueles que advêm de escolhas de estratégias, ão só de professores, mas de sistemas educacioais em geral. São ievitáveis, devido à falta de maturidade existete (por idade, por série ou qualquer outro motivo) em determiadas classes de aluos e, assim, ecessariamete, certos cohecimetos costruídos em algum mometo terão seu domíio de validade questioado ou se mostrarão icompletos. O que deve ser cosiderado é, pois, a ecessidade de se detectar obstáculos dessa atureza vividos pelos aluos e a potecialidade existete essa detecção como oportuidade para rever escolhas. Adaptado de ALMOULOUD, S. Ag. Fudametos da didática da matemática. Curitiba: Editora UFPR, Possibilidades iterdiscipliares: os úmeros racioais possuem diferetes sigificados em diversos cotextos (relação parte/todo, divisão, razão e operador) e em diferetes campos do cohecimeto. Ao deparar com problemas relacioados a diheiro, altitude ou profudidade, escalas termométricas, etre outros, estes possibilitam trabalhar com situações do dia a dia (como dividir uma barra de chocolate em partes iguais etre seus colegas, assim como prever o valor a ser pago em uma mercadoria, quado lhe é aplicado um descoto), idepedetemete do tipo da operação (adição, subtração, multiplicação ou divisão, como o exemplo do chocolate). Mometo 2 Costruido sigificados para os úmeros Neste segudo mometo, daremos cotiuidade às discussões realizadas ateriormete, que se referem aos possíveis obstáculos que os aluos podem efretar quado em cotato com úmeros racioais. Cabe ressaltar que os demais cojutos uméricos existem, também, diversos obstáculos a serem cosiderados e efretados, assim como em outros coceitos a matemática. 1. Em subgrupos (podem ser os mesmos da atividade do item 2 do Mometo 1), aalisem os problemas a seguir. Em cada caso, procurem discutir e respoder: A situação-problema pode ser etedida como um problema para seus aluos? Isto é, ele favorece a mobilização de diversas estratégias por parte dos aluos uma busca ativa por resolvê-lo, utilizado procedimetos próprios? Ou, para seus aluos, ele seria cosiderado um exercício? 9

12 Formação de Professores Podemos cosiderar uma situação realmete como um problema para os aluos se ela reúe algumas codições ecessárias, que idicamos a seguir: ter setido o campo do cohecimeto, para que se possa imagiar uma estratégia para resolvê-lo, mesmo que ão seja a correta, em a mais ecoômica; que o problema evolva um desafio: a estratégia cohecida ão pode ser suficiete ou eficiete para resolvê-lo; que seja suficietemete aberto para dar espaço ao surgimeto de diferetes estratégias de resolução válidas, para que seja possível cofrotá-las e extrair coclusões a partir delas. Matemática: orietações para o professor. Saeb/Prova Brasil. p. 97. Idique para qual série a situação pode ser cosiderada um problema ou um exercício; posteriormete, procure relacioar a situação em questão a um ível de desempeho da Saeb/Prova Brasil. Associe cada problema a um descritor (habilidade) da Prova Brasil, cosultado os descritores de avaliação propostos a publicação Formação de professores metodologia. Tedo como referêcia o texto Números racioais (PCN, 1998), iserido a págia 7 deste cadero, você idetifica possíveis obstáculos que seus aluos poderiam efretar ao resolver a situação-problema? Quais? Como poderiam ser tratados esses obstáculos e evetuais erros cometidos pelos aluos? Procurem justificar suas respostas. Problema 1 (SARESP o ao/8 a série) Três escoteiros participavam de uma competição de orietação a mata. Ao alcaçarem um determiado poto do percurso, eles se depararam com um carretel de corda e a seguite orietação: Para prosseguir o trajeto, vocês ecessitarão utilizar corda. Dividam a corda igualmete etre vocês! O primeiro escoteiro a chegar pegou 1/3 da corda e cotiuou seu camiho. O segudo escoteiro, achado que era o primeiro a chegar a esse poto, também pegou 1/3 da corda que ficou o carretel e seguiu seu rumo. O terceiro, mais casado que os demais, percebedo que era o último, pegou 40 m restates e foi embora. a. Que fração iicial da corda o segudo escoteiro pegou? b. Quatos metros de corda havia o carretel? 10

