O DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON

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1 O DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON por Sadro Matias da Cuha CURITIBA Outubro - 203

2 O Desevolvimeto do Biômio de Newto Sadro Matias da Cuha Departameto de Matemática - UFPR , Curitiba, PR Brasil sadro.matiasdacuha@gmail.com 03 de outubro de 203 Resumo Neste artigo, apreseta-se como ocorre o desevolvimeto do Biômio de Newto, através de demostrações que despertam o iteresse de aluos sobre o tema. Procura-se oferecer aplicações e atividades que fogem do simples desevolvimeto do Biômio por evolver outros cohecimetos matemáticos. Palavras-Chave: Biômio de Newto, desevolvimeto e aplicações do Biômio de Newto. 2

3 Itrodução Neste artigo, discute-se o desevolvimeto e o esio do Biômio de Newto em sala de aula com objetivo de apresetar a professores e aluos uma metodologia que de sigificado de como ocorre o desevolvimeto do Biômio auxiliado o processo de esio apredizagem. Para isso, apreseta-se um primeiro mometo a demostração através de cohecimetos de aálise combiatória e, depois, uma demostração através do pricípio de idução. Com este propósito o esio do Biômio de Newto passa por uma sigificação mais ampla que permite ao educado compreeder de forma clara o desevolvimeto e expasão de um biômio, bem como, calcular determiado termo, idepedete do valor da potêcia ser pequeo ou grade. Num segudo mometo, apresetaremos atividades iteressates e, fialmete, algumas atividades que exigem um cohecimeto matemático mais apurado. O Desevolvimeto do Biômio de Newto A apredizagem das Ciêcias da Natureza, como descrita os Parâmetros Curriculares Nacioais, deve cotemplar formas de apropriação e costrução de sistemas de pesametos mais abstratos e sigificativos, que as trate como processo cumulativo de saber e de ruptura de cosesos e pressupostos metodológicos. Os estudos esta área devem evideciar que a Matemática é uma liguagem que busca dar cota de aspectos do real e que é istrumeto formal de expressão e comuicação das ciêcias. É preciso compreeder as ciêcias, pricipalmete a Matemática, como costruções humaas, etededo como elas se desevolvem por acumulação, cotiuidade ou ruptura de paradigmas, relacioado o desevolvimeto cietífico com a trasformação da sociedade. Alia-se ao desevolvimeto do cohecimeto cietífico a ateção especial que devemos atribuir ao desevolvimeto de valores, habilidades e atitudes, pois são objetivos cetrais da educação e também cotribuem com a apredizagem. O idivíduo que procura o apredizado deve setir-se desafiado a costrução do cohecimeto. É ecessário ter espírito de pesquisa e desevolver capacidade de raciocíio e autoomia. Este desafio, muitas vezes ausete o esio de coteúdos matemáticos, acarreta dificuldades o apredizado, torado-o pouco atrativo. Diate disso, cabe ao educador 3