13 Matemática Cadero Bimestral II Problema 2 Em Porto Alegre (RS), os termômetros registraram 2ºC pela mahã. Segudo o oticiário, a temperatura deverá cair 3ºC até o período da oite. Dessa forma, qual será a temperatura que os termômetros deverão registrar à oite? Problema 3 A tabela a seguir foi elaborada a partir dos dados publicados pelo Departameto Itersidical de Estatística e Estudos Socioecoômicos (Dieese) referetes a algus ites que compõem a cesta básica o muicípio de Belo Horizote (MG), em maio de Produto Quatidade Gasto mesal em R$ Maio 2011 Maio 2012 Variação aual em % Care 6 kg 86,04 89,88 4,46 Leite 7,5 l 16,43 16,28? Feijão 4,5 kg 14,85 26,55 78,79 Arroz 3 kg 5,31 5,76? Fariha 1,5 kg 3,26? - 0,61 Café 600 g 6,94 8,05 15,99 Complete a tabela acima com os valores que estão faltado. Qual o sigificado dos valores da última colua? Por que algus valores da última colua são positivos, equato outros são egativos? Problema 4 Um trabalhador recebe R$ 7,35 por hora trabalhada. Sabedo que sua jorada semaal de trabalho é de 40 horas, que valor este trabalhador deverá receber por semaa? Problema 5 Luiz costuma almoçar o restaurate Bom Apetite, que cobra R$ 16,00 por quilograma de comida. Se a balaça apota que Luiz pegou apeas 600g, qual o valor que ele deverá pagar pela comida? Cosidere que Luiz vai pagar uma parte em diheiro e outra com vale refeição de R$ 7,50. Que valor em diheiro, Luiz deverá desembolsar? 11

14 Formação de Professores Problema 6 João possui uma caixa d água com capacidade de litros e que está completamete cheia de água. Cosidere uma magueira aberta, cuja vazão é de 5 litros por miuto, sedo utilizada para irrigar seu jardim. Qual será a quatidade de água utilizada por João para irrigar o jardim, se cosiderarmos a magueira aberta por 30 miutos, de acordo com as codições iiciais do problema? Essa quatidade será positiva ou egativa, quado comparada com a quatidade de água iicial a caixa d água? Se a vazão da água a magueira é de 5 litros por miuto, calcule quatos litros de água a mais João tiha 10 miutos ates de a magueira ser fechada, cosiderado a situação aterior. Para pesar O trabalho com resolução de problemas é um ótimo cotexto para o desevolvimeto de diversas habilidades por parte dos aluos e pode cotribuir para um clima favorável à apredizagem. Durate os trabalhos, os aluos argumetam defededo certas estratégias, são questioados sobre a validade e eficiêcia delas e elaboram respostas covicetes. Saber ouvir os colegas e demostrar atitudes de respeito ao outro devem ser trabalhados, detro do rol das habilidades ão cogitivas. Mometo 3 Plaejameto de atividade passo a passo Até agora, as atividades propostas este estudo privilegiaram a reflexão sobre obstáculos o processo de apredizagem, particularmete o cotexto dos úmeros racioais e iteiros. Pudemos resolver problemas, refletir sobre evetuais erros cometidos pelos aluos, discutir sobre estratégias para o tratameto dos mesmos, os fudametar teoricamete e, claro, compartilhar tudo com os colegas. Essa ova etapa favorecerá a vivêcia de uma importate etapa para o desevolvimeto dos trabalhos com os aluos: o plaejameto. Dado cotiuidade aos trabalhos realizados o bimestre aterior, vamos pesar a resolução de problemas como uma estratégia didática as aulas de matemática, o que exige, por parte do professor, a realização de um plaejameto sistemático de todas as etapas para a efetivação do seu trabalho, que se iicia a escolha do problema, passa pelo evolvimeto dos aluos e vai até a avaliação do trabalho realizado. Desse modo, vamos pesar como podemos plaejar uma atividade de resolução de problemas, agora o cotexto dos úmeros racioais e/ou iteiros, privilegiado a discussão e a troca de ideias etre os aluos, para favorecer a superação dos evetuais obstáculos ecotrados as tetativas de resolução. 12

15 Matemática Cadero Bimestral II 1. Leia o quadro a seguir. Ele sugere algumas etapas para a elaboração do plaejameto: Etapas Quadro das etapas a serem asseguradas para plaejar uma atividade de resolução de problemas Orietações Selecioar, cohecer e preparar a situaçãoproblema Competêcias e habilidades discetes a serem desevolvidas Tedo em mãos o livro didático de matemática adotado pela rede (ou por sua escola), selecioe uma atividade que trate de úmeros racioais e/ou iteiros e que pode ser cosiderada um problema aos seus aluos. Após a escolha da atividade, resolva-a, procurado observar quais cohecimetos sobre o(s) cojuto(s) trabalhado(s), de fato, ela mobiliza. Tete prever possíveis erros que serão cometidos pelos aluos e obstáculos que eles efretarão. Cosiderado essas codições, reflita sobre possíveis estratégias a serem utilizadas para colocá-las em discussão o grupo. Como o problema será apresetado aos aluos? Qual recurso será utilizado para sua apresetação e resolução (o cadero, xerocopiado em folha, o próprio livro didático, escrito a lousa, escrito em cartaz, outro recurso)? Que apredizages este problema poderá favorecer? O que o problema coloca como desafio pricipal para os aluos? Apote quais competêcias/habilidades poderão ser adquiridas e/ou ampliadas referetes ao problema selecioado. Para isso, utilize como referêcia os descritores de avaliação presete o Cadero de Metodologia. Orgaizar as etapas de trabalho com aluos o tempo e o espaço da sala de aula Quais serão as etapas de trabalho? Atecipem a forma de orgaização dos aluos para cada etapa da atividade (idividual, duplas, grupos, coletivamete). Quado essas etapas vão acotecer (mesmo dia, em dias diferetes, quato tempo será destiado a cada etapa)? Etre uma etapa e outra, vocês pretedem recolher as produções dos aluos? Em caso afirmativo, que tratameto darão ao material recolhido? O papel do professor Procurem atecipar qual será seu papel em cada etapa de trabalho, dizedo, por exemplo, se pretede circular etre os aluos para dar as ajudas ecessárias durate o trabalho idividual, ou se pretedem ajudar apeas os aluos que demostrarem maior dificuldade; se haverá mometos em que irão orietar mais ativamete a discussão etc. Coversar com os aluos sobre o que será realizado Que cosiderações poderão ser feitas ates de os aluos começarem a resolver o problema? Como você vai orietar a atividade? O que ão pode ser atecipado aos aluos? (Por exemplo: revelar ou ão do que se trata o problema; ão revelar qual estratégia deverão utilizar, deixar que cada aluo escolha sua estratégia; ão revelar qual operação devem utilizar, já atecipado se a resolução é de adição ou subtração, de úmeros racioais ou iteiros). 13

16 Formação de Professores Desevolvimeto do mometo coletivo após a resolução da situação-problema Como será realizada a etapa de socialização? Pretede covidar algus aluos cujas estratégias de resolução foram diferetes para escrevê-las a lousa? Quatos aluos? Pretede covidar um aluo para expor sua estratégia de resolução e pedir aos demais para iterpretá-la? Pretede orgaizar, primeiro, pequeos grupos e, posteriormete, pedir que os aluos de cada pequeo grupo expoham o que de melhor cocluíram? Avaliar a atividade Que aspectos do desempeho dos aluos deverão ser observados para idicar se as habilidades e competêcias discetes focadas foram desevolvidas e/ou ampliadas? Para defiir as competêcias discetes que serão trabalhadas, você pode se basear também o quadro que segue, cotedo especificações retiradas dos PCN (1998), escolhedo, ao meos, duas: Objetivos de matemática para o terceiro ciclo (5 a e 6 a séries ou 6 o e 7 o aos), visado ao desevolvimeto do pesameto umérico: ampliar e costruir ovos sigificados para os úmeros aturais, iteiros e racioais a partir de sua utilização o cotexto social e da aálise de algus problemas históricos que motivaram sua costrução; resolver situações-problema evolvedo úmeros aturais, iteiros, racioais e a partir delas ampliar e costruir ovos sigificados da adição, subtração, multiplicação, divisão, poteciação e radiciação; idetificar, iterpretar e utilizar diferetes represetações dos úmeros aturais, racioais e iteiros, idicadas por diferetes otações, viculado-as aos cotextos matemáticos e ão matemáticos; Objetivos de matemática para o quarto ciclo (7 a e 8 a séries ou 8 o e 9 o aos), visado ao desevolvimeto do pesameto umérico: ampliar e cosolidar os sigificados dos úmeros racioais a partir dos diferetes usos em cotextos sociais e matemáticos e recohecer que existem úmeros que ão são racioais; resolver situações-problema evolvedo úmeros aturais, iteiros, racioais e irracioais, ampliado e cosolidado os sigificados da adição, subtração, multiplicação, divisão, poteciação e radiciação; selecioar e utilizar diferetes procedimetos de cálculo com úmeros aturais, iteiros, racioais e irracioais. selecioar e utilizar procedimetos de cálculo (exato ou aproximado, metal ou escrito) em fução da situação-problema proposta. Parâmetros Curriculares Nacioais Matemática. Brasília: MEC/SEF, p. 64 e p. 81. Nesta etapa do plaejameto, lembre-se de cosiderar os possíveis obstáculos que os aluos poderão efretar diate das situações plaejadas por você. Para isso, elecamos algus obstáculos que estão destacados os PCN (1998). 14