4 matemático buscar alterativas que ispire mais ateção aos coteúdos, dado sigificado real e prático o esio dos temas e, pricipalmete, proporcioar o crescimeto do cohecimeto com base a costrução cotíua. O esio do Biômio de Newto a Educação Básica cotempla especificamete o desevolvimeto de biômios da forma (x + y) com o cojuto dos úmeros aturais. No etato, o aluo deve setir-se desafiado a costrução de camihos que levem ao desevolvimeto de potêcias biomiais para valores elevados de, bem como a descoberta de termos do desevolvimeto sem sua expasão por completa. O desevolvimeto do Biômio de Newto é simples em casos como (x + y) 0 = ou (x + y) = x + y, ou aida, o produto otável explorado com aluos do Esio Fudametal, (x + y) 2 = x x y + y 2, quado também se apreseta que o quadrado da soma é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto do primeiro pelo segudo termo, mais o quadrado do segudo termo. Porém, para biômios do tipo (x + y), com 3 os procedimetos começam a carregar maiores dificuldades e podem passar por multiplicações casativas e demoradas que ada cotribuem para aumetar o cohecimeto de quem os desevolve. Diate disso, há de ser preparado um procedimeto para aluos do Esio Médio que justifique e comprove como ocorre o desevolvimeto do biômio com o auxílio do Triâgulo de Pascal e algum cohecimeto em Aálise Combiatória. Assim, ão basta geeralizar a expasão (x + y) = C 0 x y 0 + C x y + + C x 0 y, após realizar algumas multiplicações. É preciso fudametar este cohecimeto, dar setido e comprovação para com isso despertar o iteresse o apredizado. Com base isso, o iício desta parte basear-se-á a comprovação da expasão biomial com um raciocíio de cotagem, e posteriormete apresetado uma demostração alterativa do mesmo resultado por idução matemática. Cosiderado que uma potêcia com expoete atural é uma multiplicação com fatores iguais, podemos obter potêcias do biômio efetuado várias multiplicações que resultaria um trabalho extremamete grade quato maior for a potêcia. Assim, a potêcia (x + y) 3 poderá ser obtida com a multiplicação sucessiva dos biômios x + y x + y (x + y), resultado a sequecia x x + x y + y x + y y (x + y) que segue em (x x x + x x y + x y x + x y y + y x x + y x y + y y x + y y y). Reduzido os termos semelhates, teríamos x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3. Cotudo, o desafio é fazer o desevolvimeto de biômios com potêcias maiores, ou mesmo calcular determiado termo de um biômio de maeira prática e rápida, sem a 4

5 ecessidade de efetuar o cálculo de todas as multiplicações, uma tarefa extremamete casativa e sem ecessidade a partir do cohecimeto de técicas desevolvidas por Newto. Para tato, é ecessário ates de qualquer procedimeto cohecer cálculos de agrupametos, seão cairemos um apredizado sem sigificado como acotece em iúmeros procedimetos adotados por livros didáticos que simplesmete aplicam a forma expadida do biômio sem atribuir qualquer demostração de como foi obtida. É comum ecotrarmos em textos que o Biômio de Newto (x + y) é dado pela expressão: C 0 x y 0 + C x y + + C x y + C x 0 y, ou represetada em biomiais: 0 x y 0 + x y + x y + x0 y. Cotudo, raramete ecotra-se a explicação ou demostração de como isto ocorre. Etedemos que é preciso um procedimeto rápido para ecotrar os coeficietes biomiais, o etato, deve haver o etedimeto pleo de como chegar este resultado. Utilizado cohecimetos de Aálise Combiatória podemos ecotrar a expasão biomial. Para isso, vamos os apoiar o exemplo (x + y) 3 = x + y x + y x + y. Para cada termo temos três fatores a multiplicação, assim escolhedo três letras para compor um termo qualquer do desevolvimeto desse produto, teremos pelo pricípio multiplicativo, = 2 3 = 8 termos, pois existem 2 possibilidades de escolha, x ou y. Desta forma, teremos quatro situações distitas, a saber:. Três letras iguais a x e ehuma letra y, ou seja, x x x que ocorre uma úica vez, dado por C 3 0 x x x = C 3 0 x 3 = x 3 ; 2. Duas letras iguais a x e uma letra y, ou seja, x x y ocorre combiado as três letras y do produto uma a uma, restado duas posições para a letra x, isto é dado por C 3 x x y = C 3 x 2 y = 3 x 2 y; 3. Uma letra igual a x e duas letras iguais a y, ou seja, x y y ocorre combiado as três letras y do produto duas a duas restado uma posição para a letra x, dado por C 3 2 x y y = C 3 2 x y 2 = 3 x y 2 ; 4. Três letras iguais a y e ehuma letra x, ou seja, y y y que ocorre uma úica vez, dado por C 3 3 y y y = C 3 3 y 3 = y 3. 5

6 Depois destes fatos demostrados, cocluímos de forma bem mais sigificativa o desevolvimeto do Biômio como (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3. O procedimeto se repete para potêcias maiores sempre combiado as letras x, primeiro termo e y, segudo termo. De forma geeralizada para uma potêcia atural qualquer, temos que x + y = x + y x + y x + y (x + y), o qual é o produto de fatores iguais. Observemos que para se formar um termo do produto x + y x + y x + y (x + y) devemos escolher uma parcela de cada um dos fatores x + y e efetuar o produto das mesmas, verificado o úmero de vezes que este produto se apreseta em todas as possibilidades de escolha. Assim, escolhedo p letras y em p dos biômios e p letras x, dos p biômios teremos um termo geérico de x + y dado por x p y p. O úmero de vezes da forma x p. y p será igual ao úmero de modos de escolhermos p letras y em p dos biômios x + y, isto é C p. Desta forma, a quatidade de termos x p y p em toda a expasão biomial será dada por C p x p y p. Como p pode varia de 0 até, ecotramos todos os termos reduzidos do desevolvimeto de x + y a seguite fórmula: x + y = p=0 C p x p y p, sedo que a expressão acima é comumete apresetada em livros didáticos, pricipalmete do Esio Médio, sedo deomiada Fórmula de Newto. Usaremos a seguir o método da idução para exibirmos uma demostração alterativa, comprovado a validade da Fórmula de Newto deduzida ateriormete. Iicialmete, lembremos uma propriedade da otação de somatório, o qual será útil o raciocíio que segue: a = = a Queremos mostrar que x + y = x y. O resultado é válido para = 0, uma vez que x + y = = x 0 0 y 0. Mostraremos, etão que a relação para implica a relação para +. Com efeito, por hipótese temos que:. 6

7 x + y + = x + y (x + y) = (x + y) Expadido a soma, ecotramos: x + y + = x + y 0 x + x y. x y + + y = x + + x = x y + y x y + y + = x + + x = x y + y = x + y + y + = x + + = + x + y + y +. Cabe ressaltar que a parte fial do raciocíio empregado acima se deveu à importate propriedade do Triâgulo de Pascal, cohecida por Relação de Stifel: + =. No caso, podemos melhor adaptar a relação para ecotrar a expressão obtida a demostração, fazedo + = +. Com isso, temos: x + y + = x + + = + x + y + y + = + + x + y. Fialmete, ao utilizarmos a propriedade de somatório efatizada o iício da prova, temos: x + y = x y. 7

8 Outro desafio, maior do que o próprio desevolvimeto do Biômio de Newto ecotra-se em descobrir o valor de um determiado termo. Para tato, é ecessário formular de maeira adequada um procedimeto que facilite o cálculo sem ecessitar do desevolvimeto completo do Biômio. Como vimos, o desevolvimeto de (x + y) : (x + y) = 0 x y 0 + x y + 2 x 2 y 2 x0 y. Podemos obter o termo geérico o desevolvimeto do biômio, cosiderado a expressão seguite: T p+ = p x p y p a qual possibilita o cálculo de termos do biômio sem o seu desevolvimeto completo, muito útil a resolução de problemas evolvedo Biômio de Newto. Assim, o esio do Biômio de Newto passa por uma sigificação mais ampla que permite ao educado compreeder de forma clara o desevolvimeto e expasão de um biômio, bem como, calcular determiado termo, idepedete do valor da potêcia ser pequeo ou grade. Uma aplicação iteressate do uso do biômio de Newto reside o cálculo aproximado do úmero de Euler e = 2,7828 (THE NUMBER WARRIOR. Q*Bert Teaches the Biomial Theorem. EUA: 200.). Sabemos que um dos resultados mais importates da Aálise Real é o célebre limite abaixo, que serve como uma das defiições da costate e da Matemática: e = lim +. 8

9 Verificaremos a validade da expressão acima, por experimetação, através da seguite atividade, a qual serão atribuídos valores de crescedo a partir de =. Vejamos a Tabela a seguir e, também a Figura, a crescete aproximação do úmero e = 2,7828, para variado de até ,25 2, , , , , , , , , , , , , Tabela : Valores aproximados do úmero e via expasão biomial, com valores de etre e 0 0. Explorado os resultados obtidos podemos costruir o gráfico da Figura, o qual verificamos o crescimeto da fução potêcia, e sua aproximação do valor dado ao úmero de Euler, distribuido o eixo das abscissas os valores de e o eixo das ordeadas os valores correspodetes da expressão +. 2,9 2,7 2,5 2,3 2,,9 Figura : Gráfico ilustrativo das aproximações do úmero e, através da expasão biomial. 9