17 Matemática Cadero Bimestral II Números iteiros Coferir sigificado às quatidades egativas. Recohecer a existêcia de úmeros em dois setidos a partir de zero, equato que, para os aturais, a sucessão acotece um úico setido. Recohecer diferetes papéis para o zero (zero absoluto e zero origem). Perceber a lógica dos úmeros egativos, que cotraria a lógica dos úmeros aturais por exemplo, é possível adicioar 6 a um úmero e obter 1 o resultado ( = 1), como também é possível subtrair um úmero de 2 e obter 9 (2 - (-7) = 9). Iterpretar seteças do tipo x = - y (o aluo costuma pesar que ecessariamete x é positivo e y é egativo). Números racioais Cada úmero racioal pode ser represetado por diferetes (e ifiitas) escritas fracioárias: por exemplo, 1/3, 2/6, 3/9, 4/12... são diferetes represetações de um mesmo úmero. A comparação etre racioais: acostumados com a relação 3 > 2, terão de compreeder uma desigualdade que lhes parece cotraditória, ou seja, 1/3 < 1/2. Se o tamaho da escrita umérica, o caso dos aturais, é um bom idicador da ordem de gradeza (8.345 > 83), a comparação etre 2,3 e 2,125 já ão obedece ao mesmo critério. Se, ao multiplicar um úmero atural por outro atural (sedo este diferete de 0 ou 1) a expectativa é a de ecotrar um úmero maior que ambos, ao multiplicar 10 por 1/2 se surpreederão ao ver que o resultado é meor do que 10. Se a sequêcia dos úmeros aturais permite estabelecer sucessor e atecessor, para os racioais isso ão faz setido, uma vez que etre dois úmeros racioais quaisquer é sempre possível ecotrar outro racioal; assim, o aluo deverá perceber que etre 0,8 e 0,9 estão úmeros como 0,81, 0,815 ou 0,87. Parâmetros Curriculares Nacioais Matemática. Brasília: MEC/SEF, p. 98 e p Em pequeos grupos, orgaizados pelo ao escolar dos participates, utilize como modelo o Roteiro para plaejameto da atividade de resolução de problemas e elabore uma atividade de resolução de problemas que trate de úmeros racioais e/ou Iteiros para desevolver com seus aluos. Use como referêcia os quadros: das etapas de plaejameto; dos objetivos de matemática; dos possíveis obstáculos que os aluos podem ecotrar. Tome como base os textos sobre úmeros racioais e iteiros relacioados ateriormete, bem como o texto teórico sobre obstáculos estudado o Mometo 1 desta seção. 15

18 Formação de Professores Roteiro para plaejameto da atividade de resolução de problemas Situação-problema: Fote: Etapas Plaejameto: descrever os procedimetos a serem realizados, o material que será utilizado e o tempo previsto para a atividade (ou cada parte da atividade). Selecioar, cohecer e preparar a situação-problema. Competêcias e habilidades discetes a serem desevolvidas. Orgaizar as etapas de trabalho com aluos o tempo e o espaço da sala de aula. O papel do professor. Coversar com os aluos sobre o que será realizado. Desevolvimeto do mometo coletivo após a resolução da situação-problema. Avaliar a atividade: descreva como será feita a avaliação da atividade; que aspectos do desempeho dos aluos deverão ser observados para idicar se as habilidades e competêcias discetes focadas foram desevolvidas e/ou ampliadas. 16