10 Aplicado o cohecimeto obtido o desevolvimeto do Biômio de Newto, apresetamos a seguir uma demostração de que os valores obtidos as expasões biomiais acima de fato aproximam-se do úmero e. Usado a fórmula do biômio, temos: + = =!!! =! 2 +!! =! 2 + =! 2 +. Cabe observar que a quatidade de fatores do umerador e deomiador é igual a termos. Com base isso, podemos reescrever a última expressão acima, sob a seguite forma:! Na passagem da expressão acima, ecotramos a série umérica abaixo, a qual sabemos que é uma forma alterativa de obteção da costate e:! = 0! +! + 2! + 3! + 4! + 5! + Outra aplicação possível do Biômio de Newto pode ser ecotrada a seguite questão proposta o Exame de Qualificação 202 do PROFMAT. 0

11 . Mostre que, para todo IN é iteiro o úmero Prelimiarmete vamos demostrar que p Z para i p, fato que pode p i ser observado com facilidade o Triâgulo de Pascal. Observemos a Tabela 2 que as lihas que correspodem a p = 3, ou p = 5, ou p = 7, os biomiais ou ou são sempre i i i múltiplos de 3, 5 e 7, respectivamete, exceto os termos extremos, os quais são todos iguais a um. p = 0 - p = - p = 2-2 p = p = p = p = p = Tabela 2: Desevolvimeto do Triâgulo Aritmético para valores de p até 7. Notamos que os coeficietes sombreados da liha p são múltiplos de p primo. Com base essa costatação, vamos mostrar de uma maeira geral, que p p i p primo e i p. sedo p Sabemos que os biomiais são represetados por úmeros iteiros, dados por: = i p! p p! p! = = p. Como p é primo, p i! i! ão divide p, segue que divide p i!i! p i!i! p i!i! p p! de tal forma que podemos escrever a expressão como = p sedo úmero i iteiro. Daí cocluímos que p p, logo p p sedo p primo e i p. i Para resolvermos o exercício proposto, utilizaremos o método de idução. A expasão do Biômio de Newto aliada ao desevolvimeto acima serão úteis a demostração. Observe que: Para = 0, temos = 0 e Para =, temos = =. Nos dois casos, = 0 e = a expressão resulta em iteiro

12 Supohamos que , como hipótese, é úmero iteiro, mostraremos que também é úmero iteiro. Expadido os Biômios de Newto + 7 = + 7 e + 5 = + 5, ecotramos: + 7 = + 5 = Ou aida: + 7 = , e + 5 = Ao substituirmos as expressões obtidas acima, temos etão: = = Agrupado coveietemete, temos:

13 Sabemos que = e é iteiro, pela hipótese de 35 idução. Portato a soma é úmero iteiro. 35 Prosseguido, como base as iformações prelimiares, podemos cocluir que a expressão é um úmero iteiro, 7 pois é soma de parcelas divisíveis por 7 e é soma de parcelas divisíveis por 5. Fialmete, cocluímos que é um úmero iteiro para IN. 35 Vamos resolver outro exercício de aplicação iteressate para aluos do Esio Médio, uma vez que foge da simples expasão do biômio ou do cálculo de um determiado termo, exigido raciocíio e cohecimeto matemático mais apurado. 2. Determie o termo máximo do desevolvimeto de (LIMA, Vol. 02, 2009) Poderíamos imagiar a pricípio que o termo máximo do desevolvimeto estaria localizado o cetro da expasão. Este fato ocorre porque observado o Triâgulo de Pascal é percebido que os termos de maior valor estão o cetro de cada liha. No etato, este caso, as potêcias de provocarão alteração o crescimeto dos valores dos termos, coforme 3 segue. 3 Para o biômio apresetado temos o termo geral, T p+ = C p p 3 p. Da mesma forma Tp = C p p 3 ecotramos: C p 50 3 p C p 50 3 p = p = p C50 3 p = p C50 p. Fazedo Tp+ T p 50! 50 p! p! 3 p 50! 5 p! p! 3 p = 50! 50 p! p p! 3 p 50! 5 p 50 p! p! 3 p 3 = 50! 50 p! p! 3 p p 5 p. 3 = 50! 50 p! p! 3 p p 3 5 p = 50! 5 p 3p 50 p! p! 3p p 5 p = 3

14 50! 5 4p 50 p! p! 3p p 5 p. Com isso, como p varia de 0 a 50, temos apeas a expressão 5 4p sedo capaz de variar o sial de T p+ T p. Assim, T p+ T p > 0 quado 5 4p > 0, logo p < p < 0, logo p > 5 4. Logo, e T p+ T p < 0 quado, T 2 < T 3 e T 3 > T 4, e o termo máximo o desevolvimeto é o décimo terceiro T 3 = C Covém otar aqui que o termo máximo o desevolvimeto ão foi obtido equidistate dos extremos (o caso a posição 26), e isso se deve justamete à preseça das potêcias de 3 os coeficietes obtidos acima. Prosseguiremos com outros exercícios que exigem ovos raciocíios, destacado em cada caso coteúdos que precisam ser cohecidos, visto que ão se busca apeas o desevolvimeto biomial, mas uma relação estreita com outros assutos abordados o esio médio e que estão iseridos a resolução. Acreditamos que estes modelos de exercícios são capazes de despertar maior desafio, levado o estudo do Biômio de Newto para uma maior sigificação. Ao logo dos aos, percebe-se que o Esio do Biômio de Newto tem perdido espaço as escolas secudaristas e dois aspectos podem ter levado a isto. Primeiro, pelo fato de ão ser demostrada a forma como se desevolve o biômio, aplicado-se apeas a expressão geral do biômio e a fórmula para calcular o termo geral, sem, o etato, apresetar uma demostração como foi mecioado ateriormete. Segudo, porque os exercícios propostos geralmete ão estão relacioados com outros coteúdos, causado desiteresse a resolução. Verificamos etão a ecessidade de apresetar ovos exercícios que iterligam coteúdos matemáticos torado iteressate a resolução dos problemas. Vamos verificar um cojuto de assutos que podem estar alihados com a resolução de questões evolvedo Biômio de Newto, que foram extraídos de (BACHX, 975). 3. No biômio 2 x + a soma dos coeficietes biomiais do segudo e do terceiro 4 x termos é igual a 36 e o terceiro termo é sete vezes maior que o segudo. Nestas codições qual o valor de x? 4

15 Observe que a resolução do exercício exige o cohecimeto do termo geral do biômio, bem como a resolução de equações expoeciais: O segudo e terceiro termos serão dados por T p+ = p x p y p quado p = e p = 2, respectivamete. Para facilitar a resolução faremos 2 x = y, trasformado o biômio em y +. y 2 e Assim, T 3 = T 2 = p x p y p = p x p y p = 2 y 2 y 4 = y y 2 = y 3,! 2! 2! ( ) y 6 = y 6. 2 Como a soma dos coeficietes é igual a 36, temos + ( ) = 36 implicado = 9 ou = 8. Como a resposta deve ser atural, cocluímos que = 8. Temos aida que: ( ) 2 ou seja, y 6 = 7 8 y 3. Assim, y 6 = 7 y 3, y 6 = 2 y 3. Simplificado, temos y 3 = 2. Retorado à variável origial, obtemos 2 3x = 2. Fialmete, pela ijetividade da fução expoecial, cocluímos que x = Calcule sem desevolver a soma dos coeficietes dos termos do desevolvimeto de 2x 3xy 00. A resolução do exercício é simples, mas desperta bastate iteresse ao aluo, pois desafia pelo fato da potêcia ser um úmero elevado, iviabilizado qualquer idéia de expasão. É preciso compreeder que existe uma igualdade etre 2x 3xy 00 e a expressão p 2x 00 p 3xy p fato que permite obter a soma dos coeficietes pedida 00 p=0 C 00 acima. Sabemos que o desevolvimeto dos termos biomiais é dado por: 00 2x 3xy 00 p = C 00 p=0 2x 00 p 3xy p, 2 que pode ser reescrita da seguite maeira: 5