19 Matemática Cadero Bimestral II Avaliação do ecotro Duração: 10mi Este é um mometo para você avaliar como foi este Ecotro Presecial. Você terá acesso a uma avaliação avulsa. Preecha com bastate ateção e empeho, pois o objetivo é melhorar cada vez mais este programa de formação para você. Preparação para o próximo ecotro Para o próximo Ecotro Presecial, você vai precisar trazer: O livro didático de matemática adotado por sua escola. Algus registros (diferetes etre si) de resoluções de problemas feitos por seus aluos, preferecialmete relacioados ao problema proposto a Aplicação Prática. O registro que você fez sobre a atividade de Aplicação Prática (que foi plaejada o 2 o ecotro e desevolvida em sua sala de aula). O texto e o seu registro da atividade de Reflexão sobre a Prática. Este Cadero Bimestral. Sugestões de Leituras complemetares ALMOULOUD, Saddo Ag. Fudametos da didática da matemática. Paraá: UFPR, BRASIL. Miistério da Educação (MEC), Secretaria de Educação Fudametal. Orietações didáticas para terceiro e quarto ciclos. I: Parâmetros Curriculares Nacioais (5 a a 8 a séries). Brasília: MEC/SEF, pp COSTA, Letícia V. O. Números reais o Esio Fudametal: Algus obstáculos epistemológicos. Dissertação de Mestrado. Uiversidade de São Paulo/SP, Dispoível em: teses/dispoiveis/48/48134/tde /pt-br.php. Acessado em: 14/06/2012. MORETTI, M. T. A regra dos siais para a multiplicação: poto de ecotro com a oção de cogruêcia semâtica e o pricípio de extesão em matemática. Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio Claro/SP, Dispoível em: article/view/5783/4410. Acesso em: 18/06/2012. Portal do Professor Miistério da Educação (MEC), Brasil. Dispoível em: Portal Rived (Rede Iterativa Virtual de Educação) Miistério da Educação (MEC), Brasil. Dispoível em: SILVA. Deivaldo Pereira. Epistemologia dos úmeros relativos Dispoível em: 17

20 Formação de Professores Aplicação prática Duração: 4h Com base o plaejameto realizado o Mometo 3, a ideia agora é realizar a atividade com seus aluos em sala de aula. Você precisará cosultar o Roteiro para plaejameto da atividade de resolução de problemas que elaborou. Para isso, siga os passos a seguir: Releia o plaejameto e procure esclarecer evetuais dúvidas com seus colegas da escola. Relembre as competêcias discetes que trabalhará a atividade e também os ecamihametos que plaejou. Realize a atividade em sua sala de aula, levado em cosideração os pricípios que foram discutidos o Ecotro Presecial. Registrado a prática Depois da realização da atividade com seus aluos, registre-a seguido o modelo do Registro da atividade: Obstáculos. Recomeda-se que esse registro seja feito pouco tempo após a atividade, a fim de que você possa se recordar bem de algus aspectos relevates como, por exemplo, algumas falas dos aluos etre si, em iteração com você e o mometo coletivo de socialização. Releia e revise seu registro ates de postá-lo o Portal de Apredizagem. Registro da atividade: obstáculos Muicípio: Escola: Professor: Ao/Série: Quatidade de aluos presetes o(s) dia(s) da atividade: Tempo utilizado para realização da atividade: 1. No quadro a seguir, escreva o problema e as competêcias/habilidades relacioadas à atividade Aplicação Prática: Problema Competêcias/habilidades 18

21 Matemática Cadero Bimestral II 2. Comete como os aluos participaram de cada etapa (cocetração, evolvimeto). Por que você acha que eles agiram dessa maeira? 3. Registre algumas falas dos aluos, cotextualizado-as. Procure relatar falas e/ou coversas que idiquem que os aluos estavam avaçado em relação ao coteúdo em questão (úmeros racioais e/ou iteiros). 4. Na sua cocepção, quais foram os motivos que levaram os aluos a cometer evetuais erros? E acertos? Que erros e acertos? 5. Evetuais erros que surgiram foram decorretes, em sua opiião, de algum tipo de obstáculo efretado pelos aluos? 6. Registre como você cosidera que foi a sua atuação durate a realização da atividade (dificuldades, dúvidas, descobertas...). 19