16 00 2x 3xy 00 = p p C 00 p= p 3 p x 00 y p. O valor umérico do coeficiete de cada termo será dado pela expressão p p C p 3 p. Como buscamos a soma dos coeficietes, e a igualdade vale para quaisquer valores de x e y, devemos excluir a parte algébrica e para isso vamos atribuir os valores de x = e y =, resultado a expressão: 00 p=0 p p C p 3 p = = 00 =, que é a resposta do problema proposto. 5. Determie o coeficiete de x 28 o desevolvimeto da expressão dada por x 4 +3x x+2 20 x x O exercício traz dificuldade se houver iteresse em ecotrar os coeficietes biomiais das potêcias apresetadas. Observamos iclusive que além das potêcias elevadas existe um triômio, capaz de gerar bastate trabalho o desevolvimeto. Porém, utilizado-se de formas de fatoração podemos simplificar a fração algébrica. A expressão x 4 + 3x 2 4 é um triômio que pode ser escrito a forma de produto x x 2. Assim, a fração algébrica pode ser escrita da seguite maeira: x 4 + 3x x x x 2 45 = que simplificado resulta em x 2 5 x x x 2 50 x x x 2 45 Sejam T p+ o termo geral de x 2 5 e T q+ o termo geral de x São válidas as expressões: T p+ = C 5 p x 2 5 p p. e T q+ = C q 20 x 20 q 2 q. 6

17 Portato, o termo geérico para o produto x 2 5 x será dado por: ode 0 p 5 e 0 q 20. T p+ T q+ = p C p 5 C q 20 x 30 2p q 2 q, Como buscamos o coeficiete de x 28 devemos ter 30 2p q = 28 que resulta em 2p + q = 2. As possíveis soluções para esta equação serão dadas por: p = 0 e q = 2, daí segue T p+ T q+ = p C p 5 C q 20 x 30 2p q 2 q = 760x 28. p = e q = 0, obtedo T p+ T q+ = p C p 5 C q 20 x 30 2p q 2 q = 5x 28. Reduzido estes termos obtemos 760x 28 5x 28 = 755x 28. Logo, o coeficiete ecotrado é Cosidere o biômio + 36 x ax2. Esse biômio possui certo termo T idepedete de x. Se elevarmos ax 2 a certa potêcia α o termo idepedete do ovo biômio será o quito termo. Etão dadas estas codições qual o valor de T e de α? A resolução deste exercício exige bastate ateção a aplicação da fórmula do termo geral, bem como, cohecimeto em equações expoeciais. x O termo geral para o desevolvimeto do biômio apresetado é dado por T p+ = C p p a x 2 p = C p 36 x p 36 x 2p a p. Como o termo é idepedete de x, temos p p = 0 que resulta em p = 2. Logo, o termo ecotrado é o décimo terceiro termo dado por T 3 = C 2 36 a 2. Agora, a seguda parte da resolução, se elevarmos ax 2 a certa potêcia α, vamos ecotrar o termo geral para o desevolvimeto T p+ = C p 36 p 36 a x 2 α p = C p 36 x p 36 x 2αp a α. Como o termo idepedete é o quito termo, temos p = 4 e x p 36 x 2αp = x p 36+2αp = x 0, com isso p αp = 0, que resulta em α = 0 e α = 4. x 7. Seja um úmero iteiro e positivo tal que os coeficietes do 5º, 6º e 7º termos do desevolvimeto de log 2 + x, ordeados segudo a potêcia log e log 2 e decrescete de x, estão em progressão aritmética. Determie o valor de. Para ecerrar esta etapa do trabalho apresetamos um exercício que trás uma série de assutos matemáticos, tais como, biômio de Newto, logaritmos e progressão aritmética, que 7