22 Formação de Professores Atividade Virtual Duração: 4h Para aprofudarmos ossos estudos sobre obstáculos presetes a matemática, discutiremos, esta atividade, o surgimeto dos úmeros iteiros egativos, pricipalmete as estratégias utilizadas para o esio das regras de siais. Retome o texto Erros e obstáculos caracterizado os obstáculos presete a págia 8 deste cadero. Lá você poderá relembrar os dois tipos de obstáculos (epistemológicos e didáticos) que por muitas vezes iduzem os aluos ao erro. Ao logo da história da matemática, as regras de siais geraram iúmeras cotrovérsias até meados do século XIX. Foi a partir desse período que os úmeros egativos adquiriram estatuto igual ao dos positivos. Um dos obstáculos que merece destaque são as falhas as estratégias adotadas para o esio dos úmeros Iteiros, sobretudo das regras de siais, que por muitas vezes são apresetadas em livros didáticos como mera memorização, descoladas da realidade dos aluos, causado coflitos. Como é possível obter um úmero positivo a partir do produto de dois úmeros egativos? é um dos questioametos recorretes. No artigo A regra dos siais para multiplicação: poto de ecotro com a oção de cogruêcia semâtica e o pricípio de extesão em matemática, Moretti (2012) 1 apreseta diversos modelos didáticos para explicar as regras de siais para a multiplicação. Utilizaremos dois desses modelos, com o ituito de aprofudar os estudos sobre os obstáculos referetes às regras de siais as aulas de matemática. Aalise os modelos didáticos a seguir, que estão o Portal de Apredizagem. Reflita e registre suas coclusões o espaço destiado o Portal, de acordo com as questões propostas o fim deste texto. Modelos de área baseados a relação de Diofato de Alexadria No livro didático Educação matemática (Pires, Curi e Pietropaolo, 2002), destiado aos aluos do 7 o ao, atiga 6 a série, os autores apresetam as regras de siais para a multiplicação, por meio do cálculo de área ispirada a represetação geométrica da relação de Diofato de Alexadria (a b).(c d) = ac ad bc + bd. Desse modo, para se obter o produto de (- 1 ).(- 1 ) = 1, cosideraremos o retâgulo a seguir: 1 Caso queria ler o artigo a itegra acesse: Acesso em: 25/09/

23 Matemática Cadero Bimestral II O cálculo da área mais clara pode ser obtido pelo produto: (7 1).(8 1) = 42 (+ 56) + (- 7) + (-8) + = 42, cosiderado que (- 1).(- 1) = (+ 41) + = 42 = + 1 Assim, podemos cocluir que o produto de (- 1).(- 1) = + 1. Modelo didático baseado o prologameto da reta umérica dos aturais Segudo os PCN (1998), a utilização desse modelo é um importate recurso, pois permite explorar vários aspectos, tais como: visualizar o poto de referêcia (origem) a partir do qual se defiem os dois setidos; idetificar um úmero e seu oposto (simétrico): úmeros que se situam à mesma distâcia do zero; recohecer a ordeação dos iteiros: dados dois úmeros iteiros quaisquer, o meor é o que está à esquerda (o setido positivo da reta umérica); assim, dados dois úmeros positivos, será maior o que estiver mais distate do zero, e dados dois egativos, será maior o que estiver mais próximo do zero; comparar úmeros iteiros e idetificar difereças etre eles; iferir regras para operar com a adição e a subtração, como: (+3) + (-5) = +3-5 = -2. No caso da multiplicação, orietam a utilização de tabelas para que se possam perceber padrões de regularidades as multiplicações efetuadas, como: x O teorema de Hakel As cotrovérsias com relação às regras de siais termiaram com o Teorema de Hakel do poto de vista matemático, porém aida estão presetes iúmeros questioametos didáticos relatados o decorrer do osso Cadero Bimestral. 21

24 Formação de Professores Foi em 1867 que Hakel coseguiu dar uma resposta matemática defiitiva para a questão das regras de siais para a multiplicação. Essa resposta pode ser ecotrada o trabalho Epistemologia dos úmeros relativos (SILVA, 2000), que apreseta a demostração de Hakel cosiderado os úmeros iteiros a e b como positivos (op.a e op.b são seus opostos, ou seja, -a e -b). 2 0 = a.0 = a.(b + op.b) = ab + a.(op.b) [1] 0 = 0.(op.b) = (a + op.a).(op.b) = (op.a).(op.b) + a.(op.b) [2] 0 = 0.b = (a + op.a).(b) = ab + (op.a).b [3] Comparado as equações [1] e [2] termo a termo, coclui-se que (op.a).(op.b)= ab ab + a.(op.b) = (op.a). (op.b) + a.(op.b) ab = (op.a). (op.b) + a.(op.b) - a.(op.b) ab = (op.a). (op.b) Lembrado que: op.a = -a e op.b = -b, etão, ab = (-a).(-b). Logo, (-).(-) = (+) Comparado as equações [1] e [3] termo a termo, coclui-se que a.(op.b) = (op.a).b ab + a.(op.b) = ab + (op.a).b a.(op.b) = ab + (op.a).b -ab a.(op.b) = (op.a).b Lembrado que op.a = -a e op.b = -b, etão, a.(-b) = (-a).b Logo, (+).(-) = (-).(+) (SILVA, 2000, p.4) 2 Lembrar que a soma de um úmero com seu oposto é sempre zero. 22

25 Matemática Cadero Bimestral II Para refletir, registrar e postar o Portal 1. Na atividade Aplicação Prática, você pôde idetificar obstáculos por parte de seus aluos, quado estes estavam em cotato com a situação-problema a ser resolvida? 2. Quais fatores você cosidera que possam ter cotribuído para a ausêcia ou a existêcia de obstáculos a situação proposta? 3. Você cosidera que os modelos apresetados podem compor suas estratégias a abordagem das regras de siais com seus aluos o Esio Fudametal? De que forma? 4. Selecioe um ou dois livros didáticos de autores diferetes aprovados pelo Programa Nacioal do Livro Didático (PNLD); se possível, cosulte também os mauais do professor relacioados aos livros escolhidos. Comete de que maeira são apresetadas as regras de siais para a multiplicação. Elas favorecem ou ão a permaêcia dos obstáculos com relação aos aluos? Justifique. 5. Na atividade de resolução de problema que você realizou em sua sala de aula, a partir do plaejameto feito o Ecotro Presecial, acoteceu algo semelhate o que diz respeito à iteração etre pares, como já feito ateriormete o Cadero Bimestral I? Comete. 6. Como foi sua experiêcia a aplicação prática? O que ela teve de positivo? E o que aida ficou como desafio a ser superado? Reflexão sobre a prática Duração: 4h Nesta atividade, você fará a leitura de um texto sobre obstáculos o processo de apredizagem. A seguir, à luz dessa leitura, refletirá sobre três mometos deste processo formativo: A prática em questão (trabalhos realizados o Ecotro Presecial), Aplicação a Prática (atividade realizada em sala de aula) e Atividade Virtual. Educação e obstáculos Uma das discussões o campo da educação matemática é sobre o processo de costrução do cohecimeto por parte dos aluos. Uma ideia defedida é que esse processo é algo diâmico, ão estático ou liear, e ocorre a partir de rupturas que ocorrem em meio a cohecimetos costruídos até etão. O sujeito, em certas situações, setiria a ecessidade de questioar cocepções aceitas por ele, cohecimetos ateriores, ou mesmo se questioar a partir de um erro, fazedo com que o processo seja algo sem fim, destruido-se sempre algum cohecimeto e costruido-se outro. Como educadores, temos, através do diálogo, problematizado o cohecimeto do aluo, semeado a dúvida, o coflito, e efatizado as cotradições, a possibilidade de trabalhar a subjetividade dos aluos e utilizá-la o processo de esio e apredizagem, visado à ruptura em meio à costrução do cohecimeto. 23