18 poderia se torar bastate complexo se a resolução tomasse como rumo a expasão do biômio sem a simplificação dos logaritmos. Iicialmete, simplificado a expressão log 2 log e log 2 e, com a propriedade da troca de bases e colocado todos os logaritmos a base 2, obtedo-se a expressão: log 2 log e log 2 e = log 2 log 2 log 2 e log 2 e =. Assim temos o biômio escrito de forma mais simples + x = x + para melhor obter o desevolvimeto com potêcias decrescete de x. O termo geral para o desevolvimeto do biômio será T p+ = C p x p, de tal forma que o 5º, 6º e 7º termos serão respectivamete T 5 = C 4 x 4, T 6 = C 5 x 5 e T 7 = C 6 x 6. Os coeficietes do 5º, 6º e 7º termos estão em progressão aritmética, etão 2 C 5 = C 4 + C 6 e resolvedo a equação ecotramos = 7 ou = 4. Coclusão Fializado o tema proposto este artigo podemos perceber como é brilhate o estudo do Biômio de Newto, desde que haja o etedimeto de como ocorre a expasão biomial. É certo que o assuto ao ser apresetado pricipalmete as escolas de Esio Médio ão desperta iteresse os aluos, mas isto é fruto do pouco valor que se dá as demostrações aqui expostas e da relação com outros coteúdos matemáticos. O aluo de Esio Médio o mometo em que se depara com a ecessidade de realizar uma expasão biomial já tem cohecimetos de aálise combiatória suficietes para compreeder os agrupametos que são formados para compor a expasão completa. Percebemos através da demostração por combiatória que ão há dificuldades em desevolver esta técica em sala de aula e este fato mudará o iteresse o aluo. 8

19 Aliado a isto, verificamos que atividades iteressates podem cotribuir com o processo de esio apredizagem mediate a utilização de plailhas e gráficos que foram utilizados para compreeder uma aproximação do úmero e. Referêcias Bibliográficas BACHX, Arago de Carvalho; POPPE, Luiz M. B. TAVARES, Raymudo N. O. Pelúdio à aálise combiatória. São Paulo: Nacioal, 975. BARRETO FILHO, Beigo. Matemática Esio Médio. São Paulo: FTD, v. Úico, BARROSO, Juliae Matsubara. Coexões com a Matemática. São Paulo: Modera, v. 2, 200. BOYER, Carl Bejami. História da Matemática. 2. ed. Brasil: Edgard Blucher IV, 996. CERQUEIRA, Dermeval Satos; CRUZ, Eduardo Sales; TRAMBAIOLLI, Egidio Neto. O Uiverso da Matemática Esio Médio. São Paulo: Escala Educacioal, v. Úico, COOLIDGE, J. L. The Story of the Biomial Theorem. Harvard Uiversity: p.47-57, mar DANTE, Luiz Roberto. Matemática Esio Médio São Paulo: Modera, v. Úico, DRUCK, Sueli. Coleção Explorado o Esio da Matemática. Brasília: MEC, v. 2, EVES, Howard. Itrodução à História da Matemática. Campias: Uicamp, SP, GARBI, Gilberto G. O Romace das Equações Algébricas. 4. ed. São Paulo: Livraria da Física, 200. GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fudametal: uma ova abordagem Esio Médio. São Paulo: FTD, v. Úico, HAZZAN, Samuel. Fudametos da Matemática Elemetar: Combiatória Probabilidade. 6. ed. São Paulo: Atual, v. 5, 993. KARLSON, Paul. A Magia dos Números. Rio de Jaeiro: Globo,96. LIMA, Elo Lages. et al. A Matemática do Esio Médio. Rio de jaeiro: SBM, v. 2, LIMA, Elo Lages. et al. A Matemática do Esio Médio. Rio de jaeiro: SBM, v. 4,

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