26 Formação de Professores Cosiderado-se, etão, essa perspectiva, pode-se pesar a costrução do cohecimeto em âmbito educacioal como uma teoria, cohecida como pedagogia do ão, que fudameta-se assumido que um cohecimeto é costruído egado-se um cohecimeto aterior. Porém, ão se trata de algo cotíuo, visto que certo cohecimeto que fora egado pode ser descartado ou mesmo utilizado a cocepção de ovas ideias, em meio a geeralizações, por exemplo. A egação evolvida a teoria estaria, pois, associada às rupturas o processo de costrução do cohecimeto, ao vecimeto de obstáculos (epistemológicos, didáticos ou de outra atureza) e, sempre que possível, seria desejável repesar cada coquista oriuda dessas rupturas. Comuidade Educativa CEDAC Estudo pessoal O texto que foi lido faz referêcia à costrução do cohecimeto a partir de rupturas de certos obstáculos, cosiderado o erro como fote de apredizado. Detro da pedagogia do ão, pode-se pesar o erro como fote a costrução do cohecimeto por parte dos aluos. Estes costroem o cohecimeto de maeira ão ecessariamete cotíua, a partir de rupturas, ao passarem por certos obstáculos. Procure se lembrar da atividade prática de resolução de problemas sobre os úmeros racioais e/ou iteiros que foi realizada por seus aluos (retome o Registro da atividade: Obstáculos ). No desevolvimeto daquela atividade, você teve a oportuidade de perceber a superação de algum tipo de obstáculo por parte dos aluos? Idique o ocorrido. Retome a reflexão da Atividade Virtual. Relacioe as situações em questão com o texto lido. Você cosidera os modelos didáticos estudados como motivação ao rompimeto de obstáculos efretados pelos aluos, o cotexto da regra de siais? Justifique. O que você acha dessa teoria? Faça um retrospecto, agora pesado o seu processo de apredizagem. Lembra-se de algum mometo/episódio em que se vê superado algum obstáculo? Houve apredizado? É com essas questões e com propostas de ações que esperamos revê-lo o próximo ecotro! Autoavaliação Após a realização das atividades e reflexões que foram propostas o decorrer deste bimestre, sugerimos que você faça uma autoavaliação. Trata-se de um mometo de reflexão sobre o que já foi apropriado por você, o que aida precisa de aprofudameto e o que aida ão pôde avaçar. A autoavaliação refere-se às competêcias/habilidades docetes que foram desevolvidas e aprofudadas o trabalho proposto este estudo bimestral. Trata-se de um cojuto de competêcias/habilidades específicas que, jutas, costituirão aquelas competêcias mais amplas cujo desevolvimeto é o propósito deste processo formativo. Leia cada item da colua à esquerda. Após refletir, marque com X a colua que correspode à sua avaliação. 24

27 Matemática Cadero Bimestral II Competêcias e habilidades para o trabalho docete Pleamete desevolvida/ ampliada Parcialmete desevolvida/ ampliada Não foi desevolvida/ ampliada Participar ativamete de atividades formativas a perspectiva do aprimorameto da prática pedagógica e do atedimeto de objetivos e metas estabelecidos. Trabalhar em equipe, iteragido com os colegas e colaborado com a formação do grupo. Idetificar a adequação das diferetes formas de orgaização do grupo (trabalho idividual, em pequeos grupos e coletivo) e cosiderar suas potecialidades para a apredizagem. Demostrar compreesão do recurso à resolução de problemas como camiho para a elaboração do cohecimeto matemático. Realizar leitura profissioal, explorado as potecialidades do texto e relacioado a teoria com a prática docete. Idetificar os pricipais elemetos que costituem um obstáculo. Plaejar atividades que possam se costituir em situações-problema ajustadas às possibilidades dos aluos, de forma a favorecer as apredizages de coteúdos. Utilizar o livro didático itegrado a atividades plaejadas com objetivos claros. O que você sugere como estratégia para ajudar a desevolver as competêcias e habilidades que idetificou como aida pedetes em sua formação? 25

28 Formação de Professores No próximo cadero vamos abordar o pesameto algébrico, já que ele está presete em todas as séries do Esio Fudametal II. Historicamete, o surgimeto da álgebra é um marco o desevolvimeto da matemática. Ela possibilitou a sistematização dos cohecimetos, gerado ovos campos de estudo. Aguarde! 26

29 Matemática Cadero Bimestral II Aotações 27

30 28 Formação de Professores